CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 4 docx

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam BÀI 4: KHAI TRIỂN HÀM TRẠNG THÁI. HÀM TRẠNG THÁI VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ TRONG CÁC KHÔNG GIAN KHÁC NHAU HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số tuyến tính: khai triển một hàm (hay một vector) theo các hàm riêng (các vector riêng) của một toán tử. ë đây ta giải quyết một vấn đề giống như trong Đại số tuyến tính: khai triển một hàm (hay một vector) theo các hàm riêng (các vector riêng) của một toán tử. Để cho đơn giản, ta tạm thời chỉ xét các hàm nhận GIÁ TRỊ LÀ CÁC SỐ PHỨC. Những trường hợp phức tạp hơn sẽ được xét sau. Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau. Cũng như trong Đại số tuyến tính, vấn đề này có liên quan với tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Tính trực giao của các hàm riêng ứng với các trị riêng khác nhau Gia sử λ ψ và µ ψ là hai hàm riêng ứng với hai trị riêng λ và µ khác nhau của toán tử hermitic L ˆ , tức là: ˆ (4.1)L λ λ ψ λψ = ˆ (4.2)L µ µ ψ µψ ∗ ∗ = HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, λ ψ và µ ψ trực giao với nhau theo nghĩa sau: 0 (4.3)dv λ µ ψ ψ ∗ = ∫ 0 (4.3)dv λ µ ψ ψ ∗ = ∫ Thật vậy, nhân (4.1) với ∗ µ ψ rồi lấy tích phân (theo toàn bộ không gian) ˆ (4.4)L dv dv µ λ µ λ ψ ψ λ ψ ψ ∗ ∗ = ∫ ∫ Tiếp theo, nhân (4.2) với λ ψ rồi lấy tích phân ta có: ˆ ( ) (4.5)L dv dv µ λ µ λ ψ ψ µ ψ ψ ∗ ∗ = ∫ ∫ Do tính hermitic nên các vế trái của (4.4) và (4.5) bằng nhau. Vì vậy, lấy (4.4) trừ (4.5) ta được. dv λµ ψψµλ ∫ ∗ −= )(0 TỪ ĐÓ SUY RA (4.3). HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Khai triển hàm trạng thái theo hệ hàm riêng của một toán tử Bây giờ gia sử L ˆ có các trị riêng là 1 λ , 2 λ , , n λ n ψ . Khi đó, mỗi hàm ψ tuỳ ý có thể viết dưới dạng: n λ ta có một hàm riêng (là một phổ rời rạc) và ứng với mỗi trị riêng ( ) ( ) ( ) (4.6) n n n r c r r ψ ψ ϕ = + ∑    trong đó ϕ trực giao với mọi n ψ . Xét trường hợp hệ 1 ψ , 2 ψ , , n ψ , là đầy đủ, nghiã là với mọi , ψ thi hàm ϕ trong (4.6) đều bằng 0. n c . Lúc đó ta có: Khi đó, vấn đề đặt ra là phải tìm các hệ số c n (phức) ( ) ( ) (4.7) n n n r c r ψ ψ = ∑   ( ) ( ) (4.7) n n n r c r ψ ψ = ∑   HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nhân hai vế của (4.7) với )(r m  ∗ ψ và lấy tích phân, ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) (4.8) m n m n r r dv c r r dv ψ ψ ψ ψ ∗ ∗ = ∑ ∫ ∫     Do tính trực giao nên vế trái của (4.8) sẽ bằng: ∫ ∗ dvrrc mmm )()(  ψψ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) (4.9) m m m m r r dv c r r