CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3 potx

Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng.Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử c

BÀI 3:

CÁC TOÁN TỬ TOẠ ĐỘ, XUNG LƯỢNG

VÀ NĂNG LƯỢNG

Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng.Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng.

Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất

Xin điểm qua tinh thần của một vài cách

1 Toán tử xung lượng

Cách thứ nhất: Có thể xác định toán tử xung lượng xuất phát từ các

hệ thức tương tự như các hệ thức cho các “móc Poisson” trong Cơ học giải tích cổ điển

Cách thứ hai: Có thể xuất phát từ yêu cầu: tính bảo toàn của xung

lượng đối với hệ kín

Cụ thể, ta sẽ coi toán tử xung lượng là toán tử vector pˆ

gồm 3 thành phần pˆ, x , pˆ y pˆ z

sao cho pˆ nhận mọi vector p(p x, p y, p z)

làm trị riêng, và các hàm riêng tương ứng

là:

i pr

p r C e

ψ   = h trong đó C không phụ thuộc x, y, z.

trong đó ∇ là toán tử vector với 3 thành phần x , y , z

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

Thật vậy, ta

x

C i

r x

i p x p y p z x p

i







ψ

ψ

=

∂

∂

−

=

∂

∂

và tương tự với 2 thành phần còn lại Từ đó suy

ra: pˆψ p(r) = p.ψ p(r)

ˆ (3.2)

p = − ∇ih

toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử

(3.2) LÀ TOÁN TỬ XUNG LƯỢNG CẦN

TÌM

CHÚ Ý: NẾU CÒN PHỤ THUỘC CẢ VÀO THỜI GIAN t

THÌ SỰ PHỤ THUỘC ĐÓ SẼ ĐƯỢC THỂ HIỆN QUA

HỆ SỐ C (C KHÔNG PHỤ THUỘC X, Y, Z).

2 Hàm Dirac

Muốn xác định các toán tử toạ độ, ta cần đến khái niệm về một hàm số

đặc biệt gọi là hàm Dirac (do Paul Dirac nêu ra) Với mỗi số dương p,

xét hàm số trên trục số sao cho:f p (x )

(i) f p (x = 0 khi ) x ≤ − p hoặc x ≥ p

(i i) f p (x )p); tang trên khoang (-p; 0) và giam trên (0;

∫

−

=

p

p

p x dx

(iii)

Ngoài ra yêu cầu

dx

x

df p ( )

hay f p' ( x tồn tại với mọi x.)

Đồ thị của hàm số này có dạng như hình 1

Diện tích hình được gạch

chéo bằng 1

x

0

)

(x

f p

Khi cho p → 0 , hàm số f p (x )

tiến đén một hàm đặc biệt (hàm Dirac trên trục

số):







=

∞ +

≠

=

0

0 ,

0 )

(

x

x x

nÕu ,

nÕu

δ

Ta quy

ước:

1 )

( lim

) ( lim

) ( )

(

0

∫

−

→

+∞

∞

−

→

+

−

+∞

∞

−

=

=

=

=

p

p

p p

p

dx x

dx x

α α

δ δ

Ngoài ra, quy ước

thêm: +∞∫ ( x x0) f ( x ) dx f ( x0)

∞

−

=

−

δ

Chú ý: Dịnh nghiã chính xác của hàm Dirac có thể tim trong các

tài liệu về hàm suy rộng

được định nghĩa như giới hạn của tích f p ( x ) f p ( y ) f p ( z )

khi p → 0 Ta cũng có thể viết:

( ) r ( ) ( ) ( ) (3.1) x y z

Tuy nhiên, ở đây ta không cần chính xác hoá ở mức quá cao

Ngoài ra, chính định nghĩa kiểu “sơ khai” như trên có vẻ đẹp

riêng và mang “tính lãng mạn Dirac”.

Tiếp theo, hàm Dirac trong không gian 3

chiều

)

(r 

δ

và :







=

∞ +

≠

=

0

0 ,

0 )

(

r

r





nÕu ,

nÕu δ

đồng thời quy

v

à +∞δ ( r r f r dv f r0) ( ) ( ) (3.3)0

−∞

TRONG (3.2) VÀ (3.3) NÓI ĐẾN TÍCH PHÂN 3 LỚP TRÊN TOÀN BỘ KHÔNG GIAN

3 Toán tử toạ độ

Một cách tự nhiên, nếu một hạt có vị trí xác định r 0

thi trường tương ứng chỉ được phép khác 0 tại r 0

và do đó, hàm trường hay hàm trạng thái của hạt phai là

) ( r  − r 0

δ

Như vậy, toán tử toạ độ là toán tử vector rˆ  với 3 thành phần

z y

x ˆ , ˆ , ˆ sao cho rˆ  nhận mọi vector r 0

làm trị riêng, và hàm riêng tương ứng là δ ( r  − r 0)

:

ˆ ( ) ( ) (3.4)

r r r    δ − = r  δ r r   −

Do δ ( r  − r 0 = 0 nếu ) r  ≠ r , nên luôn có 0

) (

)

r  δ  −  =  δ  − 

Từ đó suy ra: toán tử rˆ  chính là phép nhân hàm số với biến vector r 

và mỗi thành phần của toán tử là phép nhân với biến toạ độ tương ứng

ˆ

ˆ

ψ ψ

ψ

ψ

x x

r

r

=

= 



Nhận xét: Một lần nua ta lại đối mặt với tính bất định, ở đây là sự

bất định về vị trí Hạt có vị trí tại r  khi và chỉ khi hàm trạng thái là 0

) ( r  − r 0

δ

Nếu hàm trạng thái không phai là hàm Dirac thi hạt không ở đâu ca Mặt khác trong trạng thái với hàm trường ψ

thi hạt có TIỀM NANG xuất hiện tại bất kỳ điểm nào mà . ψ ≠ 0

4 Các hệ thức giao hoán đối với các toán tử thành phần

xung lượng và toạ độ

Với ψ là hàm tuỳ ý, ta có: xy ψ = yx ψ Từ đó suy ra x ˆ y ˆ = y ˆ x ˆ

nói một cách khác, hai toán tử toạ độ khác nhau thi GIAO HOÁN với nhau











∂

∂

∂

∂

=









∂

∂

∂

∂

x y

y x

ψ ψ











∂

∂

−

∂

∂

−

=









∂

∂

−

∂

∂

−

x

i y

i y

i x







 hay p ˆ x p ˆ y = p ˆ y p ˆ x

tức là hai thành phần của toán tử xung lượng CŨNG GIAO HOÁN với nhau

Bây giờ ta xét tương quan giữa một thành phần của toán tử xung lượng

và một toán tử toạ độ Ta có:











∂

∂

− +

−

=













∂

∂ +

−

=

∂

∂

−

x

i x

i x

x i

x x

tức là: p ˆ x ( ) ( x ˆ ψ − x ˆ p ˆ xψ ) = − i  ψ

hay:

và tương tự

Như vậy, toán tử của một toạ độ và thành phần xung lượng tương ứng không giao hoán với nhau Như vậy, toán tử của một toạ độ và thành phần xung lượng tương ứng không giao hoán với nhau.

(3.5)

ˆ ˆ ˆ

ˆ x x p i 

(3.6)

ˆ ˆ ˆ

ˆ y y p i 

(3.7)

ˆ ˆ ˆ

ta đặt a ˆ b ˆ − b ˆ a ˆ = [ ] a ˆ , b ˆ và gọi biểu thức này là hoán tử của aˆ với bˆ

Rõ ràng aˆ với bˆ là giao hoán khi và chỉ khi [ ] a ˆ , b ˆ = 0

Ngoài ra với a ˆ ˆ , b tuỳ ý ta có: [ ] [ ] a ˆ , b ˆ = − b ˆ , a ˆ

V

ới x ˆ1 = x ˆ ; x ˆ2 = y ˆ ; x ˆ3 = z ˆ ; p ˆ1 = p ˆ x; p ˆ2 = p ˆ y ; p ˆ3 = p ˆ thi:z

[ ] [ ] [ ]

(3.8)

nÕu

nÕu

























=

≠

=

=

=

j i

i

j

i p

x

p p

x x

j i

j i

j i



0 ˆ

, ˆ

0 ˆ

, ˆ

0 ˆ

, ˆ

5 Toán tử năng lượng

Trong cơ học cổ điển, động năng T liên hệ với xung lượng bởi công thức:

m

p T

2

2

=

Theo nguyên lý Bohr, hệ thức trên phải được giữ nguyên trong Cơ học lượng tử với việc thay thế các biến số bởi các toán tử:

( 2 2 2 )

2

2

1

2 m m px py pz

p

T ˆ = ˆ = ˆ + ˆ + ˆ

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

−

hay

trong đó









∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

=

z y

(3.9)

∆

−

=

m

T

2

Bây giờ xét trường hợp hạt ở trong một trường khác Khi đó, toán tử nang lượng toàn phần phai bằng tổng của Tˆ với toán tử thế nang Uˆ

Nói một cách khác chặt chẽ hơn thi trường ngoài tác dụng lên hạt mà

ta đang nghiên cứu cũng phai được lượng tử hoá

ψ

Tuy nhiên, trong thực tế thi rất nhiều bài toán có thể giai với độ chính xác cao, khi xem trường ngoài này là trường cổ điển, tức là hàm của điểm

Khi đó, toán tử thế nang sẽ được xem như phép nhân hàm trạng thái

của hạt với hàm thế nang U(x, y, z):

Như vậy, toán tử năng lượng toàn phần sẽ là:

với Uˆ

là toán tử xác định bởi (3.10)

(3.11)

U m

2

ˆ = −  ∆ +

(3.10)

) ( )

( )

(

ˆ r U r r

Việc chấp nhận hệ thức (3.11) HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO, điều đó chỉ có thể được quyết định bởi việc đối chiếu các kết quả lý thuyết với các số liệu thực nghiệm.

Việc chấp nhận hệ thức (3.11) HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO , điều đó chỉ có thể được quyết định bởi việc đối chiếu các kết quả lý thuyết với các số liệu thực nghiệm.

MÔ HÌNH

LÝ THUYẾT

KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM

HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO??????

Cho đến nay, quan điểm xây dựng toán tử năng lượng như vậy nói chung vẫn cho những kết quả với độ chính xác “đủ dùng”

Cho đến nay, quan điểm xây dựng toán tử năng lượng như vậy nói chung vẫn cho những kết quả với độ chính xác “đủ dùng”

Còn nếu muốn có các kết quả lý thuyết chính xác hơn nữa

ta cần dùng một lý thuyết “cao hơn” lý thuyết trường lượng tử.

Còn nếu muốn có các kết quả lý thuyết chính xác hơn nữa

ta cần dùng một lý thuyết “cao hơn” lý thuyết trường lượng tử.