TÀI LIỆU CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC (TK) II. HÀM SÓNG III. TOÁN TỬ (OPERATOR) IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER V. HẠT TRONG HỐ THẾ VI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM CƠ HỌC LƯỢNG TỬ II. HÀM SÓNG (Wave fuction) 1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách nguồn O một đoạn : Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phương truyền sóng: Hàm sóng ở dạng phức: vì  OMr  )r.ktsin(A) v.T r.2 tsin(A)t,r(       )]rkt(iexp[A)t,r(     k  n 2 k      )}rktsin(i)rkt{cos(A)t,r(       }sini{cosAAe i   1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóng Theo thuyết sóng ánh sáng: Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m 2 trong 1 s gọi là mật độ hạt: Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô của hạt chuyển động nhanh có bình phương của biên độ: 2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bất kỳ mà hạt cư trú là 1.0. 3. Điều kiện của hàm sóng: 1- Giới nội. 2- Đơn trị. 3- Liên tục. 4- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục. 2 i.i2 *Aee.AAI   2i.i 2 AAee.A*.)t,r(p    2 A*)t,r(   1dV)t,r(*).t,r( V    4. Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyển động tự do có năng lượng và xung lượng Tính tần số góc: Còn véctơ sóng: Hàm sóng viết dưới dạng: mvP    c hhE . Ehc . h 2c2 2             P n h h 2 n 2 k        )]r.kt(iexp[A)t,r(     ]rPEt)[ i exp(A     Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm Vận tốc Pha: Vận tốc truyền sóng sao cho pha là không đổi: suy ra : hay: Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng  Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng. const)dxx(P)dtt(EPxEt  PdxEdt  v c v.m c.m P E dt dx u 22  Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động của toàn bộ bó sóng. Vận tốc nhóm của bó sóng bằng vận tốc của hạt chuyển động. v mc mvc E Pc P E u 2 22     )]rkt(iexp[A)t,r(     III. TOÁN TỬ (OPERATOR) 1. Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó thành một hàm khác: Ví dụ : )t,z,y,x(g)t,z,y,x(fA ˆ  xt4)zyx2(A ˆ 2  2. Một số toán tử thông dụng A-Toán tử đạo hàm: Ví dụ: dx d A ˆ  2)zyx2( dx d )zyx2(A ˆ 22  321 e z e y e x dGra            3 2 21 22 eyeyz2e2)zyx2()zyx2(dgra    2 2 2 2 2 2 zyx A ˆ          2 22 2 22 2 22 2 z )zyx2( y )zyx2( x )zyx2( )zyx2(A ˆ          z2)zyx2(A ˆ 2  zyx2)z,y,x(f 2  C-Toán tử Laplace: Ví dụ : B-Toán tử grad: Ví dụ : A. PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ 1. PHÉP CỘNG: Ví dụ : C ˆ B ˆ A ˆ  zxyx22)z,y,x(f)x dx d ()zyx2(C ˆ 222  2. PHÉP TRỪ Ví dụ: D ˆ B ˆ A ˆ  zxyx22)zyx2(D ˆ 222  )fB ˆ (A ˆ f)B ˆ .A ˆ (  zyx4)}zyx2(x{ dx d f)B ˆ .A ˆ ( 22  )fA ˆ (B ˆ f)A ˆ .B ˆ (  xB ˆ ; dx d A ˆ  3. PHÉP NHÂN Ví dụ : zyx2)z,y,x(f 2  D ˆ E ˆ A ˆ B ˆ  x2)}zyx2( dx d {xf)A ˆ B ˆ ( 2  f)B ˆ .A ˆ (f)A ˆ .B ˆ (  B. GIAO HOÁN TỬ 1. Định nghĩa: Ví dụ : A ˆ .B ˆ B ˆ .A ˆ  0)yz2( dx d )}zyx2( dy d { dx d )zyx2(B ˆ .A ˆ 22  z ˆ ,y ˆ ,x ˆ dy d B ˆ ; dx d A ˆ  2. Các toán tử giao hoán được zyx2)z,y,x(f 2  0)2( dy d )}zyx2( dx d { dy d )zyx2(A ˆ .B ˆ 22  dz d ; dy d ; dx d 2 2 2 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d xy ; yx 22     3. Các toán tử không giao hoán được dz d ;z dy d ;y dx d ;x zy ; yx 22     Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ? 2. Tổ hợp toán tử giao hoán được Khi mà )D ˆ C ˆ )(B ˆ A ˆ (  A ˆ D ˆ D ˆ A ˆ A ˆ C ˆ C ˆ A ˆ  B ˆ D ˆ D ˆ B ˆ B ˆ C ˆ C ˆ B ˆ  321 e z e y e x dGra            2 2 2 2 2 2 zyx A ˆ          321 ezeyexr ˆ   r ˆ dGra    C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR) 1. Định nghĩa: cho các hàm f 1 f 2 …f n và các hằng số c 1 c 2 …c n A là TT tuyến tính Các TT tuyến tính   ]f.A ˆ [c}f.c{A ˆ iii 321 e z e y e x dGra            2 2 2 2 2 2 zyx A ˆ          321 ezeyexr ˆ   Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính không ? 2 2 2 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d ; dz d ;z; dy d ;y; dx d ;x r ˆ dGra    Lagrange [...]