rs Vay nghiệm có dạng = ? _ * ig 34 u(x,t) = aA Tỉ ECA a cose a Lia] o, (1-@o,?) a 3.12 Đặt nghiệm dưới dạng : u(x4)=w(xt)+v(xy), trong đó w có dạng : W(x)=(œx! +Bx) Ar+(q,x? +B,x)T Suy Ta: W,(0,!)=B,Ar+B,T = Ar=B, =LB; =0; W,(L,1)=(20,L +1) At+ 20,L7 =T 2 2aL+1=0, 42-2, a= 2L 2L Vậy: 2 a a W(x,t)2-2 404 cate Ee -(T-A4)+Atx; 2L 2L 2L 2 2 2 w(x.0)=22, w 2-2 4s ax, tw, = 2 (r- as) 2L 2L L 2 2 >aW,-W, =Š^+4r+# (7- Ai) 2L L 2 2 =v, ay, =24_ ges 2 (7- ai) 2L L Thay vào phương trình u, =a’x,, ta duge: Ae a
Av~ 4, = av, +2 (T- At); 2L L
Khai trién theo b6 ham riéng T) ta có; Ax?
=- “+ S( T~ At}= si Ent cos
Trang 2“95
Hệ số f,(#) durgc xdc dinh tir diéu kién ban dau:
pt fest + (r- a) tee AeA A) 3 20 OE IE:-IEN aon a k#0 A 2b 4 24 2 ‘ 2AL Pap Teg , OY ae Chú ý rằng: 7= ƒ x cos TE 3 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần hai lần ta được 2 + 1 3
2 in ke L[, ang — asin A OL -=-2° [xin ing L + (kny 2 ( y
nh eich onan f cain ERE
Trang 3318
Thay vao phương trình ta có:
| (ye) nyo $ (on T;)= 6()==' aT #4, on-[- 8) tov Vi T0)=—T say ea 0-2 vay nin=(-Ab 2) At pth, 105) n)= Ab on(oreatel i ee oe Oy pos “is At Le _ he ne i Byron fe Vay: Me SEY ATL ap RAE
2ab (Hore, a 2AD
Trang 4Tả, 3.13 Gợi ý: Ta cần giải hệ phương trình: Mu =aểu,0<x<E „(0,0)=u(Lr)=0 u(x,0)= f(x)=U, Kết quả : (x9) =Š 4“ TH trong đó: 4 = 2 ¢(x)sin ™ ae, mm L
Trang 5att 3.15 Ta cần giải hệ phương trình: u,= au, —h(u-U,), 0<x<L u(0)=U,, #1) ~U, @) u(x,0)= f(x) Đặt: u(x,t)=U, + w(x)+v(x,2) : (2) Chon ham v sao cho: v, =a", hv v(0,r)=v(L,.)=0 @) v(x0)= /(x)~»(x)~U, Do đó : v, =a'v,, —Avea'w, —hw> w,, = u(0,t) =U, + w(0)+v(0,/)= U, = w(0) =U, —U,; (12) = Uy +w(L)+v(L,t)= U, = w(L)=U, -U,
Giải theo w ta được :
v4.2 w=0, w(0) =U, -Uy, w(L) =U, Uy; a w(x) = Mch~—x+ Nhà x w(0)=M=U,-U,; a a vi vh w(L)=(Y, ~U,)ch = b+ Nsh~ = L = Uy ~Uy ch-~ et et U,)oh* [u-u Yeh " wh, awh 2, ~U, xsh "2 ~(U,-U, oh x4(U, —U,)sh
Mã ~(U,~Đ,)eh ny nh x=(U,- -U,bsh(x~„)
(u,- sya metus
suy ra: ei,
Trang 6“a mm se |/8Ï4|, v(x)=Š A,e f 7| sin m
voi A, “Fh U6 )—w{§)-U, siản de
Trong điều kiện U, =U, =0, Z()=0, ta có : on Bayes vi w(x) =~U, —4— —®—: au on (1 xyasn ZA ame A, = Là f | 42 — 4_-1 jin whe, vh ™ L 4 ft ad củ, sere OES) uf pte Choy n= fob L-x Jean int a L Vi :
= fon2¥(1—)sin Ee forth sin ae a L a +
Tính sh SH Ha sin ae {at pith -1) for son dx
T e
Ta có: e” sin bxẩy =
Trang 78 We 4, " ng d= the sin de + f e 7 sin——dx L ¿ L a nL(-1)" lh+aÌn w? ee [| Cheer Tw hai tích phân trên suy ra Tả" da 1 oar asin a
lh emt li caye a Ph*a nh nxt, ah ie as Ehtann a nee
Trang 8Hà 4.1 Đáp số Nghiệm bài toán trong : Nghiệm bài tốn ngồi : 4)x(r,0}= 4 =sine a | øw(r,g}= A sine r (r0) = B+34- sine~ sa ] sinse b)u(r.o) = +34 sino~ (2) sin3@ a r conte one uẦr,0)}= 4 -sin —— ec 9)= 4 sn 24 ours) ° x8 § ura) ° eal y ae 4.3 Đáp số: u(r.g)= > [ar +B eos (yr +2 inne a Inr+A,,
trong đó các hệ số được tính theo công thức sau:
Trang 9se si Tir cac điểu kiện biên ta có: = ĐÀ wtb) cose = $ [4s +2 lcosmo( Ce + er )aml- B, Inb+ A; = D\ u(a,0)}=0= 3, Aya + Bo cosnp+| C,a” +— |sin np |+ By Ina+ 4y; a a Abr Dato 421A, b bb 5 B Aa+—+=0= 4,=-—+ a 1 =— Vậy nghiệm là b) Ta có phương trình Laplace: 2 ¬ ror\ Or} rr? dy
u(a,p) = 4, u(b,9) = Bsin 29
Cách giải tương tự câu a Vậy nghiệm là „(r,0}= c) Ta có phương trình Laplace: A, = lê rên Lou or)? apt rg = =0, a<r<b; © rér
Trang 114 we tạ PIAA) cee r ™ \r>R + (EtHjyr (22+0)xe )= ? Aysin==—=—— trong đó hệ số được xác định từ điều kiện biên như sau: c9 (2k+1)xọ OL + no 2œ H(R,p) = /(g)}—u(R.o) =3 R * Asin 0 =S(9) 2 4% a AMD = Ái =— ng J/(6)sh ag aR ° 4.6 Ta có phương trình Laplace mm u(r,0)=u(r,a)=0 ; z(R.øo)= /(0) a {ee „®()=~A*®(o) CO Xi
=%,(0)= 8, sin Ea, = nal
eon F tưng A2/,(r)=0 ) 3À, =0) ,0<r<R r T5 rR Jedre B, sin ot
Từ điều kiện biên ta có
Trang 12Chú ý rằng: Vậy nghiệm có dạng u(r, 0225 Yu ~u, ory su" niin 1a (+ = ve @ 2k+l -28 +) T ZF" sin ABP sin +1)e +)ne m qa 2K\R a hay là _ de ds
a 2c gin =P 2re a sin =e
u(r,9) = 7 arctg aretg aa
Roope Re ops
4,7, Ta giai phuong trinh:
Trang 14“eps u(b,9) = Ze, be De® pre wae Ege, mm trong đó: ro) Da 2)" sin, r>ad<g<a r Trong trường hợp ƒ(g)=ø¿, #(g)}=0: x(z,0) = fas ™ fon we ee cae _- (ey (5) eas ¡n=2k+l |’? CHUONG VII 7.1 Thật vậy ven a yr tee L1 J tl} Soa) J, “=——+>Ẻ(-W——-—— a-p ä( '>mự post = _ 2n x" “ (aye _2n " lấn: sưng TS.) Các công thức khác được chứng minh tương tự 7-2 Gợi ý: Vì pk r dalce®, ivi-e 2 saya a ax pk é a xh
= “et lồn lee 1 d= > (-1 >I Sey 5H g(x te)
Trang 15Oe (2k +1) 2m = (1 viêm Ẽ a, Jy (x)=)
„e) 23" pr(asen) xài )
Công thức cho hàm cos chứng mình tương tự
7.5 Gợi ý: Chú ý rằng, khi thay x=cos69, -!<x<l ta có các đạo ham’ riéng thay đổi như sau: 1.4, Gợiy: VỊ (ested va do đó sinx ô_ Lô, ê _ cs8 2, 1 @ ax sin 00° Gx "sin020 sin0267
Thay vào phương trình ta suy ra kết quả 7.6, Khi x =cosÐ ta có
T, (x) = T, (cos@) =5 | (cos +isinay +(cos6~ isin)" | = ole" tem |= cos nO = cos n8~C? cos”? @sin’ Ð + Suy ra: 7,(x}= x" -Ch (1 —x?}+ là đa thức bậc n
Trang 16“aig
Ma Jse)e= Ju, &)=x)- EU (œ)&
suy ra fo (a)ee=y (x)
Vay fou (2)de= 2, (2)
Đó là điều phái chứng minh b) Chứng minh công thức (2) “Theo tính chất truy hồi của hàm Bessel ta có Ji6)=1.)=+256)>926)=9f6)+2246)21/(5)<—209)- Đặt 7= E2(x)œ , SUY Ta é Is frartayace fracae Do Jf@)%= ƒÈ4G)=x2 ()-322,œ)& Suy ra tz2(5)~2 <2), 0
Trang 17+ we b) Ta có wí(p.x)= l+p Lay vi phan theo biến x ta được oy 1 xe 2 (a0) 3 28) Ta suy ra (1-2px+p")y, -py =0
7.11 Chimg minh các công thức truy hồi của đa thức Legendre
¢ Chứng minh công thức truy hồi thứ nhất:
Theo khái triển: v(a.r)= ER (xp"s
(1-2px+p*)y, -(x-p)y=0; qa) v(x)=3 9 Dao ham theo biển Ð ta được ¥,= DLA (xp0"" ml Thay n=n+l tacéd w,~Š (6+1)8 m0 (xÐ Thay vao phuong trinh (1): Yla4l)P.,(xp" —DHAws xP, (xp! +
+2 (m4l) Rae Deh (eP" + LAG" =o
Thay n+l=n vao sé hang thir 2, n+2=n vao sé hang thứ ba va n+l=n vào số
hang thứ tư ta thụ được
Trang 18“ee Als)=tR(«)=3 2 (2 tex: (2+ 1)P.,, (x)~ (2141) xP, (x) + nb, (x) =0 20, (x) 34h (2) +2, (2)=0 Vậy công thức tường minh của A(x) 1a 1 PB.()=-?-1) xê)=1=) + Chứng minh công thức truy hồi thứ hai và ba Theo bài tập 7 L0 ta có (L-2px+p?}w, -(x—p) =0 xp (L~2px+p”}w, - pự =0 x(x-p) ¬ Mặt khác y( w(p,x XAI (x „ do đó đạo hàm tự theo biến x va Ð ta được: „e0
Tờ 5 uy = Sar, (xph l= Dnt) (pr a por nal
Trang 19ot!
Như vay:
Pha (x)= P(x) — P(x):
Pi(x)— xP! (x)-nP,_,(x)=0
7.12 Tìm phuong trinh vi phan dé xac dinh P,(x)
Trang 20sau
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Abramowitz M and Stegun LS (1972), #andbook oƒ Mathematical
Functions, 10" edition, New York: Dover Publications
Arfken G (1985), Mathematical Methods for Physics, 3" edition, Academic Press
Đỗ Dinh Thanh (1996), Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục, Hà Nội
Haberman R (1987), Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice-Hall
Heckbert P (2000), Partial Differential Equations, Computer Science - Department, Carnegie Mellon University
Nguyễn Dinh Trí và Nguyễn Trọng Thái (1971), Phuong trình vật lý - toán, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội
Nguyễn Tú Uyên (1997), Phương trình toán ÿý, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội
Snieder R (1994), A Guided Tour of Mathematical Physics, Utrecht University
Trodden M (1999), Methods of Mathematical Physics, Lecture Notes,
Department of Physics, Case Western Reserve University
Trang 21MỤC LỤC Trang l0 s2 1 3 Chương I MỞ ĐÀU 5 §1 PHAN LOAI PHƯƠNG TRINH DAO HAM RIENG CAP 2 5
§2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAP 2
§3 KHÁI NIỆM CHUỖI VÀ TÍCH PHÁN FOURIER 20 §4 CÁC HỆ TỌA ĐỘ CONG TRỰC GIÁO re 30 Chương II PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
§1 KHÁI NIỆM VÈ PHƯƠNG TRÌNH SĨNG §2 PHƯƠNG TRÌNH DAO DONG CUA DAY oo 38
§3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIÊN
§4 DAO ĐỌNG XỐN CỦA MỘT THANH ĐÔNG CHÁT 48
§5 DAO ĐỘNG VOI BIEN BO NHO CUA MOT SO! CHI TREO MOT BAU
§6 PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG THUAN NHẬT §7 SONG AM TRONG CHAT KHI HOAC CHAT LONG
§8 SÓNG ĐIỆN VÀ TỪ “
§8 CHUYÊN ĐỘNG SÓNG CỦA CHÁT RĂN „T72 §10 PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỌNG CỦA MÀNG o2 77
§11 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG CHỮ NHẠT, 79 §12 DAO DONG CUA MANG TRON — 83 §13 NGHIÊM D'ALEMBERT CỦA PHƯƠNG TRÌNH H SONG 89 MOT SỐ BÀI GIẢI MẪU
BÀI TẠP — sản °
Chương III PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC 115 §1 PHƯƠNG TRÌNH TRUN NHIỆT sao 48
§2 CÁC ĐIÊU KIỆN BẠN ĐẦU VÀ ĐIÊU KIỆN BIEN
CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYÊN NHIỆT 18 §3 PHƯƠNG TRÌNH KHUÉCH TẢN co 118
336
Trang 22
_>
§4 QUA TRINH TRUYEN NHIET TRONG THANH,
PHƯƠNG TRÌNH TRUYÊN NHIỆT MỘT CHIÊU 120 §5 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIÊN CHO PHƯƠNG.TRÌNH
TRUYÊN NHIỆT TRONG THANH HỮU HẠN 123 §6 TRUYỆN NHIỆT TRONG THANH CÓ NGUÔN NHIỆT 126 §7 _ BÀI TỐN TRUYEN NHIET HON HỢP eee 129 §8 TRUYEN NHIET TRONG THANH DÀI VÔ HẠN co, 132 §9 KHAI NIEM VE HAM GREEN
§10 TRUYEN NHIET TRONG HE TOA ABO TRU §11 TRUYEN NHIET TRONG TOA BO CAU MOT SO BAI GIAI MAU BÀI TẠP Chương IV PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC §1 MỞ ĐÀU §2 LÝ THUYẾT THẺ §3 PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ
§4 HAM BIEU HOA VA CAC TINH CHAT
§5 PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG MIỄN CHỮ NHẬT §6 CONG THU TÍCH PHAN POISSON TRONG MIEN TRON MỘT SỐ BÀI GIẢI MẪU
BÀI TẠP sa
Chương V CÁC PHÉP BIẾN ĐĨI TÍCH PHÂN ˆ
§1 HAM BƯỚC HEAVISIDE VÀ HÀM DELTA DIRAC :
§2 PHÉP BIẾN ĐÔI LAPLACE 220222 210 22222211210112ee xe §3 PHÉP BIẾN ĐÓI FOURIER 0 0 0n 2t se
Chương VI HÀM GREEN
§1 KHÁI NIỆM
§2 TÌM HÀM GREEN BẰNG PHÉP BIÉN ĐÔI LAPLACE 220
Chương VII CÁC HÀM ĐẶC BIỆT §1 CAC HAM TRUC GIAO §2 CAC HE STURM-LIOUVILLE §3 HE STURM-LIOUVILLE CHO CAC HAM LU'ONG GIAC VA HAM MG 234 §4 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM BESSEL 237
Trang 23HUONG DAN VA DAP SO
Trang 24“es
Chịu trách nhiệm xuất bản -
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGO TRAN AI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYÊN QUÝ THAO
Chịu trách nhiệm nội dung -
Chủ tịch HĐQT kiêm Giám đốc Công ty CP Sách ĐH - DN
TRẦN NHẬT TÂN
Biên tập và sửa bản ín ; DO HUU PHU
Trinh bay bia :
HOANG MANH DUA Chế bản : QUANG CHÍNH
Trang 26CÔNG TY CỔ PHẦN SÁCH ĐẠI HỌC : DẠY NGHỀ HEVOBCO 25 HAN THUYỀN ~ HÀ NỘI Website ; www.hevobco.com.vn TÌM ĐỌC GIÁO TRÌNH
DÙNG CHO CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC VỀ VẬT LÝ
CỦA NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
Giáo trình cơ học Bạch Thành Công
Vật lý kỹ thuật Đặng Hùng
Vật lý siêu dẫn và ứng dụng Nguyễn Huy Sinh
Vô tuyến điện tử Ngạc Văn An
Tuyển tập các bài tập Vật lý đại cương Nguyễn Văn Hậu
(tap 1, 2} Ngô Quéc Quynh
Bạn đọc có thể tìm mua tai các Công ty Sách — Thiết bị trường học ở các
địa phương hoặc các Của hàng của Nhà xuất bản Giáo đục :
Tại Hà Nội : 25 Hàn Thuyên ; 187B Giảng Võ ; 232 Tây Sơn ; 23 Tràng Tiền
Tại Đà Nẵng : _ 15 Nguyễn Chí Thanh; 82 Nguyễn Chí Thanh Tai Thanh phố Hồ Chí Minh :_ 104 Mai Thị Lựu, Quận 1