CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 14a ppt

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT TỪ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Mật độ dòng Xét phương trình Schrưdinger ∂ψ 2 i =− ∇ ψ + Uψ ∂t 2µ ∂ψ * Cùng với phương trình liênhợp 2phức * i =− ∇ ψ * + Uψ ∂t 2µ (14.1) (14.2) ψ *và (14.2) với ψ Nhân (14.1) với lấy phương trình trừ phương trình kia, ta được:  * ∂ψ ∂ψ *  2 * =− (ψ ∇ ψ −ψ∇ 2ψ * ) i ψ +ψ  ∂t ∂t  2µ   (14.3) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vế trái phương trình ∂ * ∂ i ψ ψ = i ψ ∂t ∂t ( vế phải biến đổi tiếp thành:   *  ∂  ∂ψ  − ψ   2µ   ∂x  ∂x  Mặt khác:  ∂  ∂ψ +    ∂y  ∂y  ∂  ∂ψ +   ∂z ∂z   )  ∂  ∂ψ *  ∂  ∂ψ *  ∂  ∂ψ *     +  +    (14.4)   −ψ   ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z            ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ *   ψ   −ψ  ∂x  =  ∂x  ∂x  ∂x   * ∂  * ∂ψ  ∂ψ * ∂ψ ∂  ∂ψ *  ∂ψ ∂ψ * = ψ − ψ −  ∂x  − ∂x ∂x =  ∂x  ∂x  ∂x ∂x ∂x   ∂  * ∂ψ  ∂  ∂ψ *  = ψ  − ψ  ∂x   ∂x  ∂x  ∂x   HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam tương tự với thành phần toạ độ y z nên (14.4) trở thành: 2 2 * * [div(ψ ∇ψ ) − div(ψ∇ψ )] = − 2µ div[ψ *∇ψ −ψ∇ψ * ] − 2µ Do đó, (14.3) viết lại sau: ∂ i ψ = div[ψ *∇ψ −ψ∇ψ * ] ∂t 2µ (14.5) Vì ta xét chuyển động hạt, mà   ρ( r ) = ψ ( r )  mật độ xác suất tìm thấy hạt vị trí r  nên coi ρ ( r ) “mật độ hạt” tai  r HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy, vế trái (14.5) tốc độ biến thiên mật độ xác suất tìm thấy hạt  i Đặt * * div ψ ∇ψ − ψ∇ψ = j 2µ (14.5) trở thành:  ∂ρ + divj = (14.6) ∂t [ ] So sánh với phương trình tương tự Cơ học cổ điển, lẽ tự  nhiên ta cần coi j mật độ dòng coi (14.6) phương trình biểu diễn tính liên tục mật độ dịng xác suất Vì dịng có hạt nên điện tích  hạt q qj mật độ dòng điện HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Biểu diễn gradient hệ toạ độ địa phương Để tốn dịng trường xun tâm bớt phức tạp, ta cần biểu diễn gradient hàm trạng thái hệ toạ độ đặc biệt Tại điểm M0 không gian với ba toạ độ r0 , θ , ϕ ta xét hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư Trước hét xét mặt cầu r = r0 Trên hình vẽ, đường viền mặt cầu đường tròn mầu đen Ta hình dung mặt cầu “trong suốt”, nghĩa đường bên khơng cần vữ đứt đoạn HONG DUC UNIVERSITY Trục toạ độ địa , , phương thứ biểu diễn mũi tên màu đỏ 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam hướng dọc theo đường sinh này, theo chiều tăng r z Giao tuyến mặt nón với mặt phẳng Trục toạ độ thứ M0 đường sinh mặt hai biểu diễn nón mũi tên màu xanh hướng Trục toạ độ thứ ba biểu y theo đường tròn diễn mũi tên màu tím O này, theo chiều hướng dọc theo đường tăng θ trịn màu tím, theo chiều x Giao tuyến mặt cầu mặt nón đường trịn tăng ϕ Giao tuyến mặt phẳng mặt cầu đường tròn HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Dòng điện trường xuyên tâm Quay lại toán chuyển động điện tích –e trường xuyên tâm điện tích Ze xét trạng thái dừng với M z = m Trước hét xét mặt cầu r = r0 Tiếp theo, xét mặt θ = θ Cuối mặt phẳng ϕ = ϕ Chú ý ba trục toạ độ địa phương kể pháp tuyến mặt cầu, mặt nón mặt phẳng M0 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nếu chiếu vector ∇ψ lên ba trục toạ độ tương ứng z M0 ∂ψ dr ∂ψ r dθ ∂ψ r sin θ dϕ y O x HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Quay lại toán chuyển động điện tích –e trường xuyên tâm điện tích Ze xét trạng thái dừng với M z =  m Ta viết lại hàm trạng thái trường hợp này: ~m imϕ ψ nlm = Rnl ( r ) Liên hợp phức ψ * nlm 4π Pl ( cos θ ).e (14.7) ψ nlm là: ~m = Rnl ( r ) .Pl ( cos θ ).e −imϕ 4π Bây ta tìm toạ độ vector  j (14.8) hệ toạ độ địa phương M(r,θ,ϕ) Dễ thấy hai toạ độ đầu trục r, θ là: HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam * ∂ψ nlm ∂ψ nlm i  * ψ nlm jr = − ψ nlm  2µ  ∂r ∂r * ∂ψ nlm i  * ψ nlm jθ = − ψ nlm µr  ∂θ   =0   ∂ψ nlm  =0 ∂θ   ∂ψ nlm = imψ nlm ∂ϕ Tiếp theo, ta có: * ∂ψ nlm * = −imψ nlm ∂ϕ  Vì vậy, toạ độ thứ ba j là: i − im m * * jϕ = ψ nlmψ nlm + ψ nlmψ nlm = ψ nlm 2µ r sin θ µr sin θ ( ) (14.9) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Do jr jθ nên nói khơng có dịng điện chạy xa dây dẫn lại gần so với gốc toạ độ (tức điểm đặt điện tích Ze) khơng có dịng chạy theo “kinh tuyến”, mà có dịng điện chạy vịng mặt phẳng vng góc với phương  ˆ mà mà hình chiếu M có giá trị xác định (ở trục Oz) Với r θ xác định mật độ dịng tỷ lệ thuận với mật độ xác suất tìm thấy hạt Như vậy, tranh dịng điện phù hợp với cách hình dung cổ điển chuyển động trường xuyên tâm Khác biệt không xác định vị trí quỹ đạo HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Moment từ dòng điện tròn   Ta tính moment từ dịng điện với mật độ J = −ej  j cho ba toạ độ j r = jθ = jϕ cho (14.9), theo mẫu Vật lý cổ điển Cường độ dịng điện chuyển qua tiết diện vng góc với phương dòng điện bằng: dI = −ejϕ dσ (14.10) Moment từ sinh dòng điện dI là: dMz = − S.dI c (14.11) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam c vận tốc ánh sang chân khơng, S diện tích hình trịn xác định sau: hình trịn nằm mặt phẳng vng góc vớI Oz, tâm hình trịn giao điểm O’ mặt phẳng vớI Oz biên qua điểm M tiết diện dσ (do tiết diện nhỏ nên M lấy đó) πr sin θ πr sin θ e m (14.12) e jϕ dσ = ψ nlm dσ dMz = c c µ với dσ hình vẽ, tức gồm điểm mà khoảng cách tới O nằm r r+dr vĩ độ nằm θ θ+dθ dσ=rdrdθ nên πr sin θ e m ψ nlm drdθ dMz = c µ (14.13) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Lấy tích phân theo giá trị r (từ đến +∞) theo giá trị θ (từ đến π), ta moment từ tồn phần dịng điện:  πe m π  ∞ 2 mz = ∫  ∫ ψ nlm r dr  sin θdθ  µc    ψ nlm khơng phụ thuộc vào ϕ 2π = (14.14) 2π ∫ dϕ nên (14.14) viết thành: mz = e m µc (14.16) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam tức là: mz = mBm (14.17) với MB= e magneton Bohr 2µc Như vậy, moment từ dòng điện tròn số ngun lần magneton Bohr Cơng thức (14.17) viết thành: mB= e Mz 2µc e µc tức moment từ lần moment học HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ... − ψ∇ψ = j 2µ (14.5) trở thành:  ∂ρ + divj = (14.6) ∂t [ ] So sánh với phương trình tương tự Cơ học cổ điển, lẽ tự  nhiên ta cần coi j mật độ dòng coi (14.6) phương trình biểu diễn tính liên... Như vậy, moment từ dòng điện tròn số nguyên lần magneton Bohr Cơng thức (14.17) viết thành: mB= e Mz 2µc e µc tức moment từ lần moment học HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh...HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT TỪ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet