[Ci (4-45) z ~(p°V, 7 + ! ~- —(sin 912) 7 OF, (7.0.9) -(e 9 rsin@ xt i 1 ay, + a rsinO dp ơ, rổ rsin Ge, 1 t ơ a a Ị vxre je 2 e Ị rsinBlár 28 ep | Voor, orsink,! Như vậy với một trường vector V 1a khơng xốy và cảm ứng chúng cĩ các tính chất sau: 1 rotf = Vx =6; div/ =V.Ƒ =0 2 Trường vector được sinh ra từ một trường vơ hướng t/ = w(x, ¥ Vs tgrady 3 Ham thé y = w(x.y,2) 1a nghiém của phương trình Laplace: V:Ÿ=V.Vự =VỲự =0 te } 4 Tích phân đường Ị VẩP là độc lập với đường lấy tích phân nối ta sa) hai điểm (x,.v,.z¡} và (x, 5 Yich phan dudng cua vector /’ lay quanh một đường cong đĩng kín € bằng khơng q Vd =0 kc 6 F-dF = Vy -dF =dy là một vi phân Sau đây là một vài ví dụ của trường thế: đ) Trường hấp dẫn
Định luật Newton của trường hấp dẫn phát biểu rằng: hai vật thể cĩ
khơi lượng 3⁄4 và 4, sẽ hút nhau với một lực F
- é
F=-GM\M, >
trong đĩ, các đơn vị đo là M(kg).F(N) G (NmẺ”/kg`) và p (m): Ở là hằng số hấp dẫn: p là khoảng cách giữa hai khối lượng
176
se
Trang 2to ee,
Néu dat M, =1 thi M, duoc goi la khối luong thi, luc F cé dang F=8=-GM,° được gọi là lực hap dan (@ (N/kg=m/s")) Luc F là lực
Pp
< GMM, , £
được sinh ra từ hàm thể ự = =a bằng cách tác động Gradien Ta thấy hàm thể w là nghiệm của phương trình Laplace: V°ụ =0
b) Sự di chuyến của chất lơng
Cho một chất lỏng khơng bị nén, chúng khơng cĩ xốy và khơng bị cảm ứng: rotŸ =VxƑ =0; đivŸ =V.P =0, trong do, vector 7 a vận tốc của chất lỏng, vector v được sinh ra từ một ham thé y: V= ~Vw =-grady Ham thé y Ja nghiệm của phương trinh Laplace Vy =V-¥ =0 ©) Trường tĩnh điện
Trong trường tĩnh điện, từ định luật Gauss: V-# =p/e„ và từ định luật
Faraday: rot =VxF =6 ta suy ra vector điện trường È nhận được từ một hàm thé y: E=-Vựụ=-gradu, thỏa mãn phương trình Poisson V.£=-V°ụ =p/s„ Khi mật độ điện tích bằng khơng ta cĩ phương trình Laplace: V-E = -V?ụ =0, 4) Trường tĩnh từ Vì mật độ dịng bằng khơng: /=0,Vxð=0 và V-Ä=0 ta được vector # được sinh ra từ một hàm thế vụ : B=-Vụ= —grady Hàm thế ự là nghiệm của phương trình Laplace: V°w = V- 8= 0 §3 PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ x 2 1
Phuong trinh truyén nhiét hodc phuong trinh khuéch tan V’u = ao e
Trang 3Ss ue u(x.y.z.t) = H(x.y.z)-7) Thay vào phương trình ta cĩ vì Tự 2 v17()=-1 (0= Ÿ1- T6) sa a H al (9) trong đĩ ^ là hằng số tách biến Ta suy ra phương trình Helmholtz và phương trình của 7: WH +H =OT (4 RaT (= 0 ơi 3 1 Tương tự trong phương trình sĩng Ýw = a dùng phương pháp “ơi tách biến ta cũng suy ra phương trình Helmholtz và phương trình của 7: VH+A'H=0 ;¡ T"{)+A'a'f()=0
Đối với các phương trình trên, ta sẽ nghiên cứu chỉ tiết phương trình Helmholtz trong các hệ tọa độ khác nhau
1 Phương trình Helmholtz trong hệ tọa độ Đề-các (x, % 2
Giải phương trình sau
WH+AH =
(4.5)
O<x<a,0<y<b,0<z2<c
Tìm nghiệm dưới dang: 47 = 1 (x,y,2)= X (x) ¥(¥)Z(z)
Thay vào phương trình (4.5) ta cĩ
XYZ + XYZ + XYZ" +AXYZ =O
Trang 4Oty eg Chon các hang số tách biến đưới dang thuận tiện hơn Xi ==0” <0, À4, =HU >0, ÀA;T=ÀjTÀ==vÌ <0, 'Ta thụ được các phương trình sau X"(x)+0°X (x) =0,0<x<a Y*{y)+w Y(y)=0,0<y<b ;Ä=v°+p°+@', (4.6) Z*{4z)+v'Z(z)=0.0<z<e
