CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 31 pptx

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 31 BÀI TOÁN TÁN XẠ. PHƯƠNG PHÁP BORN HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong Vật lý lượng tử, lý thuyết tán xạ là một bộ phận quan trọng và được nghiên cứu qui mô, với nhiều cách đặt vấn đề và nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, chúng ta chỉ xét bài toán đơn giản và điển hình nhất về bài toán tán xạ. Chú ý rằng, trong Vật lý lượng tử thì lý thuyết tán xạ cũng là lý thuyết va chạm, vì đối với hạt vi mô, do tính bất định về vị trí, không thể nói đến va đập trực tiếp theo nghĩa cổ điển. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Bài toán điển hình về tán xạ trong Cơ học lượng tử Khi nói về tán xạ trong Cơ học lượng tử, có thể hình dung ra các tán xạ sau đây. Kiểu thứ nhất là tán xạ (hay va chạm) giữa các hạt đồng nhất: hai hạt với với xung lượng và năng lượng xác định dược “bắn” lại gần nhau, tương tác với nhau và sau đó tiếp tục chuyển động theo một kiểu nào đó. Trong chương này ta không xét kiểu tán xạ đó. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Kiểu thứ hai là tán xạ của một hạt hoặc một chùm hạt giống nhau “bắn” từ xa tới gần một tâm tán xạ, sau đó dổi hướng (hoặc không còn hướng xác định) và có thể mất một phần hoặc có thể nhận thêm năng lượng. Tâm tán xạ này là trường lực được hình dung theo kiểu cổ điển, mà điển hình là trường xuyên tâm (tâm đó có thể là một nguyên tử). Ở đây, chủ yếu ta sẽ xét sự tán xạ của một chùm (hay một dòng) ổn định trong một thời gian đủ dài. Vấn đề đặt ra là tìm phân bố số hạt bị tán xạ theo hướng khác nhau. Dưới đây là hình vẽ minh họa bức tranh tán xạ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam θ θθ d+ a 0 A p dpp + pdp π 2 Chùm hạt tới (sóng tới) Tâm tán xạ Bức tranh tán xạ trong Cơ học cổ điển HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam dS Ωd θ ϕ r z Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ Chùm hạt tới (sóng tới) Bức tranh tán xạ trong Cơ học lượng tử Chú ý rằng hình vẽ “lượng tử” chỉ mang tính ước lệ, không được để nó tạo ra một sự ngộ nhận và sự cắt nghĩa thô thiển. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đơn giản nhất và quan trọng nhất là tán xạ đàn hồi, khi các hạt không mất cũng không nhận thêm năng lượng. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hàm sóng tán xạ Trong số các giáo trình Cơ học lượng tử, thay cho thuật ngữ “hàm trạng thái” mà ta dung ở đây, người ta thường nói là “hàm sóng”. Từ đầu tới giờ, ta đã tránh dung thuật ngữ “hàm sóng” để khỏi gây ấn tượng về “hạt chuyển động trên sóng”. Ngoaì ra trên thực tế sự biến thiên của hàm trạng thái theo thời gian và không gian nói chung cũng không mang “tính sóng” theo nghĩa tính tuần hoàn. Tuy nhiên, trong bài toán về tán xạ của chùm hạt ổn định có sự tương tự đặc biệt với bài toán tương ứng trong quang học sóng. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì vậy, ta sẽ nói đến hàm sóng: đó là hàm )(r  ψψ = mà 2 )(r  ψ là mật độ hạt tại điểm r  Ta coi rằng tâm tán xạ nằm ở gốc tọa độ, còn chùm hạt tới (sóng tới) thì chuyển đọng dọc theo trục Oz theo chiều dương; (trục này được đặt nằm ngang). giả sử mỗi hạt trước tương tác với tâm tán xạ đều có xung lượng xác định là ),0,0( pp =  Khi đó, hàm trạng thái của mỗi hạt, cũng như hàm sóng của toàn bộ chùm hạt tới, có dạng: pz i rp i eCeC    = (31. 1) [...]... hoa, Viet nam ψ = ψ 0 +ψ 1 trong đó (31. 3) i  ipr   pr   C.ee C = C.ee = C ii pr   pr ψ 0 có dạng (31. 1) ψ1 i ipz  pz  ee A A r r có dạng (31. 2) Bây giờ giả sử U(r) là hàm thế năng của một hạt Khi đó, do mỗi hạt đều có năng lượng p2 E= 2µ (với µ là khối lượng của hạt) nên hàm trạng thái của hạt phải thỏa mãn phương trình: 2 2 − ∇ ψ + U (r )ψ = Eψ 2µ (31. 4) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai... phương trình (31. 