Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2020 2021 Sở GD&ĐT Hà Nội lần 2 Tải tài liệu miễn phí https //vndoc com https //vndoc com/toan lop 12 Tải tài liệu miễn phí https //vndoc com ĐỀ THI CHỌN[.]
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com ĐỀ THI CHỌN ĐT HSG QUỐC GIA TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2020-2021 Phan Phương Đức - Nguyễn Tiến Dũng A NGÀY THỨ NHẤT (19/10/2020) un √ n u , ∀n ≥ Tìm giới hạn lim n 2n un + Bài Cho đa thức P (x) = (x − a1 ) (x − a2 ) · · · (x − a9 ) − 3, a1 , a2 , · · · , a9 số nguyên đôi Bài Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = khác Chứng minh P (x) không phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn Bài Cho tam giác ABC cân A (∠BAC < 90◦ ) M trung điểm đoạn thẳng AB Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CM cho ∠CBN = ∠ACM a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N b) Đoạn thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N điểm thứ hai P Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh đường thẳng N P qua trung điểm đoạn thẳng M I Bài Tìm số nguyên dương (a1 , a2 , · · · , a15 ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) ≤ a1 < a2 < · · · < a15 ≤ 2020; ii) ≡ i2 (mod 5), ∀i = 1, 2, · · · , 15 B NGÀY THỨ HAI (20/10/2020) Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (4xf (x) + f (y)) = (f (x))2 + y, ∀x, y ∈ R Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE CF tam giác ABC đồng quy H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC điểm S Qua S kẻ tiếp tuyến SX, SY tới đường tròn (O), với X, Y tiếp điểm a) Chứng minh D, X, Y thẳng hàng b) Gọi I giao điểm hai đường thẳng XY EF Chứng minh đường thẳng IH qua trung điểm đoạn thẳng BC Bài Cho p số nguyên tố lớn a) Chứng minh p−1 X Cpi 2 ≡ (mod p3 ) i=1 p b) Cho n số nguyên dương thỏa mãn n ≡ (mod p) Chứng minh Cnp ≡ n (mod p4 ) Trang Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com C HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = un √ n u , ∀n ≥ Tìm giới hạn lim n 2n un + Lời giải: Từ giả thiết, dễ chứng minh quy nạp: un 6= 0, ∀n ∈ N∗ Khi đó, ta có: = 2n + un+1 un 1 n+1 n n +2 =3 + = ··· = + = 3n+1 ⇒ un+1 un u1 1 ⇒ = 3n − 2n ⇒ un = n , ∀n ∈ R un − 2n 1 √ √ s = Khi đó, lim n un = = · n n lim 3n − 2n lim n − Bài Cho đa thức P (x) = (x − a1 ) (x − a2 ) · · · (x − a9 ) − 3, a1 , a2 , · · · , a9 số nguyên đôi khác Chứng minh P (x) khơng phân tích thành tích hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn Lời giải: Giả sử phân tích P (x) = F (x).G(x), với F (x), G(x) ∈ Z[x], deg F, deg G ≥ KMTTQ, giả sử deg F ≤ deg G Do deg F + deg G = deg P = nên deg F ≤ Từ đề bài, ta có: F (ai ).G(ai ) = 3, ∀i = 1, ⇒ F (ai ) ∈ {±1; ±3}, ∀i = 1, Do ≤ deg F ≤ nên không tồn giá trị F (ai ) Mặt khác, theo nguyên lí Dirichlet, tồn ≥ giá trị F (ai ) KMTTQ, giả sử F (a1 ) = F (a2 ) = F (a3 ) = a ⇒ F (x) = (x − a1 )(x − a2 )(x − a3 )Q(x) + a, (a ∈ {±1; ±3}) Khi đó, ta xét TH sau: TH1: Nếu tồn i 6= j ∈ 4, mà F (ai ), F (aj ) = a ± ⇒ (ai − a1 )(ai − a2 )(ai − a3 )Q(ai ) = ±2; (aj − a1 )(aj − a2 )(aj − a3 )Q(aj ) = ±2 Do a1 6= a2 6= a3 ⇒ − a1 ; − a2 ; − a3 