dv ψ ψ ψ ψ ∗ ∗ = ∫ ∫     ( ) ( ) ( ) ( ) (4.9) m m m m r r dv c r r dv ψ ψ ψ ψ ∗ ∗ = ∫ ∫     Do hai hàm m ψ và m k ψ thực ra mô ta một trạng thái nên ta có thể coi là 1 2 , , ψ ψ thoa mãn điều kiện chuẩn hoá sau: 2 1 (4.10) m m m dv dv ψ ψ ψ ∗ = = ∫ ∫ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, ta có: (4.11) m m c dv ψ ψ ∗ = ∫ Một trường hợp đặc trưng khác là trường hợp L ˆ có phổ liên tục là khoang S trên trục số, hay tổng quát hơn là tập hợp liên thông trong một không gian k R Khi đó, thay vi (4.7) ta phai viết: với ),( r  λψ là hàm riêng ứng với λ Nhân hai vế của (4.12) với ),( r  µψ ∗ rồi lấy tích phân theo toàn bộ không gian, ta có: (4.12) λλψλψ drcr S ),()()(  ∫ = HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Yêu cầu các hàm ),( r  λψ thoa mãn hệ thức chuẩn hoá suy rộng sau: Khi đó từ (4.13) suy ra: (4.14) )(),(),( λµδλψµψ −= ∫ ∗ dvrr  ( ) (4.13) λλψµψλψµψ ddvrrcdvrr S ∫∫∫ ∗∗ = ),(),()()(),(  (4.15) ∫ ∗ = dvrrc )(),()(  ψµψµ [...]... −1c (4. 20)  Xét các hàm ψ 1 , ψ 2 (biến r ) và c1, c2 (biến λ ) sao cho: c1 = Uψ 1 (4. 21) c2 = Uψ 2 (4. 22) ˆ ψ 2 = Mψ 1 (4. 23) ˆ c2 = M 1c1 (4. 24) ˆ Ta cần tim mối liên hệ giua M và ˆ M1 để khi có (4. 21); (4. 22); (4. 23) thi (4. 24) luôn đúng Ta có: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ ˆ ˆ M 1c1 = c 2 = Uψ 2 = UMψ 1 = UMU −1c1 Từ đó suy ra: ˆ ˆ M 1 = UMU −1 (4. 25)... biểu diễn - L  Hàm ψ (r ) là hàm trạng thái trong biểu diễn toạ độ x- biểu diễn;  Hàm c( p ) cho bởi (4. 17) là hàm trạng thái trong biểu diễn xung lượng p- biểu diễn Bay giờ ta sẽ coi (4. 15) là công thức của một toán tử tuyến tính U  (chuyển một hàm với biến r thành một hàm với biến λ):     c( µ ) = ∫ψ ∗ ( µ , r )ψ (r )dv (4. 15) c(λ )ψ (λ , r )dλ ψ (r ) = (4. 12) c = Uψ (4. 19) ∫ S Khi đó, (4. 12)...  ψ (r ) = ∫ c(r ' )δ (r '−r )dv (4. 18)  c(r ' ) Nhưng từ tính chất hàm Dirac, vế phai của (4. 18) chính là Như vậy, ta có:   c( r ' ) = ψ ( r ) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4 Biểu diễn – L của hàm sóng và các đại lượng vật lý Trong trường hợp tổng quát, cập công thức (4. 12) - (4. 15) hoặc  ψ (r ) và hàm c(λ ) (4. 7) - (4. 11) cho ta thấy rằng, giua hàm trạng... Chú ý: Công thức (4. 25) dễ dàng tổng quát hoá như sau: nếu M 1 và M 2 lần lượt là các toán tử của đại lượng M trong biểu diễn - L1 và biểu diễn - L2; U là phép chuyển từ hàm trạng thái c1 trong biểu diễn - L1 sang hàm trạng thái c2 trong biểu diễn - L2 thi: ˆ ˆ M 2 = UM 1U −1 (4. 25') Dùng công thức này, dễ chứng minh rằng * * ˆ ˆ c1 (λ1 ) M 1c1 (λ1 )d λ1 = ∫ c2 (λ2 ) M 2 c2 (λ2 )d λ2 (4. 29) ∫ HONG DUC... tự nhiên, ta cần phai coi M 1 là toán tử của đại lượng M trong biểu diễn –L Dối với trường hợp phổ rời rạc, công thức (4. 11) cho ta phép biến đổi U biến ψ thành bộ (c1, c2, ), còn (4. 7) là biến đổi ngược U-1 Như vậy: Uψ = (c1 , c2 , ) U −1 (c1 , c2 , ) = ψ (4. 27) (4. 28) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ Dối với đại lượng M, các toán tử của nó là M trong biểu diễn... ))dλ2 (4. 29) λ1 Mˆ1 1 λ1 d λ = 2 λ2 Mˆ 2 λ2 d λ (4. 29) ∫∫ 11 1 1 1 1 1 ∫ 2 2 2 2 2 2 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 5 Các toán tử toạ độ và xung lượng trong biểu diễn xung lượng ˆ Trong biểu diễn xung lượng, cố nhiên toán tử p x chính là phép nhân hàm trạng thái với px:   ˆ p x c( p ) = p x c( p )    − i pr 1 c( p = cũng) vậy 3 ∫ψ (r )e dv (2π ) 2 (4. 17)... ∫ c(λ )ψ (λ , r )dλ (4. 12)   c( µ ) = ∫ψ ∗ ( µ , r )ψ (r )dv (4. 15)   ψ (r ) = ∑ cnψ n (r ) (4. 7) ∗ cm = ∫ψ mψ dv (4. 11) n S (hay hệ số cn) có mối tương quan “một – một” Vi vậy, chính hàm c( λ ) cũng có thể coi như hàm trạng thái của hạt HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta gọi nó là hàm trạng thái trong không gian các giá trị của đại lượng L hay hàm trạng... gian các vector p còn (4. 15) trở thành:  c( p) = 1 (2π ) 3 2  ∫ψ ( r ) e i  − pr  dv (4. 17)  Như vậy, theo thuật ngu của Giai tích toán học thi ψ (r ) là anh của hàm    c( p ) qua biến đổi Fourier, và c( p ) là anh của ψ (r ) qua biến đổi Fourier ngược HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ b Trường hợp L là toán tử toạ độ  ˆ = r thi (4. 12) trở thành: Khi... Dể xác định, ví dụ, toán tử x1 ˆ của toạ độ x trong biểu diễn xung lượng, ta chú ý đến (4. 17) ˆ Do việc tác dụng x1 lên hàm c(p) tương đương với việc tác dụng x ˆ lên ψ nên:  ˆ x1c( p ) = 1 (2π ) 3 2  ˆ ∫ xψ (r )e i  − pr  dv (4. 30) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Mặt khác, vế phải của (4. 30) lại bằng 1 (2π ) 3 2  ∫ xψ (r )e i  − pr  dv = 1 (2π ) 3... vậy, với sai khác là dấu (cộng hoặc trừ), dạng của toán tử toạ độ trong biểu diễn xung lượng hoàn toàn giống như dạng của toán tử xung lượng trong biểu diễn toạ độ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Từ những điều vừa nói, ta suy ra dạng của toán tử năng lượng trong biểu diễn xung lượng:  ∂ 11 22 ∂∂ ∂∂  2 2 ˆ Hˆ = pp + pp 2+ pp 2 + U   ∂ , ,  ii 1 H 1 = 2m . hoa, Viet nam 4. Biểu diễn – L của hàm sóng và các đại lượng vật lý. Trong trường hợp tổng quát, cập công thức (4. 12) - (4. 15) hoặc (4. 7) - (4. 11) cho ta. 1 (4. 21)c U ψ = 2 2 (4. 22)c U ψ = 2 1 ˆ (4. 23)M ψ ψ = 2 1 1 ˆ (4. 24) c M c= Ta cần tim mối liên hệ giua M ˆ và 1 M ˆ để khi có (4. 21); (4. 22); (4. 23)