b Sự di chuyến của chất lông Cho một chất lỏng không bị nén, chúng không có xoáy và không bị cảm ứng: Trong trường tĩnh điện, từ định luật Gauss: V-# =p/e„ và từ định luật Faraday: rot
Trang 1Định luật Newton của trường hấp dẫn phát biểu rằng: hai vật thể có
khôi lượng 3⁄4 và 4, sẽ hút nhau với một lực F
Trang 2b) Sự di chuyến của chất lông
Cho một chất lỏng không bị nén, chúng không có xoáy và không bị cảm ứng:
Trong trường tĩnh điện, từ định luật Gauss: V-# =p/e„ và từ định luật
Faraday: rot =VxF =6 ta suy ra vector điện trường È nhận được từ một hàm thé y: E=-Vựụ=-gradu, thỏa mãn phương trình Poisson V.£=-V°ụ =p/s„ Khi mật độ điện tích bằng không ta có phương trình Laplace: V-E = -V?ụ =0,
4) Trường tĩnh từ
Vì mật độ dòng bằng không: /=0,Vxð=0 và V-Ä=0 ta được vector # được sinh ra từ một hàm thế vụ :
B=-Vụ= —grady
Hàm thế ự là nghiệm của phương trình Laplace: V°w = V- 8= 0
§3 PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ
Phuong trinh truyén nhiét hodc phuong trinh khuéch tan V’u = ao e
mô tả nhiệt độ w = u(x y2.) của miễn được xét lR nào đó Dùng phương pháp tách biến đặt nghiệm dưới dạng
Trang 31 Phương trình Helmholtz trong hệ tọa độ Đề-các (x, % 2
Giải phương trình sau
WH+AH =
(4.5)
O<x<a,0<y<b,0<z2<c
Tìm nghiệm dưới dang: 47 = 1 (x,y,2)= X (x) ¥(¥)Z(z)
Thay vào phương trình (4.5) ta có
XYZ + XYZ + XYZ" +AXYZ =O
Thye hién tach bién cho từng biên
Trang 4Phương trình (4.6) là dạng Sturm~Liouville có nghiệm
X,{x)=sin ix ¥, (vy) =sin-
2 Phương trinh Helmholtz trong hé toa độ trụ (7.9.2)
Giai phuong trinh sau
WH +H = 2S
rér\ or 0<r<ä, 0<o@<2m 0<z<c
Tìm nghiệm đưới dạng: /7(r,o,z)= #(r)®(o)Z(z)
Thay vào phương trình (4.8) ta có
1 2 GR ozs) Roz + ROZ"+AROZ =0
Trang 5Z'{)+^„Z(z)=0,
rỶRP +rR x[(À—2)r”—A, ]R=0
Ta thu được các phương trình:
® {e)+A^,®(e)=0, 0<@<2n; (4.9)
Z1)+A;Z(2)=0, 0<z<c
Điều kiện biên trong hình trụ có dạng
8H (r,0,z) H(r,0,z)= H(r.2m.z), —
tp
Đo đó phương trình xác định ®=(@®(@) trở thành phương trình
Stum-LiouviHe với điểu kiện biên tuần hoàn, dẫn đến kết quả ^, =0,
À¡ =œŸ Xét các trường hợp điều kiện biên sau:
4) Trường hợp 1: Cho 4, =’ = const > 0, nghiém của Z(z) có dạng
là phương trình Bessel bién thé
b) Trường hợp 2: Cho 3; = —u” = const <0, nghiém của Z(z) có dạng
Z=Z(z)=GŒ chuz+C, shụz (4.13)
Do đó:
~ Nếu À~À; =À +” = vỶ, phương trình cho # có dạng
PR + rR [vie -o JR =0
1a phuong trinh Bessel
—Néu a- %¿ =k+” =—vŸ, phương trình cho R co dạng
Trang 6o"
d® +À,®=0
đọ
sin 0 [rR + arr’ |+ sine - (sng29 ) +r? sin? 6 =A, R @ do ao
trong dé A, la hang số tách biến thực hiện tách các biến còn lại r, @ ta có
độ cầu 77(r.0.o)= #(z)©(9)®(o) thỏa mãn các phương trình sau:
POR ys oR, +(ar? — À,)}R=0, O<r<a,
ore ap
| ni n9 9 + a, =0, 0<Ô8<r, sin8 #8 đô sin 9
do
181
