Tài liệu CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 2 docx

Bắt đầu từ đây, ta sẽ chỉ xét tr ờng với số l ợng l ợng tử tạm gọi là số hạt hoàn toàn xác định, mà ở phần đầu là tr ờng hợp một hạt... Những yêu cầu đối với việc định nghĩa các đại l ợn

C¬ häc l îng tö

NguyÔn V¨n Khiªm

Bài 2 Các đại l ợng Vật lý trong Cơ học l ợng tử

Bắt đầu từ đây, ta sẽ chỉ xét tr ờng với số l ợng l ợng tử (tạm gọi là

số hạt) hoàn toàn xác định, mà ở phần đầu là tr ờng hợp một hạt Trong bài này, ta sẽ đề cập đến khái niệm về những đại l ợng vật

lý của hạt, ví dụ: xung l ợng, năng l ợng, toạ độ

Trong bài này, ta sẽ đề cập đến khái niệm về những đại l ợng vật

lý của hạt, ví dụ: xung l ợng, năng l ợng, toạ độ

Để nghiên cứu một đối t ợng vật lý, ta phải dùng đến những máy đo “máy đo” ”

1 Những yêu cầu đối với việc định nghĩa các đại l ợng vật lý

Kết quả đo thực chất là phản ảnh t ơng tác giữa đối t ợng nghiên cứu với “máy đo” ”

máy đo , và đ ợc thể hiện bởi sự thay đổi của các đại l ợng vật lý cổ điển

“máy đo” ”

đặc tr ng cho trạng thái của máy đo “máy đo” ”

Chẳng hạn, để khảo sát điện tr ờng tại một điểm trong không gian, ta có thể dùng một lực kế đo lực tác dụng của điện tr ờng tại điểm đó lên một điện tích thử

Độ giãn của lò xo thể hiện t ơng tác của điện tr ờng và máy đo (gồm lực “máy đo” ”

kế và điện tích thử).

Máy đo

đối t ợng nghiên cứu

Trạng thái của máy đo

khi bị đối t ợng nghiên

cứu tác dụng

đại l ợng cần đo

Trạng thái hạt vi mô

Đại l ợng vật lý trong vật lý hạt vi mô ?????

Nếu đối t ợng nghiên cứu thuộc loại đã biết thì khái niệm về các

đại l ợng vật lý đã đ ợc định nghĩa Nếu đối t ợng thuộc loại mới, ta phải

định nghĩa các đại l ợng vật lý đặc tr ng cho đối t ợng đó

Chẳng hạn, khi lần đầu tiên ta biết đến điện tr ờng, ta có thể nêu

ra khái niệm c ờng độ điện tr ờng nh tỷ số giữa lực tác dụng của điện tr ờng lên điện tích thử và độ lớn của điện tích thử

Cũng có thể nêu ra các khái niệm với tên gọi cũ nh ng nội dung mới, ví dụ nh năng l ợng của điện tr ờng

Đối với đối t ợng nghiên cứu là l ợng tử của tr ờng (gọi tắt là hạt l ợng tử), việc định nghĩa các đại l ợng mới với tên gọi cũ cần thoả mãn các yêu cầu sau:

(i) Trong những điều kiện mà hạt l ợng tử có tính chất rất gần với hạt theo nghĩa cổ điển (tức là coi nh chất điểm) thì đại l ợng này gần với đại l ợng

cùng tên của hạt cổ điển.

(ii) Các hệ thức (có ý nghĩa nh định luật) giữa các đại l ợng mới của hạt l ợng tử cũng phải giống nh các hệ thức đã có giữa các đại l ợng cổ điển

t ơng ứng (yêu cầu này gọi là nguyên lý về tính t ơng ứng hay nguyên lý Bohr)

(iii) Nếu các đại l ợng cổ điển t ơng ứng có tính bảo toàn (cho hệ kín) thì các đại l ợng mới (đại l ợng l ợng tử) t ơng ứng cũng phải

có tính chất đó.

