CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 29 pot

HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 29 NGUYÊN TỬ TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong lý thuyết phi tương đối tính, trường thuần tĩnh điện không có ảnh hưởng khác biệt nào lên hạt có spin so với hạt không có spin: moment từ riêng chỉ thể hiện trong tương tác với từ trường. Ở đây, ta sẽ thấy năng lượng của electron (và nguyên tử) có một thành phần phụ thuộc spin ngay cả khi electron chỉ chịu tác dụng của trường tĩnh điện, nếu tính đến các “hiệu chỉnh tương đối tính”. Việc khảo sát trạng thái của nguyên tử ở đây là không thể thực hiện được, nếu không dùng đến phương pháp nhiễu loạn. Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Các hiệu chỉnh tương đối tính đối với năng lượng của electron Khi nhận được phương trình Pauli như trường hợp giới hạn của phương trình Dirac, ta đã rút         = 4 3 ψ ψ η Từ (26.9) và được hệ thức sau: 1 2 2 ˆ ηση       + Φ++ = A c e p emcE c   (29.1) Sau đó, coi E ≈ mc 2 và bỏ qua eΦ, ta có hệ phương trình gần đúng: 12 ˆ 2 ηση       += A c e p mc c   (29.2)        =−−       − =−+       − (26.9) (26.8) EeΦmcA c e pc EeΦmcA c e pc 222 2 1 111 2 2 ˆ ˆ ηηηησ ηηηησ            =−−       − =−+       − (26.9) (26.8) EeΦmcA c e pc EeΦmcA c e pc 222 2 1 111 2 2 ˆ ˆ ηηηησ ηηηησ     Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ thay (29.2) bởi một hệ thức chính xác hơn. Muốn vậy, ta dùng khai triển sau (với x đủ nhỏ về trị tuyệt đối): 1 1 1 32 +−+−= + xxx x (29.3) Khi đó, nếu đặt E = mc 2 + ε thì ε và ε +eΦ sẽ đủ nhỏ và: ( ) n n n mc e mc mc e mcemcemcE ∑ ∞ =       Φ+ −= Φ+ + = Φ++ = Φ++ 0 22 2 222 2 1 2 1 2 1 1 . 2 1 2 11 ε ε ε (29.4) Nếu trong khai triển (29.4) ta chỉ dữ lại số hạng bậc 0, ta nhận lại được (29.2). Muốn có kết quả chính xác hơn, ta lấy thêm số hạng bậc nhất. Khi đó:       Φ+ −= Φ++ 222 2 1. 2 11 mc e mcemcE ε (29.5) Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam (ở đây viết dấu ‘=’ nhưng ta hiểu là gần bằng). Thế (29.5) vào (29.1), ta được: 1 2 2 2 ˆ 2 1 η σε η mc p mc U        − −= (29.6) trong đó U = eΦ. Mặt khác, từ (26.8), tức là từ phương trình: 111 2 2 ˆ ηηηησ EemcA c e pc =Φ−+       +   (29.7) với 0=A  , ta được: ( ) 21 2 ˆ ηση pcemcE  =Φ+− hay ( ) 21 ˆ ησηε pcU  =− (29.8) Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam kết hợp (29.6) và (29.8) ta có: ( ) 1 2 1 2 ˆ 2 1 ˆ η σε σηε mc p mc U pcU         − −=− Bây giờ ta dùng đẳng thức sau (bạn đọc tự chứng minh !): [ ] ( ) pfipfifppfp ˆˆ . ˆˆ 2    ×∇+∇−= σσσ (29.10) ( ) [ ] ( ) ϕη σ ηη ε εη pU cm i pU cm U m p mc U ˆ 4 ˆ 4 2 2 1 22 1 22 11 2 2 1     ∇−×∇++       − −= (29.11) (29.9) Áp dụng (29.10) vào (29.9), ta được: Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta chú ý rằng ε - U là động năng của hạt và có thể coi gần bằng m p 2 ˆ 2  Khi đó toán tử ở vế phải của (29.11) sẽ là: 3210 ˆˆˆˆˆ VVVHH +++= (29.12) ( ) rU m p H  += 2 ˆ ˆ 2 0 (29.13) trong đó: 23 4 1 8 ˆ ˆ cm p V −= (29.14) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( ) [ ] pU cm V ˆ 4 ˆ 22 2   ×∇= σ (29.15) ( ) [ ] ∇×∇= U cm V 22 2 3 4 ˆ  (29.16) Ý nghĩa của 0 ˆ H là rõ ràng : đó là tổng năng lượng ‘phi tương đối tính’ của hạt. Toán tử 1 ˆ V là hiệu chỉnh tương đối tính của động năng. Toán tử 2 ˆ V được gọi là năng lượng tương tác spin - quỹ đạo (chú ý rằng 0 ˆ 2 ≠V mặc dù từ trường bằng không); HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam năng lượng này phụ thuộc vào điện trường. Trong trường xuyên tâm, vì dr dU r r U  =∇ nên: SM dr dU rmc V ˆ ˆ 2 ˆ 2 2 2    = (29.17) Cuối cùng toán tử 3 ˆ V là toán tử phi - hermitic U cm VV 2 22 2 33 4 ˆˆ ∇+−= +  Ta lấy phần hermtic của nó và vẫn ký hiệu là 3 ˆ V Khi đó U cm V 2 22 2 3 8 ˆ ∇=  (29.18) Phần năng lượng này của hạt hoàn toàn xa lạ với mọi sự cắt nghĩa cổ điển cũng như giả cổ điển. [...]