Trang 7Nhận thấy # thỏa mãn phương trinh Bessel, Ø thỏa mãn phương trình xác định đa thức Legendre liên kết, còn hàm © chỉnh là phương trình cho đao động tử điều hoà một chiều, hay bài toán Sturm L.iouville với điều kiện biên tuần hoàn Giải bài toán Sturm-Liouville ta có các trị riêng
A, =0, m=0.1,2,3 Thực hiện phép biến đổi š = cos0 phương trình cho
V có dạng
= +f, -
Day la bai todn Sturm-Liouville cia phuong trinh xac dinh da thtte
Legendre liên kết có trị riêng A, =nm(n+l), n=0.1.2 ;m =0.1/2 (xem
r oR +2r°Ê ;[ar? =n(ntl)]R=0, O<r<a
or or
Dé giải phương trình này, xét các trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Cho ^ = ~a@`” <0, phương trình xác định R có đạng
r OR 9 Rf? n(n si) |R #0 O<r<a (4.15)
là phương trình xác định hàm Besel cầu
b) Trường hợp 2: Cho ^ = 0, phương trình xác định # có dạng
OR Ry Rao der ca or” or (4.16)
la phuong trinh Cauchy—Euler
€) Trường hợp 3: Cho À = <0, phuong trinh xac dinh R cé dang
„ OR
ér?
„1m? ~nÑn+1)]R = 0,0<r<a (4.17)
là phương trình xác định ham Besel cau
Qua các bài toán giải phương, trình Helmholz ở trên, ta thấy: việc lựa chọn hệ tọa độ phù hợp với các điều kiện biên cho ta các phương trình khác nhau để tìm nghiệm tách biến Thực chất phương trình Laplace là tường hợp riêng của phương trình Helmholtz khi ^.= 0
182
Trang 8x“ 204
§4 HAM DIEU HOA VA CAC TINH CHAT
Bất kỳ một nghiệm nào của phương trình Laplacc cũng được gọi là hàm điều hòa hoặc còn được gọi là hàm thé Ham diéu hoa w= u(x,y.z) kha vi
va lién tue thoa man phtong trinh Laplace trong thé tich V bi bao bởi bề mặt Scé cae tinh chat sau:
1 Tích phân theo bề mặt của đạo hàm theo pháp tuyến bằng không
ou
~-do=0
y On
2 Nếu ¡=0 trên biên Š thì z =0 mọi nơi trên thể tích
3 Giá trị của hàm ø(x.y.z) x.y.z UV là duy nhất được xác định bằng
xa G32 ve: đề Biết của hà , OW ng
các giá trị đã biết của hàm w va ~~ tén bién S
an
4 Nếu 2= 9 mọi nơi trên biên Š thì w =const moi noi trong V
on
5 Nếu w là hàm điều hòa bên trong hình cầu bán kính p, nếu S la bé
mặt cầu có tâm nằm tại điểm (x,.y„.z„) thì giá trị trung bình của hàm z
trên bề mặt $ có đạng
1
U(X 3g 2, }= =—đ[u(x.y.z) do
4mp ` %
6 Nếu C là vòng tròn bán kính z có tâm tại (xạ yạ}) và cho hàm ø thỏa
mãn phương trinh Laplace bên trong và trên đường tròn C thì giá trị trung bình của hàm ø trên đường cong C có dạng
u(x) = „ | t{x, +rcos0, yụ + r sin8)rd9,
Tỉnh chất 6 là trường hợp hai chiều của tính chất 5
7 Giá trị cực đại và cực tiểu của hâm điều hòa luôn luôn nằm trên biên cúa miền được xét Tính chất này áp dụng cho cả trường hợp 2 và 3 chiêu
8 Bài toán Dirichlet
VÌw=0 (x,y.Z)€f; w ¬
có nghiệm duy nhất
_ 9 Cho đủ đổi biến, một hàm điều hòa vẫn luôn giữ tính chất là hàm
điều hoà theo biên mới
Trang 9§5 PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG MIỄN CHỮ NHẬT