có số 1, số −1, số ±2 KMTTQ, giả sử − a1 = 1; − a2 = −1 Tương tự, aj − a1 ; aj − a2 ; aj − a3 có số 1, số −1, số ±2 ⇒a i − a1 + − a2 + − a3 ≡ ≡ aj − a1 + aj − a2 + aj − a3 (mod 2) ⇒ ≡ aj (mod 2) ai − a1 ≡ aj − a1 (mod 2) ⇒ aj − a1 = −1 ⇒ ai − a2 ≡ aj − a2 (mod 2) ⇒ aj − a2 = ⇒ − a1 + − a2 = = aj − a1 + aj − a2 ⇒ = aj (vô lí) TH2: Nếu khơng tồn i, j thỏa mãn TH1, phải có giá trị, KMTTQ a5 , a6 , a7 , a8 , a9 cho F (a5 ) = F (a6 ) = F (a7 ) = F (a8 ) = b; F (a9 ) = b ± ⇒ F (x) = (x − a5 )(x − a6 )(x − a7 )(x − a8 ) + b ⇒ (a9 − a5 )(a9 − a6 )(a9 − a7 )(a9 − a8 ) = ±2 Khi đó, phải có số a9 − a5 , a9 − a6 , a9 − a7 , a9 − a8 (vơ lí) Suy đpcm Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 Trang Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com Bài Cho tam giác ABC cân A (∠BAC < 90◦ ) M trung điểm đoạn thẳng AB Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CM cho ∠CBN = ∠ACM a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N b) Đoạn thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N điểm thứ hai P Gọi I trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh đường thẳng N P qua trung điểm đoạn thẳng M I Lời giải: a) Vì ∠ABC = ∠ACB ∠CBN = ∠ACM nên ∠ABN = ∠BCN ⇒ 4M BN ∼ 4M CB (g.g) ⇒ ∠BN M = ∠M BC M N.M C = M B = M A2 ⇒ 4M AN ∼ 4M CA (c.g.c) ⇒ ∠M AN = ∠M CA Ta có ∠BN M = ∠ABC = ∠ACB = ∠BCN + ∠ACM = ∠BCN + ∠M AN Từ đó, ta thấy (BCN ) tiếp xúc với (AM N ) b) Do M I đường trung bình 4ABC nên M I k CA Suy ∠M IB = ∠ACB = ∠M N B ⇒ BM N I tứ giác nội tiếp Suy ∠N M I = ∠N BI ∠M IN = ∠M BN = ∠BCN ⇒ 4N BC ∼ 4N M I Gọi P N cắt M I K ∠M N K = ∠M AP = ∠BM I = ∠BN I Do N I đường trung tuyến 4N BC nên N K trung tuyến 4N M I Trang Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com Bài Tìm số ngun dương (a1 , a2 , · · · , a15 ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) ≤ a1 < a2 < · · · < a15 ≤ 2020; ii) ≡ i2 (mod 5), ∀i = 1, 2, · · · , 15 Lời giải: a1 = 5k1 − a2 − a1 = 5k2 − a3 − a2 = 5k3 a4 − a3 = 5k4 − Từ đề bài, ta có: a5 − a4 = 5k5 − a6 − a5 = 5k6 − ········· a15 − a14 = 5k15 − 2020 − a15 = 5k16 − ⇒ 2020 = 16 X i=1 ki − 35 ⇒ 16 X , với ki ∈ N∗ , ∀i = 1, 16 ki = 411 i=1 Ta thấy với cách chọn (ki ), ta số a1 ; a2 ; · · · ; a15 thỏa mãn đề 15 Theo toán chia kẹo Euler, số cách chọn (ki ) C410 15 Suy số (a1 ; a2 ; · · · ; a15 ) thỏa mãn C410 Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (4xf (x) + f (y)) = (f (x))2 + y, (1) ∀x, y ∈ R Lời giải: Thay y = −4 (f (x))2 vào (1), ta f (A) = 0, với A biểu thức Thay x = A vào (1), ta f (f (y)) = y Mặt khác, thay x = vào (1), ta f (f (y)) = 4f (0) + y ⇒ f (0) = Thay y = vào (1), ta f (4xf (x)) = 4f (x) (2) Thay x → f (x) vào (2), ta được: f (4f (x)f (f (x))) = 4f (f (x)) ⇒ f (4xf (x)) = 4x2 (3) Từ (2) (3) suy f (x) = x2 ⇒ f (a) = a f (a) = −a, với số thực a Giả sử tồn a, b 6= cho f (a) = a f (b) = −b 2 Thay x = a, y = b vào (1), ta được f (4a − b) = 4a + b 4a2 − b = 4a2 + b a=0 ⇒ ⇒ (vơ lí) b − 4a2 = 4a2 + b b=0 f (x) = x, ∀x ∈ R Vậy (thử lại thỏa mãn) f (x) = −x, ∀x ∈ R Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 Trang Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE CF tam