... City, Thanh hoa, Viet nam   α 2Z 4  3 1  (1) E1+ 2 = − 3  1 4n  4n j+   2   Có thể thấy rằng (29. 24) lại cũng đúng cả khi l = 0 (29. 24) Công thức này gọi là ‘công thức cấu trúc tinh tế’ và được A Sommerfeld tìm ra trong năm 1916 (tức là trước khi có cơ học lượng tử) Chú ý rằng, công thức (29. 24) không phụ thuộc trực tiếp vào l, nhưng dùng được cho cả hai giá trị 1 j =l± 2 với j ≠ 0 cho trước... ( l + 1)    2   ( Đặc biệt, với j = l + 1 từ (29. 23) ta có 2 ) (29. 23) HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ( E 21)    α 2Z 4  1   1− δl = 3 0 4n   1     l + 2 ( l + 1)     ( 1 và với j = l − 2 ( E 21) ) (29. 23’) thì:   α 2Z 4  1    1− δl =− 3 0 4n   1    l l + 2      ( ) (29. 23’’) 1 tổng hiệu chỉnh cho E1 và E2 đều là: Với... xấp xỉ bậc nhất) của nó là: α 2Z 4 (29. 20) E3(1) = δ l0 3 2n Như vậy phần năng lượng này khác 0 chitrong trạng thái với l = 0 ˆ Tiếp theo, có thể chứng tỏ rằng các trị riêng của V1 bằng: E1(1)   α 2Z 4  3 1   −  = 3 1 2n  4n l+   2  (29. 21) Hong Duc University 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì trong giới hạn phi tương đối tính thì năng lượng của electron trong trường tĩnh... tử, xung lượng của electron rất nhỏ so với mc, nên có thể coi ˆ ˆ ˆ V1 ;V2 ;V3 là các nhiễu loạn, và ta có thể hạn chế bởi xấp xỉ bậc nhất Để cho tiện, ta sẽ dùng hệ đơn vị nguyên tử, trong đó ta có 1 2 e4 = 2 = 2 3 m m  tỷ số e2 c (29. 19) 1 có giá trị gần bằng 137 được ký hiệu là α và gọi là hằng số cấu trúc tinh tế HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Từ (29. 19)... hiệu chỉnh năng lượng spin - quỹ đạo có thể coi các hàm trạng thái “không nhiễu loạn” chính là các hàm riêng đồng thời của ˆ 2 ˆ 2 và ˆ z j M j Chú ý đến đẳng thức: ˆ ˆ ˆ ˆ 2 SM = ˆ 2 − M 2 − S 2 j ( α 2Z 1 ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ j −M −S ta có thể viết lại V2 như sau: V2 = 3 4 r Do đó, trị riêng tương ứng là: ( E 21)  Zα 4  1   3    j ( j + 1) − l ( l + 1) −   =  4  r  4 0  (29. 22) ) HONG DUC... trực tiếp vào l, nhưng dùng được cho cả hai giá trị 1 j =l± 2 với j ≠ 0 cho trước HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cũng cần lưu ý rằng công thức này cho thấy năng lượng phụ thuộc vào cả spin (vì spin phụ thuộc j), mặc dù trường ngoài là thuần tĩnh điện HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str Thanh . Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm HONG DUC UNIVERSITY 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 29 NGUYÊN TỬ TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN HONG. ) pfipfifppfp ˆˆ . ˆˆ 2    ×∇+∇−= σσσ (29. 10) ( ) [ ] ( ) ϕη σ ηη ε εη pU cm i pU cm U m p mc U ˆ 4 ˆ 4 2 2 1 22 1 22 11 2 2 1     ∇−×∇++       − −= (29. 11) (29. 9) Áp dụng (29. 10) vào (29. 9), ta được: . nam             + −= + 2 1 1 4 3 4 3 42 )1( 21 j n n Z E α (29. 24) Có thể thấy rằng (29. 24) lại cũng đúng cả khi l = 0. Công thức này gọi là ‘công thức cấu trúc tinh tế’ và được A. Sommerfeld tìm ra trong năm 1916 (tức là trước khi có cơ học lượng