Sa sa eee, 125 oe (x) )sin “dc ale ala 3m 6 2x =— [rt x)eos Tát, 9 a Chú ý đến công thức Euler: = cos nx +isin nx, cé thé khai trién ham f(x) dudi dang f(x)=a,+ Sứ, sin nx +b, cosnx)= Y(ce" +cue ) = Š c„£”", (5.12) wot m0 renee trong đó: c„ = _ C, = on hi Cy = Ay hoặc a, =c„+€ „; b, =i(c,+€_„) Nhu vay, ham f(x) khí khai triển có dạng = Š ce (5.13) Chú IU ran, È mày x = „H0 „ SHY Suy F: ra ý ràng 0 n=‡l42., Cụ = = [rejemar, (5.14) Ham f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2Z, đo đó tích phân (5.14) có thể viết 1”? “im 1% cme
¢, = ad Ire &= 3g Lee dx
Ap dụng cách khai triển trên, xét bộ hàm {100s a sin | hay
tương ứng với nó xét hàm te =| tuần hoàn với chu kỳ 2x xác định trong
khoảng từ [—F,Z] Xét hàm f (x) xác định trong khoảng trên và khai triển
nó vào bộ hàm riêng trong khoang [-L,L]:
mực
fix)= Sige! , (5.15)
ne
Trang 2ms (21, n=O Chú ý, vi fet de= ” 0, n=+l,12 , + suy ra omg eazy [4 Ire) E)e F & Thay hệ số vào (5.15) ta có fix= Sự “27 [roe io a Chia trục số theo các diém 2, = với cac doan AA, = — b-bd =, T mn 2n 3 £L Lo: t ` "OL " + LoL Nhu ve ham f(x) được viết inm(x-§) 70) ed oe t d&= ye — me ee (5.16)
Chuyển sang giới hạn khi # —> e, AA, > 7 ta có
«GAR, * aden 1 Trey tet
Fad= fim, St [1 Oe dg = 5 Jan Jr Ge dé (5.17)
Như vậy, bằng phép thác màn £ ra vô hạn về hai phía ta có
Trang 3tuy eg, Hoặc viết dưới dạng đối xứng: 700= TC [76)e %4 1 TY fŒ)=-—— [ƒ()e*>4A z J7
Khi đó /` được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm f Sau đây sẽ đề
cập đến cách làm để nhận được hàm thực của phép biến đổi Fourier của hàm ƒ Nếu hàm /` là thực thì - 1l Tat salve) 76)=z- Já |7) dé = x Jor [re eosr(e-e)de + fan f £(e)sina(x—e)ae ~ 2n [2A [27)esAtx-)d
= an hah | f (E)cos r€dé ta lấn tan | /#(6)sinAS4E
Trang 4Cha y rang: F? = J, 1a phép biến đối đồng nhất
Người ta gọi phép biến đổi Fourier la: Thuận ` 2 2 1 4 naa F:[1 dix 1] 9 /O7W= = [7 Be SE, r {20);1—>x]—##£©s 7); /(x)= va fi La (e™ da; FL f(x) ] = FOF "| FO)]= £@) Nêu gọi P là phép toán tử phản xạ P:/(x)>/(->) có thể khẳng định #' = PE, Vi du: Ching ta da dinh nghia ham Delta Dirac: (x) =0, x #0; JsGœ)& =1; 170)8Œ-y)#w= 70) Biêu điễn tích phân của hàm Delta : 1 ỮT „ äŒ)= an Je dy
Một cách tổng quát có thể định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm ƒ(x):
#Œ)= x le f(E)eO Mae =[thayd = 3,8 =2'] 8 2 epee TT iy = 55 J# [76 de ax TƯ s0)”, 8 1 % , trong đó sđồ g(3)= = i == | f(x ed’
Như vậy, phép biến đổi Fourier 1a phép biến đổi:
F:/G)—”“h>g(y)= Jax [i eras FL FQ] =a(y);
Fay) 29 F(a) ee faves F'Lao)]= £00)
Trang 5Sử eg, Trong trường hợp nhiều chiều, tả có: 9(#)= Í45 (£)exp(-iE} /#()= Ite it š(8)= [4Š sp(iŒ} Í2/(#)8(£—z)=/(0)- (2x)
Các cơng thức trên rất cần thiết để biểu diễn không gian và xung lượng trong cơ lượng tử
Tóm tắt các tính chất của phép biến đôi Fourier: Hàm gúc Hàm ảnh fs) = [Fear AM=5- [7 Oe đề t3— | T2 nat I us ek aa é V4na Gaussian fie “ er _ # a at a à of 47 Dao hi ao ham = a -if (0 i /( ) Ø7 ~ (ca 0) — mw À Lee, nt 2 a z J70)ax-z)# | FREE) Loy
Ham Delta Dirac 8(x-x,) me
Trang 6Chương VI
HÀM GREEN
§1 KHÁI NIỆM
Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi phân cấp 2 có dạng đồng nhất với hàm Green Mọi toán tử vi phân cấp 2 có đạng ad ad L(y) = ay(x) a +) (x) xa (x9, 6.) Các toán tử liên hợp đồng dạng với nó là: : a d t)= sale (x)y]-=-[a (x)y]+a,(x)y + a ; qd :
SL (v) =a (x) 2 +[2(x)~a (x)] FB +a, (x)y (6.2) Cho hai ham u(x) va v(x) 1a hai ham lién tue tuy y cùng với đạo hàm
cap 1 va cấp 2 của nó Dùng hai toán tử (6.1) và (6.2) để xác định đồng nhất
thức Lagrange của hai hàm z{x) và v{x} như sau