giác ABC đồng quy H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC điểm S Qua S kẻ tiếp tuyến SX, SY tới đường tròn (O), với X, Y tiếp điểm a) Chứng minh D, X, Y thẳng hàng b) Gọi I giao điểm hai đường thẳng XY EF Chứng minh đường thẳng IH qua trung điểm đoạn thẳng BC Lời giải: a) Do AD, BE, CF đồng quy H nên (SD; BC) = −1 Chú ý SX, SY tiếp tuyến (O), theo hàng điều hịa đường trịn ta có X, I, Y thẳng hàng b) Gọi M trung điểm BC Vì (DS; BC) = −1 H trực tâm 4ABC nên theo hệ thức Maclaurin ta có DM.DS = DB.DC = DA.DH Từ ta thấy H trực tâm 4AM S Hạ SH ⊥ AM K Theo kết quen thuộc, gọi AO ⊥ EF L Vì ∠SXO = ∠SY O = ∠SLO = 90◦ ∠ADS = ∠AKS = ∠ALS = 90◦ nên S, X, Y, O, L thuộc đường tròn (SO) đường kính SO A, D, K, L, S thuộc đường trịn đường kính AS Chú ý M, D, E, F thuộc đường tròn Euler 4ABC, ta có: SX = SY = SB.SC = SE.SF = SD.SM Xét phép nghịch đảo tâm S phương tích SX : M ↔ D, H ↔ K, (SO) ↔ (XY ), SE ↔ SE I ↔ L Do S, D, K, L đồng viên nên M, H, I thẳng hàng Trang Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com Bài Cho p số nguyên tố lớn a) Chứng minh p−1 X Cpi 2 ≡ (mod p3 ) i=1 p b) Cho n số nguyên dương thỏa mãn n ≡ (mod p) Chứng minh Cnp ≡ n (mod p4 ) (np)! − n p4 p!(np − p)! (np − 1)(np − 2) · · · (np − p + 1) − p4 (do (n, p) = 1) ⇔ (p − 1)! ⇔ (np − 1)(np − 2) · · · (np − p + 1) − (p − 1)! p4 (do ((p − 1)!, p4 ) = 1) p b) Ta có Cnp ≡ n (mod p4 ) ⇔ (1) Do n ≡ (mod p) ⇒ n = kp + ⇒ (1) ⇔ (kp2 + 1)(kp2 + 2) · · · (kp2 + p − 1) − (p − 1)! p4 Xét F (x) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − p + 1) − xp−1 + Do p ∈ P ⇒ F (1) ≡ F (2) ≡ · · · ≡ (mod p) Mà deg F = p − ⇒ tất hệ số F (x) chia hết cho p Do F (p) = (p − 1)! − pp−1 + ≡ (p − 1)! + (mod p3 ) (2) Đặt F (x) = ap−2 xp−2 + · · · + a1 x + a0 ⇒ a0 = (p − 1)! + F (p) ≡ a2 p2 + a1 p + (p − 1)! + (mod p3 ) (3) Từ (2) (3) suy a2 p2 + a1 p p3 , mà a2 p ⇒ a1 p2 Khi đó, (kp2 + 1)(kp2 + 2) · · · (kp2 + p − 1) − (p − 1)! = B.(kp2 )2 + a1 kp2 p4 Suy đpcm p a) Ta có cơng thức quen thuộc: (C0p )2 + (C1p )2 + · · · + (Cpp )2 = C2p (đếm cách) p−1 X 2 (2p!) 2(2p − 1)(2p − 2) · · · (p + 1) p ⇒ Cpi = C2p −2= −2= − 2 (p!) (p − 1)! i=1 ⇒ p−1 X Cpi 2 ≡ (mod p3 ) ⇔ (2p − 1)(2p − 2) · · · (2p − p + 1) − (p − 1)! p3 i=1 Tương tự câu b, ta thấy (2p − 1)(2p − 2) · · · (p + 1) − (p − 1)! = C.(2p)3 + a2 (2p)2 + a1 (2p) p3 , a2 p, a1 p2 Suy đpcm Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 Trang Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com ... 1)(2p − 2) · · · (p + 1) − (p − 1)! = C.(2p)3 + a2 (2p )2 + a1 (2p) p3 , a2 p, a1 p2 Suy đpcm Đề thi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 20 20- 20 21 Trang Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com... https://vndoc.com ĐỀ THI CHỌN ĐT HSG QUỐC GIA TP HÀ NỘI NĂM HỌC 20 20- 20 21 Phan Phương Đức - Nguyễn Tiến Dũng A NGÀY THỨ NHẤT (19/10 /20 20) un √ n u , ∀n ≥ Tìm giới hạn lim n 2n un + Bài Cho đa... Hà Nội năm học 20 20- 20 21 Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com Bài Tìm số nguyên dương (a1 , a2 , · · · , a15 ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) ≤ a1 < a2 < · · · < a15 ≤ 20 20; ii) ≡ i2