Phương trình (4.6) là dạng Sturm~Liouville cĩ nghiệm X,{x)=sin ix ¥, (vy) =sin- a :2,(z}= sin ™ ; mn =1,2,3 c Nghiệm tổng quát của phương trình Helmholtz là chẳng chất của các nghiệm riêng H= H(xy.2)= 33.2 ,G„X/ø),)2,€): (4.7) on Com ha là các hệ số hằng sé
2 Phương trinh Helmholtz trong hé toa độ trụ (7.9.2)
Giai phuong trinh sau
WH +H = 2S rér\ or
0<r<ä, 0<o@<2m 0<z<c
Tìm nghiệm đưới dạng: /7(r,o,z)= #(r)®(o)Z(z)
Thay vào phương trình (4.8) ta cĩ
Trang 5Z'{)+^„Z(z)=0,
rỶRP +rR x[(À—2)r”—A, ]R=0
Ta thu được các phương trình:
PR rR 4[(A- 2) ay [R=0, O<r <a; ® {e)+A^,®(e)=0, 0<@<2n; (4.9) Z1)+A;Z(2)=0, 0<z<c Điều kiện biên trong hình trụ cĩ dạng 8H (r,0,z) H(r,0,z)= H(r.2m.z), — tp
Đo đĩ phương trình xác định ®=(@®(@) trở thành phương trình
Stum-LiouviHe với điểu kiện biên tuần hồn, dẫn đến kết quả ^, =0,
À¡ =œŸ Xét các trường hợp điều kiện biên sau:
4) Trường hợp 1: Cho 4, =’ = const > 0, nghiém của Z(z) cĩ dạng Z=Z(#)=Ceosuz+C, sin Hz (4.10) Do đĩ: -Néu A-A, =2-p? =v?, phương trình cho # cĩ dạng r?R"+rR'+[ về” =œ ]# =0 (411) là phương trình Bessel — Nêu À~^À; =À—wÏ” =~vỶ, phương trình cho # cĩ dạng PR +R [vir +07 ]R =0 (4.12)
là phương trình Bessel bién thé
b) Trường hợp 2: Cho 3; = —u” = const <0, nghiém của Z(z) cĩ dạng
Z=Z(z)=GŒ chuz+C, shụz (4.13)
Do đĩ:
~ Nếu À~À; =À +” = vỶ, phương trình cho # cĩ dạng
PR + rR [vie -o JR =0
1a phuong trinh Bessel
Trang 6“8:08 vo 3 Phương trình Helmholtz trong hệ tọa độ cầu (r.0.o} V`H+AH =U; i f(r Be _ ` [sino Zt) + Hàn =0 Fr dr di r' sin8 Ø9 38J) rsn 0 ờ (4.14) 0<r<a 0<Ð<x, 0<0<2m Tìm nghiệm dưới dang: 7/(r,9.o)=#(r)}â(6)đ(@), thay vo phng trỡnh (4.14) ta cĩ s- #@@®”+2RO® =0 4 P(r "Row + 1 2 (sinoo") RO + = 3 r’sin® 60 r sin’ @ Thực hiện tách biển cho từng biến o" _® (0) _sin Di Re rk] ne os noe +h sin? 8 = 2, b(e) đơ d® +À,®=0 đọ
sin 0 [rR + arr’ |+ sine - (sng29 ) +r? sin? 6 =A, R @ do ao
trong dé A, la hang số tách biến thực hiện tách các biến cịn lại r, @ ta cĩ Ra ae = is 1 _4 (ing@y=a, R sin 9 @sinO db PORT + IR (A? = 2, )R=0, “(sino | 1, Za Jo- 0 dd sin 9
Như vậy, các nghiệm tách biến của phương trình Helmholtz trong tọa
Trang 7Nhận thấy # thỏa mãn phương trinh Bessel, Ø thỏa mãn phương trình xác định đa thức Legendre liên kết, cịn hàm © chỉnh là phương trình cho đao động tử điều hồ một chiều, hay bài tốn Sturm L.iouville với điều kiện biên tuần hồn Giải bài tốn Sturm-Liouville ta cĩ các trị riêng
A, =0, m=0.1,2,3 Thực hiện phép biến đổi š = cos0 phương trình cho
V cĩ dạng
= +f, -
Day la bai todn Sturm-Liouville cia phuong trinh xac dinh da thtte
Legendre liên kết cĩ trị riêng A, =nm(n+l), n=0.1.2 ;m =0.1/2 (xem je=n —l1<Š§<l mục 3 §7 Chương VII) Nghiệm của phương trình trên cho đa thức Legendre lién kết: ©=O0(0)=P"(cos0), O<O<n, Suy ra phương trình cho # cĩ dạng
r oR +2r°Ê ;[ar? =n(ntl)]R=0, O<r<a
or or
Dé giải phương trình này, xét các trường hợp sau:
a) Trường hợp 1: Cho ^ = ~a@`” <0, phương trình xác định R cĩ đạng
r OR 9 Rf? n(n si) |R #0 O<r<a (4.15)
or? or ,
là phương trình xác định hàm Besel cầu
b) Trường hợp 2: Cho ^ = 0, phương trình xác định # cĩ dạng
OR Ry Rao der ca or” or (4.16) la phuong trinh Cauchy—Euler
€) Trường hợp 3: Cho À = <0, phuong trinh xac dinh R cé dang
„ OR
ér?
