1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Phương trình toán lý part 6 doc

35 329 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 35
Dung lượng 482,09 KB

Nội dung

b Sự di chuyến của chất lông Cho một chất lỏng không bị nén, chúng không có xoáy và không bị cảm ứng: Trong trường tĩnh điện, từ định luật Gauss: V-# =p/e„ và từ định luật Faraday: rot

Trang 1

Định luật Newton của trường hấp dẫn phát biểu rằng: hai vật thể có

khôi lượng 3⁄4 và 4, sẽ hút nhau với một lực F

Trang 2

b) Sự di chuyến của chất lông

Cho một chất lỏng không bị nén, chúng không có xoáy và không bị cảm ứng:

Trong trường tĩnh điện, từ định luật Gauss: V-# =p/e„ và từ định luật

Faraday: rot =VxF =6 ta suy ra vector điện trường È nhận được từ một hàm thé y: E=-Vựụ=-gradu, thỏa mãn phương trình Poisson V.£=-V°ụ =p/s„ Khi mật độ điện tích bằng không ta có phương trình Laplace: V-E = -V?ụ =0,

4) Trường tĩnh từ

Vì mật độ dòng bằng không: /=0,Vxð=0 và V-Ä=0 ta được vector # được sinh ra từ một hàm thế vụ :

B=-Vụ= —grady

Hàm thế ự là nghiệm của phương trình Laplace: V°w = V- 8= 0

§3 PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ

Phuong trinh truyén nhiét hodc phuong trinh khuéch tan V’u = ao e

mô tả nhiệt độ w = u(x y2.) của miễn được xét lR nào đó Dùng phương pháp tách biến đặt nghiệm dưới dạng

Trang 3

1 Phương trình Helmholtz trong hệ tọa độ Đề-các (x, % 2

Giải phương trình sau

WH+AH =

(4.5)

O<x<a,0<y<b,0<z2<c

Tìm nghiệm dưới dang: 47 = 1 (x,y,2)= X (x) ¥(¥)Z(z)

Thay vào phương trình (4.5) ta có

XYZ + XYZ + XYZ" +AXYZ =O

Thye hién tach bién cho từng biên

Trang 4

Phương trình (4.6) là dạng Sturm~Liouville có nghiệm

X,{x)=sin ix ¥, (vy) =sin-

2 Phương trinh Helmholtz trong hé toa độ trụ (7.9.2)

Giai phuong trinh sau

WH +H = 2S

rér\ or 0<r<ä, 0<o@<2m 0<z<c

Tìm nghiệm đưới dạng: /7(r,o,z)= #(r)®(o)Z(z)

Thay vào phương trình (4.8) ta có

1 2 GR ozs) Roz + ROZ"+AROZ =0

Trang 5

Z'{)+^„Z(z)=0,

rỶRP +rR x[(À—2)r”—A, ]R=0

Ta thu được các phương trình:

® {e)+A^,®(e)=0, 0<@<2n; (4.9)

Z1)+A;Z(2)=0, 0<z<c

Điều kiện biên trong hình trụ có dạng

8H (r,0,z) H(r,0,z)= H(r.2m.z), —

tp

Đo đó phương trình xác định ®=(@®(@) trở thành phương trình

Stum-LiouviHe với điểu kiện biên tuần hoàn, dẫn đến kết quả ^, =0,

À¡ =œŸ Xét các trường hợp điều kiện biên sau:

4) Trường hợp 1: Cho 4, =’ = const > 0, nghiém của Z(z) có dạng

là phương trình Bessel bién thé

b) Trường hợp 2: Cho 3; = —u” = const <0, nghiém của Z(z) có dạng

Z=Z(z)=GŒ chuz+C, shụz (4.13)

Do đó:

~ Nếu À~À; =À +” = vỶ, phương trình cho # có dạng

PR + rR [vie -o JR =0

1a phuong trinh Bessel

—Néu a- %¿ =k+” =—vŸ, phương trình cho R co dạng

Trang 6

o"

d® +À,®=0

đọ

sin 0 [rR + arr’ |+ sine - (sng29 ) +r? sin? 6 =A, R @ do ao

trong dé A, la hang số tách biến thực hiện tách các biến còn lại r, @ ta có

độ cầu 77(r.0.o)= #(z)©(9)®(o) thỏa mãn các phương trình sau:

POR ys oR, +(ar? — À,)}R=0, O<r<a,

ore ap

| ni n9 9 + a, =0, 0<Ô8<r, sin8 #8 đô sin 9

do

181

Trang 7

Nhận thấy # thỏa mãn phương trinh Bessel, Ø thỏa mãn phương trình xác định đa thức Legendre liên kết, còn hàm © chỉnh là phương trình cho đao động tử điều hoà một chiều, hay bài toán Sturm L.iouville với điều kiện biên tuần hoàn Giải bài toán Sturm-Liouville ta có các trị riêng

A, =0, m=0.1,2,3 Thực hiện phép biến đổi š = cos0 phương trình cho

V có dạng

= +f, -

Day la bai todn Sturm-Liouville cia phuong trinh xac dinh da thtte

Legendre liên kết có trị riêng A, =nm(n+l), n=0.1.2 ;m =0.1/2 (xem

r oR +2r°Ê ;[ar? =n(ntl)]R=0, O<r<a

or or

Dé giải phương trình này, xét các trường hợp sau:

a) Trường hợp 1: Cho ^ = ~a@`” <0, phương trình xác định R có đạng

r OR 9 Rf? n(n si) |R #0 O<r<a (4.15)

là phương trình xác định hàm Besel cầu

b) Trường hợp 2: Cho ^ = 0, phương trình xác định # có dạng

OR Ry Rao der ca or” or (4.16)

la phuong trinh Cauchy—Euler

€) Trường hợp 3: Cho À = <0, phuong trinh xac dinh R cé dang

„ OR

ér?

„1m? ~nÑn+1)]R = 0,0<r<a (4.17)

là phương trình xác định ham Besel cau

Qua các bài toán giải phương, trình Helmholz ở trên, ta thấy: việc lựa chọn hệ tọa độ phù hợp với các điều kiện biên cho ta các phương trình khác nhau để tìm nghiệm tách biến Thực chất phương trình Laplace là tường hợp riêng của phương trình Helmholtz khi ^.= 0

182

Trang 8

x“ 204

§4 HAM DIEU HOA VA CAC TINH CHAT

Bất kỳ một nghiệm nào của phương trình Laplacc cũng được gọi là hàm điều hòa hoặc còn được gọi là hàm thé Ham diéu hoa w= u(x,y.z) kha vi

va lién tue thoa man phtong trinh Laplace trong thé tich V bi bao bởi bề mặt Scé cae tinh chat sau:

1 Tích phân theo bề mặt của đạo hàm theo pháp tuyến bằng không

ou

~-do=0

y On

2 Nếu ¡=0 trên biên Š thì z =0 mọi nơi trên thể tích

3 Giá trị của hàm ø(x.y.z) x.y.z UV là duy nhất được xác định bằng

xa G32 ve: đề Biết của hà , OW ng

các giá trị đã biết của hàm w va ~~ tén bién S

an

4 Nếu 2= 9 mọi nơi trên biên Š thì w =const moi noi trong V

on

5 Nếu w là hàm điều hòa bên trong hình cầu bán kính p, nếu S la bé

mặt cầu có tâm nằm tại điểm (x,.y„.z„) thì giá trị trung bình của hàm z

trên bề mặt $ có đạng

1

U(X 3g 2, }= =—đ[u(x.y.z) do

4mp ` %

6 Nếu C là vòng tròn bán kính z có tâm tại (xạ yạ}) và cho hàm ø thỏa

mãn phương trinh Laplace bên trong và trên đường tròn C thì giá trị trung bình của hàm ø trên đường cong C có dạng

u(x) = „ | t{x, +rcos0, yụ + r sin8)rd9,

Tỉnh chất 6 là trường hợp hai chiều của tính chất 5

7 Giá trị cực đại và cực tiểu của hâm điều hòa luôn luôn nằm trên biên cúa miền được xét Tính chất này áp dụng cho cả trường hợp 2 và 3 chiêu

8 Bài toán Dirichlet

VÌw=0 (x,y.Z)€f; w ¬

có nghiệm duy nhất

_ 9 Cho đủ đổi biến, một hàm điều hòa vẫn luôn giữ tính chất là hàm

điều hoà theo biên mới

Trang 9

§5 PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG MIỄN CHỮ NHẬT

Xét phương trình Poisson trong hình chữ nhật:

VỲw= /(x.y),(x.y)e R= {x,y] O<x<a0<y< b} (4.18)

thỏa mãn điều kiện biên

Nghiém cua phuong trình (4.18) có thể tìm được dựa trên nghiệm của

bài toán trị riêng hai chiêu:

V'2O+A®=0, (xy)eR, (4.20)

thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất

Giả sử nghiệm có dạng ®{x, y} = X (x) Y(y), thực hiện phép tách biển

ta thu được các phương trình vi phân cấp hai

Trang 10

Sử dụng tính trực giao của các ham ©, (x.y) ta cd

Công thức Green 2 chiều có dạng

if (Wu ~wVŸy)dø = Ỉ (> ony œ Vas he a

được dùng để ước lượng tích phân (4.31) Thay v=®,„ vào phương trình

trên và viết công thức Green dưới dạng

trong dé # 1a vector don vi phap tuyến ngoài trên biên của hình chữ nhat

Néu w thỏa mãn phương trình

V?w= I (x.y) V(x.y)< R, HS Qh neon = g(x.y)

Trang 11

ff, uV’O,, dxdy = ff, ®,,, f (x y)dxdy +f g(x y)V®,, Ads (4.34)

Suy ra hé sé 4„ được ước lượng theo công thức

A,, = “gà, _ 1 uV"O,, cdxdy sac

Tương tự có thể ước lượng kết quả như trên đối với các bài toán biên Neumman va Robin

§6 CÔNG THUC TICH PHAN POISSON

TRONG MIEN TRON

Tìm nghiệm của phương trình Laplace, chang hạn trong bài toán nhiệt

dừng uv =u(r.p):

> a(S) m—|+ 1 ở _ ou

r Go" © ar

u(a.o)= f(y) —n<g<n, O<r<a

Đặt nghiệm đưới dạng tách biến

186

Trang 12

Như vậy đối với hàm ® ta có bài toán Sturm-Liouville với các điều

kiện biển tuần hoàn Xét trường hợp À= —œ`, =0 ^.= @” ta thu được các

hàm riêng và trị riêng sau:

Lah, =0 => ®=®,(0)=l:

Nghiệm tương ứng cho phương trình Cauchy — Euler có dạng:

^=3%,=0: #=(r}=œ+¿Inr;

Ash, =r R= Rr) =Byr" + By’ w= 1,2

Tương ứng ta có nghi¢m cho ham u(r.) = R(r) (9):

uy (7.@) =e) +¢,Inr:

u, (r.p)= (Bor +6," }(a, sin mp +a, cosne)

Xét nghiém hitu han trong khoang O¢r <a ta suy ra ¢, =0,B,=0 vi giá trị tuyệt đổi của các hàm Inz và z “ dần đến vô hạn khi z dần đến 0, Nghiệm tông quát của phương trình vị phân sẽ có dạng

Š rˆ(A,cos no + B, sìn nọ) khí r < a

Sir'"(4,cosnp + B, sin np) khi r >a

là nghiệm bên trong và bên ngoài vòng tròn,

Thay điều kiện biên tại r =ø ta có

u(a,0)= 3a” (A,cos nọ + B, sin nọ) = ƒ (o) (4.39)

n=

Có thé khai triển f(9) vào chuỗi Fourier như sau

#(œ)= St 5Š (g,,eosnng + ,sin no), (4.40)

Trang 13

Ay = a 4, 20,0", B, =B,c” (Bai toan ngoai)

Nghiệm cúa phương trình có dạng:

h(n.p)= ey! K (a, cosmp+B, sin np) (Bai toan trong):

u(r, @)= 3(2 ac (a, cosnp +B, sina) (Bai toan ngoai)

