CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 30 ppt

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 30 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ HAI HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những bài toán đặc trưng của Cơ học lượng tử là bài toán sau. Xét một hạt hoặc “một hệ hạt” theo một đặc trưng đại lượng vật lý L nào đó. Giả sử L có phổ là L 1 , L 2 ,…, L n ,…, và ở thời điểm t 0 = 0, hạt ở trạng thái cơ bản Sau thời gian t, hạt sẽ ở trạng thái mới là n tức là mô tả bởi hàm riêng ( ) x nn ψψ = (x có thể là một hoặc bộ tọa độ) ( ) tx, ψ như vậy theo giả thiết thì ( ) ( ) xx n ψψ = 0, HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nói chung, trong trạng thái ( ) tx, ψ đại lượng L không có giá trị cụ thể nào Bây giờ, nếu tiến hành đo đại lượng L thì ta sẽ nhận được một trong các giá trị L 1 , L 2 ,…. Xác suất để nhận được giá trị thứ m (tức là L m ) sẽ là ( ) 2 tc m , nếu ( ) ( ) ( ) ∑ = k kk xtctx ψψ , (30.1) ( ) 2 tc m (phụ thuộc t) gọi là xác suất chuyển dời sau thời gian t từ trạng thái n vào trạng thái m HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Việc tìm xác suất đó chính là mục đích của bài toán về chuyển dời lượng tử. Để giải những bài toán như vậy, ta cần sử dụng phương pháp nhiễu loạn thứ hai HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ hai Xét phương trình Schrodinger: ( ) ψψ ψ tx,W ˆˆ 0 += ∂ ∂ H t i (30.2) ( ) tx,W ˆ là nhiễu loạn nhỏ. Đại lượng L ta xét ở đây sẽ là năng lượng của hạt, với các mức E 1 , E 2 ,… là các trị riêng của 0 ˆ H Hàm trạng thái của hạt ta sẽ viết dưới dạng: ( ) ( ) ( ) t iE k kk k extctx  − ∑ = ψψ , (30.3) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam n m xác suất chuyển dời từ trạng thái vẫn là ( ) ( ) 2 tctp mm = Thế (30.3) vào (30.2) ( ) ( ) ( ) t iE k kk k extctx  − ∑ = ψψ , ( ) ψψ ψ tx,W ˆˆ 0 += ∂ ∂ H t i sau đó nhân hai vế với ( ) t iE m k ex  * ψ rồi lấy tích phân theo x, ta được: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( ) ( ) ∑ = k k ti mk m tcetW dt dc i mk ω  (30.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ = dxxtxWxtW kmmk ψψ , ˆ * (30.5)  km mk EE − = ω (30.6) Rõ ràng, để tìm được các biểu thức của xác suất p m (t), ta cần phải giải hệ (30.4) để tìm ra các hàm c m (t) với điều kiện là: ( ) nkk c δ = 0 (30.7) nếu trạng thái ban đầu là n ψ - hàm riêng của 0 ˆ H ứng với trị riêng E n HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Để giải bài toán này, ta dùng phương pháp đặc biệt sau đây. Trước hết, chọn một bộ hàm số ( ) ( ) , , )0( 2 )0( 1 tctc Tùy ý (thỏa mãn điều kiện ban đầu(30.7)), sau đó tìm bộ hàm số ( ) ( ) , , )2( 1 )1( 1 tctc sao cho: ( ) ∑ = k k ti mk m cetW dt dc i mk )0( )1( ω  (30.8) cứ thế theo tiến trình quy nạp, ta tìm bộ hàm số ( ) ( ) , , )( 2 )( 1 tctc qp ( ) ∑ − = k p k ti mk p m cetW dt dc i mk )1( )( ω  (30.9) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam .v.v… Khi đó, nếu cho +∞→ p ta sẽ có ( ) ( ) , )( tctc m p m → và cố nhiên ( ) ( ) , )1( tctc m p m → − nên ( ) , tc m thỏa mãn (30.4). ( ) ( ) ∑ = k k ti mk m tcetW dt dc i mk ω  Bộ hàm số đầu tiên ( ) tc m 0 có thể lấy dựa vào suy luận sau Do các hàm W mk (t) là nhỏ nên trong xấp xỉ thô, ta có thể thay (30.4) bởi hệ: 0 = dt dc i m  (30.10) Ta sẽ lấy ( ) tc m 0 từ điều kiện (30.10). Khi đó ( ) tc m 0 phải là các hằng số [...]... + Wα*n e −iωt Thế (30. 22) vào (30. 19), ta được : (30. 21) (30. 22) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam i [ E ( α ) − En +  ω ] t  i [ E ( α ) − En −  ω ] t  1− e * 1− e (30. 23) c ( α , t ) = Wαn + Wαn E (α ) − En +  ω E (α ) − En −  ω Chú ý rằng về giá trị tuyệt đối thì tử số ở hai số hạng trong (30. 23) là ngang cấp (1) Mặt khác, trong các bài toán thực tế, ta... (1) m HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đặc biệt , nếu niễu loạn không phụ thuộc thời gian, tức là Wmn(s) = Wmn = const, thì: T i ( c m1) = δ mn − Wmn ∫ e iωmn s ds (30. 14)  0 với m ≠ n, (30. 14) trở thành: Wmn i 1 iω mnT (1) c m = − Wmn e −1 = 1 − e iωmnT (30. 15)  iω mn Em − En i Đồng thời: (1) c n = 1 − WmnT (30. 16)  Thế (30. 15) vào (30. 13), ta được: ( dc m2)... t  dα (30. 17) được chuẩn hóa về δ ( α − α ') ψ * ( α , x )ψ ( α ' , x ) dx = δ ( α − α ') ∫ (30. 18) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tương tự trường hợp phổ rời rạc, ta có: i [ E ( α ) − En ] t − t i c ( α , t ) = − ∫ Wαn ( s )e  (1) trong đó:  ds (30. 19) Wαn ( t ) = ∫ψ * ( α , x )W ( x, t )ψ n ( x ) dx (với giả thiết là lúc đầu hạt ở trạng thái n (30. 20) ứng... UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Do điều kiện (30. 7) nên ta có c ( t ) = δ nk 0 k ( dc m1) i = ∑ Wmk ( t ) e iωmk t δ nk =Wmn ( t ) e iωmnt dt k t i ( c m1) ( t ) = ∫ Wmk ( s ) e iω s ds + δ mn Do đó:  0 ( dc m2 ) ( i = ∑ Wmk ( t ) e iωmk t c k1) ( t ) Ta lại có dt k (30. 11) mk từ đó ta tìm được bộ hàm số ( 2) 1 c Sau một số bước, ta sẽ được bộ (t) , ( p) 1 c c (30. 12) (30. 13)... (1) * αn (30. 24) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, nếu dừng ở xấp xi bậc 1 mật độ xác suất chuyển sang trạng thái với mức năng lượng E(α) sau thời gian t là : c (1) (α , t ) 1− e 2 = Wαn 2 i [ E ( α ) − En −  ω ] t  (30. 25) 2 E (α ) − En −  ω 2 Nói cách khác, xác suất để sau thời gian t hệ chuyển (từ trạng thái n ) sang một trạng thái có năng lượng nằm... Nguyễn Văn Quang: Tương tác trao đổi HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ... −  ω ] t 2 E (α ) − En −  ω 2 dα HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý rằng, để nhận được công thức cho trường hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, cần lấy ω=0 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Danh sách những người bảo vệ tiểu luận và chuyên đề: 1 Quách Văn Bảo: Bài toán nhiễu loạn và hiệu ứng Zeeman 2 Lê Thị Hà: Spin... thuyết 3 Lý Hoàng Liên: Sơ lược về sự hình thành các học thuyết về cấu tạo nguyên tử 4 Phạm Văn Tiến: Bảng hệ thống tuần hoàn theo quan điểm CHLT 5 Nguyễn Thị Bé: lớp 3 d để lại) 6 Đỗ Thị Thảo: Lý thuyết thuận từ điẹn tử 7 Lê Hải Anh: Mô hình electron liên kết yếu 8 Lê Trọng Duy: 4 f 9 Trần Văn Ngãi: Hiệu ứng xuyên ngầm 10.Nguyễn Đăng Nguyên: Tương tác spin-spin 11.Lê Gia Phán: Phương trường trung bình hiệu... t iω knT iω mn t  i = ∑ Wmk e 1− e +Wmn e 1 − WmnT  dt Ek − En    k ≠n [ ] [ ( từ đó dễ dàng tìm được ( c m2 ) ) ] HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3, Tổng quát hóa cho phổ tùy ý Ở đây ta đã làm việc với phổ năng lượng rời rạc Bây giờ ta xét phổ tùy ý, gồm tập hợp các giá trị E1, E2,… với các hàm riêng tương ứng ψ1, ψ 2,… và các giá trị E(α), với α là một... iωmk t c k1) ( t ) Ta lại có dt k (30. 11) mk từ đó ta tìm được bộ hàm số ( 2) 1 c Sau một số bước, ta sẽ được bộ (t) , ( p) 1 c c (30. 12) (30. 13) ( 2) 2 (t) , (t) c ,… ( p) 2 (t) ,… HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Rất may mắn là với Wmn rất nhỏ thì ngay sau bước thứ hai, ta đã được kết quả rất chính xác, tức là có thể lấy ( c m2 ) ( t ) thay cho cm ( t ) Bây giờ . DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 30 PHƯƠNG PHÁP. UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những bài toán đặc trưng của Cơ học lượng tử là bài toán sau. Xét một hạt hoặc “một hệ hạt” theo một đặc trưng đại lượng vật. (30. 14) với m ≠ n, (30. 14) trở thành: [ ] [ ] Ti nm mn Ti mn mnm mnmn e EE W e i W i c ωω ω − − =−−= 11 1 )1(  (30. 15) Đồng thời: TW i c mnn  −= 1 )1( (30. 16) Thế (30. 15) vào (30. 13), ta được: (