„1m? ~nĐn+1)]R = 0,0<r<a (4.17)
là phương trình xác định ham Besel cau
Qua các bài tốn giải phương, trình Helmholz ở trên, ta thấy: việc lựa chọn hệ tọa độ phù hợp với các điều kiện biên cho ta các phương trình khác nhau để tìm nghiệm tách biến Thực chất phương trình Laplace là tường hợp riêng của phương trình Helmholtz khi ^.= 0
182
Trang 8x“ 204
§4 HAM DIEU HOA VA CAC TINH CHAT
Bất kỳ một nghiệm nào của phương trình Laplacc cũng được gọi là hàm điều hịa hoặc cịn được gọi là hàm thé Ham diéu hoa w= u(x,y.z) kha vi va lién tue thoa man phtong trinh Laplace trong thé tich V bi bao bởi bề mặt Scé cae tinh chat sau:
1 Tích phân theo bề mặt của đạo hàm theo pháp tuyến bằng khơng ou
~-do=0 y On
2 Nếu ¡=0 trên biên Š thì z =0 mọi nơi trên thể tích
3 Giá trị của hàm ø(x.y.z) x.y.z UV là duy nhất được xác định bằng xa G32 ve: đề Biết của hà , OW ng
các giá trị đã biết của hàm w va ~~ tén bién S
an
2 Ou ¬ an so
4 Nếu 2= 9 mọi nơi trên biên Š thì w =const moi noi trong V
on
5 Nếu w là hàm điều hịa bên trong hình cầu bán kính p, nếu S la bé
mặt cầu cĩ tâm nằm tại điểm (x,.y„.z„) thì giá trị trung bình của hàm z
trên bề mặt $ cĩ đạng
1
U(X 3g 2, }= =—đ[u(x.y.z) do 4mp ` %
6 Nếu C là vịng trịn bán kính z cĩ tâm tại (xạ yạ}) và cho hàm ø thỏa
mãn phương trinh Laplace bên trong và trên đường trịn C thì giá trị trung bình của hàm ø trên đường cong C cĩ dạng
u(x) = „ | t{x, +rcos0, yụ + r sin8)rd9,
Tỉnh chất 6 là trường hợp hai chiều của tính chất 5
7 Giá trị cực đại và cực tiểu của hâm điều hịa luơn luơn nằm trên biên cúa miền được xét Tính chất này áp dụng cho cả trường hợp 2 và 3 chiêu
8 Bài tốn Dirichlet
VÌw=0 (x,y.Z)€f; w ¬
cĩ nghiệm duy nhất
_ 9 Cho đủ đổi biến, một hàm điều hịa vẫn luơn giữ tính chất là hàm
Trang 9§5 PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG MIỄN CHỮ NHẬT
Xét phương trình Poisson trong hình chữ nhật:
VỲw= /(x.y),(x.y)e R= {x,y] O<x<a0<y< b} (4.18)
thỏa mãn điều kiện biên
Ha =g(x.y) (4.19)
Nghiém cua phuong trình (4.18) cĩ thể tìm được dựa trên nghiệm của
bài tốn trị riêng hai chiêu:
V'2O+A®=0, (xy)eR, (4.20)
thỏa mãn điều kiện biên thuần nhất
SỈ wear 7 (4.21)
Giả sử nghiệm cĩ dạng ®{x, y} = X (x) Y(y), thực hiện phép tách biển
Trang 10“eng Vy) ==„®„ (xi3) (4.26) Các hàm riêng cĩ tính trực giao: 0 > ah (i) (mm) (4.27) =5 (4= (mm) Bây giờ giả sử nghiệm của phương trình (4.18) và (4.19) là 1=(xy)<=Š 3 A9 (x2) e1 (428) ff, Làn (x) ®, (x, y)dxdy =
Sử dụng tính trực giao của các ham ©, (x.y) ta cd
[fae aedy = Š Š Ag [[, Pu ® chee (4.29) vl nel Chỉ cĩ một hạng thức khác khơng trong dấu tổng khi si va m= devi thể phương trình (4.29) rút gọn thành ff, u® dxdy = 4, hoặc thay ¡, / bằng 7, m taco thé viét 4 2 A, = "m jf, u®,, dxdy (4.30) Phương trình (4.26) cho phép ta viết (1.9), đo đĩ phương trình (4.30) được ve Ay = a ~ [[eW?o,,,dxdy (431)
