„
2%
sẽ có từng cặp giống nhau về giá trị tuyệt đối, nhưng ngược nhau về dẫu, nên ta chỉ xét các nghiệm dương Giả sử &, ch ky =", trong đó H„.H, là hai nghiệm dương khác nhau của phương trình J, (x)= 0 Suy ra
+ xử =| x —|dx=0, ij x 7.54
Ị (43) [1,4 Jae ie] (7.54)
Thật vậy, giả sử k =t với Ò là nghiệm dương của phương trình 2,(x)=0 Trong công thức (7.54), thay & =k, cho k; —>k và coi k, như
là biến sỐ, ta có
ERI (IL) I, (RE)
+
Jot), (k,x) de = te
Khi &; >& về phải có dạng bắt định h 4p dung quy tắc L/Hopital ta có
Trang 2Ki eg
2 Tỉnh chất trực giao thứ hai của hàm Bessel
Nếu cho điều kiện:
œ7,(x)+Bx2/(x)=0, v>-lh; (7.57)
+ vi[ui jae FSB") (u) of x L 2 0œ ˆ-By 2 2,42 `1; (7.58)
Ị L 2 Bw
có ¡ là nghiệm dương của phương trình trên thì giả sử x, = , k= m, trong đó tu, là hai nghiệm dương khác nhau của phương trình (7.57),
tức là:
d,(k,1)+B&k,LJ/(k,L)= 0;
Oo, (kL) + BL J! (kL) = 0
Nhân phương trình trên với J,(k,£) va phuong trinh duéi với 2,(k,L), rồi trừ cho nhau ta thu được k.J/(k1)2, (&E)—kJ/(61)2,(,L) =0 Khi ky # hj: 1 Jo, ax) (ex )ete = L[ hl, (EI (EL) bod (KL) (hyL)] = 0 9 Trong trường hợp này, ta cũng có tính trực giao của các hàm Bessel + x x J —J —|d&=0,iz7 Js (»‡) (0.4) j
Chú ý rằng, nếu v >—1 và p>0 thì nghiệm của phương trình là thực
Gia sit k = r , trong dé p [4 nghiém cua phuong trinh (7.57), theo công
thức (7.58) ta đặt k, =k, cho k, +k và coi &; như là biến số, ta có
Jo) an HLA (0) 0) (8) elo)
Khi k, > & vé phi có dạng bất định , áp dụng quy tắc L'Hopital
taco
k z(‡) „<11£/20)=9⁄0)25(8)= 092240] q22
2k
Trang 3„+ ae Theo phương trinh Besse} 2 ‘ 1: ° (0) Lactu)e[- J) =0 ụ u Nhân phương trình trên với tử, (w) ta được ? wa) A (H+, (mA (H) = Như vậy, công thức (7.59) có dạng zÍs‡)* Hews 60) Từ phương trình (7.57), suy ra H(w)=-24,(n)- Bu Thay ngược lên trên, ta có công thức trực giao 0,027 1 wl p= |J,| w= leas x x 2 2_ - Adz =u, =H, (7 7.60 J (2) (s‡}* Bf, Bt) su) {HH mH ) 2 Bíu i=j
§6 KHAI TRIEN MOT HAM TUY Y VAO CAC HAM BESSEL Hãy tìm hệ số khai triển một hàm tuỳ ý vào chuỗi của cdc ham Bessel J, Ũ ;] trên đoạn 0< x< # trong 2 trường hợp:
a)p, (¡ =1,2, ) là nghiệm của phương trình J,(x) =0
b)n, Œ= 1,2, ) là nghiệm của phương trình œJ, (x)+ Bx/, (x)=0
Trong §5, đã chứng tỏ các hàm J, (‹ 7] trực giao và chuẩn hoá trên đoạn 0<x<L Khai triển một hàm bất kỳ vào chuỗi các hàm Bessel
Trang 4“eg
0, /#7
Poni} nạa- Foal ia 2 Nhân hai về với x/, [«,
a= TE) 5 bres Vu Ja val
] rồi lấy tích phân từ 0 đến 7 suy ra được hệ số
|
Người ta gọi khai triển này là thai triển Fourier-Bessel
