chuoi fourier in trong phuong trinh toan ly

CHUỖI FOURIER TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2015 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 1/1 Hàm liên tục khúc Định nghĩa Hàm số f (x) gọi hàm liên tục khúc đoạn [a, b] tồn điểm a = x1 < x2 < < xn = b cho hàm số f liên tục khoảng (xi , xi+1) tồn hữu hạn giới hạn từ phía f (xi +) f (xi+1−), ∀i = 1, 2, , n − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 2/1 Hàm liên tục khúc Tính chất Ví dụ 1 sin khơng hàm liên tục x x khúc [0, 1], không tồn giới hạn f (0+) Hàm Hàm liên tục khúc [a, b] bị chặn khả tích [a, b] Tích hai hàm liên tục khúc hàm liên tục khúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 3/1 Hàm trơn khúc Định nghĩa Nếu hàm f (x) liên tục khúc [a, b] có thêm điều kiện, đạo hàm cấp f (x) liên tục khoảng xi < x < xi+1, giới hạn f (xi +), f (xi −) tồn tại, hàm f (x) gọi hàm trơn khúc Nếu có thêm điều kiện, đạo hàm cấp hai f (x) liên tục khoảng xi < x < xi+1, giới hạn f (xi +), f (xi −) tồn tại, hàm f (x) gọi hàm trơn khúc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 4/1 Hàm tuần hoàn Định nghĩa Hàm liên tục khúc f (x) đoạn [a, b] goi hàm tuần hoàn tồn số thực dương p cho f (x + p) = f (x), ∀x Lúc này, p gọi chu kỳ f , số nhỏ số p gọi chu kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 5/1 Hàm tuần hồn Tính chất Nếu f (x) hàm tuần hồn với chu kỳ p f (x + np) = f (x), ∀n ∈ N Nếu f1(x), f2(x), , fk (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ p ck ∈ R, f (x) = c1f1(x) + c2f2(x) + + ck fk (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ p Ví dụ Hàm a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + + b1 sin x + b2 sin 2x + hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 6/1 Hệ hàm trực giao Định nghĩa Dãy hàm {ϕn (x)} gọi hệ trực giao theo hàm trọng q(x) đoạn [a, b] b ϕm (x).ϕn (x).q(x)dx = 0, m = n a Định nghĩa b ϕ2n (x)q(x)dx Nếu m = n ta có ||ϕn (x)|| = a gọi chuẩn ϕn (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 7/1 Hệ hàm trực giao Ví dụ Dãy hàm {sin mx}, m = 1, 2, hệ trực giao đoạn [−π, π] π sin mx sin nxdx = −π 0, m = n π, m = n Ở hàm trọng q(x) ≡ Chuẩn √ || sin mx|| = π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 8/1 Hệ hàm trực giao Định nghĩa Dãy hàm trực giao {ψn (x)} gọi hệ trực chuẩn theo hàm trọng q(x) đoạn [a, b] b ψm (x).ψn (x).q(x)dx = a 0, m = n 1, m = n Chú ý Hệ trực chuẩn thu từ hệ trực giao cách chia hàm số hệ cho chuẩn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 9/1 Hệ hàm trực giao Ví dụ Dãy hàm 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx hệ trực giao [−π, π] π 0, m = n sin mx sin nxdx = π, m = n −π π sin mx cos nxdx = 0, ∀m, n −π π cos mx cos nxdx = −π 0, m = n π, m = n Để thu hệ trực chuẩn, ta chia hàm cho chuẩn cos nx sin x cos x sin x √ , √ , √ , , √ , √ π π π π 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 10 / Công thức Parseval Công thức Parseval 2π −π k=−∞ π π f (x)dx = −π = −π ck k=−∞ ∞ 2π ∞ ck e ikx dx = k=−∞ ∞ f (x)e ikx dx = −π ck ck = k=−∞ f (x) 2π π ∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) |ck |2 f 2(x)dx = ∞ = ∞ π 2π ck c−k = k=−∞ |ck |2 k=−∞ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 47 / Cơng thức Parseval Ví dụ Ví dụ Tìm chuỗi Fourier phức hàm số f (x) = e x , −π < x < π (1 + ik)(−1)k Đáp số f (x) = sinh(π)e ikx π(1 + k ) k=−∞ ∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 48 / Chuỗi Fourier đoạn Đặt vấn đề Tìm chuỗi Fourier hàm f (x) đoạn [a, b] Khi ta dùng phép đổi biến (b − a)t (2x − b − a)π x = (a + b) + ⇒t= 2π b−a (b − a)t Khi f (x) = f (a + b) + = F (t) 2π Chuỗi Fourier F (t) a0 F (t) = + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∞ (ak cos kt + bk sin kt), k=1 CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 49 / Chuỗi Fourier đoạn ak = bk = π π π F (t) cos ktdt, −π π F (t) sin ktdt, −π ∞ a0 k(2x − b − a)π k(2x − b − a)π ⇒ f (x) = + ak cos + bk sin , k=1 b−a b−a ak = b−a bk = b−a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) b f (x) cos k(2x − b − a)π dx b−a f (x) sin k(2x − b − a)π dx b−a a b a CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 50 / Chuỗi Fourier đoạn Ví dụ Ví dụ Tìm chuỗi Fourier f (x) = x, −2 < x < ∞ Đáp số f (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) kπx (−1)k+1 sin k=1 kπ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 51 / Chuỗi Fourier đoạn Ví dụ Ví dụ Tìm chuỗi Fourier f (x) = 1, < x < 21 0, 12 < x < Đáp số ∞ f (x) = + (−1)k−1 cos(2k − 1)πx k=1 (2k − 1)π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 52 / Bổ đề Riemann-Lebesgue định lý hội tụ theo điểm Bổ đề Riemann-Lebesgue Định lý Nếu g (x) hàm liên tục khúc đoạn [a, b] b lim λ→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) g (x) sin λxdx = a CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 53 / Bổ đề Riemann-Lebesgue định lý hội tụ theo điểm Định lý hội tụ theo điểm Định lý Nếu f (x) hàm trơn khúc tuần hoàn với chu kỳ 2π [−π, π] với ∀x ta có a0 + ∞ k=1 (ak cos kx+bk sin kx) = [f (x+)+f (x−)], π π f (t) cos ktdt, bk = f (t) sin ktdt, ak = π −π π −π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 54 / Sự hội tụ đều, đạo hàm, tích phân Định lý hội tụ hội tụ tuyệt đối Định lý Cho f (x) hàm liên tục, tuần hoàn với chu kỳ 2π cho f (x) hàm liên tục khúc đoạn [−π, π] Nếu thêm điều kiện f (−π) = f (π) chuỗi Fourier f (x) hội tụ hội tụ tuyệt đối TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 55 / Sự hội tụ đều, đạo hàm, tích phân Đạo hàm Định lý Cho f (x) hàm liên tục đoạn [−π, π], f (−π) = f (π) Cho f (x) hàm trơn khúc đoạn [−π, π] Khi chuỗi Fourier hàm f (x) thu cách lấy đạo hàm phần tử chuỗi Fourier hàm f (x) Chuỗi Fourier hàm f (x) hội tụ theo điểm điểm liên tục hội tụ đến [f (x+) + f (x−)] điểm gián đoạn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 56 / Sự hội tụ đều, đạo hàm, tích phân Tích phân Định lý Cho f (x) hàm liên tục khúc [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π Khi π π f (x)dx = −π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −π ∞ a0 dx + k=1 π (ak cos kx + bk sin kx)dx −π CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 57 / Tích phân Fourier Định lý Nếu f (x) hàm trơn khúc đoạn [0, b] với b > ta có b f (x) lim λ→∞ sin λx π dx = f (0+) x Định lý Nếu f (x) hàm trơn khúc đoạn hữu hạn, khả tích tuyệt đối (−∞, +∞) π ∞ ∞ f (t) cos k(t − x)dt dk = [f (x+) + f (x−)] −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 58 / Tích phân Fourier Nếu hàm f (x) liên tục điểm x f (x+) = f (x−) = f (x) Khi biểu diễn tích phân Fourier cho f (x) ∞ f (x) = π ∞ f (t) cos k(t − x)dt dk −∞ Thay ik(x−t) e + e −ik(x−t) cos k(t − x) = cos k(x − t) = ta f (x) = 2π ∞ ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk + −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2π CHUỖI FOURIER ∞ ∞ f (t)e −ik(x−t) dtdk −∞ TP HCM — 2015 59 / Tích phân Fourier ∞ f (x) = 2π = 2π ∞ f (t)e ∞ −∞ dtdk − 2π ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk + −∞ = =√ 2π ik(x−t) ∞ 2π e ikx dk √ 2π −∞ ∞ ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk −∞ 0 ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk −∞ −∞ ∞ f (t)e ik(x−t) dtdk −∞ −∞ ∞ e −ikt f (t)dt = √ 2π −∞ F (k) = √ 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2π −∞ ∞ F (k)e ikx dk −∞ ∞ f (t)e −ikt dt −∞ CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 60 / Tích phân Fourier THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 61 / ... TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 36 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Hình: sum(1->10), sum(1->100) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 37 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Ví... 32 52 CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 40 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Hình: sum(1->3), sum(1->10) TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 41 / Chuỗi Fourier Cosine Sine Ví dụ Ví... + bj sin jx) dx = j=1 n (aj cos jx + bj sin jx) cos kxdx = j=1 n (aj cos jx + bj sin jx) sin kxdx = j=1 CHUỖI FOURIER TP HCM — 2015 13 / Chuỗi Fourier Do tính trực giao dãy 1, cos x, sin x,