Cơng thức Green 2 chiều cĩ dạng
if (Wu ~wVŸy)dø = Ỉ (> ony œ Vas he a
được dùng để ước lượng tích phân (4.31) Thay v=®,„ vào phương trình
trên và viết cơng thức Green dưới dạng
IJ (ee, - ©,,V'u)dedy =f (uV@,, -@,,Vu)-fids (4.32)
trong dé # 1a vector don vi phap tuyến ngồi trên biên của hình chữ nhat
Néu w thỏa mãn phương trình
Trang 11thì phương trình (4.32) cĩ dạng [odes ~ [[8,, xa) 14 (6 x2)VG,, 0, Vy) c6 (4.33) Chủ ý rằng ®,,, =0 trén C= @R, do đĩ phương trình (4.33) được viết đơn giản là
ff, uV’O,, dxdy = ff, ®,,, f (x y)dxdy +f g(x y)V®,, Ads (4.34)
Suy ra hé sé 4„ được ước lượng theo cơng thức
A,, = “gà, _ 1 uV"O,, cdxdy sac
4 (4.35)
~~ ahh, ff o,f Casderay +f (en y)VO,,, fds
Tương tự cĩ thể ước lượng kết quả như trên đối với các bài tốn biên Neumman va Robin
§6 CƠNG THUC TICH PHAN POISSON
TRONG MIEN TRON
Tìm nghiệm của phương trình Laplace, chang hạn trong bài tốn nhiệt
dừng uv =u(r.p):
> a(S) m—|+ 1 ở _ ou
r Go" © ar
u(a.o)= f(y) —n<g<n, O<r<a
Đặt nghiệm đưới dạng tách biến u{r.o)= R(r)}®(e) (4.37) thay vào phương trình (4.36) ta được rất r „ 3m if © rR r@ R D Suy ra hai phuong trinh vi phan: "+40 =0; OR +rR'-AR=0
Phương trình cho # là phương trinh Cauchy — Euler, phương trình cho œ® là phương trình xác định một dao động điều hồ Các nghiệm u{r.®) thỏa mãn hai điều kiện sau:
Trang 12wage 1) Nghiệm phải hữu hạn trên biên và bên trong vịng trịn: |u(z.@) <m,r<ứ 2) Nghiệm phải thĩa mãn điều kiện liên tục và tuần hồn: tẦr.=®) = HỆn,): Bufnx) = ứng), ey ey Trường hợp 2 áp dung cho ham ® là: ®{(-x)=®(m): ®{-x)=®{(x)
Như vậy đối với hàm ® ta cĩ bài tốn Sturm-Liouville với các điều
kiện biển tuần hồn Xét trường hợp À= —œ`, =0 ^.= @” ta thu được các
hàm riêng và trị riêng sau:
Lah, =0 => ®=®,(0)=l:
Nghiệm tương ứng cho phương trình Cauchy — Euler cĩ dạng:
^=3%,=0: #=(r}=œ+¿Inr;
Ash, =r R= Rr) =Byr" + By’ w= 1,2
Tương ứng ta cĩ nghi¢m cho ham u(r.) = R(r) (9): uy (7.@) =e) +¢,Inr:
u, (r.p)= (Bor +6," }(a, sin mp +a, cosne)
Xét nghiém hitu han trong khoang O¢r <a ta suy ra ¢, =0,B,=0 vi giá trị tuyệt đổi của các hàm Inz và z “ dần đến vơ hạn khi z dần đến 0, Nghiệm tơng quát của phương trình vị phân sẽ cĩ dạng
Š rˆ(A,cos no + B, sìn nọ) khí r < a
r(r.@}= " (4.38)
Sir'"(4,cosnp + B, sin np) khi r >a
mù
là nghiệm bên trong và bên ngồi vịng trịn,
Thay điều kiện biên tại r =ø ta cĩ
u(a,0)= 3a” (A,cos nọ + B, sin nọ) = ƒ (o) (4.39)
n=
Cĩ thé khai triển f(9) vào chuỗi Fourier như sau
Trang 13ot, trong đĩ: ~ 1M TQ dy TỦ ae „” (tự)cos mua; cos mpd =! [7 (y)sin nay Tà So sánh (4.38) và (4.40) ta cĩ: Aj= h = te, B= Ba (Bai toan trong): = a a
Ay = a 4, 20,0", B, =B,c” (Bai toan ngoai) Nghiệm cúa phương trình cĩ dạng:
h(n.p)= ey! K (a, cosmp+B, sin np) (Bai toan trong):
u(r, @)= 3(2 ac (a, cosnp +B, sina) (Bai toan ngoai) Đưới dây sẽ đưa ra cơng thức tích phân Poisson