Về mặt logic toán học, có thể không tuân theo những

yêu cầu trên Nh ng về ph ơng diện vật lý , việc kh ớc từ

chúng sẽ làm cho lý thuyết mới vô giá trị , vì các đại l

ợng mới sẽ là những đại l ợng không có liên quan gì đến các đại l ợng cũ cùng tên, và do đó không đo đ ợc.

2 Các đại l ợng l ợng tử với t cách là các toán tử

Mô hình nguyên tử của E Rutherford cần phải đ ợc chỉnh sửa “chỉnh sửa” ”

lại, và không chỉ có thế, các khẳng định của N Bohr cũng phải đ ợc chính xác hoá.

1 Không phải các electron chuyển động trên các quỹ đạo tròn quanh hạt nhân

2 Cần nói một cách chính xác hơn là trong vùng không gian quanh hạt nhân

có một tr ờng electron (với số hạt xác định bằng điện tích hạt nhân)

3 Trong tr ờng đó có các trạng thái dừng với năng l ợng xác định, và trong mỗi trạng thái dừng có tối đa một electron

4 ở trạng thái dừng electron không bức xạ, không hấp thụ năng l ợng điện

từ Năng l ợng điện từ chỉ đ ợc bức xạ hoặc hấp thụ khi có một electron

chuyển từ trạng thái dừng này sang một trạng thái dừng khác, và khi đó l

ợng tử năng l ợng đ ợc trao đổi chính bằng hiệu hai mức năng l ợng ở hai

trạng thái dừng

Việc phân tích các mô hình t ơng tự dẫn đến một dự

đoán nh sau.

Với một hạt vi mô (hạt l ợng tử) hàm trạng thái

của nó có thể là tuỳ ý, nh ng đại l ợng vật lý L của hạt chỉ có giá trị  nào đó, nếu

là hàm riêng của một toán tử tuyến tính

)

(r 



ứng với trị riêng bằng

nghĩa là:

)

(r 





Lˆ   

Nội dung toán học của phát biểu vừa nêu sẽ đ ợc giải thích ngay

d ới đây



Lˆ

lµ hµm riªng cña mét to¸n tö tuyÕn tÝnh (L)

)

(r 



to¸n tö

tuyÕn tÝnh

to¸n tö tuyÕn tÝnh (L)

3 To¸n tö, trÞ riªng, hµm riªng

Tr íc hÕt, to¸n tö tuyÕn tÝnh

(gäi t¾t lµ to¸n tö) lµ quy luËt biÕn mçi hµm  thµnh mét hµm míi

L tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau:

Lˆ



  Lˆ

( )

a L     L   L 

( )

(víi k lµ mét sè phøc tuú ý)

VÝ dô 1:

VÝ dô 2:

) , , ( )

( r  x y z





















2

1 ) (    

x

k

k

x 







 ) (

Quy t¾c Lˆ

sao cho còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh ( )

) , , ( )

, ,



 

Lˆ

Quy t¾c Lˆ biÕn  thµnh hµm  sao cho  ( x , y , z )  x  ( x , y , z )

còng lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Lˆ   

)

To¸n tö Cˆ ® îc gäi lµ tæng cña c¸c to¸n tö Aˆ vµ Bˆ (viÕt )C ˆ  A ˆ  B ˆ

nÕu lu«n cã: C ˆ   A ˆ   B ˆ 

1

TÝch cña sè k víi to¸n tö Lˆ lµ to¸n tö Mˆ (ký hiÖu M ˆ  k L ˆ ) sao cho:



M ˆ  ˆ

2

To¸n tö Nˆ ® îc gäi lµ tÝch cña Lˆ víi Mˆ (viÕt N ˆ  L ˆ M ˆ ), nÕu lu«n cã:

) ˆ ( ˆ

N 

3

Nãi chung, L ˆ M ˆ  M ˆ L ˆ

Trong tr êng hîp L ˆ M ˆ  M ˆ L ˆ, ta nãi

Tiếp theo, nếu Lˆ là một toán tử,  là một số (phức) và 

là một hàm sao

cho:



 

(2.2)

 là một trị riêng, còn  là hàm riêng ứng với trị riêng 

của toán tử Lˆ

thi ta

nói

Ví dụ: Xét toán tử

x

L











dx

d







x

e

  C 1ex

Nh vậy, mọi số phức đều có thể là trị riêng của toán tử

x



 , và với 

cho tr ớc thi hàm riêng tr ơng ứng là mọi hàm có

dạng:

x e z y C

z y

 ( x , y , z )  C 1( y , z ) ex

 ( , , )  1( , )

Tập hợp mọi trị riêng của một toán tử gọi là phổ của nó Phổ có thể là liên tục, tức là có dạng một khoang trên trục số, nh tr ờng hợp phổ của toán tử

x





; nó cũng có thể là rời rạc, tức là gồm nhung điểm rời nhau.

Các đại l ợng với phổ rời rạc sẽ đ ợc gặp ở những bài tiếp theo

4 Tính bất định của đại l ợng l ợng tử

Trong vật lý cổ điển, mỗi đại l ợng vật lý là một biến số hoặc biến vector với

những giá trị hoàn toàn xác định

Việc chuyển từ biến số sang toán tử đồng nghĩa với việc kh ớc từ tính xác

định

Đại l ợng vật lý nói chung không có giá trị cụ thể nào, nếu hàm trạng thái của

hạt không phải là hàm riêng của toán tử t ơng ứng, vì nh ta đã nói, đại l ợng L ứng với toán tử (nói tắt là đại l ợng L ) nhận giá trị  khi và chỉ khi hàm trạng thái thoả mãn hệ thức Nếu không tồn tại  sao cho hệ thức này đúng thì trong trạng thái ,  , L không có giá trị nào

Lˆ

Lˆ



 

Lˆ

5 Tính thực của đại l ợng vật lý và tính hermitic của toán tử

Toán tử ˆL ' đ ợc gọi là toán tử liên hợp của toán tử Lˆ

nếu với mọi cặp hàm  ,  (xác định trong không gian 3 chiều) đều có:

dv L

dv

 ( L ˆ '  )  dv    ( L ˆ  ) dv

đ ợc hiểu là tích phân 3 lớp

theo toàn bộ không gian (chứ

không phải tích phân bất

định)

đ ợc hiểu là tích phân 3 lớp

theo toàn bộ không gian (chứ

không phải tích phân bất

định)

ký hiệu phép lấy liên hợp

phức

ký hiệu phép lấy liên hợp

phức

Trên thực tế có thể hiểu là ,  thoa mãn điều kiện là

)

(r 

 (r) tiến đến 0 đủ nhanh khi r   

, thậm chí có thể coi là  (r  ) =  (r  ) = 0 khi r  đủ lớn

a

Toán tử tự liên hợp của Lˆ ký hiệu là Lˆ Nếu Lˆ = Lˆ thi ta nói Lˆ

là toán tử tự liên hợp hay toán tử hermitic (tên toán tử lấy theo tên của nhà toán học ng ời Pháp C Hermite)

Một toán tử là hermitic khi và chỉ khi mọi trị riêng của nó đều là thực Thật vậy, gia sử Lˆ là toán tử hermitic và

 là một hàm riêng ứng với trị riêng 

Khi đó Lˆ 

Mặt

khác:



 ( L ˆ  ) dv    ( L ˆ  ) dv

 ( L ˆ  ) dv   ( L ˆ  ) dv

nên:



 (  ) dv    (  ) dv

tức là









    dv      dv



từ đó suy ra   hay  là số thực

Lˆ

đều thực thi Lˆ là toán tử hermitic

Hãy tự tìm cách chứng minh phần đảo, tức là nếu mọi trị riêng của