Trang 5Vấn đề đặt ra là tìm giá trị của tham sẽ ^2., sao cho phương trình tổn tại
nghiệm không tầm thường trong đoạn [-HI]
Tìm nghiệm của phương trỉnh Legendre đưới đạng chuỗi y= Sax"
"=0
Thay y vào (7.62) ta nhận được:
5 n(n-1)a„x° - na” + 2Š ngự" -A ru” =0 n2 nel n=O Thay „=øz+2 vào số hạng thứ hai ta thụ được [m(n+1)~^]a, ~(m+2)(n+l)a„,, =0, hay là = tah g (7.63) (n+1)(n+2) r2 các hệ số đ, và ø, tuỳ ý
Khi ø #0, œ =0 ta có nghiệm riêng của phương trình Legentire chỉ chứa các bậc chẵn của x Khi a, =0, a, #0 taco nghiém riéng của phương trình Legendre chỉ chứa các bậc lẻ của x
Trang 6“eng Nếu vi nhân phương trình này một lần nữa theo x, sẽ tìm được z“! thỏa mãn phương trình (7.61): [a =x?) 2°") 4 (ntl) zen] = (=x? )2'" 2x2" 4 n(n tz? =0; pi) „in ạ-x) _ax# dx dx Như vậy, phương trình (7.62) có nghiệm olay dx” +Hm(n+1)z”' =0, y=Œzt'= trong dé C la hang sd, Dat C = "= , ta cổ 27m gy? 7 y=P(xy= POY (2 0,1,2 ) "nl dx” (7.67)
Day là đa thức Legendre, là nghiệm của phương trình (7.61) khi X= n(n+1) Mt vai gid tri dau tién của nghiệm là:
P,(x)=1; P(x)=x; A(x)=5(3" -1); B(x)=5 (58 3x),
Chứng mỉnh rằng, các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao va chuan hoá với nhau trong khoảng (—1,+])
Trang 7Bây giờ chuẩn hoá đa thức bằng cách xét bình phương của đa thức Legendre 1 H,= [P?@)äx 4 Sử dụng công thức tường minh của đa thức Legendre, tích phân trên có dạng Vane 2 yn pnd gyn —_ {4 Ge =D" a=)" 2”(nÐ dx” dx"
Trang 8“ea
Với tính trực giao của các đa thức Legendre, c6 thé khai triển hàm bất
kỳ vào chuỗi các đa thức Legendre /@)=Ð ah), ma trong đó a,= 2H [)()4, 2 Các tính chất của đa thức Legendre 1) TCx)=(<D P0): = _D'0n)!, = 3 =1 F()= Cbs
4) Các nghiệm của P,(x) đều thực và nằm trong khoảng (~1,+1)
3 Đa thức Legendre liên kết
Tìm trị riêng và hàm riêng của phương trình d 2\ady mì “I(=z) be) a ZỊ * Sh mp =0, -l<x<l “es (170) |y{41}] <0 Nghiệm được tìm dưới dạng »(+)=(I-x'}'v@), V(#I)z0 (7.71) Ta có „ - =(1 - 4)=50 — 2x#(x)=( _- ri(j-(I-2 ye mxV (x); (1 x) = ( _ 1⁄(x)~(I—+`}? mxV (x);
{fe} 0-2) reat oye Ered meto)
Thay vào phương trình (7.70), ta được:
Trang 9Vậy phương trình (7.70) có đạng (I=x})/7~3(mn+1)xP'+[A—m(m+1)]# =0 Mặt khác, vị phân m lần phuong trinh Legendre (7.61) ta cé ạ (-x IÊ 2x2 vay =0 dàn rẻ: Vi (ur) = Sel? vei 0 suy ra a” |t-* \ si fx vớ |; ^” ly]=ø dx” ae ax” dxj dx” amy amy m (l= Ve a ~2(m+ x oa x[A— m(m+ 1) ane So sánh (7.72) với (7.73), Suy ra Y(x)= oe 2 =n(n+1), Ta có nghiệm pe Pax) B(x) =(1- ej) CB tương ứng với trị riêng À„ =n(n+l), n=L2 #“x) là hàm Legendre liên kết cấp m, với m=0,1,2 và Py" (x)= P, (x): POO (x)#0 msn, "Bí oN (7.72) (7.73) (7.74) (7.75)
