Chương 6 Chƣơng 6 ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Giả sử cần phải nghiên cứu dấu hiệu χ trong tổng thể, nếu dấu hiệu χ này được thể hiện qua biến ngẫu nhiên X có quy luật phân phối[.]
Chƣơng ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Giả sử cần phải nghiên cứu dấu hiệu χ tổng thể, dấu hiệu χ thể qua biến ngẫu nhiên X có quy luật phân phối định, giá trị tham số đặc trưng X : trung bình, phương sai tỷ lệ tổng thể cho ta biết thơng tin tổng hợp để phân tích tổng thể cần nghiên cứu Tổng thể có ba đặc trưng số quan trọng: E(X) Var(X) p : trung bình tổng thể; : phương sai tổng thể; M : tỷ lệ tổng thể N Ta gọi chung đặc trưng số tổng thể θ θ giá trị số cố định chưa biết tổng thể, ta cần phải ước lượng (dự đoán) giá trị Phương pháp mẫu cho phép giải toán quy nạp thống kê sau: từ tổng thể nghiên cứu rút mẫu ngẫu nhiên W kích thước n, dựa vào mà xây dựng thống kê dùng để ước lượng θ Có hai dạng ước lượng ước lượng điểm ước lượng khoảng § PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM 1 Ƣớc lƣợng điểm Dùng giá trị tính tốn mẫu để ước lượng cho giá trị tham số gọi ước lượng điểm Ví dụ 1.1 Để ước lượng kỳ vọng m biến ngẫu nhiên gốc X, người ta chọn thống kê trung bình mẫu X , để ước lượng phương sai σ2 biến ngẫu nhiên gốc chọn phương sai mẫu S2, để ước lượng tỷ lệ p biến ngẫu nhiên gốc chọn tỷ lệ mẫu f Đối với mẫu cụ thể, ước lượng điểm tính giá trị cụ thể Tiêu chuẩn lựa chọn ƣớc lƣợng Giả sử cần ước lượng tham số θ biến ngẫu nhiên gốc X Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: W = (X1, X2,…, Xn) Chọn lập thống kê cho θ = f(X1, X2,…, Xn) Nếu dùng thống kê để ước lượng gọi hàm ước lượng Rõ ràng có vơ số cách chọn hàm f, nên có vơ số thống kê dùng làm ước lượng cho θ Muốn chọn thống có giá trị gần với tham số θ cách tốt phải so sánh trực kê tiếp với θ θ lại chưa biết Vì vậy, cịn cách cần phải đưa tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng thống kê , để từ lựa chọn thống kê có “ xấp xỉ cách tốt nhất” với tham số cần ước lượng Ƣớc lƣợng không chệch (lệch) ↔ ↔ E( ) E( ) Ƣớc lƣợng hiệu Nếu , gọi ước lượng không chệch (không lệch) θ gọi ước lượng chệch (lệch) θ hai ước lượng không chệch θ; Nếu var( ) var( ) ta nói ước lượng cho θ tốt ; Nếu var( ) nhỏ tất ước lượng khơng chệch θ ta nói ước lượng hiệu θ Ƣớc lƣợng vững Thống kê mẫu gọi ước lượng vững tham số θ tụ theo xác suất đến θ kích thước mẫu tăng đến vơ hạn lim P n hội § PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG TIN CẬY Phương pháp ước lượng điểm có nhược điểm khích thước mẫu nhỏ kết ước lượng mắc phải sai số lớn, tức khơng thể đảm bảo độ xác cần thiết Ngoài ra, phương