Đang tải... (xem toàn văn)
TÍNH LIÊN TỤC CỦA TẬP NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC CHỨA THAM SỐ Nguyễn Bích Huy *, Nguyễn Duy Thanh †, Trần Đình Thanh ‡ 1 Mở đầu Trong bài báo này, chúng tôi muốn nghiên cứu cấu trúc của tập[.]
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 TÍNH LIÊN TỤC CỦA TẬP NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC CHỨA THAM SỐ Nguyễn Bích Huy *, Nguyễn Duy Thanh †, Trần Đình Thanh ‡ Mở đầu Trong báo này, muốn nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm yếu dương toán biên chứa tham số sau: − ∆u = λm(x)uα − uβ u = 0 Ω⊂ □ N tập mở, bị chặn, có biên trơn ; dương hàm m(x) thuộc Lq (Ω) với q thỏa điều kiện hay q > * (2* )′ ≤ 2* = với 2N N−2 Ω, treân δΩ, q.2 qα + 2* (1) < α < β ≤ 1, λ tham số * 2* − − α (2) Phương trình (1) gọi phương trình logistic, mô tả số tượng y học sinh học Thơng thường, nghiệm phương trình chứa tham số không tồn đơn lẻ, rời rạc ta muốn biết, liệu tập nghiệm có “liên tục” theo nghĩa khơng ? Trong [4, 6] chúng tơi chứng minh (1) có nghiệm yếu dương λ đủ lớn chưa xem xét tính liên tục tập nghiệm nhận Nếu q> N nghiệm yếu dương (1) tồn tại, bị chặn ; cấu trúc tập nghiệm (1) nghiên cứu nhờ kết phân nhánh toàn cục dạng định lý Rabinowitz làm [1] Điều kiện (2) mà chúng tơi đặt khơng địi hỏi q > N nên nghiệm yếu dương (nếu tồn tại) không bị chặn Do vậy, phương pháp nghiên cứu [1] không áp dụng * PGS.TS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM ThS, Khoa Toán – Tin học, Trường ĐHSP Tp.HCM ‡ TS, Trường Đại học Y dược Tp.HCM † áp dụng phương pháp chặn đơn điệu Krasnoselskii dạng phát triển [5] Các khái niệm kết sử dụng 2.1 Nghiệm yếu phương trình elliptic Xét tốn tìm hàm u thỏa mãn − ∆u = f (x, u) Ω ; u = ∂Ω Ω ⊂ □ N tập mở, bị chặn, có biên trơn, f : Ω × □ điều kiện Caratheodory (3) →□ hàm thỏa Ta sử dụng kí hiệu thơng thường cho không gian Sobolev : H = W 1,2 , H −1 = (H 0 )* , chuẩn H0 Lp kí hiệu tương ứng H, P Dưới không nói cụ thể ta hiểu tích phân lấy tập Ω Định nghĩa Hàm u ∈ H gọi nghiệm yếu phương trình (3) f (x, u) ∈ L1, uf (x.u) ∈ L1 ∫ ∇u∇ϕ = u)ϕ ∫ f (x, ∀ϕ ∈ H 0∩ L∞ Ta có định lí sau tồn nghiệm yếu Định lí [3] Giả sử hàm Caratheodory g : Ω× □ →□ thỏa mãn điều kiện sau i) g (x,0) = 0, g (x, u) tăng theo biến u, ii) Với số t>0 tồn hàm ϕt ∈ L1 cho sup g(x, u) ≤ ϕt (x) u ≤t Khi với h ∈ H −1 tốn − ∆u + g(x, u) = h có nghiệm yếu Ω ; u = ∂Ω 2.2 Phương trình chứa tham số khơng gian Banach có thứ tự Giả sử ) ( X, không gian Banach với thứ tự "≤" sinh nón K ⊂ X Cho ánh xạ F : □ K + × K →K , ta xét tốn tìm cặp (λ, x) ∈ □ + × cho x = F (λ, x) (4) Ta kí hiệu S = {x ∈ K \ {0}: ∃ λ ≥ 0, x = F (λ, x)} Định nghĩa Ta nói tập S có tính chất liên tục, không bị chặn, xuất phát từ với tập G mở, bị chặn, chứa ta ln có S ∩ ∂ G ≠ φ Định lí [5] Giả sử ánh xạ F : □ + × K →K hồn tồn liên tục tồn ánh xạ tăng G : K →K , hàm ϕ : □ + →□ + cho F(λ, x) ≥ G(ϕ(λ)x), ∀(λ, x) ∈ □ + × K Hơn nữa, giả sử tồn phần tử u0 ∈ K \ {0} số dương