4 Tinh trực giao và chuẩn hoá của đa thức Legendre liên kết
Nhân phương trình (7.72) với (1~ x}” tạ có
(I=x'ƒ rr~2(m+1)(1=+}} x*+[á =m(n+0)](D<x}}? <0,
Trang 11Vi t (n+ m)(nem-t) (n41)= Cee! H 1 2 nt —m+ —m+2) 2=—— Hl m )(n m ) n (n- ) 2 suy ra = [P(x yr tnd -Í ` 2n+1 Vậy | 0, ken Ln, = FPP (xl (x)de={ 2 (tm)! k AE ken (7.76) ' 2n+1(n-m)! Hay công thức chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết là 2 +m)! Jef - 2 rm 2n+1(n—m)! (1.77) §8 DINH NGHIA HAM CAU 4 Ham cau
Xét phương trình Laplace được viết trong hệ tọa độ cầu
a= 52 (PSN ! Ta rôr ôr} r”sin0 ô0 @) r sin’ 0 de (7.78)
trong dé w=u(r.0.9)
Dùng phương pháp tách biến đặt
u{r,9,p}= R(r).¥ (8,0) (779) Thay (7.79) vào phương trình (7.78) ta có `
Hag) { PMC) 80.2 Or or sin® 00 gg HB), 1 OEE) œ smn^8 ốp
Trang 12E8, ` Ko Rvs |= oY vy (0 "1Ã J a (0.9) <
T(9.œ) sin8 ô0 a0 sin’ ôp
Bằng cách chọn ^ cho các biểu thức trên ta có các phương trình sau
dR 2 aR aR
Ld (2AR()\ 4 oP PRY) | Or ar)
R(r) dr dr R(r) dr R(r) dr
2
và mals sino ]» U oF tay =0, sin8 Ø8 9) sin’ 6 dy”
Ham ® thỏa mãn phương trình r}R”+2rR'~AR =0, (7.80) Nghiệm của R có dạng “ứ)= An trong đó ø thỏa mãn phương trình A = th +1) Xét bài tốn ngồi, do ø nguyên, 4, =0 suy ra R= xe Phương trình cho Ÿ có dạng
Agyl taY = ! min ino) Ị oF says 0 (7.81)
sin8 ô0 4) sin0ôo!
Hàm ÿ thỏa mãn điều kiện Y(6.)= Y(8.p+2m) (7.82) IY (0,9) <0, (m.o)| <œ Nghiệm của phương trình Laplace có dạng 1,9, u{r,9,0) - 70-9),
Người ta định nghĩa hàm câu là nghiệm của phương trình nba tt sinÐ 28 | 1_ oy, (n+1), =0
a sin’ @ ag” (7 83)
¥, (8,94 2n) = Y,(0,@) ly, ( (0,9 J<=|t,( ‘ (1,9)|<@
Phuong trinh trén còn được gọi là phương trình xác định hàm cẩu Đề giải phương trình hàm cầu, chọn
172PTTL A
Trang 13rE Km T(0.}= ©(6).(0) (7.84) Thay (7.84) vào phương trình (7.83) ta có: d ( : ae P ado sind — +n(n+1)P@ =0; sinO dO dQ) sin’?® dq 2, - ! salt + Lẻ n(n+1)<0 Psin8 đ9 497 sin 0® đọ” Chọn ido m ham ® théa man phuong trinh Ddy đ +m@â=0 (785) đ(o+2x)=đ(@) , va lod dP mì t———| sin8—— |+ +1 P=0 7.86
sin8 sinh aa |» Sint a (788)
Đặt x=cos@=> ax =—sinOd@, phương trình (7.86) được đổi sang
biến mới
_—+_ + sing” |, n(n+1)- La P=0
sinÐ đ8 đo sin’ Ô
Elles )2|fse)- le So,
Đây là phương trình xác định đa thức Legendre liên kết và đã được giải ở §7 Nghiệm của phương trình này là
P= Ri (x)=(1-x) SB m<n „ đ”P (cos0} hay P= P!”(cos6)= (sin y P=P,"'(cos®}=(sin 6) Geos)"
Với mỗi ø có n+! nghiém riêng của phương trình đó là P ph,