... toán tử thông dụng trong Cơ lượng tử 1 TT tọa độ= Tương ứng phép nhân ˆ ˆ ˆ ˆ x, y, z, r 2 Các toán tử xung lượng ˆ Pz i ˆ Py z i ˆ Px y i x 3 toán tử xung lượng tòan phần ˆ P i i [e1 e2 x 4 toán tử năng lượng: ˆ P2 2m 2 2m 2 ( x 2 toán tử thế năng 2 y 2 y E 2 z 2 e3 P2 2m z ] U( x , y, z) ) ˆ U ( x , y, z ) U ( x , y, x ) PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Ý nghĩa 1 Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng. .. TRÌNH SCHRODINGER Các tiên đề trong Cơ lượng tử 1 Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số thực bằng chính giá trị của đại lượng a Ví dụ H là toán tử năng lượng có trị riêng là E 2 Hệ thức của các TT có hình thức giống hệt như các đại lượng cổ điển tương ứng Ví dụ: TT tọa độ là phép nhân TT mômen xung lượng L ˆ ˆ ˆ ˆ x, y, z, r [ r x.P]... riêng là E Hàm â-(x) cũng là nghiệm riêng của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E Kết qủa về mức năng lượng 1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn E 2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương E 0 và là năng lượng ở nhiệt độ 0K ?? 3- Mức thứ J bất kỳ có giá trị Ej ( j 0,5) 1 2 NGHIỆM CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Nghiệm ở trạng thái cơ bản u0: khi đó Nếu tác dụng hạ bậc sẽ không còn sóng Phương trình... , y, z ) k 2mE A sin kx ka 0 sin n Lưu ý tại x=a thì hàm sóng bằng không Asin Kết quả: ka 2 k2 n 2m En n kn n2 2 2 2ma 2 n a k 2 n n2 2 a2 2E n m 2 n 1,2,3 Kết luận về mức năng lượng: 1- Năng lượng bị lượng tử hóa 2- Năng lượng tỉ lệ với bình phương các số nguyên 3- E1 là mức thấp nhất (Ground state) 4- Từ E2 lên trên là mức kích thích (excited state) 5- Khỏang cách các mức không đều 2 E En 1 En 2... )] 2- Ýnghĩa và tính chất hàm sóng c2 uP ;uN v 3-Vận tốc pha và nhóm v 4- Toán tử và các phép toán của Toán tử Toán Tử Hermitte 5- Giao hoán tử và các tính chất Hàm riêng trị riêng 2 6- PT Schrodinger [ 2m U ( x , y , z )] ( x , y , z ) 7- Hạt trong hố thế n (x) 2 sin(k n x ) a 2 2 n x sin( ) a a k2 n 2m En Ej 8- Dao động tử điều hòa u 0 (x) E ( x , y, z ) n2 2 2 2ma 2 ( j 0,5) m 1/ 4 exp( 9- Hiệu ứng... PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỤC ĐÍCH KHI GIẢI 1 TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượng và xem nó có bị gián đọan không (lượng tử hóa) 2 TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất những nơi tìm thấy hạt (đám mây điện tử) Xác định hàm mật độ xác suất CÁC LƯU Ý KHI GIẢI 1 BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường đó là một phép nhân Nếu đơn giản thì U=0 2 CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D Đơn giản là 2 2 một chiều khi... x )u n ( x ) 2 Xét hai toán tử tăng và giảm: ˆ a 1 d [ 2 m i dx im E n u n (x) ˆ ˆ a ,a x] Lấy phép nhân 2 toán tử đó viết lạI PT Schrodinger ˆ u ( x ) {(a a ) 1 }u ( x ) E u ( x ) H n n n n 2 V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Ta chứng minh được luận điểm sau: Nếu U(x) là nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger với trị riêng E thì hàm â+(x) cũng là nghiệm riêng của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E Hàm â-(x) cũng... y, z, t ) Nếu năng lượng là không đổi ( r , t) A exp( iEt ) (r) A exp( iEt ) ( x , y, z ) 2 PT Schodinger không phụ thuộc t ˆ ˆ H ( r ) H ( x , y, z ) E ( x , y, z ) 2 [ U ( x , y , z )] ( x , y , z ) E ( x , y, z ) 2m Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng - Hàm riêng mô tả trạng thái GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỤC ĐÍCH KHI GIẢI 1 TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượng và xem nó có... suất tìm thấy hạt tỉ lệ với mức năng lượng thứ n U(x) U(x) n=1 x a U(x) n=2 n=3 x a x a Kết quả: nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính các nghiệm f (x) cn n 2 a c n sin( n x ) a Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian (x, t) 2 a (x) exp( iEt) 2 n x cn sin( ) exp( iEn t) a a n x n2 2 c n sin( ) exp( i t) 2 a 2ma Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Trong 1D : Hệ chịu tác động... Dùng điều kiện chuẩn hóa Và viết lại hàm cơ bản: u 0 (x) m 1/ 4 0 m 2 A 0 exp( x ) 2 u 0 (x) Giải được nghiệm: ˆ a u 0 (x) 0 Biên độ sóng là A0 m 1/ 4 m 2 exp( x ) 2 Hàm ở trạng thái m u m (x) m ˆ (a ) u 0 ( x ) (a ) m m 1/ 4 m 2 exp( x ) 2 Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian m (x, t) um (x) exp( iEmt) Kết quả: cho trường hợp 3D hạt trong hộp vuông Kết quả: Về năng lượng EN ( nx ny nz 3 ) 2 (N nx ny nz . trong Cơ lượng tử 1. Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số thực bằng chính giá trị của đại lượng a. Ví dụ là toán tử năng lượng. nguyên lý bất định. Các toán tử thông dụng trong Cơ lượng tử 1. TT tọa độ= Tương ứng phép nhân r ˆ ,z ˆ ,y ˆ ,x ˆ  2. Các toán tử xung lượng 4. toán tử năng lượng: toán tử thế năng x iP ˆ x   . LIÊN TỤC (TK) II. HÀM SÓNG III. TOÁN TỬ (OPERATOR) IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER V. HẠT TRONG HỐ THẾ VI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM CƠ HỌC LƯỢNG TỬ II. HÀM SÓNG (Wave fuction) 1.