4)  1   2k 2 Đặt k = p ta có E = 2µ  2µ U (r ) thì (31. 4) có thể viết thành: Do đó, với V (r ) =  ∇ 2ψ + k 2ψ = Vψ (31. 5) Thế ψ = ψ 0 + ψ 1 vào (31. 5), ta được: ∇ ψ 0 + ∇ ψ 1 + k ψ 0 + k ψ 1 = Vψ 0 + Vψ 1 2 2 2 2 (31. 6) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam A Xét trường hợp V(r) giảm nhanh hơn 1/r (khi r →∞) e Khi đó, do ψ1 có dạng tiệm cận (31. 2) i... = A(θ ) 2 = A(θ ) dΩ µ µ r (31. 20) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam So sánh (31. 19) với (31. 20), ta được : q (θ ) = Trong đó A(θ ) C A A1 = C 2 2 = A1 (θ ) 2 (31. 21)  2  µ2 ik r ' (31. 22) q (θ ) = = ∫ e U (r ' )dv' 2 4 4π  Thế q(θ ) và j vừa tính được vào (31. 17), ta tìm được dN Chú ý Có... r  (31. 11) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta thay biểu thức gần đúng này vào phần mũ ở tử số trong (31. 10) còn   r '−r ở mẫu số thì đơn giản thay bằng r Khi đó (31. 10) trở thành:    ikr − iknr'     −iknr' 1 V (r ' )ψ 0 (r ' )e e e ikr ψ 1 (r ) = − dv' = − ∫ ∫ V (r ' )ψ 0 (r ' )e dv' 4π r 4πr (31. 12) Vì ψ 0 = C.e i − pz  = C.e −ikz nên (31. 12) lại... Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bức tranh tán xạ trong Cơ học cổ điển θ p + dp Chùm hạt tới (sóng tới) θ + dθ 2πpdp p 0 A Tâm tán xạ a HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bức tranh án xạ trong Cơ học lượng tử r dS dΩ θ ϕ Chùm hạt tới (sóng tới) z Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh... dN = q (θ ) jdΩ (31. 17) Theo công thức ở bài 14 cho mật độ dòng và do ta có: ψ 0 = C.e ikz HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam i  ∂ψ i 2 * ∂ψ 0  j = jz = −ψ 0 C ( − 2ik ) = ψ 0 = 2µ  ∂z ∂z  2 µ * 0 Mặt khác, nếu j 'θ = j 'ϕ = 0 tức là: µ p 2 dN = q (θ ) C dΩ µ Như vậy: trong đó: k C  j ' = ( j ' r , j 'θ , j 'ϕ ) nên: 2 p 2 = C µ (31. 18) (31. 19) là mật độ... có dạng tiệm cận (31. 2) i pr  r tức là cũng giảm theo 1/r, nên trong (31. 6) có thể bỏ qua Vψ 1 ∇ 2ψ 0 + ∇ 2ψ 1 + k 2ψ 0 + k 2ψ 1 = Vψ 0 + Vψ 1 ∇ 2ψ 0 + k 2ψ 0 = 0 Mặt khác, nên từ (31. 6) ta có ∇ 2ψ 1 + k 2ψ 1 = Vψ 0 (31. 7) Trong lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng, ta cũng biết rằng phương trình dạng:  ∇ u + k u = ρ (r ) 2 2 (31. 8) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet... Viet nam Bức tranh án xạ trong Cơ học lượng tử r dS dΩ θ ϕ Chùm hạt tới (sóng tới) z Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, số hạt dN tán xạ qua dS trong một đơn vị thời gian phải tỷ lệ thuận với dS và tỉ lệ nghịch với r2 đồng thời tỉ lệ thuận với mật độ j=jz của dòng hạt tới Như vậy: dS dN = q (θ ) j 2 r (31. 16) Trong đó q(θ) là hệ số... đó tích phân lấy theo toàn bộ không gian, dv’=dx’dy’dz’,  r ' = ( x' , y ' , z ' ) Thay u bởi ψ1 và ρ bởi V ψ 0, ta có nghiệm của (31. 7) là :   ik r'− r  1 V (r ' )ψ 0 (r ' )e ψ 1 (r ) = − dv'   ∫ (31. 10) 4π r '− r Bây giờ ta chứng tỏ ψ 1 đúng là có dạng tiệm cận (31. 2) khi r→+∞ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Muốn vậy, trước hết ta nhận xét rằng do hàm... này hoàn toàn giống như trong trong quang học sóng và điện động lực học: hàm (1) mô tả sóng phẳng với vector sóng   p k=  Tiếp theo, khi gặp tâm tán xạ, sóng tới sẽ làm sinh ra một sóng thứ cấp mà ở một khoảng cách đủ lớn (so với tâm) nó sẽ giống như sóng xuất phát từ chính tâm tán xạ và lan truyền theo mọi hướng Sóng thứ cấp này có dạng: A e i pr  r (31 2) (trong đó r có mặt ở mẫu số để bảo đảm . 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1 .Bài toán điển hình về tán xạ trong Cơ học lượng tử Khi nói về tán xạ trong Cơ học lượng tử, có thể hình dung ra các tán xạ sau đây. Kiểu. Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 31 BÀI TOÁN TÁN XẠ. PHƯƠNG PHÁP BORN HONG. trong Cơ học cổ điển HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam dS Ωd θ ϕ r z Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ Chùm hạt tới (sóng tới) Bức tranh tán xạ trong Cơ học lượng