Xét bải tốn trong đặt vào phương trình ta cĩ
a (w eG J coyconn sins ty
“Tay wwf ES (4 J cosmo paw
Trang 14xay vẽ
Ðo đĩ nghiệm cĩ thể viết
14
uú „0} tu J0,
đĩ là nghiệm của phương trình I.aplace bên trong vịng trịn và được gọi là tích phân Poisson Thang thie
aor
K(r.g.a.y)=
~ 287 COS tụ + ø”
được gọi là nhân Poisson Nhận xét rằng, K>0 khi r<a vì 2ar <d +r`
Vậy nghiệm trong và ngồi hình trịn cĩ thê viết lL : ~~ [if (yw) -3 ody, khir<a 2m 2ar cos +a /(e) khi r=zø 1+, 2m Lp ~Jarcosy +r f (9), khi r=a anor u(r.g)= moe ; dy, khir >a u(r.) =
MỘT SĨ BÀI GIẢI MẪU
1 Hãy viết nghiệm của bài tốn biên thứ nhất cho phương trình Laplace bên trong vịng trịn và bên ngồi vịng trịn:
A, „=0, 0Sr<Sa, 0S0S2m ul, =F (9)
Giải Phương trình Laplace c6 dang
Trang 15®(o+2x)=® Ham ®œ(œ} là hàm tuân hồn thỏa mãn ị ( ? ) () ® (o+2m)=® (0) Vậy ®Đ{@) cĩ dạng love n=0(1.2 ®, (0) =(c, cosng +d, sin np) Phương trình đối với R(r) 1a PR +rR —WR=0 Chọn nghiém cé dang R= r thay vào phương trình trên ta được ơ(ø-l)+a—”Ì =0=<o-=+n ` roir<a Vậy nghiệm # là: 8, -| re >a
Nghiém riéng cua w cé dang
u,=R,D, =r (c, cosnp +d, sinnp),r <a Nghiệm tổng quát là
tr(n,@}=
nd
Sr’ (c, cos no +d, sin ag) trong đĩ các hệ số c„ và ở, được xác định từ điều kiện biên
Từ điều kiện biên ta cĩ
„củ
u (a ®} > a’ (c, cosno +d, sin ng) =f (o):
ey + Le" (c, cos no +d, sinnp)= f(@) a Ire jao= 4 :
QF Lf 9)eosngdo = ,, d,= ¬ W ƒ (@)sin ngào => By
a” ụ
Vậy nghiệm của bài tốn trong là
(r.o)= Bey! y (4, cos np + B, sin mp)
mm
Kêt quả tương tự cho bài tốn ngồi:
u(r.@}= 2 BE a (A, cosn +B, sin np)
wl 190
28
Trang 162 Cho méthinh try dẫn vơ hạn được tích điện đến thé: ự H Ủ<@<m
xu T.<tq0<2m
Tìm thể của trường diện từ bên trong và bên ngồi mặt trụ
Giai “Thế của trường điện từ thoả mãn phương trình Laplace trong hình
Trang 17oath
Nghiém cua (1) c6 dang
_ jr" {c, cosnp +d, sin np) r<a
‘ Ừ " (c, cosmp+d, sin nọ), r>a
trong đĩ các hệ số c„ và ở„ được xác định từ điều kiện biên
Nghiệm bên trong là
Trang 18Min a » | sin(2k4+1 se r36+l Qe a eked (2k eo 5 yee Sinko | { eile ge & & (k+Ù) 2l (4+0) (4+0)- dat z= Ee" = Ecosp+iEsing suy ra z* = Ee" = Ecos@—sing WES (k+l) SOk+0) |4 ee si 1 2 sj =! areth +5 om Pn arctg - SG, 2i I-22 1-8? 1l Vị arcthx= -1n +e tgz = —ithiz 2 l-x Kết quả suy ra được: dap si ne r<a ar
3 Tìm nghiệm z(x.y) của phương trình Laplace trong hình chữ nhật 0<x<p,0< y<s thỏa mãn các điêu kiện biờn sau:
a) ô(0.Ơ) =u, (p.y) =0, u(x,0) =0, u(x.s) = f(x):
b)u(O.v)=u.(p.y)=0 u(x.0)= 4, u{x,s) = Bx;
c)u(O,y)=U, u.(py)=9, 4, (x,0)=Tsin =, u(x,s)=0
p Giải a) Ta giải phương trình Laplace
A,m(y)=0© xay + =0 (al) thỏa mãn điều kiện:
u(Oy}=u,(py)=0, L _
u{x.0)=0.u(x.s)= /(x) ` ;
18-PTTL A