pháp ước lượng điểm ta đánh giá khả mắc sai lầm ước lượng Vì vậy, mẫu có kích thước nhỏ người ta dùng phương pháp ước lượng khoảng tin cậy 2.1 Ƣớc lƣợng khoảng Từ kết khảo sát mẫu, ta đưa khoảng , , với kỳ vọng tham số tổng thể θ thuộc vào khoảng với xác suất định đó, nghĩa là: P Khi đó, , 2 gọi khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng θ Khi đưa khoảng ước lượng , cho θ có hai trường hợp xảy ra: - Nếu khoảng , thực chứa θ, ta nói ước lượng - Nếu khoảng , khơng chứa θ, ta nói ước lượng sai Xác suất mắc sai lầm ước lượng là: P ( 1, ) Thơng thường có dạng ước lượng bản: Ước lượng giá trị trung bình; Ước lượng phương sai; Ước lượng tỷ lệ 2.2 Ƣớc lƣợng kỳ vọng biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Giả sử, tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X~ N(μ, σ2) tham số μ chưa biết Để ước lượng μ, từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2,…, Xn) Muốn chọn thống kê G có xấp xỉ cách tốt so với tham số cần ước lượng μ ta xét hai trường hợp sau: Đã biết phƣơng sai σ2 biến ngẫu nhiên gốc tổng thể Cần tìm khoảng (μ1, μ2) cho: P 1 Vì thống kê (X U Với độ tin cậy (1 Tìm , ) n N(0,1) ) cho trước, tìm: cho: ; Tìm hai giá trị tới hạn chuẩn u1 , u cho: P(U u1 P(U u 2) ) Khi P(u1 Vì u có tính chất u P( u u1 U U u 2) ( u 2) ) nên biểu thức viết: P u (X ) n P X Vậy, với độ tin cậy (1 n u u X 2 n u 1 ) cho trước khoảng tin cậy ngẫu nhiên cho tham số μ là: X n u X n u Khoảng tin cậy hai phía: Hay cịn gọi khoảng tin cậy đối xứng, X n u ;X 2 n u 2 Khoảng tin cậy phía trái: Hay gọi khoảng tin cậy tối đa, , ;X n u u0 u Khoảng tin cậy phía phải: Hay cịn gọi khoảng tin cậy tối thiểu, X n 0, u u0 u ; Với khoảng tin cậy đối xứng, độ dài khoảng tin cậy I I Nếu ký hiệu n n u u ε gọi độ xác ước lượng Nó phản ánh mức độ sai lệch trung bình mẫu so với trung bình tổng thể với xác suất cho trước (1 ) Từ đây, ta có dạng tốn xác định kích thước mẫu tối thiểu n để đáp ứng yêu cầu độ tin cậy (1 ) cho trước, độ xác không vượt giá trị ε0 Công thức xác định mẫu tối thiểu là: n u 2 n u2 Nhận xét Vì độ tin cậy (1-α) lớn nên áp dụng nguyên lý xác suất lớn ta coi biến cố X n u ;X n xảy phép thử mẫu u ngẫu nhiên W Nghĩa là, mẫu cụ thể w (x1,x2 , ,x n ) , với độ tin cậy (1-α) cho trước, ta tìm khoảng tin cậy cụ thể (bằng số) cho Ví dụ 2.1 Sản phẩm nhà máy sản xuất có trọng lượng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với phương sai 1,44 gr2 Để ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm, người kiểm tra thứ lấy 16 sản phẩm đem cân, thấy tổng trọng lượng 16 sản phẩm 1614 gr Với độ tin cậy 95%, ước lượng trọng lượng trung bình sản phẩm thuộc nhà máy sản