1 phuong trinh hyperbolic in

PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TS Lê Xn Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2015 TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 1/1 Giới thiệu chung Định nghĩa Phương trình sóng gọi phương trình Hyperbolic, đóng vai trò quan trọng vật lý ngành kỹ thuật, thiết lập sở nghiên cứu dao động dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện từ trường, v.v Sóng phân loại thành sóng học sóng điện từ Sóng học đòi hỏi mơi trường vật chất đàn hồi để lan truyền, sóng điện từ truyền chân khơng TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 2/1 Giới thiệu chung Phương trình Phương trình sóng chiều ∂ 2u 2∂ u −a = ∂t ∂x Phương trình sóng chiều ∂ 2u − a ∂t ∂ 2u ∂ 2u + ∂x ∂y = Phương trình sóng chiều ∂ 2u − a ∂t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x ∂y ∂z PHƯƠNG TRÌNH SĨNG = TP HCM — 2015 3/1 Giới thiệu chung Phương trình Phương trình sóng chiều hệ trục tọa độ trụ ∂ 2u − a2 ∂t 1∂ r ∂r ∂u r ∂r ∂ 2u ∂ 2u + 2+ r ∂ϕ ∂z = Phương trình sóng chiều hệ trục tọa độ cầu ∂ 2u − a2 ∂t ∂ r ∂r r2 ∂u ∂r + ∂ r sin θ ∂θ ∂ 2u + 2 r sin θ ∂ϕ2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG sin θ ∂u ∂θ + = TP HCM — 2015 4/1 Phương trình dao động dây Phương trình sóng chiều Phương trình sóng chiều có dạng utt − a2uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0, a ∈ R gọi vận tốc sóng Phương trình tắc phương trình sóng thu cách đặt biến ξ = x+at, η = x−at, u(x, t) = w (ξ(x, t), η(x, t)) Khi ut = wξ ξt + wη ηt = a(wξ − wη ), ux = wξ ξx + wη ηx = wξ + wη , utt = a2(wξξ − 2wξη + wηη ), uxx = wξξ + 2wξη + wηη TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 5/1 Phương trình dao động dây Phương trình sóng chiều Từ suy utt − a2uxx = −4a2wξη = Vậy wξη = phương trình tắc phương trình sóng Từ ta có wξ = f (ξ) w = f (ξ)d ξ + G (η) Do nghiệm tổng qt phương trình wξη = có dạng w (ξ, η) = F (ξ) + G (η) ⇒ u(x, t) = F (x + at) + G (x − at) Với t0 > cố định đồ thị hàm G (x − at0 ) có hình dạng giống đồ thị hàm G (x) dịch bên phải khoảng at0 Do hàm G (x − at) mơ tả sóng chuyển động bên phải với tốc độ a gọi sóng tới Tương tự, hàm F (x + at) di chuyển bên trái với vận tốc gọi sóng lùi Vì vậy, a gọi vận tốc sóng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 6/1 Phương trình dao động dây Nghiệm D’Alambert phương trình sóng Bài tốn dây dài vơ hạn L(u) = utt − a2uxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0, u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g (x) Ta có u(x, t) = F (x + at) + G (x − at) Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có u(x, 0) = f (x) = F (x) + G (x), ut (x, 0) = g (x) = a.F (x) − aG (x) TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 7/1 Phương trình dao động dây Nghiệm D’Alambert phương trình sóng ⇒ F (x) − G (x) = a x g (τ )d τ + C , x0 x0, C số Khi 1 F (x) = f (x) + 2a 1 G (x) = f (x) − 2a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x g (τ )d τ + C , g (τ )d τ − C , x0 x x0 PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 8/1 Phương trình dao động dây ⇒ u(x, t) = + 2a Nghiệm D’Alambert phương trình sóng [f (x + at) + f (x − at)] + x+at x−at g (τ )d τ − x0 g (τ )d τ = x0 1 = [f (x + at) + f (x − at)] + 2a x+at g (τ )d τ x−at Nghiệm gọi nghiệm D’Alambert phương trình sóng chiều TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 9/1 Phương trình dao động dây Ví dụ Ví dụ Giải toán utt = a2uxx , x ∈ R, t > u(x, 0) = sin x, ut (x, 0) = cos x Nghiệm cần tìm x+at cos τ dτ = u(x, t) = [sin(x +at)+sin(x −at)]+ 2a x−at = sin x cos at + [sin(x + at) − sin(x − at)] = 2a = sin x cos at + cos x sin at a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 10 / Phương trình dao động dây Ví dụ Ví dụ Giải toán utt = uxx , x > 0, t > πx u(x, 0) = cos , ut (x, 0) = 0, ux (0, t) = Khi x > t, ta có u(x, t) = [f (x + t) + f (x − t)] = π π π π x cos t = [cos (x + t) + cos (x − t)] = cos 2 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 19 / Phương trình dao động dây Ví dụ Khi x < t, ta có u(x, t) = [f (x + t) + f (t − x)] = π π = [cos (x + t) + cos (t − x)] = 2 π π = cos x cos t 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 20 / Phương trình dao động dây Ví dụ Phương trình sóng với điều kiện biên khơng Ví dụ Equations with Nonhomogeneous Boudary Conditions L(u) = utt − a2uxx = 0, x > 0, t > 0, u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g (x), u(0, t) = p(t) u(x, t) = F (x + at) + G (x − at) ⇒ u(0, t) = α F (at) + G (−at) = p(t) ⇒ G (α) = p − − F (−α) ⇒ a x G (x − at) = p t − − F (at − x) a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 21 / Phương trình dao động dây Vậy Ví dụ x < at ta có u(x, t) = p t − x + [f (x + at) − f (at − x)]+ a + 2a x+at g (τ )d τ at−x Khi x > at nghiệm tốn khơng đổi TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 22 / Phương trình dao động dây Ví dụ Phương trình sóng với điều kiện biên khơng Equations with Nonhomogeneous Boudary Conditions L(u) = utt − a2uxx = 0, x > 0, t > 0, u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g (x), ux (0, t) = q(t) u(x, t) = F (x + at) + G (x − at) ⇒ ux (0, t) = F (at) + G (−at) = q(t) t ⇒ F (at) − G (−at) = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) q(τ )d τ + K PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 23 / Phương trình dao động dây ⇒ G (α) = F (−α) − a Ví dụ −α/a q(τ )d τ − t−x/a ⇒ G (x − at) = F (at − x) − a K q(τ )d τ − K Vậy x < at ta có u(x, t) = [f (x + at) + f (at − x)]+ x+at at−x g (τ )dτ + g (τ )dτ + 2a x0 x0 t−x/a −a q(τ )dτ Khi x > at nghiệm tốn khơng đổi TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 24 / Phương trình dao động dây Ví dụ Phương trình sóng với đầu cố định Ví dụ Vibration of Finite String with Fixed Ends   utt − a2uxx = 0, < x < L, t > 0, u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g (x),  u(0, t) = = u(L, t) Nghiệm phương trình sóng u(x, t) = F (x + at) + G (x − at) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 25 / Phương trình dao động dây Ví dụ Áp dụng điều kiện ban đầu, ta có u(x, 0) = F (x) + G (x) = f (x), ut (x, 0) = aF (x) − aG (x) = g (x) 1 ⇒ F (ξ) = f (ξ) + 2a 1 ⇒ G (η) = f (η) − 2a ξ K η K g (τ )d τ − g (τ )d τ + 1 u(x, t) = [f (x + at) + f (x − at)] + 2a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG x+at g (τ )dτ x−at TP HCM — 2015 26 / Phương trình dao động dây Ví dụ Áp dụng điều kiện biên, ta có u(0, t) = F (at) + G (−at) = 0, u(L, t) = F (L + at) + G (L − at) = Đặt α = −at ta có F (−α) = −G (α), α Khi ξ = −η ta có 1 F (−η) = f (−η) + 2a 1 ⇒ G (η) = − f (−η) − 2a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −η g (τ )dτ + 0 K ,0 −η g (τ )dτ − PHƯƠNG TRÌNH SĨNG K , −L −η η TP HCM — 2015 L 27 / Phương trình dao động dây Ví dụ Nếu đặt α = L + at ta có F (α) = −G (2L − α), α L Cho α = ξ ta có F (ξ) = −G (2L − ξ), ξ L η = 2L − ξ, ta có 1 G (2L − ξ) = f (2L − ξ) − 2a 2L − ξ ξ g (τ )d τ − K , g (τ )d τ + K , L 1 ⇒ F (ξ) = − f (2L − ξ) + 2a L 2L−ξ 2L−ξ 2L TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 28 / Phương trình dao động dây Ví dụ Ví dụ Giải tốn  utt − a2uxx = 0, < x < L, t >   πx u(x, 0) = sin , ut (x, 0) = 0,  L  u(0, t) = 0, u(L, t) = u(x, t) = F (x + at) + G (x − at) πξ K F (ξ) = sin + ,0 ξ L L πη K G (η) = sin − ,0 η L PHƯƠNGL TRÌNH SĨNG2 TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2015 29 / Phương trình dao động dây Ví dụ 1 u(x, t) = [f (x+at)+f (x−at)]+ 2a x+at g (τ )d τ x−at với x + at L, x − at L Do đó, nghiệm toán xác định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) t x ,0 a t PHƯƠNG TRÌNH SĨNG L−x , a TP HCM — 2015 30 / Phương trình dao động dây Ví dụ K −η g (τ )d τ − = ⇒ G (η) = − f (−η) − 2a πη πη K K = − sin − − = sin − , L 2 L −L η 1 2L−ξ K ⇒ F (ξ) = − f (2L−ξ)+ g (τ )d τ + = 2a π K = − sin (2L − ξ) + , L L ξ 2L TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 31 / Phương trình dao động dây Ví dụ Kết hợp với G (α) = −F (−α), α F (η) = πη K sin − , −2L L 0, ta có η −L Vậy u(x, t) = F (x + at) + G (x − at) = π π = [sin (x + at) + sin (x − at)], L L ∀x ∈ (0, L), ∀t > TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 32 / Phương trình dao động dây Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2015 33 / ... +at)+sin(x −at)]+ 2a x−at = sin x cos at + [sin(x + at) − sin(x − at)] = 2a = sin x cos at + cos x sin at a TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TP HCM — 2 015 10 / Phương trình dao động dây... TP HCM — 2 015 9 /1 Phương trình dao động dây Ví dụ Ví dụ Giải toán utt = a2uxx , x ∈ R, t > u(x, 0) = sin x, ut (x, 0) = cos x Nghiệm cần tìm x+at cos τ dτ = u(x, t) = [sin(x +at)+sin(x −at)]+... độ cầu ∂ 2u − a2 ∂t ∂ r ∂r r2 ∂u ∂r + ∂ r sin θ ∂θ ∂ 2u + 2 r sin θ ∂ϕ2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH SĨNG sin θ ∂u ∂θ + = TP HCM — 2 015 4 /1 Phương trình dao động dây Phương trình sóng