CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 14b pot

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT TỪ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Mật độ dòng Xét phương trình Schrödinger (14.1) ψψ µ ψ U t i +∇−= ∂ ∂ 2 2 2   Cùng với phương trình liên hợp phức (14.2) **2 2* 2 ψψ µ ψ U t i +∇−= ∂ ∂   Nhân (14.1) với * ψ và (14.2) với ψ rồi lấy phương trình này trừ phương trình kia, ta được: ( ) (14.3) *22* 2* * 2 ψψψψ µ ψ ψ ψ ψ ∇−∇−=         ∂ ∂ + ∂ ∂   tt i HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vế trái của phương trình này chính là ( ) 2 * ψψψ t i t i ∂ ∂ = ∂ ∂  còn vế phải được biến đổi tiếp thành: (14.4)                         ∂ ∂ ∂ ∂ +         ∂ ∂ ∂ ∂ +         ∂ ∂ ∂ ∂ −             ∂ ∂ ∂ ∂ +         ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ − zzyyxxzzyyxx *** * 2 2 ψψψ ψ ψψψ ψ µ  Mặt khác:         ∂ ∂ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ −         ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∂ ∂ = =         ∂ ∂ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∂ ∂ xxxx xxxxxxxx xxxx * * *** * * * ψ ψ ψ ψ ψψψ ψ ψψψ ψ ψ ψ ψ ψ HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam và tương tự với các thành phần toạ độ y và z nên (14.4) trở thành: ( ) ( ) [ ] [ ] . 22 ** 2 ** 2 ψψψψ µ ψψψψ µ ∇−∇−=∇−∇− divdivdiv  Do đó, (14.3) có thể được viết lại như sau: [ ] (14.5) . 2 ** 2 ψψψψ µ ψ ∇−∇= ∂ ∂ div i t  Vì ta đang xét chuyển động của đúng một hạt, mà ( ) ( ) 2 rr  ψρ = là mật độ xác suất tìm thấy hạt ở vị trí r  nên có thể coi ( ) r  ρ như là “mật độ hạt” tai r  HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy, vế trái của (14.5) chính là tốc độ biến thiên của mật độ xác suất tìm thấy hạt. Đặt [ ] jdiv i   =∇−∇ . 2 ** ψψψψ µ khi đó (14.5) trở thành: (14.6) 0 =+ ∂ ∂ jdiv t  ρ So sánh với phương trình tương tự trong Cơ học cổ điển, lẽ tự nhiên ta cần coi j  là mật độ dòng và coi (14.6) là phương trình biểu diễn tính liên tục của mật độ dòng xác suất. Vì dòng chỉ có một hạt nên nếu điện tích của hạt là q thì jq  sẽ là mật độ dòng điện. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Biểu diễn gradient trong hệ toạ độ địa phương Để bài toán về dòng trong trường xuyên tâm bớt phức tạp, ta cần biểu diễn gradient của hàm trạng thái trong một hệ toạ độ đặc biệt. Tại mỗi điểm M 0 trong không gian với ba toạ độ 000 ,, ϕθ r ta xét một hệ gồm ba trục toạ độ xác định hư dưới đây. Trước hét xét mặt cầu 0 rr = Trên hình vẽ, đường viền của mặt cầu này là đường tròn mầu đen. Ta hình dung mặt cầu này là “trong suốt”, nghĩa là các đường bên trong nó không cần vữ đứt đoạn. HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam M 0 z y x O dr ψ ∂ , θ ψ dr ∂1 , ϕ ψ θ dr ∂ sin 1 HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. Dòng điện trong trường xuyên tâm Quay lại bài toán về chuyển động của điện tích –e trong trường xuyên tâm của điện tích Ze và xét trạng thái dừng với mM z  = Trước hét xét mặt cầu 0 rr = . Ta viết lại hàm trạng thái trong trường hợp này: ( ) ( ) (14.7) ϕ θ π ψ imm lnlnlm ePrR .cos ~ . 4 1 . = Liên hợp phức của nlm ψ là: ( ) ( ) (14.8) ϕ θ π ψ imm lnlnlm ePrR − = .cos ~ . 4 1 . * . City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 14 DÒNG ĐIỆN VÀ MOMENT. thành: (14.6) 0 =+ ∂ ∂ jdiv t  ρ So sánh với phương trình tương tự trong Cơ học cổ điển, lẽ tự nhiên ta cần coi j  là mật độ dòng và coi (14.6) là