xuất Gọi X trọng lượng sản phẩm nhà máy sản xuất Theo giả thiết, X~ N(μ, σ2), μ trung bình tổng thể chưa biết, σ2= 1,44 gr2 Theo đề cho, với mẫu cụ thể: n =16, 16 xi 1614(g) i Do đó, trung bình mẫu cụ thể bằng: 16 16 x xi i 1 1614 16 100,875(g) Từ σ2= 1,44 gr2 suy độ lệch chuẩn σ= 1,2 gr Với độ tin cậy 95%, suy 1- α =0,95, hay α = 0,05, u u0,025 1,96 Với mẫu cụ thể, khoảng tin cậy đối xứng μ là: X n u X n u 100,875 100,287 1,2 100 1,96 100,875 1,2 100 1,96 101, 463 Như vậy, với độ tin cậy 95%, khoảng đối xứng trọng lượng trung bình sản phẩm là: 100,287 101,463 g Với khoảng tin cậy vừa tìm câu 1, cho biết độ dài khoảng tin cậy, sai số ước lượng bao nhiêu? Độ dài khoảng tin cậy bằng: I n u 100,287 101, 463 1,176(g) Sai số ước lượng bằng: I 1,176 0,588(g) Hãy cho biết trọng lượng trung bình tối đa sản phẩm, độ tin cậy 95%? Trọng lượng trung bình tối đa sản phẩm tính theo công thức: X n u ,u u0,05 1,645 Do 1,2 100,875 16 1,645 101,3685 Vậy, trọng lượng trung bình sản phẩm tối đa 101,3685 (g) Nếu người kiểm tra thứ hai lấy thêm sản phẩm bỏ thêm vào 16 sản phẩm người thứ mang cân, tổng trọng lượng lúc 1510 g, ước lượng trung bình tối thiểu sản phẩm với độ tin cậy 90% Khi thêm sản phẩm nữa, kích thước mẫu là: 16+9 = 25, trung bình mẫu là: 16 25 x xi i 1 2510 25 100, 4(g) Ước lượng tối thiểu cho trung bình tổng thể là: X n u , u u0,1 1,282 Do 100,1436 1,2 100, 25 1,282 Vậy, dựa mẫu mới, với độ tin cậy 90% trọng lượng trung bình tối thiểu 100,1436 (g) Chƣa biết phƣơng sai σ2 biến ngẫu nhiên gốc tổng thể Trong trường hợp khơng có thơng tin phương sai tổng thể, dùng phương sai mẫu S2 để thay Khi đó, thống kê tương ứng có quy luật phân phối xác suất: (X T ) n S T (n 1) Lập luận tương tự, ta có cơng thức: P(t (n1 1) T t (n 1) ) ( 2 ) (n 1) Vì t có tính chất t (n 1) t (n 1 t (n P nên biểu thức viết: 1) (X 1) ) n t (n S P X Vậy, với độ tin cậy (1 1) t (n n 1) S X t (n n 1) 1 ) cho trước khoảng tin cậy ngẫu nhiên cho tham số μ là: X S n t (n 1) S X t (n n 1) Khoảng tin cậy hai phía: Hay cịn gọi khoảng tin cậy đối xứng, X S n t (n 1) S X n 2 t (n 1) Khoảng tin cậy phía trái: Hay cịn gọi khoảng tin cậy tối đa, , S X n t (n 1) Khoảng tin cậy phía phải: Hay gọi khoảng tin cậy tối thiểu, X S n t (n 0, 1) Với khoảng tin cậy đối xứng, độ dài khoảng tin cậy I 2S n t (n 1) ; I S n t (n 1) Khi đó, cơng thức xác định kích thước mẫu tối thiểu n để đáp ứng yêu cầu độ tin cậy (1 ) cho trước, độ xác khơng vượt q giá trị ε0 là: S t (n n 1) 2 S2 n' t (n 1) Ví dụ 2.2 Trọng lượng bao bột mì kho biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Người ta đem cân ngẫu nhiên 20 bao thấy trọng lượng trung bình bao 48 