Trang 19Ki xà (2k +1) nx LX (x)2-22x (x) [Ae = sin “Sp noes ()=0 |, _ (ken Kk 2p Nghiệm cé dang u(x.y) =u ()X, (x thay vao phuong trinh (a.1) ta cĩ Ou Cu Spys 2 Be top le (y)~Y, (0) (x) =0 =Y⁄/(y)-xn0@)=0
Giải (a.2) ta được
Y,(y)= 4,ch(A,y)+ B,sh(A,>)
Do đĩ nghiệm của (a.l) là
u(xy)= x[4e0, y)+8,sh(A,»)]X, (x)
Trang 20su eg, b) Giải phương trinh Laplace Ou Fu A ty) .J}=0ôâ~+=0 ae oF (bb) b.t thỏa mãn các điều kiện (b2) Nghiệm cĩ đạng s(x»)<>9/(0)#,09): thay vào phương trình (b.1) ta cd Ou Ou —-+ Bett = LL 0) 20K, ()=0 =Y,j(y)-X,Y,(y)=0 Xét các trường hợp: n=0=f(y)=0—W,=My+N; n>0=—=Y,(y)= A,ch(A„y)+ B,sh(Ä„v) Suy ra nghiệm của (b.1) cĩ dạng
Trang 21+ an! tt _ ait 2B nm? p he Bsh(h,s)= Jreos ATX i _ PX sa " [sin nM Po P nm Ping PRP Kết quả là -2 TẢ 2s * 2 Ụ 3 tảo SP Ng CRN ogg OR) 7 “(2x +1) sh V2 1)m P P p c) Cách giải tương ty ta thu được kết quả như sau 2 : r : u(xp)=U +22) ton 1 2p | on 2p} |) 28 poh oh p 2p 2p sin ™ — 2p 1 (2k + "` Tín 2k +1 2p 2p
4 Tìm phân bể nhiệt dừng của tắm kim loại cĩ đạng hình quạt trịn hai đường bán kính duy trì nhiệt độ ø,, cịn phần cung trịn duy trì nhiệt độ w,
Giải Giải phương trình:
Ẻ O<r<R
A, ua! 8 \ Lou =0 u=u(r.g): <r "rar ar) 6 ae O<g<a
u(r,0) =u(ra)=n, u(R;@)= u,
Chọn nghiệm đưới dạng (z.@}= v(r,@)+, Từ các điều kiện đã cho
thĩa mãn điều kiện |
suy ra các điều kiện tương ứng sau
Trang 22su ng, u(R.p)=v(Ro) +4, =4, > v(R.o)=n, ~u, = lene -0(9) oy? ®(0)=®(œ)=0 = {,(0)=B, sn ea, = n=l,2 a a Ham v(r.@) cĩ đạng )=5.⁄(r)®,(ø) mm r1 (r)xrứ, (r)= Xã (r)=0— rhy0<r<Đ => /(r)=r" a o=th, , " Từ điều kiện ban đầu ta cĩ (r ©)= J=oreB, sin rl ee „ oki (kti)e Vậy nghiệm v(r,œ} cĩ cơng thức là 3, = Ấn) Tận ag Au ca) +l)g _ © + (2k+l)np v(.0)= S5 =D) Ges (4 ) sin x : Suy ra nghiệm của bài tốn cần tìm là @sr 4u, Tu) 1 rÀ s_ (2k+l)no (r0) = ti + ( “đan sin A 20 os ore sin 19
2m, a Ra Qu, 2Rere sin
u(r.) ="! arety ~ oe +—*arctg—==z—y
x 28*resin SP 7 re Re
Trang 234.1 4.2 443 4.4 4.5 198 vt ee BAI TAP
Hãy viết nghiệm của bài tốn biên thứ II cho phương trình Laplace bên trong vịng trịn và bên ngồi vịng trịn: A,uu=0, 0<r<à, 0<@S2n ơu ay =f (9) trong đĩ: v~ hướng pháp tuyến ngồi đối với vùng được xét, trong trường hợp vịng trịn v=z: " „(r.o}= >4 cosnp+ B,sinnp) +a ml Tìm nghiệm bên trong và bên ngồi của phương trinh Laplace, néu điều kiện biên cĩ dạng: a) uf wy = ASIN; b)ul_ = Asin’ p+ B; Asing, 0<@<z Che = MÀ 5 Asin, n<o<2n Chu y rang: sin’ @ = 3sing—4sin 39
Giải bài tốn trong của phương trình Dirichlet đối với một vành trịn a<rSb, với điều kiện biên:
jaw =F (9), Hl, = FC)
Tim nghiệm của phương trình Laplace trong hình vành khuyên a<r<ð thỏa mãn các điêu kiện biên sau:
a) u(a,p)=0, u(d,) =cosg; b) u(a,o)= A, u(b,9) = Bsin 29;
c) u, (4.9) = qeos@ u(b.9)=O+T sin 29
u
Tìm nghiệm của phương trình Laplace trong hình quạt
O<r<R, 0<o<a théa mãn các điều kiện biên sau:
Trang 24“9g “eee,
