CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 26 pdf

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 26 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán về phương trình chuyển động của electron sang trường hợp hạt ở trong điện - từ trường. Sau khi nêu ra phương trình, ta sẽ thảo luận một vài vấn đề liên quan Sau đó, ta sẽ chứng mimh rằng trong trường hợp electron có năng lượng thấp thì từ phương trình chuyển động tương đối tính (phương trình Dirac trong điện - từ trường) có thể rút ra phương trình Pauli, Nghĩa là lý thuyết Schrödinger - Pauli có thể coi như phù hợp gần đúng với lý thuyết Dirac. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Phương trình Dirac trong điện - từ trường. Phép liên hợp điện tích Trong lý thuyết cổ điển (phi lượng tử và phi tương đối tính), năng lượng của hạt tự do, như ta đã biết, được cho bởi hàm Hamilton: Nếu hạt ở trong điện - từ trường với thế vô hướng Φ vàthế vector thì (26.1) phải được thay bởi: trong đó q là điện tích của hạt. Theo nguyên lý Bohr, khi hạt ở trong điện - từ trường, trong phương trình Dirac ta cũng thực hiện một phép thay thế như vậy. Cụ thể, với electron (có điện tích -e), phương trình trong trường hợp có điện - từ trường sẽ là: ( ) (26.1) 222 2 1 yyx ppp m H ++= (26.2) 2 z 2 y 2 x Φ+               −+       −+       −= e A c q pA c q pA c q p m H zyx 2 1 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cùng với (26.3), ta xét phương trình sau: Phương trình này cũng được gọi là phương trình Dirac (cho electron trong điện từ trường) (26.3) emc A c e pA c e p A c e pc t i zzyyxx ψαααα ψ       Φ−+             −+       −+       −= ∂ ∂ 4 2 321  (26.4) emc A c e pA c e p A c e pc t i zzyyxx ' ' 4 2 321 ψαααα ψ       Φ−+             −+       −+       −= ∂ ∂  Phương trình (26.4) gọi là phương trình liên hợp điện tích của (26.3) Có thể chứng minh rằng tồn tại một toán tử C ˆ ở dạng ma trận vuông cấp 4 sao cho: i. nếu ψ là nghiệm của (26.3) thì ψψ C ˆ ' = là nghiệm cuả (26.4); ψ ψ E t i = ∂ ∂  và '' ' ψ ψ E t i = ∂ ∂  thì E’ = -E. ii. nếu HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Phương trình (26.4) rõ ràng mô tả hạt có khối lượng m, spin 1/2 và điện tích e Do đó nếu (26.3) là phương trình cho electron thì (26.4) là phương trình cho hạt có khối lượng và spin giống như electron nhưng có điện tích đối dấu với electron. Ta gọi hạt đó là positron Việc (26.4) có nghiêm nói lên rằng, khái niệm về positron là có ý nghĩa Vật lý. Sự tồn tại trạng thái với năng lượng E<0 như nghiệm của phương trình Dirac bây giờ cũng được nhìn nhận dưới góc dọ khác: nó hoàn toàn tương ứng với nghiệm có năng lượng dương E ’ = - E của (26.4) Nói cách khác, việc phương trình Dirac cho nghiệm với tham số năng lượng E lấy giá trị âm là tương đương với việc phương trình (26.4) có nghiệm với năng lượng dương, và sự kiện toán học này cần phải được gán một ý nghĩa Vật lý: đó là sự tồn tại đối hạt cuả electron. Toán tử gọi là phép liên hợp điện tích C ˆ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Phương trình Pauli như trường hợp giới hạn của của phương trình Dirac Ta biết rằng, nếu có hai phương trình cùng mô tả một hiện tượng vật lý, trong dó một phương trình là phi tương đối tính, còn phương trình kia là tương đối tính, thì độ tin cậy của mỗi phương trình sẽ tăng lên, nếu chỉ ra được rằng: Khi hệ vật lý có năng lượng nhỏ (gần với năng lượng nghỉ mc 2 ) phương trình tương đối tính sẽ biến thành phương trình phi tương đối tính. Nói chính xác hơn, phương trình phi tương đối tính phải là trường hợp giới hạn của phương trình kia khi cho E →mc 2 . Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, trạng thái dừng của electron trong điện - từ trường đã được mô tả bởi phương trình: ( ) (26.5) E H mc e eΦA c e p m ξξσ ' 2 ˆ 2 1 2 =         +−       −      HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam trong đó ( ) 321 ,, σσσσ =  gồm các thành phần là các ma trận Pauli:         = 01 10 1 σ         − = 0 0 2 i i σ         − = 10 01 1 σ Trong phương trình (26.5),         = 2 1 ξ ξ ξ là hàm trạng thái hai thành phần, cụ thể hơn là spinor ba chiều. Ta cần chứng tỏ rằng khi năng lượng toàn phần của hạt tiến đến mc 2 thì từ phương trình Dirac ta nhận được (26.5) theo mộ cách nào đó. Trước hết, ta viết lại phương trình (26.3) cho hạt trong điện - từ trường thành hệ sau:        −−       −= ∂ ∂ −+       −= ∂ ∂ (26.7) (26.6) eΦmcA c e pc t i eΦmcA c e pc t i 22 2 1 2 11 2 2 1 ˆ ˆ ηηησ η ηηησ η       Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong đó         = 2 1 1 ψ ψ η         = 4 3 2 ψ ψ η vẫn như trên, là bộ ba ma trận Pauli σ  Giả sử hạt ở trạng thái với năng lượng E>0 xác định. Khi đó ψ ψ E t i = ∂ ∂  nên từ (26.6), (26.7) ta có:        =−−       − =−+       − (26.9) (26.8) EeΦmcA c e pc EeΦmcA c e pc 222 2 1 111 2 2 ˆ ˆ ηηηησ ηηηησ     Từ (29.9) suy ra: (26.10) A c e p eΦmcE c 1 2 2 ˆ ηση       − ++ =   Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ giả sử E rất gần với mc 2 . Vì vậy mẫu số ở (26.10) có thể thay bằng 2mc 2 , tức là, một cách gần đúng ta có: (26.11) A c e p mc 12 ˆ 2 1 ηση       −=   Thế (26.11) vào (26.8) ta được ( ) (26.12) eΦA c e p mc mcE 1 2 1 2 ˆ 2 1 ηση           −             −=−   Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] (26.13) pAAp c e A c e pA c e p ˆˆˆˆ 2 2 2 2 2          σσσσσσσ +++=             − [...]... σH η = ˆ =  A + p  1 p  2mc  c 2mc c2    ( ) ( ) () ( )  1  e  ˆ =  p+ c  2mc   ( ( ) ) ( )  2 e     A  − eΦ + σH η1 2mc    ( ) (26. 16) Mặt khác, vì E’=-E-mc2 chính là năng lượng cổ điển của hạt nên vế trái ˆ của (26. 12) có thể viết thành Hη1 ˆ với H là hamiltonian phi tương đối tính Như vậy, từ phương trình Dirac cho trường hợp E gần với mc2, ta có hamiltonian phi tương... ∂Az − ∂Ay ˆ  p  ∂y ∂z     ˆ ˆ = pA + Ap +  (σ H + σ 1 x 2   ∂Ay ∂Ax   ∂Ax ∂Az  iσ 1 − i  − iσ 2 − i    ∂x − ∂y iσ 3 =  ∂x   ∂z    H y + σ 3H z ) Từ (26. 14) và (26. 15) suy ra vế phải của (26. 12) bằng (26. 15) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2  1    e   2         ˆ − A  − eΦ η =  1  σp 2 + e σA 2 + e pA + Ap +  σH... nghĩa là phương trình Pauli coi như trường hợp giới hạn của phương trình Dirac Ở đây có sự đồng nhất hàm ξ trong (26. 15) với η1 ở (26. 12) Việc biến mất của ψ 3  η 2 =   không ψ   4 quan trọng vì hai lý do: (i) thứ nhất, do η2 đã tham gia vào biểu thức của η1 (ii) thứ hai, cũng do (26. 10), ta có η 2 là nhỏ nhất khi E gần với mc2 ... ) ] + ˆ ˆ ˆ ˆ + σ 1σ 2 ( p x Ay − Ay p x ) − ( p y Ax − Ax p y ) [ ] (26. 14) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì σ2σ3=iσ1, σ3σ1=iσ2và:σ2σ2=iσ3, , ∂ ˆ ( Azη ) = −i ∂Az η − i Az ∂η = −i ∂Az η + Az p yη ∂y ∂y ∂y ∂y ∂A ˆ y Az − Az p y = −i z , ˆ hay: p ∂y ˆ p y ( Azη ) = −i nên vế cuối của (26. 14) có thể viết tiếp thành:    ˆ A + Ap − i  ∂Az − ∂Ay ˆ  p . Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 26 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG. trình kia khi cho E →mc 2 . Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính, trạng thái dừng của electron trong điện - từ trường đã được mô tả bởi phương trình: ( ) (26. 5) E H mc e eΦA c e p m ξξσ ' 2 ˆ 2 1 2 =         +−       −      . được (26. 5) theo mộ cách nào đó. Trước hết, ta viết lại phương trình (26. 3) cho hạt trong điện - từ trường thành hệ sau:        −−       −= ∂ ∂ −+       −= ∂ ∂ (26. 7) (26. 6)