kg, phương sai mẫu s2 = (0,5kg)2 Với độ tin cậy 95%, ước lượng trọng lượng trung bình bao bột mì kho Gọi X trọng lượng bao bột mì, theo ra, X có phân phối chuẩn: X~ N(μ, σ2) Theo đề cho ta có: n = 20, x 48 kg , s =0,5 Với độ tin cậy 95%, suy 1- α =0,95, hay α = 0,05, t (n 21) t (19) 0,025 2,093 Với mẫu cụ thể, khoảng tin cậy đối xứng μ là: X S n t (n 1) X S n t (n 1) 0,5 48 19 47,766 2,093 48 0,5 19 2,093 48,234 Như vậy, với độ tin cậy 95%, khoảng đối xứng trọng lượng trung bình bao bột mì là: 47,766 48,234 kg Nếu muốn giữ nguyên độ tin cậy, muốn sai số ước lượng khơng vượt q 0,16 g cần cân thêm bao nữa? Từ cơng thức: 0,6 S n n' n' t (n 1) 0,6 S2 2 t (n 1) 0,52 2,093 0,162 Vậy cần cân thêm nhất: 43 - 20= 13 bao 42,77978 43 2.3 Ƣớc lƣợng phƣơng sai biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, σ2) Giả sử, tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X~ N(μ, σ2) chưa biết phương sai σ2 Để ước lượng σ2, từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2,…, Xn) Để chọn thống kê G có xấp xỉ cách tốt so với tham số cần ước lượng σ2 ta xét hai trường hợp sau: Đã biết kỳ vọng toán μ biến ngẫu nhiên gốc tổng thể Giả sử, biết trung bình tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X m = μ, ta sử dụng phương sai S*2 Ta chọn thống kê nS*2 2(n) Với mức xác suất (1 Tìm , ) cho trước, tìm: cho: ; Tìm hai giá trị tới hạn chuẩn 2(n 1) 1 , 2(n 1) P( 2(n 1) 1 ) P( 2(n 1) ) 2 cho: Khi P 2(n) 1 2(n) P P 2(n 1) 1 nS*2 nS*2 2(n) nS*2 1 2(n) 1 Như vậy, với độ tin cậy (1 2(n 1) ) khoảng tin cậy σ có dạng : nS*2 2(n) 2 nS*2 2(n) 1 Từ khoảng tin cậy tổng quát, ta xây dựng số trường hợp cụ thể sau: Khoảng tin cậy khơng có tính đối xứng, nên khơng thể gọi khoảng tin cậy đối xứng 2 Suy diễn khoảng hai phía cho phƣơng sai mẫu S Nếu lấy 2 khoảng hai phía cho phương sai σ2 là2: nS*2 nS*2 2(n) 2(n) 2 Khoảng tin cậy phía trái: Hay cịn gọi khoảng tin cậy tối đa, 0, 2(n) 2(n) nS*2 , 2(n) Khoảng tin cậy phía phải: Hay cịn gọi khoảng tin cậy tối thiểu, nS*2 0, , 2(n) 1 2(n) 2(n) Không biết kỳ vọng toán μ biến ngẫu nhiên gốc tổng thể Khi khơng biết trung bình tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X, ta sử dụng phương sai S2 Chọn thống kê: (n 1)S 2 2(n 1) Với mức xác suất (1 Tìm , ) cho trước, tìm: cho: ; Tìm hai giá trị tới hạn chuẩn 2(n 1) 1 , 2(n 1) P( 2(n 1) 1 ) P( 2(n 1) ) 2 cho: Khi Với phân phối χ2 khơng có tính đối xứng, gọi khoảng tin cậy hai phía 2(n 1) 1 P 2(n 1) (n 1)S 2(n 1) 1 P (n 1)S P 2(n 1) 2 (n 1)S 2(n 1) 2(n 1) 1 Suy diễn khoảng hai phía cho phƣơng sai mẫu S2 Nếu lấy 2 khoảng hai phía cho phương sai mẫu S2 là3 (n 1)S (n 1)S 2 2(n 1) 2(n 1) 2 Khoảng tin cậy phía trái: Hay cịn gọi khoảng tin cậy tối đa, , 0, 2(n 1) 2(n 1) (n 1)S 2 2(n 1) Khoảng tin cậy phía phải: Hay gọi khoảng tin cậy tối thiểu, (n 1)S 0, , 2(n 1) 1 2(n 1) 2(n 1) Ví dụ 2.3 Trọng lượng loại có phân phối chuẩn, người ta đem cân ngẫu nhiên 25 thấy trọng lượng trung bình 25 30,48 gr, phương sai 8,4276 gr2 Với độ tin cậy 95% cho biết độ phân tán (đo phương sai độ lệch chuẩn) trọng lượng loại nằm khoảng nào? Giải Gọi X trọng lượng loại quả, theo X có phân phối chuẩn, X ~ N(μ, σ2) Đề cho ta thông tin: n 25; x 30,48(g); s2 8,4276(gr ) Với độ tin cậy 95%, ta suy α = 0,05 Với phân phối χ2 khơng có tính đối xứng, gọi khoảng tin cậy hai phía Từ cơng thức khoảng tin cậy hai phía cho σ2 (n 1)S (n 1)S 2 2(n 1) 2(n 1) Thay số, với 2(n 1) 2(25 1) 0,05 2 2(24) 0,975 2(n 1) 12,4; 2(25 1) 0,05 2 2(24) 0,025 39,36 , ta được: 24.8, 4276 39,36 24.8, 4276 12, (5,1388 16,3115) Suy khoảng tin cậy độ lệch chuẩn là: (2,267 4,039) Vậy, với độ tin cậy 95%, ước lượng hai phía cho độ phân tán trọng lượng quả: - Khi đo phương sai: (5,1388 - Khi đo độ lệch chuẩn: (2,267 16,3115) gr 2 4,039) gr 2.4 Ƣớc lƣợng khoảng tần suất tổng thể Giả sử, cần ước lượng tần suất tổng thể p với độ tin cậy (1-α) dựa mẫu ngẫu nhiên kích thước n Trong mẫu, tần suất mẫu dấu hiệu cần nghiên cứu A f =XA/n Với n đủ lớn, ta biết thống kê (f U p) n N(0,1) p(1 p) Trong tốn ước lượng p, với mẫu có kích thước n lớn ( n ≥ 100), để thực tính tốn, ta thay thống kê thống kê sau: U Với mức xác suất (1 Tìm , (f p) n f(1 f) N(0,1) ) cho trước, tìm: cho: ; Tìm hai giá trị tới hạn chuẩn u1 , u cho: P(U u1 P(U u 2) ) Khi P(u1 Vì u có tính chất u P( u U u1 u 2) U u 2) ( 1 1 ) nên biểu thức viết: P (f u p) n f(1 f) P f u f(1 f) n u p 2 f(1 f) f n u 1 Suy diễn khoảng đối xứng cho tần suất tổng thể Nếu lấy 2 khoảng đối xứng cho tần suất tổng thể p là: f(1 f) f n u p f(1 f) f n u Suy diễn tối đa cho tần suất tổng thể Nếu lấy 0, u tần suất tổng thể p tối đa bằng: u0 p f(1 f) f n u Suy diễn tối thiểu cho tần suất tổng thể Nếu lấy , u tần suất tổng thể p tối thiểu bằng: u0 f(1 f) f n u p Với khoảng tin cậy đối xứng, xác định kích thước mẫu tối thiểu để độ dài khoảng tin cậy đối xứng không vượt I0 cho trước Công thức xác định mẫu tối thiểu: I Hay I0 n' 4f(1 f) u I02 2 n' 4f(1 f) u 2 Ví dụ 2.4 Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm nhà máy, thấy có 92 sản phẩm đạt tiêu chuẩn loại I Với độ tin cậy 95% 1.Tỷ lệ sản phẩm loại I nhà máy nằm khoảng nào? Gọi p tỷ lệ sản phẩm loại I nhà máy, p chưa biết Theo ra, ta có: n 400, k 92 92 400 f 0,23 Công thức ước lượng khoảng đối xứng cho p f(1 f) f Với u u0,025 n u p f(1 f) f n u 1,96 , thay f, n vào công thức ta được: 0,23(1 0,23) 0,23 400 (0,1888 p 1,96 p 0,23 0,23(1 0,23) 400 1,96 0,2712) Vậy, tỷ lệ sản phẩm loại I nằm khoảng (0,1888 p 0,2712) % Nếu muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng khơng vượt q 8% cần kiểm tra sản phẩm? Từ công thức I I0 n' 4f(1 f) u I02 2 Nếu muốn I ≤ 0.08 I 0,08 n' 4.0,23(1 0,23) 1,96 0,082 425 Vậy n’ ≥ 425; cần kiểm tra 425 sản phẩm Nếu nhà máy sản xuất tổng cộng 100 ngàn sản phẩm, có tối đa sản phẩm loại I ? Xem 100.000 sản phẩm nhà máy sản xuất tổng thể có kích thước N =105 Gọi M số sản phẩm loại I tổng thể N =105 Tỷ lệ sản phẩm loại I tổng thể tính bằng: M N p Muốn ước lượng tối đa có sản phẩm loại I tổng thể 100.000 sản phẩm trước hết ta cần phải ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại I tối đa Từ công thức ước lượng giá trị tối đa cho tỷ lệ tổng thể p p f(1 f) f n u Thay số vào ta có: p 0,23 0,23(1 0,23) 400 1,645 0,2646 Từ công thức p M N Suy M p.N 0,2646 100.000 26460 Có tối đa 26460 sản phẩm loại I Ví dụ 2.5 Một vùng có 2000 hộ gia đình Để điều tra nhu cầu tiêu thụ loại hàng hóa vùng người ta tiến hành nghiên cứu ngẫu nhiên 100 hộ gia đình thấy có 60 hộ có nhu cầu loại hàng hóa Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng tin cậy đối xứng số hộ gia đình vùng có nhu cầu loại hàng hóa Giải Gọi M số hộ gia đình vùng ( tổng thể N= 2000 hộ) có nhu cầu tiêu thụ loại hàng hóa cần nghiên cứu Theo tỷ lệ hộ vùng (tỷ lệ tổng thể) có nhu cầu là: p M 2000 Như vậy, để ước lượng khoảng tin cậy cho số hộ gia đình vùng có nhu cầu loại hàng hóa cần điều tra trước hết ta cần ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể Nói cách khác, tốn quy toán ước lượng tỷ lệ tổng thể p Từ công thức f(1 f) f n u p f(1 f) f n u Với mẫu cụ thể qua khảo sát, ta có: f 60 100 0,6; u u0,025 1,96 Thay vào cơng thức trên, tính tốn ta thu được: 0,6 (0,504 0,6(1 0,6) 100 p 1,96 p 0,6 0,6(1 0,6) 100 1,96 0,696) Do M= p.N = p 2000 nên ta có khoảng tin cậy đối xứng M qua mẫu cụ thể là: (0,504.2000 pN 0,696.2000) (1008 M 1392) ... thể qua khảo sát, ta có: f 60 100 0 ,6; u u0,025 1, 96 Thay vào cơng thức trên, tính tốn ta thu được: 0 ,6 (0,504 0 ,6( 1 0 ,6) 100 p 1, 96 p 0 ,6 0 ,6( 1 0 ,6) 100 1, 96 0 ,69 6) Do M= p.N = p 2000 nên ta... f(1 f) f n u Thay số vào ta có: p 0,23 0,23(1 0,23) 400 1 ,64 5 0, 264 6 Từ công thức p M N Suy M p.N 0, 264 6 100.000 264 60 Có tối đa 264 60 sản phẩm loại I Ví dụ 2.5 Một vùng có 2000 hộ gia đình Để... thể chưa biết, σ2= 1,44 gr2 Theo đề cho, với mẫu cụ thể: n = 16, 16 xi 161 4(g) i Do đó, trung bình mẫu cụ thể bằng: 16 16 x xi i 1 161 4 16 100,875(g) Từ σ2= 1,44 gr2 suy độ lệch chuẩn σ= 1,2 gr Với