vi, (w)~ l2 (9) = <i P(r], (6.3)
trong đó: P(w.v) = |» (jt +a, (yu) †» G)Ẽ +a, (on (6.4) được gọi là hằm song tuyến
Đông nhất thức Lagrange của hai hàm kha vi #(x) và v(x) được xác định trên miễn 7 = {x|a< x <b} Tích phân đồng nhất thức (6.3) ta có đồng
nhất thức các hàm Green
j [vE,(u)- al, (v)}de=[P(ur)), (6.5)
a
trong đó
[Pry] = [4 (b)u'(6) +4, (6)u(b) |v(6)-[a, ()x(®) +4;(b)v(b) ]a(B) _ -[a (a)u'(a) +a, (a)u(a)|»(a) -[a, (2)y(a)+ a (a)v(a) Ju(a)
Trang 7“09: Định nghĩa tích hàm của đồng nhất thức Green: b (v.Z,(u)) = pve, (u)dx (6.6) Tích phân từng phần tích hàm thụ được (9.2, (#))= (22 (»)}+ các hạng thức trên biên
Sử dụng đồng nhật thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên ở hai điểm như sau is (»)=F(%); B(y)= 81: By(y)= 2), trong đó: ZL, là toán tử tuyến tính cho bởi (6.1); 8.8, la cdc hang sé va (6.7) B,.B, la cde toan tir bién tuyến tinh dang Robin: A2)=|0 2) spo) 5 “ (6.8) rors ):B,y( ) Ví dụ dùng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet L(y} = f(x); (6.9) B(y)=¥(a)=0, B(y)=¥()=0 (6.10)
Dé giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (6.1) và (6.2) thành biến mới É và viết đồng nhất thức Green theo biến mới
[be x(£)2(9)]4£=[P(»()3»(9)]Ï- — 64D
Trong phương trình (6.11), biến £ được dùng như một biến giả của
phép lấy tích phân và vì thể các toán tử 7, và /; là toán tử đạo hàm đối với š
Để giải phương trình (6.9) với điều kiện (6.10), đặt „(§)=y($) là
Trang 8[P(vr) | =[at0)y va’ )x⁄()]y(ð)~[a(ð)v( vn )»#)]»@)-
-[a,(a)x'(a) a}+a(a)» (a) |r(a) -[a,(@) (a)v (a)+a,(a)v (a) ] (a) (6.13)
Chon *(š) =G (Ex) là hàm Green thỏa mãn điều kiện
12(G(6x)}=ð(x-š), a<É<b, (6.14)
nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong L (đạo hàm theo biến &),
õ(x—§) là ham Delta Dirac có tính chất are J v(6)8(E-x) ae = p(x) (6.15) gece Thay v(£)=G' (Ex) vao déng nhat thire Green (6.12), rút gọn thành Í@'Œ:x)7(5)45- x(x)= P(y(ð).Ø (bix))— P(v(@)2@ (6x) (16)
Nghiệm y(x) trong bài toán (6.9) có thể thu được bằng kết quả của tích phân (6.16) Chúng ta sẽ nghiên cửu kỹ hơn tích phân (6.16) Hàm ƒ($) đã cho từ phương trình (6.9), hàm G”(§:x) thu được từ việc giải phương trình
(6.14) có dạng 7; (G°(š;x)}= ð(x—š) Theo điều kiện (6.10) ta có
P[y(4).0 (£:x) J, =[a, (4) y ()|¢ (8; x)}- [a, (a) a)y '(a)]G (a x) BIG ]=G' (Gx), =0, B[G]=6' (ax <9 (6.17) Điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên liên hợp Từ đó ta có nghiệm của (6.16) là y{(x)= fo x)/@)a (6.18)
trong đó Œ”(§;x) là hàm Green thỏa mãn phương trình
E(G (E:x))=8(x-8), a<E<b, với các điều kiện biên
B [ơ ]=ơ (ax)=0 81G ]=G (b;x) =0 (6.19)
Như vậy, để tìm nghiệm của phương trình (6.9), ta đi tìm hàm Green
Œ (§:x) Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới, được gọi là phương
phdp ham Green 218
Trang 9Tết
Nhằm mục đích xây dựng phương pháp hàm Green, tạ đưa ra hai hàm
Green Œ và hàm Green liên kết Œ` thỏa mãn các toán tử 7, và /j cho bởi
phương trình (6.20) và (6.21) sau:
L.G(x;8) =8(x-€), asxsh; (6.20)
tơ (x:š)=ô(x-š) asx<b, (6.21)
với các điều kiện biên:
BG |=G'(ax)=0, BG ]=C (b:x)=0
Trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x Các toán tử
(1,,B,.B,) có dạng liên hợp của nó là (/;,B;,B;), điều kiện biên liên hợp > được chọn là »(GG’) =0 Ham Green cho boi phương trình (6.20) và (6.21) thỏa mãn quan hệ đối xứng ` đ (x;§)=ư(x) (6.22)
Để chứng minh tính đổi xứng trên, nhân phương trình (6.20) với
đ`(x;/) và sau đó thay biễn š trong phương trình (6.21) bằng biến ¿, rồi
nhân phương trình (6.21) với Œ`(x;š) ta thu được: G(x3t) £,G(x;6) = 8(x-&); GORE) LG’ (x51) = 8(x-2) - Trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ ø đến b ta thụ được đồng nhất thức Green Pag] = i (st) £,(G(258))-G(8)L(G (s9)]= (6.23) ; = I.E (a) 8(x-8)-6(n8)8(x-] = 6 (EN-—G' (ne) =0 (6.24)
Tu dé suy ra (6.22) va goi la tink chất đối ximg cua ham Green
Như vậy nghiệm của bài toán Dirichlet (6.18) cé dang
y(x) = i (Ex) ƒ ()4 = J6) (x)œ (6.25)
Trang 10§2 TIM HAM GREEN
BANG PHEP BIEN BOI LAPLACE 1 Bai toan 1 Dùng phép biến đổi Laplace tim ham Green cho toán tử L{y)= asx<b y(a) = (6) =0 Ham Green gắn liền với toán tử vi phân đã cho thu được từ nghiệm của phương trình vi phân (6.26) dG — =8(x-&), asx<b oo = 5(x-6) G(a)=G(b)=0
Có thể coi phương trình vi phân (6.27) xác định trong khoảng 0<x<œ, tuy nhiên chỉ quan tâm đến khoảng z<x<ð Đặt là phép biên đôi Laplace (6.27) Lich = foeas = G(s) Thực hiện phép bién déi Laplace cho hai về phương trình (6.27) ta thu được -{G1=#Đ(x-6)} â s -sG(0)=S, (6.28) Chn các đại lượng chưa biết G(0)= 4, G'(0)=B, giai phương trinh (6.28) cho ta ent G&s)o 44484 sos $ ry:
Lẫy phép biến déi Laplace ngược ta thu được
G=G(x;š)= A+ Bx+(x—E)H(x-§), (6.29)
H(x-&) là hàm bước đơn vi Heaviside; A và B là các hằng số tùy ý
Phương trình (6.29) cho thay: néu a<x <€ thi H(x-§) =0, do đó
Trang 11sếp: Giải phương trình (6.30) và (6.31) thu được các hệ số: A ~ (5-9), pels (a -b) a-b Vay, ham Green cé dang (-)(x~4) G=G(x;š}=————.—~+(x-§)H(x-š) (9= gals) 2 Bài toán 2 Dùng phép biến đổi Laplace tìm hàm Green cho toán tử dG +3 ¿2Œ =ã(x~£), OSxSL, & dx thỏa mãn điều kiện G(a)=G(L)=0 L(G)= Bằng phép biến đối Laplace ta tìm được nghiệm có dạng -U-É} Hoặc có thể biểu diễn đưới đạng gọn hơn - G6s9=e°n | le-e )x<š e-1 ‡e¿| e° Ì
G, (x:6) =e" | —— l[e'T=e*], ;(x6) [sa = š<x
Xét hàm Green liên kết thỏa mãn phương trình spy _@G dG" L(G )= -3-=-+2G" =8(x-£), O<x<L ( ) dx dx * ứ 9 * G'(a)=G"(L)=0 Dùng phép biến đổi Laplace có thể tìm được nghiệm của (6.36): (xi) — 3-4) e -e ev -e (6.32) (6.33) lle — 2) (e 9 2) H (x8) (6.34) (6.35) (6.36) =“ "x“- nh nh
Hoặc có thể biểu điễn dưới dang gon hon
Gi(s6)=£ eat ene xe
“ok er
G=G (x;š)=
Trang 12ott
Nhận thấy: Nếu tráo hai biến x va & wong biéu thitc (6.35) ta cé G, dung bing G} va G, ding bang G/ Như vậy, có thể viết G(x;š) = G' (6x) Đó là tính đối xứng của hàm Green
Giải phương trình sau với dụng ý đổi biến lấy đạo hàm
1(G(:x)}= đc 1352 +86 =ð(E—x), Ost
G(0:x) = G(L;x) =0
ta thu được phương trình
| °
# Sat ene } x<&
Vậy Œ(§:x)=Œ (x:š) Tương tự, phương trình xác định hàm Green liên kết có đạng: Ola) = nó có nghiệm ơ (x:š) = af e ml ee le» ) x<& Do đó: Œ'(š:x}= G(x:€) Tổng hợp lai ta thấy rằng:
Trang 13“tp,
Vì vậy, người ta có thể xét phương trinh £,(G)=8(x-&) hoặc
1,(G) =ð(š§-x) đề xác định hàm G(x:8)
Nghiém cua phuong trinh L.G(x.6)=8(x-8), asx <h cho truc tiép tìm hàm Green Œ(x:š) Còn nghiệm của phương trình £.G" (x5) = Š(x—§)
a<xsb xác định hàm Green liên hợp Hoặc cũng có thể giải thích là:
G(x;Š) thỏa mãn phương trình /G(x;Š}=ð(x~$), œ<x<b theo biến
*, và cũng thỏa mãn phương trình xác định hàm Green liên hợp
TG(x:š)=ð(š—x).œ<š<b nhưng theo biến š Cũng có thể dùng hai phương trình: IA lA =8(x-&) asx<b, a SES £ ồ ae — II mH we 4 " để tính hàm Green G(x)
Trong truéng hop Z, Ja toán từ vi phân tuyến tính cấp 2 tự liên hợp ta
có 1, = 1„, vì thế G(x;š) = GÌ (x:š) Trong trường hợp nay, ham Green đối xứng theo š và x Vì đ '(<š)=G(6;x) nên suy ra G(x;š)=G(§;x)
Tiếp theo dùng trường hợp riêng để viết dưới dạng tự liên hợp cho các phương trình tuyên tính cấp 2
Xét toán tử vi phân tuyến tính cấp 2 tự liên hop L, = 7} Mọi phương trình vi phân tuyên tính cấp 2:
L(y) = a(x) 23 +4 (4 +a, (x)y, a, (x) #0
có thể viết dưới dạng tự liên hợp
#J»]= Er) 2) 4(x)y=0
Trang 14at
Chương VII
CAC HAM DAC BIET
§1 CAC HAM TRUC GIAO
1 Dinh nghĩa hàm trực giao
Xét tích của hai vector khác không và thực hiện toán tử là phép lấy tích vô hướng của hai vector đó: A=Ai+A jt 4k, B=Bi+Bj+BK Ta có thê hiểu như sau: Ä ——~| Tốn từ tích vơ hướng | Ä Bị: 8—> (A.B) [ TIA.B)P AiBi + AB; + AaB; 0— A trực giao với B Xét toán tử cặp của hai hàm thực khác không một biến /(x),ø(x): b f(x) —> Toản tử tích hàm (hay= ÿFevtesseoe ta) '$ a _0 = f(x) trực giao với góc
Trang 152
Công thức trên nói lên tính hữu hạn của hàm ƒ Tương tự với tích vô
hướng cua hai vector ta néi rang f(x).g(x) trực giao nhau trên đoạn (a.b) với trọng số r(x) nếu tich ham của chúng bằng không Tích hàm
bằng không có nghĩa là diện tích bị bao bởi đường cong y =z(x)/ (x)g(x)
trên đoạn x =ø, x=đ băng khơng
Một tập hợp hoặc một chuỗi các hàm
AO) A (2) Om fale}
được gọi là đrực giao trên đoạn (a,b) voi diéu kién ham trọng số r(x)>0,
nếu cho mọi giá trị nguyên của w và m (n#m) thi tich ham cua hàm /,
và f, thỏa mãn điều kiện
(2./2)= [*G)/2(x)2,(x)=0, MEN (7.49#
Ở đây tích hàm bằng không cho tất cả các giá trị tổ hop cua m va n
với nzm Nếu chuỗi của các hàm (9) n=0,1,2 là một chuỗi trực
giao có thế viết biểu thức tích hàm cho các cặp số nguyên m và ø thỏa mãn môi quan hệ > 0, men Fall Sinn = 2 (7.5) | man (arn) = ZJ chuỗi hàm Í ƒ (x ì được cho là ruc giao nhau trên đoạn (a,b} Nhận xét aX }y răng nếu chuỗi Íø (x)} 8 ớ trực giao thì có thể xây dựng một chuỗi hàm trực 5 y iB giao mới {h(x x} được định nghĩa là f, (x EO 1
g„(
Vi du I: Tập hợp các hàm trực giao {sin mm voi n=1,2,3, 1a tap
hợp các hàm trực giao trên đoạn (0.7) với ham trọng số r(x) =1
Giải, Thật vậy, theo định nghĩa tích hàm
+
,_ PIT(X | ATX VHTX AMX
sin———, sin sin— —sin =
L EL} 3 L
15-PTTL A
Trang 16(m~n (mn)nx L sin —Ì———————-—-———] =0, mxzn + 2(m~n) 2(m+n) Bình phương chuẩn hoá cho mỗi hàm được cho bởi 2 MTX 1 2mmx f2 /„)= |2 in” 7 * = [1-cos 52 (or) = in a feo ứ 1 2 4mn + } 2 Kết quả này được viết trong ký hiệu tích hàm như sau L 0, men ~ MATIX ATX sin —~, sin —— |= 8, = 76 [s + =| 2" 7 m=n (76)
Chú ý rằng, chuỗi NT] cũng là một chuỗi trực giao
Ví đụ 2- Cho n=1,2,3, đối với tập hợp các hàm ta») là một
tập hợp các hàm trực giao trong khoảng (0,1) với hàm trọng s6 r(x)=1
Trang 17"se 26, Kết quả này có thể được chuẩn hoá bằng cách dùng ký hiệu tích hàm 0, mn cos cos = + m=n#0 (7.7) L L 2 L, m=n=0
Tập hợp các hàm trực giao được viết |heos | đối với n =1,2,3, rõ hơn là dạng được viết em) đối với m=0,1,2,3, bởi vì chúng ta muốn nhắn mạnh rằng trường hợp n=0 có dạng chuẩn bình phương khác
Tích hàm gắn với các hàm thực liên tục t (x),g(x) va tap hợp các hàm thực {h (x)} và {g,(x)} thỏa mãn các tính chất: Đ(/.ø)=(.} 2)(/,#)=e(g /): (/.cg)= c(ø.f) e= const; - 3(0+:8)=(f:8)3(x8): (f8 +#;)=(/.8)+(.8,); (78) paz «=X Stn) `) Ÿ.ø,) IZ|=0 nếu và chỉ nếu ý =0
2 Quá trình trực giao hoá Gram-Schmidt
Một tổ hợp tuyến tính của một tập hợp các hàm { //(x), /2(x) ⁄„(x)} được viết:
e/(x)+e,2(x)+ +e,/2(x),
trong đó c,,e;, c„ là các hằng số tùy ý
Nếu các hằng số không bằng không, trong đó có thể tìm thấy một số tổ
hợp tuyến tính của hàm {4,0} bằng không thì tập hợp các hảm nay la phu
thuộc tuyên tính Ngược lại nêu chỉ một tổ hợp tuyến tính bằng không với
mọi x khi đó e =ec, = „=0, ta nói rằng tập hợp các hàm {f, (x)
Trang 18lap tuyén tinh Đề chứng tỏ điều đó, giả sử có số hữu hạn ø tổ hợp tuyến tính của chúng băng không:
CAs) +o (x)+ +6,f,(x)=0
Nhân cả hai về của phương trình này với hàm r(x) f,(x) trong dé k là số cố định và ] < £< ø sau đó thực hiện phép lấy tích phân đối với các
hàm trực giao, ta có
(0.95) (6.)+3 +e(- %)+ +e()=09 (7.9)
Xét mỗi tích hàm của phương trình (7.9) và chỉ chú ý đến hạng thức khác không ở về trái của phương trình này Đó là hạng thức thứ & với tích
hàm khác không e,(/;./,)= ||, |” Phương trình (7.9) rút gọn thành
€|l2|Ÿ =0, suy ra c, =0 Từ đồ cho & =1.2, ta có thể chỉ ra tất cả các
e, là bằng không, Chứng tỏ tập hợp trên là độc lập tuyến tính
Một tập hợp trực giao các hàm {s.@)) có thế được xây dựng từ một
tập hợp các hàm độc lập tuyến tính không trực giao , (x)} Diéu nay duge thực hiện băng cách định nghĩa các hàm
#(*)=.6()¡ #(x)= ñ(x)— #6),
trong đó: cụ, được chọn để tích ham (g,.g,) bằng không
Hàm tiếp theo được đặt
82(2)= AC) e808) G8 (2)
trong dé: c,,.¢,, durge chon dé tích các ham (¥,.2,),(g,.83) bang khéng
Ham tiép theo duge dat #(z)= SÁ)— 6a (*)~cgi (x)— ca (x), trong đó: cạ,c„;vàc„ được chọn để các tích hàm (#,.g;).(#,-#;} và (ø;.g,) bằng không Tiếp tục cách làm như thế cho hàm thứ ø ta có &,()= //(5)=Š 4, (3): td
Mỗi một hằng SỐ tròng các hằng số đụ VỚI k=0,1,2, ,m~1 được chọn
để cho tích hàm (8„.#,„)=0.m=0.1/2, —1 Quá trình này mang tên là
quá trình trực giao Gram-Schmidt Bằng cách xét hạng thức tổng quát ta có thê đòi hỏi tích hàm tổng quát bằng không hoặc
228
oo
Trang 193⁄9 8B: tụ Nà © s („.£,)= [x lạ (Deus (3) =0; ma] (8„-8,)= (#„„ /2}— em (#„ #,) =0
Bây giờ xét hạng thức dưới dấu tổng và chỉ chú ý đến hạng thức khác không, còn lại trong tông này khi & = m:, kết quả là
(4„.8,)= (8, /2)— Sa] ) => Cy, = _— 2 >
lÃI
Như vậy, ta tìm thấy mỗi hệ số chưa biết trong quá trình trực giao
Gram-Schmidt được cho bởi tích hàm chia cho bình phương của chuẩn
Em k=0,1,2, ,0-1
Ví dụ 3: Từ tập hợp của các hàm độc lập tuyến tinh f,(x)= x";
z=0,1,2 ta xây dựng được một tập hợp các hàm trực giao trong khoảng
(T11) với hàm trọng r(x)=1 Bắt đầu tiến trình trực giao Gram-Schmidt bằng cach dat g,(x)=f,(x}=1 va cht ý II =2 Tiếp theo, đặt
#(x)= /4(*)—€¡#,(x) với cạ được chọn sao cho (g,„ø,}=0 ta được (x1) ny ‘ 2 ° =(x.x)= [xl4x= bi =()= fear =2
Nhận xét ring, hang sé ¢, duge cho béi tich ham chia cho binh
phương chuẩn Số hạng tiếp theo trong tập hợp trực giao là: 82 (*)= #5 (x)= 8u (x)~ e8 (x); 8(x)=x) =q;l—ezx, & (x)= x=cy,(1) voi cy, = =0,hoặc g(x}=x với
trong đó hệ số được chọn sao cho cả hai tích hàm (gạ.ø;) và (g¡.ø,) bằng
Trang 20iB! Pn 83(8)= 5 (*)—s8u(x)— esø (x)—eas, (x)› 1 “.“ trong dé: 3 2 1 cooley, galt, «Ural 03 Ms 13 2 , 23 H IP 5 eH 3 Vay 3 8
&(x)= Fx va les “is
Tiép tục như trên, ta được các hàm tiếp theo: _ t6 2 “3 với — 128
#(x)=x =3z = 4 Ill = Fraps
10 128
(aaa +3 i fag
Tập hợp các hàm trực giao được dùng để xây dựng nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng
§2 CÁC HỆ STURM-LIOUVILLE
Hệ Sturm-Liouvile đầy đủ có chứa phương trình vị phân tuyến tính thuần nhất
10)=2| p9)” )+a(s)»==ir()y (7.10)
xác định trên khoảng 4<z<b chứa một tham số A và bị ràng buộc ở điều
kiện biên ở mỗi điểm có “ne %() By(a)+B, ot) 9, B,7(6)+B, trong đó: B,, B,, B, va B, w các hằng số độc lập của ^, các cặp (ñ,,B;,) và (B;.B,) khong đồng thời bằng không =0, (7.11)
Điều đó được biểu thị bằng hệ thức B? +B? #0 va B? +B? #0 Phuong
Trang 21“Ost eg
2:
L(y) Các hệ số trong phương trình (7.10) là ø(x), ø(x), g(x) va r(x) là thực và liên tục với đời hỏi ø(x) >0, r(x) >0 trong khoảng # < z <b
Khi điều kiện biên (7.11) được thay thế bởi điều kiện biên tuần hoàn có dạng
y(a)= »), y(a)=z⁄0) (7.12)
thì tập hợp (7.10) và (7.12) được gọi là hé Sturm-Liouville tuần hoàn Kết hợp với phương trình (7.11), ta đưa ra một vài nhận xét, tính chất và chú
ý sau:
1) Chúng ta chỉ xét nghiệm liên tục khác không cho hệ Sturm-Liouville Hệ Sturm-Liouville cho bởi phương trình (7.10) có thể không có nghiệm, có một nghiệm duy nhất hoặc có một số vô hạn nghiệm Số và loại của nghiệm phụ thuộc vào giá trị được chọn ^ Tham số ^ sẽ được chọn sao cho thu được nghiệm không âm
2) Giá trị của ^ để nghiệm tôn tại và khác không được gọi là tri riéng Tập hợp các trị riêng kết hợp với bài toán Sturm-] Liouville duge goi la pho của bài toán Nếu tật cả các trị riêng là thực và có một số vô hạn các giá trị riêng ký hiệu là ^,.À„ À„ trong đố ^À¡ là trị riêng nhỏ nhất “và
À„ ->œ khi œ—>œ thì hàm số khác không tương ứng với các trị riêng được gọi là các hàm riêng, Đối với mỗi trị riêng „ tương ứng có một hàm riêng được viết là y„(x)= y(x;^„) Nhận xét rằng, nếu y„ là một hàm riêng thì
cy„ cũng là một hàm riêng, với hằng số c0 Đôi khi để cho tiện, người ta
ký hiệu trị riêng nhỏ nhất là ^„
3) Hàm riêng y,(x),m=l,2,3 có ø—l không điểm trên khoảng
asxsb
4) Tập hợp các hàm riêng trực giao nhau trong khoảng (a,b) với hàm trong la r(x), dé 1a tích hàm kết hợp với hai hàm riêng khác nhau thỏa mãn
, -
(y„.»„)= t)»,(x)»„(x)®+ =0; nếu m #n, (7.13) và bình phương chuẩn khác không cho mỗi giá trị n
(„z,) =ÿe) (9) =0 (7.14)
5) Cac ham tri riéng tao thành một tập hợp đầy đủ Giả sử ring f(x) 1a một hàm trơn từng khúc và có thể coi nhự một chuỗi có chứa các hàm riêng
Yn(x) c6 dạng
Trang 22= Yey,(2) (7.15) i Các trị riêng làm thành một tập hợp đầy đủ nếu 5 2 lim r6)|/6)- dew y, ( a] d= 0, (7.16) ko a trong dé n, 1a chi sd bat đầu có giá trị 0 hoặc ! phụ thuộc vào việc đánh số các trị riêng
Chuỗi vừa biểu diễn được gọi là chuỗi Fourier tổng quat, còn các hằng
số c„ được gọi là các hằng số Fourier Có thể chỉ ra các hệ số Fourier được cho bởi một tích hàm chia cho bình phương chuẩn Nếu 1 =1,2,3 ta c6 th vit > r(x) f(e)y, (x) de Â-Ơ dis 7 ———, (7.17) bi fri) x 7 ( +
6) Hệ Sturm-Liouville được gọi là mội hệ đầy đủ nếu các hệ số trong
phương trình ví phân thỏa mãn p(x) >0, g(x) > 0 và z{x)>0 ở mọi nơi,
và điều kiện biên (7.11)
7) Nếu một trong các điều kiện day đủ đã cho trong tính chất 6 là không được thỏa mãn, thì hệ Sturm-Liouville được goi la hé Sturm-Liouville don
Vi du, ham P(x) biến mất ở các điểm mút; hoặc một trong các hàm
P{(x) 4(*) r(x)có giá trị vô bạn ở các điểm mút; hoặc tất cả các điều kiện
biên bằng hang số, hoặc bằng không; hoặc một hay cả hai điểm mút a, & trở nên vô hạn thì hệ Sturm-Liouville ở trên được gọi là một hệ Sturm- Liouville đơn
Để chứng minh tính chất trực giao, bắt đầu với giả thiết rằng, cho hai trị riêng khác nhau 4, và À„ ứng với bai nghiệm riêng khác nhau, khác không
y„(x) và y,(x) của phương trình vi phân f(y)=-Ar(x)y, trong đó
Trang 23“9,2
TDbst02)—»2t0/J== pG),G)26)=»,(x)3/6)Ÿ
o bClz)x)<» Mr) „)}x = p(x)[»„(x)z2(x) -y, ()»@)Ÿ
© (A,- ia) fray, (x), (xde = (b)[y, (2) v4, (8) »,, (6) ¥4 (8) |- ~ pa) y, (a), (a)-», (a) 93 (@)]
(7.19)
Về trái của phương trình (7.19) có một tích phân biểu điễn tích hàm của
hai hàm riêng Chúng bảng không khi hai hàm riêng này trực giao (ø# m) Xét các trường hợp sau:
Trường hẹp - Điều kiện
1) p(a )= 0; p( (b}= 0
Bay, (3)+ Buy, (a) =0 2) p(a)=0;p(b) #0 | By, (b)+B,y;, (b) =0 3„(h)v„ (b)T y„ (0) v„(b) =0 }B„(a)+B.y,(a)=0 3) p(a)#0;p(b)=0 | 8y„(4)+B,y/ (2) =0 3„()3, (4) ¥, (4) ¥ (a) =0 B,y„(ð)+B,„„(b)=0 B,y„(b)+B,y„ (b)=0 2 p(ø)z0p(6) +0 | x.(P)x„(0)~ v20)», (6) =0 By„(a)+B,v;(2)=0: By„(4)+B;v, (2) =0 3.44)32(8)= „,(4)3„(a) =0 Hàm ƒ(>) trơn từng khúc biểu điễn dưới dạng chuỗi của các hảm riêng J
) = Leh (x) Hey (x) +€;}› (x)+ €3 (x) tae (7.20)
Trang 244
Pr) Fon (ee = (Fn) 6 Oi Pn) Ha (Ya Dan H+ Oa (Das Dag) (72D)
Tập hợp các ham {y,,} tryc giao nhau trong khoảng (4,b), suy ra Ử, (122) (1.90) =n Ww ¥n) = en Vn trong đó các hệ số có dạng 1 *)/#(*)x„(x)a Cry) LOC m=1,2,3 (7.23) fry (x)& m 2 w _§3 HE STURM-LIOUVILLE CHO _ CAC HAM LU'QNG GIAC VA HAM MU
1 Hé Sturm-Liouville trong khoang 0<x<Z
Xét bài toán Sturm-Liouville :
yp thy =0,0Sx<L;
¥{0)=0; y(L)=0
So sánh với phương trinh Sturm-Liouville (7.19) ta suy ra
p(x)=1,g(x)}=0 và r(x)=1 Yêu cầu tim trị riêng 4 để phương trình có
nghiệm không tầm thường, tức là nghiệm khác không Xét các trường hợp của  sau: (7.24)
} Trường hợp Điều kiện
Trang 25“ve
A=2,=ej |) ;n=12/3 (7.25)
thì phương trình mới cho nghiệm khác khơng Đó là nghiệm
¥, (x)= 9(x.4,) = sino, x = sin a n=1,2.3 (7.26)
2 Hệ Sturm-Liouville trong khoảng —7 < x<
Xét bài toán Sturm-Liouville
TẾ LAE=0 —L<xSE de (7.27)
F(-L)= F(L); F'(-L)=F'(L)
Trang 26Tom fai bai todn Sturm-Liouvifle e6 dang my " 0, -Lex<h dk (E(-L) = F(L): FL) = F'(L) có các trị riêng là À„ =0, À„ (=) :#=1,2,3 tương ứng với các hàm " ATX AMX " TU TA 2 2 ~ 2 7h ts
tiêng |»: 7 ,sin } Các trị riêng này thỏa mãn các điêu kiện trực giao như sau: £ .„ HUY ATX 1.sin—— |= fsin ——@x=0, n=l,2,3 ; + + L yO [-ss “ ) = E” dx =0 1 = 1.2.3 + 3 L + „_ PHTX HT sin -— ,sin - = |s 7.28 ( ; i ) ! (7.28) 1
cos L cos I | = feos Oe cos L}) 3 L de = 0, nem,
[cos sin ta = [co sin ax =0, VW,m L 4 L Binh phuong chuan cua các hàm riêng có dạng 1 (ll)= far=20 a1 B2 sin L sin Ìc sin = [sin LJ | L sin L ay = 2 (7.29)
TEX hed | nox] 4 FTX ATX
„€0§-——- |=|ltO§ | = feos —"- cos — dx = L,
+ Í + -t + + _
Đối với các hàm mũ, một tập hợp hàm $,(x) được gọi là trực giao nêu (%„(x)-„ (x))= rte )6,(x)49„(x)& =0, khimzn — (730)
trong d6 6, (x x) là liên hợp phức của hàm $„(x)
Trang 27Ví dụ các hàm 6,(x)=e © trực giao nhau trong khoảng (-L.L) với hảm trọng r{x)=1: ‘ 0, khimen (4,.,,) = fe byw hohe -| 7 2L, khim =n §4 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HÀM BESSEL + Phương trình và hàm Bessel Phương trình Bessel là phương trình có dạng xì +aw'+Íx)=v))y =0, (731) trong đó v là hằng số
Phương trình (7.31) có điểm kỳ dị tại x = 0 Tìm nghiệm riêng của
phương trình dưới dạng chuỗi
"Ya (z0) * (7.32)
Đặt chuỗi (7.32) vào phương trình (7.31) ta có
Trang 28ay a a, k=4>4,= — ? = - 4(2v+4) 2§y33)2t #'0v+lJvz2)2P 2 2 a ay 2(v+3)3'- 2'(v+1)(v+2)(v+3)3 4 (Ay k= 2k = Oy, = 5 —— 57 28Wx00+2)v+ 9Á Chon a, có dạng , 1 ao Fs ° 279 (v+l)
trong đó F{v) là hàm Gamma xác định đối với mọi giá trị dương v (cũng
Trang 29ve Chú ý rằng E()= ƒ£*#& =1,TP(k+1)= kt, 0 Công thức (7.39) có dang gon hon & (=) 4= ` 7.40 4 PET (vt k+l) (7.49)
Thay các giá trị của hệ số 4,,.g,„,., Vào chuỗi ta nhận được nghiệm riêng của phương trình (7.31): (-1)' (z)" Jey 7 #2kITF(v+k+l) Nghiệm này được gọi là hàm Bessel loại I cấp v Chuỗi (7.41) hội tụ với mọi x (7.41) dạ) 0,8] 0.6 0,4 0,2 -0,2 -0,4
Hình 7.2 Đồ thi ham Bessel loai 1 J, (x)
Sử dụng nghiệm thứ hai p, =~v có thể tìm được nghiệm thứ hai của
phương trình (7.31), nó nhận được bằng cách thay v bằng -v Bởi vị
phương trình (7.31) chỉ chứa v” nên nó không thay đổi khi thay v bằng —v, Ta có
Trang 30ont
Nếu y không phải số nguyên thì nghiệm riêng ở (x) và J_,(x) của
phương trình sẽ độc lập tuyến tính, bởi vì khai triển các số hạng của (7.37)
và (7.38) theo các bậc khác nhau của x Còn nếu w là số nguyên đương ở
thì để dàng thấy rằng các nghiệm ,(x) và Z_, (x) là phụ thuộc tuyến tính
Thật vậy khi v nguyên # =0,1 ,ø—1 thì đại lượng (-v+k+1) nhận các
giá trị nguyên âm hay bằng không, đối với các giá trị này T(-v+k+ 1) = Điều này suy từ các công thức Tữm+l Lm) =- (m 9 mn ra T(0 = 1(0)= ‘ }~> r(p<149) — sa, Như vậy # hang thức đầu tiên trong khai triển chuyển bằng không, do đó có J (j= y= (a+ 1 (atk ¬" +)) ` 43)
Néu dit k=n4/ va thay vào công thức (7.43) ta có:
„@)=Š CC WG yo a r(neiecnian > xE@+I+ÐDr(+0 ait) JQ)=(1 0 coy mo UE +1)I “(nste ly’ (7.44) suy ra Z„(x)=(-1Ÿ2,(x) (7.45) Néu v la sé nguyén duong x thi nghigm J, (x) và J , (x) 14 phy thude tuyến tính
Đề tìm nghiệm tông quát của phương trình với v băng số nguyên ø cần phái tìm một số hạng khác độc lập tuyến tính với #6) Muốn vậy ta dua hàm F¥, (x) vé dang
¥ (x)= ET (7.46)
Trang 31°8
Sty ee,
Chú ý rằng:
¥, (x) = lim Y, (x) = tim 2-008 von ven sinvw vm J (2)
Vì Ở_„(x)=(—1) 2„(x) cho nên khí lấy giới hạn biểu thức trên có dạng
0/0 áp dụng quy tắc LHopital thu được biểu thức tường minh của 1,(x):
B,)=22,6)p3~1 5 E=E- Wino kt ME] TẺ- 2 tế CƯ), Frm xế kk+n) |T(k+l) T(n+k+l) recto (7.47) Hình 7.3 Đồ thị hàm Bessel loại Il Y, (x) Khi =0, hàm .CU( ] UG)=29/ä)n3- T 2 xí 2Š 021 P(E) (kK! T(w+)
Rõ rang ham Y,(x) này cũng là nghiệm của phương trình (7.31), bởi vì nó là tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng J/(x) và 2 ,(x) của phương trình này F,(x) được gọi là hàm Bessel loại II cấp v hay còn được gọi là
ham Weber J,(x) và F,(x) là hai hàm độc lập tuyến tính, với v là số hữu tỷ, nó tạo nên hệ nghiệm cơ bản của phương trình (7.31)
y=GŒ#,(x)+QY,(x) (7.48)
16-PTTL A
Trang 32a a se 2 Cac tính chất truy hồi của hàm Bessel Hàm Bessel có các tính chất: J@)=J/@6)-Š2/), MEK) KO) O
Sia) = Soa (2) +2 Iu (2) ¥i(x)=-¥,,,(x x)+2 K(x) (2) (7.49)
Luil=ZI(9)-Ja()e Bal= 2K (8)-Kal) 6) Ta chứng mình công thức (2), thật vậy: 2[20)] 2$[ CỬ" To Cýeh Al x” [43] tl Sm ke nnmn Tt biểu thức cuối, thay tổng & bằng &+1 ta có d wo 1) xe" ” „ 2/41 Ta 2]- hư te 5 F(v+k+1) =-2 1 k=O tran] (- NG) „@ le “TT (vxl+t+l) 0 x” Chú ý rằng 4/203 4 (x)x* nr, (x)_ FG) ov -J,(x)=— 2 (x) dx| x” x” x xx" x =:6)==1)+ 2) E(x) x +24): x
Đó là điều phải chứng minh
3 Một vài trường hợp riêng của hàm Bessel
Trang 33“cay ki
T v(x)~2/.(x), các hàm J, (x), Từ công thức truy hỏi Fou (x) =
J;(x)co thé duge tim tir J, (x), J, (x
Cac ham J, (x), / , (x) được biêu diễn như sau “nà OF (bea) Theo công thức của hàm Gamma †a có 2+] ee (24+1) Ir(s } r(;]=ứ m - ye" = Ạ «)- 2 Ere” oe “Vệ mà Tương tự Jy (x)= —_ Tự (x)~4,., (x) ta tim được: x | Ap dung céng thie J,,,(x)= 1 Eland 2:1) J frie dane 8] een 2-3) -(2lÍ-Š}te&- 1)+3cos(x- "| 4 Hàm Bessel ảo Xét phương trình xì +Ay +(x? v2) y =0, (7.50)
với x được thay bing ix
Nếu x được thay bing ix, phương trình (7.50) có dạng
Trang 34d’y dy đầy dy 2.3
ex tx Sele cv ly=0œx)<=2+x—-(x°+v'Ìy=0
de de [ | ee de ( )z
hay xiy +xy T(x?+v))y=0, (*)
(*®) được gọi là thể biến dạng của phương trình Bessel, nghiém có dạng
Trang 35su, @ % Sứ
§5 TINH TRỰC GIAO CUA HAM BESSEL
1 Tính chất trực giao thứ nhất của hàm Bessel
Xét phương trình
x'y"+xy+(Ê!—v?)y=0, (7.5)
trong đó # là hằng số nào đó khác không -
Néu thay ¢ = kx, khi đó ta đưa phương trình (7.51) về dạng
c4 “` +(?~v!)y=0, ˆ-v1Ì)y= (7.52)
(7.52) là phương trình Bessel biến số /, vì vậy nghiệm có dạng
;47,(6) Al, (Jer
y=J, (kr) hay PLE), MPD (202), ()=0 (7.53)
Chia hai về của (7.53) cho x ta có TỈ TP he Ÿ) 08)<6, Lấy hai giá trị khác nhau của & và viết 2 phương trình tương ứng: TH ác De Vs (he) 0 Ix2,(Éx): Ti Laisa (ta) |xJ, (kx) “& dx Trừ hai về của phương trình cho nhau, ta có 2 d ad (kx dl, (kx