Xét phương trình Poisson trong hình chữ nhật:
VỲw= /(x.y),(x.y)e R= {x,y] O<x<a0<y< b} (4.18)
thỏa mãn điều kiện biên
Nghiém cua phuong trình (4.18) có thể tìm được dựa trên nghiệm của
bài toán trị riêng hai chiêu:
V'2O+A®=0, (xy)eR, (4.20)
thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất
Giả sử nghiệm có dạng ®{x, y} = X (x) Y(y), thực hiện phép tách biển
ta thu được các phương trình vi phân cấp hai
Trang 10Sử dụng tính trực giao của các ham ©, (x.y) ta cd
Công thức Green 2 chiều có dạng
if (Wu ~wVŸy)dø = Ỉ (> ony œ Vas he a
được dùng để ước lượng tích phân (4.31) Thay v=®,„ vào phương trình
trên và viết công thức Green dưới dạng
trong dé # 1a vector don vi phap tuyến ngoài trên biên của hình chữ nhat
Néu w thỏa mãn phương trình
V?w= I (x.y) V(x.y)< R, HS Qh neon = g(x.y)
Trang 11ff, uV’O,, dxdy = ff, ®,,, f (x y)dxdy +f g(x y)V®,, Ads (4.34)
Suy ra hé sé 4„ được ước lượng theo công thức
A,, = “gà, _ 1 uV"O,, cdxdy sac
Tương tự có thể ước lượng kết quả như trên đối với các bài toán biên Neumman va Robin
§6 CÔNG THUC TICH PHAN POISSON
TRONG MIEN TRON
Tìm nghiệm của phương trình Laplace, chang hạn trong bài toán nhiệt
dừng uv =u(r.p):
> a(S) m—|+ 1 ở _ ou
r Go" © ar
u(a.o)= f(y) —n<g<n, O<r<a
Đặt nghiệm đưới dạng tách biến
186
Trang 12Như vậy đối với hàm ® ta có bài toán Sturm-Liouville với các điều
kiện biển tuần hoàn Xét trường hợp À= —œ`, =0 ^.= @” ta thu được các
hàm riêng và trị riêng sau:
Lah, =0 => ®=®,(0)=l:
Nghiệm tương ứng cho phương trình Cauchy — Euler có dạng:
^=3%,=0: #=(r}=œ+¿Inr;
Ash, =r R= Rr) =Byr" + By’ w= 1,2
Tương ứng ta có nghi¢m cho ham u(r.) = R(r) (9):
uy (7.@) =e) +¢,Inr:
u, (r.p)= (Bor +6," }(a, sin mp +a, cosne)
Xét nghiém hitu han trong khoang O¢r <a ta suy ra ¢, =0,B,=0 vi giá trị tuyệt đổi của các hàm Inz và z “ dần đến vô hạn khi z dần đến 0, Nghiệm tông quát của phương trình vị phân sẽ có dạng
Š rˆ(A,cos no + B, sìn nọ) khí r < a
Sir'"(4,cosnp + B, sin np) khi r >a
mù
là nghiệm bên trong và bên ngoài vòng tròn,
Thay điều kiện biên tại r =ø ta có
u(a,0)= 3a” (A,cos nọ + B, sin nọ) = ƒ (o) (4.39)
n=
Có thé khai triển f(9) vào chuỗi Fourier như sau
#(œ)= St 5Š (g,,eosnng + ,sin no), (4.40)
Trang 13Ay = a 4, 20,0", B, =B,c” (Bai toan ngoai)
Nghiệm cúa phương trình có dạng:
h(n.p)= ey! K (a, cosmp+B, sin np) (Bai toan trong):
u(r, @)= 3(2 ac (a, cosnp +B, sina) (Bai toan ngoai)
Đưới dây sẽ đưa ra công thức tích phân Poisson
Xét bải toán trong đặt vào phương trình ta có
a (w eG J coyconn sins ty
“Tay wwf ES (4 J cosmo paw
Hệ thức trong dấu móc {} có dang
Trang 14được gọi là nhân Poisson Nhận xét rằng, K>0 khi r<a vì 2ar <d +r`
Vậy nghiệm trong và ngoài hình tròn có thê viết
MỘT SÓ BÀI GIẢI MẪU
1 Hãy viết nghiệm của bài toán biên thứ nhất cho phương trình Laplace bên trong vòng tròn và bên ngoài vòng tròn:
A, „=0, 0Sr<Sa, 0S0S2m
ul, =F (9)
Giải Phương trình Laplace c6 dang
A ues I (rH) Loto, (Osrsa),u
r Or ro ore
Su dung phuong phap tach bién dat
u(r.) = Rr) P(o), thay vào phương trình ta suy ra
Trang 15®(o+2x)=®
Ham ®œ(œ} là hàm tuân hoàn thỏa mãn ị ( ? ) ()
® (o+2m)=® (0) Vậy ®Đ{@) có dạng
Vậy nghiệm # là: 8, -| re
>a
Nghiém riéng cua w cé dang
u,=R,D, =r (c, cosnp +d, sinnp),r <a Nghiệm tổng quát là
u (a ®} > a’ (c, cosno +d, sin ng) =f (o):
ey + Le" (c, cos no +d, sinnp)= f(@) a Ire jao= 4 :
QF Lf 9)eosngdo = ,, d,= ¬ W ƒ (@)sin ngào => By
a” ụ
Vậy nghiệm của bài toán trong là
(r.o)= Bey! y (4, cos np + B, sin mp)
mm Kêt quả tương tự cho bài toán ngoài:
u(r.@}= 2 BE a (A, cosn +B, sin np)
wl
190
Trang 162 Cho méthinh try dẫn vô hạn được tích điện đến thé:
ự H Ủ<@<m
xu T.<tq0<2m Tìm thể của trường diện từ bên trong và bên ngoài mặt trụ
Giai “Thế của trường điện từ thoả mãn phương trình Laplace trong hình
trụ tuy nhiên do điều kiện biên không phụ thuộc vào z cho nên đạo hàm
Trang 17oath
Nghiém cua (1) c6 dang
_ jr" {c, cosnp +d, sin np) r<a
‘ Ừ " (c, cosmp+d, sin nọ), r>a
trong đó các hệ số c„ và ở„ được xác định từ điều kiện biên
Nghiệm bên trong là
u(r.p}= cy + a (c,cosnp +d, sin ng)
"Theo điều kiện biên ta có
Trang 18a) «(0.¥) =u, (p.y) =0, u(x,0) =0, u(x.s) = f(x):
b)u(O.v)=u.(p.y)=0 u(x.0)= 4, u{x,s) = Bx;
c)u(O,y)=U, u.(py)=9, 4, (x,0)=Tsin =, u(x,s)=0
p Giải a) Ta giải phương trình Laplace
A,m(y)=0© xay + =0 (al) thỏa mãn điều kiện:
u(Oy}=u,(py)=0, L _
u{x.0)=0.u(x.s)= /(x) ` ;
18-PTTL A
193
Trang 19Ou Cu Spys 2
Be top le (y)~Y, (0) (x) =0
=Y⁄/(y)-xn0@)=0
Giải (a.2) ta được
Y,(y)= 4,ch(A,y)+ B,sh(A,>)
Do đó nghiệm của (a.l) là
u(xy)= x[4e0, y)+8,sh(A,»)]X, (x)
Từ điều kiện biên u(x,0)=0 ta suy ra
Trang 20n=0=f(y)=0—W,=My+N;
n>0=—=Y,(y)= A,ch(A„y)+ B,sh(Ä„v)
Suy ra nghiệm của (b.1) có dạng
u(x.y)= My+N +L [aen(a.y) + B,sh(2,y) |X, (x)
Trang 21A, ua! 8 \ Lou =0 u=u(r.g): <r
"rar ar) 6 ae O<g<a
u(r,0) =u(ra)=n, u(R;@)= u,
Chọn nghiệm đưới dạng (z.@}= v(r,@)+, Từ các điều kiện đã cho
thóa mãn điều kiện |
suy ra các điều kiện tương ứng sau
Mai =; =v(r.0}=0
„(r.œ) = v(r,a}+ =u, => vữa} =0 196
Trang 222m, a Ra Qu, 2Rere sin
u(r.) ="! arety ~ oe +—*arctg—==z—y
oO
Trang 23Chu y rang: sin’ @ = 3sing—4sin 39
Giải bài toán trong của phương trình Dirichlet đối với một vành tròn a<rSb, với điều kiện biên:
jaw =F (9), Hl, = FC)
Tim nghiệm của phương trình Laplace trong hình vành khuyên a<r<ð thỏa mãn các điêu kiện biên sau:
a) u(a,p)=0, u(d,) =cosg;
b) u(a,o)= A, u(b,9) = Bsin 29;
c) u, (4.9) = qeos@ u(b.9)=O+T sin 29
u
Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong hình quạt
O<r<R, 0<o<a théa mãn các điều kiện biên sau:
a) u(r,0)= u(r,a) =0; u(R,o)= 49;
b) u,(r,0)=u(r,a)=0, u{R,o)= /(e).