Trang 14sân eg P! (cos8)cosp a 7 (rng ( PẬ" (cos6)cosmp Pp ome " | trong đó m = l,2 ,n; n= 0,1,2 Theo công thức trên, ta quy ước 2ø+l hàm cầu là 1°! (cos) = P, (cos0); fi 9 (cos0) = P (cos8) cos ” ¥ (cos@) = P” (cosO)sin @ ¥" (cos) = P'"!(cosđ)cos mo Ơ"" (cos6) = P!")(cos@)sin mo ¥ (cos6) = P™ (cos 8) cos np ¥.")(cos6) = P!")(cos8)sin np
Vậy nghiệm của phương trình (7.83) có đạng
Y,(9.)= 2 (4„cos mẹ + B,,, sin mo) P!")(cos@) = ` C„Ÿ”(6,ø) : m=0
mann trong dé
{t m<0
- |» m>0
Hàm r"(6) = #,(cosÐ} không phụ thuộc vào œ được gọi là hàm đới,
Trang 15m Wo trên hình cầu, béi vi sin@ chuyển bằng không ở trên các cực, các hàm sink iif 4 { y chuyên băng không tại các đường kinh tuyến 2k coskp
Voi 2n+1 ham cầu trực giao và chuẩn hoá có thể khai triển hàm
Z(9.@) bất kỳ vào chuỗi các hàm cầu
(0.)= sy, (0,0) = sy SA, cosm@ + B„sinmp) P”'(cos6) (7.87) n=0 "=0 m=0 1¥o°(@.6)? e 1¥,°(0.9)? 1¥,'(0,6)? Ơ2'(0.0)7) 1Ơ27(0.6)7 = â â: IY69) IYi(69 [V6 - IV: 6,8) G& ere € Ref¥,"(,6)?
Ref "O97 Ref¥"0,6)P Im[¥/"0,6)P
Trang 18Xét bài toán biên trong đối với phương trình sóng
Avtkwe=0 ; vu, =f (89) (7.100) Nghiệm có dạng: v(z.0,ø)=ÖŠ Š) , Ya we ten Wes (hry) * walker) Y@.@), (7.101
trong đó: /„ là hệ số khai triển " (6,9) theo hàm cdu {¥!” (@.9)}: f
Ey Aue) a0 aon (7.102)
§9 TINH TRUC GIAO CUA HAM CAU
Xét hai hàm cầu ¥, va ¥, trên bề mặt E, với các giá trị tương ứng 2, va A, thoa man phương trình
Agi th ¥ =0; A, % + Aah, =0 ‘apt
(7.103)
sọ = sale }*s= -
sin8 66 2)” sin? ap?
, _ ay, aY, 1 ôY ôy, Ta có [Pde ao=-̓ ng An 40/0109) trong dé dQ =sinQd@do That vay
If: A, ,.%dQ ° = J: sin0 20 2 fino ot | 4 OO) si sin@d0do
Trang 19Nhu vay
J V,A,,}⁄,dQ = -l[Eemarsmar, đQ, (4Q =sin040do)
Ta có công thức Green đối với toán tử hình cầu
J= MK YAg¥ -¥Ay¥ )dQ=0, suy ra
J=(A,~^) [[ftao=0
Ÿ
ViA, #A, suy ra
Jÿras= 0= Tim 8.) Ơ,(0,Â)sin @dGdg = 0
bã
Như vậy, đã chứng minh được tính trực giao của các hảm cầu tương ứng với các trị riêng ^ khác nhau
Ở §8 đã nêu lên rằng: nếu +x=m(n+l) sẽ có 2nø+1 hàm cầu
Y,")(6,ø) Để tìm tính chuẩn hoá của các hàm cầu, xét hai hàm cầu có
chung chỉ số n 1a ¥"(0, 9) và Y“°)(6.@) Tích phân chúng ta có J F")(6,ø)rt°6,ø)aQ = Jp (0.9) ¥") (0,0) sinOd0do foo k,pcosk,pdp (1 ) Pl) (ry de H 0, k,#k, † = _2n n+R)C 2n+1{n~k)! k,=k,=kz0 ; An k, =k, =0 2n+1” Hay có thể viết gon hon: x2 [ = FD amemn 90 2m ft a1
trong đó 6¿ =2 e, =l khi &>0
Tính trực giao của hàm cầu có thể được sử dụng để khai triển một hàm bất kỳ xác định trên mặt cầu E:
264
Trang 20Sư ng, = St, cosm@ + B,,,sin mọ)Pt" " (cos®), r= n=O yi»lẺ (7.107)
trong đó các hệ số được xác định theo công thức:
T4 (8.0) pm (cos 6)cos mp sin 04640 "n _ Ï fr (8,0) p (cos@)sin mp sin 0d0do Bo =88 Nghiệm tổng quát của phương trinh Laplace có thể viết dưới dang: š[:) Y„(6.o) khir<a u(r,0,@) = „01g sat šÉ] ¥,(8,9), khir>a „=0 KP trong đỏ: ¥,(0.0)= Sa, cos mp + B,,, sin mp) P!"!(cos8) m=O §10 Vi DU VE HAM CAU Nghiệm của phương trình Laplace trong hé toa d6 cầu có đạng u(r,8,9) = x (+2 + 4, ¥,(8,0), 7.108) HO trong đó ¥,(0,p) 1a ham điều hoà cầu, nó là tổ hợp tuyến tinh cha 20 +1 ham cau :
Nếu xét bài toán rong r<a thi B,=0, con r>a thi 4,=0, cuối
cùng trong vùng ø<z<# (tức là không chứa điểm 0 và œ} thì kết quả có cả r” và rn
Bài toán: Cho hình cầu bán kính a đặt vào tâm hình cầu một hệ tọa độ cầu (r,0.p), xét 2 bài toán Dirichlet :
Au=0, r<a, ul = f(8.0); (7.109) Au=0, r>a, ul_, = f(8,0), (7.110)
Trang 21Đi
She
với f = f (0.9) la hàm đã cho trên bề mặt hình cầu có thể khai triển vào
chuỗi theo các hàm cầu:
/(9.}= Š {A,,, cosmo + B,,, sin mo} P!”” (cos®) ¡=0
Các hệ số 4,„ và 8,„ được xác định theo công thức: Ihr (8,9) P”" (cos8)cos mpsin 9404 =o he 2x ` T4 (9.) P"){cos6)sin mọsin 040đ GD 7 7 7 77777 Nghiệm của bài toán trong có dạng u(r8.0)=¥ (£) 7,(0.9) m ‘ne = (my Sứ dụng điều kiện biên r =ø và tính đến khai triển ƒ(6,œ) ta tìm được 7, (8.0)=¥, (8.0) Tương tự dối với bài tốn ngồi ta có u(n.0.0)= (2 yx ¥,(0.0), r>a n=O §11 DA THU’C HERMITE 1 Ham sinh Hàm sinh của đa thức Hermite có dạng w(p.x) =e? YH, (x (7.111) n=O Từ định lý Cauchy suy ra a'w(p.x) 2P: san
H Aa Dal, =——_ ˆÃ = alee a C=e Sai) arts 71ND) a (7.112
trong đó: C là đường cong kín trong mặt phẳng phức bao quanh điểm £ = 0
Trang 22sờ eg, Bằng cách đổi biến z = x—~É, công thức (7.112) có dạng Hœ)=CW 2ˆ lễ ma = =} ny 2ni a (z-x) 2mi as 6 day C, la duong cong kín trong mặt phẳng phức bao quanh điểm z=x Theo định lý mee 7Œ) mi ⁄ IAS) tf (2 Le) dt, -Z ail ` 2nf 4 -2) snd HN dt, /'°(z)= Be é on dc tá _ iS a| TE) 2ni dx” 1 z-x dx Từ công thức (7.113) suy ra công thức vi phân Suy ra ea’ H,(x)=(-1)' e* Sale" ‘) (7.114) Công thức (7.114) chứng tỏ rằng H, (x) là đa thức bậc ø, đồng thời H,(-x)=(-1)" 4,(x) (7.115) Từ công thức (7.1 14) ta tìm được H,(x)=1,H,(x)=2x, H,(x)=4x? -2 2 Các công thức truy hồi
Vi phan ham sinh theo p va x ta tìm được
W(p,x)=c”?”? > , - Ze re? )=2(x-p)y đ (sạc 7118)
y, —2pw=0, y,-2(x—p}y =0
Trong mỗi đồng nhất thức (7.116), đặt chuỗi (7.111) vào và đặt các hệ
số của luỹ thừa p” cừng bậc và cho các hệ số bằng 0, ta nhận được hai công thức truy hồi:
Trang 234 ee Hi (x) =2nH, , (x); (7.117) H,(x)—2xH, (x) +2, (x) =0 (7.118) Công thức (7.118) cho phép xác định dạng tường minh của các /7„ (x): A, (x) =lH, (x) =2x> H, (x)= 2xH, (x)-2H, (x) =4x°-2 H, (x) = 2xH, (x)- 4H, (x) = 8x* -12x, ~20 ` -30 AAW) Hinh 7.8 Da thc Hermite H, (x) 3 Phương trình xác định đa thức Hermite
Ta tìm phương trình thỏa mãn đa thức Hennite /7,(x) Sử dụng công thức (7.117) và (7.118) ta có: H,.) ~2xH, +H! =0; Hy —2xH,, —2H, +H, =0; H" ~2xH' +2nH, =0 df _¢ dH, Sy et tn dx
Như vậy đa thức Hermite (7.119) là một hàm riêng tương ứng với trị riêng À = 2n của bài toán Sturm-Liouvilie: Tìm trị riêng ^ với trị riêng này phương trình Hermite
= Ix }v2ne*H, <0 (7.119)
(ery) the“ y=0 (7.120)
có nghiệm không tâm thường và tăng không nhanh hơn so với bậc hữu hạn của x
Bài toán được giải nếu tìm nghiệm dưới dạng
Trang 24_ 25 x :#z— “an 7.121 3 3= > yy (n+2)(ma) © ( ) Từ công thức trên, rõ rằng khi 2= 2ø tất cả các hệ số a, =0, khi k>m chuỗi sẽ bị ngắt trở thành đa thức
4 Chuẩn hoá đa thức 77, (x)
Ta hãy chứng minh các đa thức Hermite trực giao với nhau với trọng số e* trên khoảng —œ < x< œ và nó có cơng thức chuẩn hố là
|H|= V2 múa (7.122)
Xét biểu thức
v= fis XV, (x)e “de =(-1 y.[m.0) le lar
Ap dung công thức tính tích phân từng phản ta có 2m [Hale le “Yax- a di về Loy = (AY Hy (2) 2 ale } Ly, =(-1)"'2n m fit (x) gà w= (<1) "2% m mm f(s leo" Je Do 77,(x)=1 nên 1y =(S1} "2" mỊ- gi {e “\ ae 1, =2"n! fe Vde=2ntvaalitP oman > Í H„(x)H, (x)e -| 0, men nin, man 5 Ham Hermite
Trong các ứng dụng, ta thường s sử dung ham Hermite:
wals)=h (xe? A(x)= ie Hol) a
Trang 25tạo nên một hệ hàm trực giao và chuẩn hoá với trọng số p(x}=l trong khoảng -œ< x< œ: - T»46)x.6)e=| Phương trình này bằng 0 khí x —> + và thỏa mãn phương trình W7 +(A-x”)U,=0, A=2n+1 Omen lL m=n
6 Bài toán ứng dụng dao động tử điều hoà
Tim trị riêng và hàm riêng trong trường hợp thế dao động tử
(x)= Smet, (7.123)
Dua vào ký hiệu
Trang 26“eg,
: 5 22 + se ch pam ate ba «ag
Khi j - 00 tacé a,,, =——a,, tuong ứng với số mũ của hàm khai triển i
1
e``', Như vậy nghiệm z(x)=e bà v(x) khéng thể được chuẩn hoá nếu chuỗi v(x) = Sài không chuyển thành chuỗi cố số hạng hữu hạn Đặt ;=0 K? =)(2n+1), nhu vay _2mE | 4 = mo e ; n h a mE wR (2+ 1) —> B= hol n+ n=0,1,2 2
Trang 27K lô W(p.xz)=},L,(x)p”, 1(x)=—— (ZL Led (7.131) Sử dụng định lý Cauchy ta tìm được 1 rẺ(6x) L(@)=.- PS” at l= 55 Foca đó (7.132) 7.132
trong đó C là đường cong kín bao quanh điểm 5 =0 Dưa vào biến mới: ö =1 -Š= đ= x4 i Ze 3 = L(x)=et>= |[—“ Cứ, 2m, By (7.133) trong đó C¡ là đường cong kín bao quanh điểm z = x, từ (7.133) ta có: 1,(x)=te 2 x (x"e") (7.134) (Sao Vì
Trang 28ty Công thức (7.137) thiết lập mối liên hệ giữa cac da thie L,,,, L,, L,., và cho phép xác định các ¿„ Đưa vào một hệ thức truy hỏi tiếp theo: x1z+(n+1—x)1„T~(n+1)1, Thật vậy từ (7.137) suy ra (n+2)1„T~(2n+3—x) 1u +(n+1)1„, =0 ‘nel =0 (7.139) m4 Đạo hàm hai về của phương trình trên ta được (n+ 2)L),.-(2043-x) Li, +L, t(n+1) b =0 (7.140) Từ (7.138) suy ra Lie Thay vao (7.140) ta duge (94 2)(Li yy — Ly) (2n+3~-x)(L - 2, )42,,, + (nt nl Li =0 = xl} +(nt1—x)L,-(nt1)Z,,, =0 BL Wk ‘nel? Sa = 1 =1—L in 3 Phương trình Laguerre Vi phan (7.139) theo x taco xLi+(n+2—x)Li-L,—(n+1)L),, =0 Thay L/,,=2)—L, vao phuong trinh trén ta được xLf+(l-x)L, +n, =0, hay la Sse Gene, =0 (7.141)
Phương trình (7.141) duge goi là phương trình Laguerre
Nhu vay, Z,(x) là hàm riêng tương ứng với trị riêng A=ø của bài toán: Tìm trị riêng ^ của phương trình
(xe /Ÿ +tAe'y=00<x<e (7.142) để phương trình có nghiệm không tầm thường Nghiệm hữu hạn khi x=0 va tang khi x > ôâ khụng nhanh hn bậc hữu hạn của x
Phương trình (7.141) có thê nhận được nêu vi phân n+2 lần hàm z=+”e "` và sử dụng công thức L, (x) = Fo 2 (xe)
ne ax”
18-PTTL A
Trang 29Pe 4 Tính trực giao và chuẩn hoá của đa thức ngang Pu Xét: Jan = | 1„(x)1 L,(x)e*de = — lt im 0 Đặt dl, a" nx dt UsL,(x)> dU = = as dV = (x"e jae oy =a e*} lo a™,, “| -2 Ly dl, ad"; , = San = ig Gat (3% ) —— Ta am « )& „1 rả"1, án" -CW Tan am (x"e" Jae, Sau đó lại đặt ” mai mm m1
_5 5, đụ ay =4 bo decay = 4 ={x ” ede v= (ver)
a” an ax” ax” wl an ae ¢ !) mỊ "m ge Jax =0 db am Lô cà, vì al =| bale) be am (x* lịe Trong trường hợp z =ø a, =(-1)’ vay, = VIE )' x'e'de = Tn+I)_ 1 =|, (7.143) dx ta nt Như vậy đa thức l.aguerre tric giao voi nhau véi trong sé e* * 0, msn L, TL “dx = - 7.144 Ï*.6)1,0) 5xx nh 0.149)
5 Đa thức Laguerre suy rộng
Khi nghiên cứu chuyển động của điện tử trong trường Coulomb, bên
cạnh đa thức Laguerre !,(x) ta còn gặp đa thức Laguerre suy rộng /7(x)
Xét hàm sinh
Trang 30sa“
Khai triển (7.145) vào chuỗi theo bậc của p:
¥ (x)= E(x)p" ; B= Tae (es) (7.146) Ip=0 Lặp lại cách làm như trường hợp đa thức Laguerre, ta được L(x) = rail _ = ves! cành từ đó suy ra Đ)= xe (me), (7.147) tire 1a L(x) la một đa thức cấp ø, đặc biệt Œ@)=t L(x)=l+s-x Khi đưa vào hàm z= x”"'e”
được phương trình và vì phân nó m+2 lần theo z ta tìm az mẻ xu +(xt+1-s)u'+(n+1)u=0, us dx Tinh đạo hàm của E(x)= cu và tính đến phương trình đối với H: +, ta nhận được phương trình x(E,) =(~s~U)(#,Ÿ +nt,=0 (7.148)
thỏa mãn đa thức suy rộng /;(x) Thấy rằng đa thức Laguerre suy rộng 12(x) là hàm riêng tương ứng với trị riêng
À„=n+ sal 2
của bài toán: Tìm giá trị A dé phương trình
or (srteayye[a- Shy <0,
hay la ery) axte(a—St!), 20 2 y (7.149)
có nghiệm không tầm thường trong khoảng 0< x <œ, nghiệm hữu hạn khi x= 0 và tăng khi x —> không nhanh hơn bậc hữu hạn của x
Trang 31sat Đa thức (7.147) trực giao nhau với trọng số ex": - 0, men (s > ~-1) Ỉ 1@)1⁄.(x)# ”x'ák = P(n+stl) a — m=n ne Ta dua vào hàm wh (x)=x8e (x), là nghiệm của phương trình ' x s ' À-—-—|ự=0 (xự') 4 P a Tương ứng với trị riêng , Int À„=n+ Từ công thức (7.147) rõ ràng là B(x) = L(x), với À„ bằng n+1/2 §13 CÁC HÀM TRỰC GIAO ĐẶC BIỆT
Trong tiết này, chúng tôi sẽ liệt kê một số các hàm trực giao trên cơ sở các hàm đặc biệt được dùng rất nhiều trong các ngành khoa học vật lý và
Trang 32“age
Các hàm trên duge goi 14 da thite Legendre lin két, P,(x),Q,(x) la
céc da thire Legendre loai I va loại II Các nghiệm trên chỉ xác định trong khoảng -1<x <1 Tính trực giao: (PPE) = ID, ) Ph (x) de = IPs, - (7.152) Binh phuong chuan: - : — 2 (m+k) IP #.1)= 2n+l(n—k)!” 0159 Một vài hàm chọn lọc: Pi(xjevi-e, Pi(x)=3xvi—e, P2(x)=3(I- x), #(s)=2(S° ~I) 1x8, P2(x)=15x(1~z”), P2 (x) =15(1—x }”, S22 HT l5 ¿ av
Pe(x)=3(78 3x) PQ) = (78° -1)(I-X), P3(x)=105x(I-x")’
Công thức truy hồi: 2Ôn+1)x Pre (x)= Phép bién ddi x =cos@ dua phuong trinh (7.150) vé dang 1 đ mì 8! sing ® 1 =0 7.154 sind sels aa} ners - aap (7154) #0 )s[nr1)= mm 1) G)=0
Trang 34Sa» eg, Công thức truy hồi: (#+1)£,.4(*)- (204 1-x)L, (x) +b, (x) =0 4 Da thức Laguerre liên kết 77 (x) Phương trình xác định đa thức Laguerre liên kết có dang viv dx +(m+1< 3)“ +my=0 0<x<ø, (7.164) Nghiệm của đa thức Laguerre liên kết là: cn Ef name y= En(x)=1 x e —~ữ ev), (7.165) Tính trực giao: (1, 1⁄)=[x eT (x) IE (x )&=|# Ï2 " (7.166) o Bình phương chuẩn: |z{ =(4.)=~ Tenn) m>-l (7.167) Một vài hàm chọn lọc: 2 1 1 2 ñ()=3(6~6x+x°); B(x) =< (24-36x 4122-2"); ; 1 2 › 1 S(x)=3(12-8x+z°); E(x) =; (60-64 +1527 —x°}; 3 (x) = £(120-90x +183" —2°) Công thức truy hồi: (n+1) 27, (x *)+(x~m~2n~1)/{x }+ (n+m)1{x x)=0 5 Da thire Chebyshev loai I 7,(x)
Phuong trình xác định đa thức Chebyshev loại I có dang
(I-z 2 ay _ Txt ays 0 -l<x<l, (7.168) Nghiệm của đa thức Chebyshev loại I:
y=T,(x)=cos(narccos x) (7.169)
Trang 35cS Tinh truc giao: (7,.7,)= er Ao) oI PS, Jinx 7„(x) Wr 8, > (7.170) Bình phương chuẩn (7.171) Tx) TỤ@) — Thx) Hình 7.9 Đa thức Chebyshev loại l Một vài hàm chọn lọc: Tạ =]; T, =2x° -1; Tax T, = 4x" —3x Công thức truy hồi: Ty (x)~ 2x1, (x)+ Ta (x) =0 6 Đa thức Chebyshev loại II U, (x)