4.6 Biên của một tắm kim loại mỏng cĩ đạng hình quạt z< 8, O<y<a cho bởi nhiệt độ sau: Ảnh r=R 0, =0 ¿=ởœ Hãy tìm trường nhiệt đừng của tắm này, xét trường hợp riêng: uy, 0<e@<Š #(o)= Hy, Phu
4.7, Tim điện trường bên trong một khối trụ dài vơ hạn mà mặt cắt của khối
trụ cĩ đạng một nửa hình trịn, phan đường kính tích điện đến thế Vo
phần cung nửa vịng trịn tích điện đến thé V,
4.8 Giải phương trình Laplace bên trong hình quạt giới hạn bởi: r=a,r=bÙ,a<r<b; @=0,o=ởœ, 0<o<a Các điều kiện biên cĩ đạng:
Trang 25„+
ate
Chuong V
CAC PHEP BIEN DOI TICH PHAN
§1 HÀM BƯỚC HEAVISIDE VA HAM DELTA DIRAC
Ham bước đơn vị Heaviside được định nghĩa 1, €>0 w(s)-{¢ c<0 (3.1) (hàm bằng đơn vị khi đối số của hàm là đương và bằng khơng khí đối số của hàm là âm) Hí(x ~ x,) poo 9 Ky x
Hình 5.1 Ham bước don vi Heaviside
Hàm bước đơn vị Heaviside được dùng để định nghĩa hàm xung:
` I
ð,(x~x,)= | f(x~x,)= H(x=(x +9))], (5.2) là hàm cĩ độ cao 1/e trong khoang x, va x, +6; và bằng khơng ở các vị trí
khác Đỗ thị được biểu điễn trên hình 5.2
Hàm Delta Dirac hoặc hàm xung đơn vị được định nghĩa
ð(x~x,}= Hmỗ, (x~ xạ) (5.3) ‹ Ham Delta Dirac khơng phải là một hàm theo nghĩa thơng thường Hàm này
băng khơng ở mọi nơi, trừ tại điểm x¿ mà tại đĩ nĩ cĩ giá trị vơ hạn sao cho
ƒ§(x—x,)á=I (5.4)
Trang 26“eg,
Một tính chất khác cúa hàm Delta Dirae là
Jat x-x,) f(x)dv= f(x) (5.5) That vay bằng định nghia ham Delta Dirac ta cé thé viết
Trang 27H'(x-x,)= du -x) =lim A(xnx )- A(x—(x +8)} dx c¬U 8 =3(x-x,) Tích phân các hàm Delta Dirac được Ts ax = TS % 5.7 J (xm) a H(x-x), X PX GD Hàm Delta Dirac cũng cĩ tính chất đạo hàm: Jð{x-x)/(x)& =-f'(%), [#œ ~x¿}ƒ(x)#& = 7) J#'6—x)7(x)&=~/"0x), (5.8) [#?(x=x)7@0)&=(1Ÿ 70), Trong khơng gian 2 hoặc 3 chiều ta cĩ các ham Delta Dirac: i= J [8(e=x,)8(y- y )eeay = i= JT [8G4—%)8(y—,)ã(z—z,) s4 =I
Ham Delta Dirac này cĩ thể biểu diễn trong các hệ tọa độ khác nhau Ví dụ, nêu chuyển sang hệ tọa độ cực x=rcos@ axdy => rdrd@ y=rsin8 tae thi cơng thức 7, 06 dang: 1, = [ [48(r-1,)8(8-0,)rard0=1; 4=+ „ bộ Đo đĩ cĩ thể nĩi rằng, khi chuyển sang hệ toạ độ cực thì từ hàm 3(r-7,)8(8-0 ,
š(x~xy)ð(y~—ay) biến thành hàm 2 5)Ư®=®) Nếu sọ tính đội r
xứng đối với biển Ð thì từ hàm 8(x—x,)8(y—y,) biến thành bam
202
Trang 28+ agg ð(r— › : x Sen) Trong trường hợp 3 chiêu, hàm Delta Dirac được biểu diễn trong TỤC các hệ tọa cong như sau: za) La độ trụ (r,Ð,z} Toạ độ trụ (.8,z z)cĩ tính đến |` đối xứng theo oO Coa dé cau ứr.9,o) Tòa độ cầu (r,Ð,ø) cĩ tính đến | đối xứng theo @ 2mˆsinÐ Toạ độ cầu (r, 0 1.0) cĩ tính đến 8(r-n) đối xứng theo cả @ và Ư 4°?
§2 PHEP BIEN DOI LAPLACE
Phép biến déi Laplace 2
F(s)= ZU r(o} = [na edt & f ()=F(s) (5.9) tồn tại nếu tích phân là hội tụ Ta hiểu phép biển đổi Laplace là tác động của tốn tử SƑ' vào hàm gốc f () cho ta một hàm ảnh F(s) -
Trang 29ot!
2 Cac tinh chat cua phép bién déi Laplace
Tĩnh chit Lh Lire fh ()+e f(t} =e F (s)te,4 (8) Chứng mình: Lie, đ ()+e,(} = [e#0)+e,/, (Ne “dt - © ` =e [4€ Y#t+e (964 a 3 = of, (s) +¢,F, (s) Suy ra điều phải chứng mình
Vi du: Tìm biến đổi Laplace của biểu thức u(t)=4P —3cos2r45e' Giải Theo tính chất Ì ta cĩ: Liar ~3cos2/ + 5e} =421r)-3{cos2}+5Z1e”} ' wp ote, 8 3y 5 sos +4 s+l Tính chất 2 Chứng mình: Lie “/ ()} = fle“ sOJerva = [eet ar =#(s+a) é
Vi du Ap dụng tính chất 2 xác định biến đổi Laplace của các hàm #) sau: cosht, sind var"
Trang 30“eg, Giải Lie" cos2/} = s>-a Lhe’ " sin bt} = P ¬ (s tay +b Lie Ni = (s uy vớ >Tgt 2 Pires lờ - i 0 Tinh chất 3: Í f(I=a)u(r=a)} =e"^E(s), với u(r—a)= ( t<a - t>ứ Chứng mình Zz} {(t- a)u(r=a)} = fr (-a)u(t- ae “dt = fr ~a)e “dt = frye trax =e “Tr (ae
Trang 31suy 206 at “Chứng mình: Theo tính chất 4 ta cĩ sim =aretg L = @ {na} 1 g[snar| = darete ft W at a i a s sin at a =2{ = Ì=aegf, f # Tinh chat 5 LI f'(1)t = sF(s)~ £(0)
và minh: Theo định nghĩa của phép biến đổi Laplace ta cĩ
Lif} ie fre) eat = f(a" +3] (de “dt =sF (s)~ f(0)
Tinh chat 6: sự "í ase (s s)—s/(0 ay (0) Tĩnh chất 7: 1m (1) = s"F(s)-s"'¢(0)—5" *f'(0)- - fF" (0) Vĩ du: Chứng mình các cơng thức sau: 2Ø“) sta’ b) L {sin ar} = _ +e Chứng mình a)Tacĩ /(0)=e”= f'(t)=-ae“; f(0)=1 -a#[ƒ ra #U0<81sels OY ferja Đĩ là điều phải chứng minh bì Ta cĩ: f(r) =sinar; F(s)=2{F(0)}, suy ra
f'(t)=acosat, f"(t (1) =-a’ sinar; #(9)=0: /(0)=a
Theo tính chất 6 của phép biến đổi Laplace ta cĩ
1” (2)}= Zi- a *sinat} =—a" L {sin at} =-P L1 f(r),
+1” ()} ar (s)-sz0-a=s°*#1/()}-a
> Z {sinar} = “5 Dé la didu phải chứng minh x +a"
Trang 32Chứng mình: Đặt j= frau suy ra g’(t)= f(t): g(0)=0 ạ “Theo tính chất 5 ta cĩ 2Ztz(0]=«ơ()-z(0)=»ơ(s)={70)}=G) Suy ra G(s) = r6) „ do đỏ #tz@0I=#l[r6a)- f6), Tinh chát 9: LAr f(a} =(-1)" su F(s)=(-1) H's) Chứng mình: Ta cơ F( ef ()e “dt, do dé
= fr evar f- if (edt =-L iif (a)
Suy ra: #4 = a F (s)= F'(s) Céng thite nay duge chứng minh
Trang 342 206 “ng, ` _Ịị #0 F(s) | rg YF) - /) ; - Jr( ya u)du _ P(th=f(t+T) TP J£*rt)a lim ƒ (f) timsF 6) mm imsr(s) ”
3 Phép biến đổi Laplace ngược
Phép biến đối Laplace ngược được định nghĩa như sau 2170)=r)= 70)=#"{r) 4 Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược Tính chất 1: 2 '{eRiG)+eE,(9}=e#0)+e,0) Tính chất 2: 9! [F(s+a)} =e“/()=esz" t0) Tính chất 3 BNF ( là )}=e“Ø'{F(s-a)} {F(s-a)} =e" 2" {F(s)} Ví dụ: Xác định các biên đối Laplace ngược của biểu thức Tinh chdt 4 Bo 1 Giá Ta cĩ: t0) ng #@ =2$+ ; (@+l)= Do đĩ: #'iF(s+1)}= Sein 2: 2”{F(s)}= xe sin 2r Le F(s)} = f (t-a)u(t-a) Tính chất 5:
Trang 352 sáng — Doi ham ¿ vừa tìm về phía phải một đoạn bằng a va cat bỏ phía trái (nếu a > 0), Tính chất6: — #''ÍF(as)} -1 (4) a>d, a a Tinh chat 7: LF (sh (-' eH r0): LF (s)h= CƯợ- [rft(s)) ” Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace ngược của hàm # (z) = nàn, — Giải: Ta cĩ P's)=-.k - -Ì- suy ra s+[ g7] #'tr'6)}=e '_e' =—2sht 4)’ Theo cơng thức 2"tr@} -C}.ø¬tr9(s) với m là bậc của đạo hàm ta suy ra 2 { (sje {rg} =, Tính chất 8: #'r(s)}=.Z' ru) a
§3 PHÉP BIEN BO! FOURIER
Xét các bộ hàm riêng khi sử dụng để khai triển Fourier {cosmx; sinnx, 1 =1,2 }
Một cách tổng quát, cĩ thể xét khai triển hàm thực
f (x)= 4,43 (a, sin m4, cosne), (5.11) v6i x €[0,2n]; cdc hé sé a,,a, va 6, được xác định theo cơng thức:
14-PTTLB