Trang 244.7, Tim điện trường bên trong một khối trụ dài vô hạn mà mặt cắt của khối
trụ có đạng một nửa hình tròn, phan đường kính tích điện đến thế Vo
phần cung nửa vòng tròn tích điện đến thé V,
4.8 Giải phương trình Laplace bên trong hình quạt giới hạn bởi:
r=a,r=bÙ,a<r<b; @=0,o=ởœ, 0<o<a
Các điều kiện biên có đạng:
Giải cụ thể cho trường hợp: / (0) = sạ.F(o} =0
Trang 25„+
Chuong V
CAC PHEP BIEN DOI TICH PHAN
§1 HÀM BƯỚC HEAVISIDE VA HAM DELTA DIRAC
Ham bước đơn vị Heaviside được định nghĩa
Hình 5.1 Ham bước don vi Heaviside
Hàm bước đơn vị Heaviside được dùng để định nghĩa hàm xung:
ð,(x~x,)= | f(x~x,)= H(x=(x +9))], (5.2)
là hàm có độ cao 1/e trong khoang x, va x, +6; và bằng không ở các vị trí
khác Đỗ thị được biểu điễn trên hình 5.2
Hàm Delta Dirac hoặc hàm xung đơn vị được định nghĩa
ð(x~x,}= Hmỗ, (x~ xạ) (5.3)
‹ Ham Delta Dirac không phải là một hàm theo nghĩa thông thường Hàm này
băng không ở mọi nơi, trừ tại điểm x¿ mà tại đó nó có giá trị vô hạn sao cho
200
Trang 26“eg,
Một tính chất khác cúa hàm Delta Dirae là
Jat x-x,) f(x)dv= f(x) (5.5) That vay bằng định nghia ham Delta Dirac ta cé thé viết
jJaứ- xy) (x) = lim fp (x=x,) f (xa =
Trang 27H'(x-x,)= du -x) =lim A(xnx )- A(x—(x +8)}
=3(x-x,) Tích phân các hàm Delta Dirac được
Hàm Delta Dirac cũng có tính chất đạo hàm:
Jð{x-x)/(x)& =-f'(%), [#œ ~x¿}ƒ(x)#& = 7)
Ham Delta Dirac này có thể biểu diễn trong các hệ tọa độ khác nhau Ví
dụ, nêu chuyển sang hệ tọa độ cực
xứng đối với biển Ð thì từ hàm 8(x—x,)8(y—y,) biến thành bam
202
Trang 28§2 PHEP BIEN DOI LAPLACE
Phép biến déi Laplace 2
F(s)= ZU r(o} = [na edt & f ()=F(s) (5.9)
tồn tại nếu tích phân là hội tụ Ta hiểu phép biển đổi Laplace là tác động của toán tử SƑ' vào hàm gốc f () cho ta một hàm ảnh F(s) -
1 Biến đổi Laplace của các hàm thông thường
0,/<0 ok ake Xét hàm gốc u(r) = { t> N phép biến đổi Laplace
21:0} = fi edt = e
sat Tương tự đôi với các hàm e", cosaf, sinat va t":
a
203