a, b cho i) G(tu0 ) ≥ atu0 ∀t ∈[0, b] ; ii) lim ϕ(λ) = ∞, lim G(tu0 ) λ→∞ t→∞ = ∞ , chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau : x ≤ x ∀x ∈ X ; ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ y Khi tập nghiệm S (3) có tính liên tục, khơng bị chặn, xuất phát từ Kết Định lí Giả sử kiện toán (1) thỏa mãn điều kiện sau: i) < α < β ≤ 1, ii) m(x) ∈ Lq với q thỏa mãn điều kiện (2) tồn số m0 > , tập mở Ω cho Ω0 ⊂ Ω, m(x) ≥ m ∀x ∈ Ω0 Khi tập nghiệm yếu dương (1) liên tục, không bị chặn, xuất phát từ Chứng minh Ta áp dụng định lí để đưa tốn tìm nghiệm yếu (1) tốn tìm nghiệm phương trình dạng (4) không gian H0 với thứ tự sinh nón K hàm khơng âm áp dụng định lí để có kết phải chứng minh Bước Đưa phương trình dạng (4) Chọn p số thỏa mãn điều kiện (2* )′ = (2) ta có qp qα + p (5) p < 2* Do ánh xạ I nhúng H0 vào Lp compắc H ⊂ L2* Vì nên H −1 ⊃ L(2*)′ Do vậy, với h ∈ L(2*)′ theo định lí 1, tốn − ∆v + v β = h Ω , v = ∂Ω (6) có nghiệm yếu, kí hiệu Ph Ta chứng minh rằng, ánh xạ P liên tục từ L(2*)′ vào H0 Thật vậy, với h, h′ ∈ L(2*)′ , theo định nghĩa nghiệm yếu (6) ta có ∫ ∇(Ph − Ph′ )∇ϕ + Cho ϕ = Ph − Ph′ ta có ∫ ∫ [(Ph) β − (Ph′ ) β ]ϕ = ∫ | ∇(Ph − Ph′ ) |2 + ∫ [(Ph)β − (Ph′ ) β ](Ph − Ph′ ) = (h − h′ )ϕ ∀ϕ ∈ H ∫ (h − h′ )(Ph − Ph′ ) Chú ý số hạng thứ hai vế trái không âm áp dụng bất đẳng thức Holder ta Ph − Ph′ ≤ h − H h′ (2*) ′ Ph − Ph′ 2* Từ ta Ph − Ph′ H ≤ C h − h′ (2*)′ Với (λ, u) ∈ □ + × H0 , u ≥ ta có u ∈ 2* L với t = λm(x)uα ∈ Lt q2 * > (2*)′ Do tốn qα + * − ∆v + = vβ λm(x)uα Ω , v = ∂Ω có nghiệm yếu, ta kí hiệu F (λ, u) Như ta có ánh xạ F:□ + × K →K , nghiệm phương trình u = F (λ, nghiệm yếu (1) u) Do đó, ta cần chứng minh tập nghiệm yếu phương trình u = F (λ, u) có tính chất nêu định lí Xét ánh xạ N : (λ, u) λm(x)uα Do định nghĩa số p lí luận tương tự ta thấy N tác động từ Lp vào L(2*)′ , theo định lí Krasnoselskii liên tục Vì ta có F = nên F ánh xạ hồn tồn liên tục Như chứng mính PoNoI [4,6] F đơn điệu tăng theo biến u Bước Xây dựng ánh xạ chặn đơn điệu Ta chứng minh thỏa mãn điều kiện định lí G(u) := F (1, u) Trước tiên ta có G đơn điệu tăng F (λ, u) = F (1, λ1/α u) = G(λ1/α u) Gọi ϕ véctơ riêng tương ứng với giá trị riêng toán − ∆u = λu Ω , u = ∂Ω xét hàm u0 = εϕ Ω , u0 = Ω \ Ω Như chứng minh [2], ε > đủ nhỏ ta có ∫ ∇u ∇ϕ ≤ ∫ m(x)u Xét t ∈ (0,1) , nên ta có ∫ α ∀ϕ ∈ ,ϕ ≥ (7) G(tu0 ) = F (1, tu0 nghiệm yếu (6) với h = m(x)(tu0 )α ) ∇G(tu )∇ϕ + ∫ (G(tu )) β ϕ = m(x)(tu )α ϕ , ∀ϕ ∈ H (8) Nhân (7) với t trừ (8) cho ϕ = (tu0 − G(tu0 ))+ ta ∫ ∇(tu0 − G(tu ))+ ≤ ∫ u0 A = {tu ≥ G(tu )} β α α {(G(t )) − m(x)u (t − t)}(tu − G(tu0 )) 0 (9) Gọi g thừa số thứ tích phân vế phải (9) Ta có g = A ∩ Ω \ Ω0 , A ∩ Ω ta có g ≤ (tu ) β − m uα (tα − t) = (tu 0 )α {(tu ) β −α − 0m + m t1−α } 0 Vì hàm u0 bị chặn nên từ ta thấy g ≤ A t >0 đủ nhỏ Do từ (9) ta thấy t đủ nhỏ (tu − G(tu ))+ = 0 hkn hay G(tu0 ) ≥ tu0 Vậy G thỏa mãn điều kiện i) định lí Tiếp theo ta chứng minh ánh xạ t t −αG(tu ) tăng Thật vậy, với 0