Đưới dây sẽ đưa ra công thức tích phân Poisson

Xét bải toán trong đặt vào phương trình ta có

a (w eG J coyconn sins ty

“Tay wwf ES (4 J cosmo paw

Hệ thức trong dấu móc {} có dang

Trang 14

được gọi là nhân Poisson Nhận xét rằng, K>0 khi r<a vì 2ar <d +r`

Vậy nghiệm trong và ngoài hình tròn có thê viết

MỘT SÓ BÀI GIẢI MẪU

1 Hãy viết nghiệm của bài toán biên thứ nhất cho phương trình Laplace bên trong vòng tròn và bên ngoài vòng tròn:

A, „=0, 0Sr<Sa, 0S0S2m

ul, =F (9)

Giải Phương trình Laplace c6 dang

A ues I (rH) Loto, (Osrsa),u

r Or ro ore

Su dung phuong phap tach bién dat

u(r.) = Rr) P(o), thay vào phương trình ta suy ra

Trang 15

®(o+2x)=®

Ham ®œ(œ} là hàm tuân hoàn thỏa mãn ị ( ? ) ()

® (o+2m)=® (0) Vậy ®Đ{@) có dạng

Vậy nghiệm # là: 8, -| re

>a

Nghiém riéng cua w cé dang

u,=R,D, =r (c, cosnp +d, sinnp),r <a Nghiệm tổng quát là

u (a ®} > a’ (c, cosno +d, sin ng) =f (o):

ey + Le" (c, cos no +d, sinnp)= f(@) a Ire jao= 4 :

QF Lf 9)eosngdo = ,, d,= ¬ W ƒ (@)sin ngào => By

a” ụ

Vậy nghiệm của bài toán trong là

(r.o)= Bey! y (4, cos np + B, sin mp)

mm Kêt quả tương tự cho bài toán ngoài:

u(r.@}= 2 BE a (A, cosn +B, sin np)

wl

190

Trang 16

2 Cho méthinh try dẫn vô hạn được tích điện đến thé:

ự H Ủ<@<m

xu T.<tq0<2m Tìm thể của trường diện từ bên trong và bên ngoài mặt trụ

Giai “Thế của trường điện từ thoả mãn phương trình Laplace trong hình

trụ tuy nhiên do điều kiện biên không phụ thuộc vào z cho nên đạo hàm

Trang 17

oath

Nghiém cua (1) c6 dang

_ jr" {c, cosnp +d, sin np) r<a

‘ Ừ " (c, cosmp+d, sin nọ), r>a

trong đó các hệ số c„ và ở„ được xác định từ điều kiện biên

Nghiệm bên trong là

u(r.p}= cy + a (c,cosnp +d, sin ng)

"Theo điều kiện biên ta có

Trang 18

a) «(0.¥) =u, (p.y) =0, u(x,0) =0, u(x.s) = f(x):

b)u(O.v)=u.(p.y)=0 u(x.0)= 4, u{x,s) = Bx;

c)u(O,y)=U, u.(py)=9, 4, (x,0)=Tsin =, u(x,s)=0

p Giải a) Ta giải phương trình Laplace

A,m(y)=0© xay + =0 (al) thỏa mãn điều kiện:

u(Oy}=u,(py)=0, L _

u{x.0)=0.u(x.s)= /(x) ` ;

18-PTTL A

193

Trang 19

Ou Cu Spys 2

Be top le (y)~Y, (0) (x) =0

=Y⁄/(y)-xn0@)=0

Giải (a.2) ta được

Y,(y)= 4,ch(A,y)+ B,sh(A,>)

Do đó nghiệm của (a.l) là

u(xy)= x[4e0, y)+8,sh(A,»)]X, (x)

Từ điều kiện biên u(x,0)=0 ta suy ra

Trang 20

n=0=f(y)=0—W,=My+N;

n>0=—=Y,(y)= A,ch(A„y)+ B,sh(Ä„v)

Suy ra nghiệm của (b.1) có dạng

u(x.y)= My+N +L [aen(a.y) + B,sh(2,y) |X, (x)

Trang 21

A, ua! 8 \ Lou =0 u=u(r.g): <r

"rar ar) 6 ae O<g<a

u(r,0) =u(ra)=n, u(R;@)= u,

Chọn nghiệm đưới dạng (z.@}= v(r,@)+, Từ các điều kiện đã cho

thóa mãn điều kiện |

suy ra các điều kiện tương ứng sau

Mai =; =v(r.0}=0

„(r.œ) = v(r,a}+ =u, => vữa} =0 196

Trang 22

2m, a Ra Qu, 2Rere sin

u(r.) ="! arety ~ oe +—*arctg—==z—y

oO

Trang 23

Chu y rang: sin’ @ = 3sing—4sin 39

Giải bài toán trong của phương trình Dirichlet đối với một vành tròn a<rSb, với điều kiện biên:

jaw =F (9), Hl, = FC)

Tim nghiệm của phương trình Laplace trong hình vành khuyên a<r<ð thỏa mãn các điêu kiện biên sau:

a) u(a,p)=0, u(d,) =cosg;

b) u(a,o)= A, u(b,9) = Bsin 29;

c) u, (4.9) = qeos@ u(b.9)=O+T sin 29

u

Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong hình quạt

O<r<R, 0<o<a théa mãn các điều kiện biên sau:

a) u(r,0)= u(r,a) =0; u(R,o)= 49;

b) u,(r,0)=u(r,a)=0, u{R,o)= /(e).

Trang 24

4.7, Tim điện trường bên trong một khối trụ dài vô hạn mà mặt cắt của khối

trụ có đạng một nửa hình tròn, phan đường kính tích điện đến thế Vo

phần cung nửa vòng tròn tích điện đến thé V,

4.8 Giải phương trình Laplace bên trong hình quạt giới hạn bởi:

r=a,r=bÙ,a<r<b; @=0,o=ởœ, 0<o<a

Các điều kiện biên có đạng:

Giải cụ thể cho trường hợp: / (0) = sạ.F(o} =0

Trang 25

„+

Chuong V

CAC PHEP BIEN DOI TICH PHAN

§1 HÀM BƯỚC HEAVISIDE VA HAM DELTA DIRAC

Ham bước đơn vị Heaviside được định nghĩa

Hình 5.1 Ham bước don vi Heaviside

Hàm bước đơn vị Heaviside được dùng để định nghĩa hàm xung:

ð,(x~x,)= | f(x~x,)= H(x=(x +9))], (5.2)

là hàm có độ cao 1/e trong khoang x, va x, +6; và bằng không ở các vị trí

khác Đỗ thị được biểu điễn trên hình 5.2

Hàm Delta Dirac hoặc hàm xung đơn vị được định nghĩa

ð(x~x,}= Hmỗ, (x~ xạ) (5.3)

‹ Ham Delta Dirac không phải là một hàm theo nghĩa thông thường Hàm này

băng không ở mọi nơi, trừ tại điểm x¿ mà tại đó nó có giá trị vô hạn sao cho

200

Trang 26

“eg,

Một tính chất khác cúa hàm Delta Dirae là

Jat x-x,) f(x)dv= f(x) (5.5) That vay bằng định nghia ham Delta Dirac ta cé thé viết

jJaứ- xy) (x) = lim fp (x=x,) f (xa =

Trang 27

H'(x-x,)= du -x) =lim A(xnx )- A(x—(x +8)}

=3(x-x,) Tích phân các hàm Delta Dirac được

Hàm Delta Dirac cũng có tính chất đạo hàm:

Jð{x-x)/(x)& =-f'(%), [#œ ~x¿}ƒ(x)#& = 7)

Ham Delta Dirac này có thể biểu diễn trong các hệ tọa độ khác nhau Ví

dụ, nêu chuyển sang hệ tọa độ cực

xứng đối với biển Ð thì từ hàm 8(x—x,)8(y—y,) biến thành bam

202

Trang 28

§2 PHEP BIEN DOI LAPLACE

Phép biến déi Laplace 2

F(s)= ZU r(o} = [na edt & f ()=F(s) (5.9)

tồn tại nếu tích phân là hội tụ Ta hiểu phép biển đổi Laplace là tác động của toán tử SƑ' vào hàm gốc f () cho ta một hàm ảnh F(s) -

1 Biến đổi Laplace của các hàm thông thường

0,/<0 ok ake Xét hàm gốc u(r) = { t> N phép biến đổi Laplace

21:0} = fi edt = e

sat Tương tự đôi với các hàm e", cosaf, sinat va t":

a

203

Ngày đăng: 20/06/2014, 13:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w