Giáo trình giải tích hàm 2

Mở đầu Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải tích Hàm đợc tác giả biên soạn chơng trình xây dựng giáo trình hoàn chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s phạm ngành Toán Trờng Đại học Tây Bắc Học phần Giải tích Hàm đợc giảng dạy Trờng Đại học Tây Bắc năm đơn vị học trình Điều kiện tiên sinh viên đà học xong học phần Lý thuyết tập hợp Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính vi phân - tích phân hàm biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân Khi biên soạn giáo trình này, đà ý nhiều đến yếu tố s phạm để đảm bảo cho việc trình bày vấn vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đợc hàm lợng kiến thức cần thiết nhất, đồng thời ý nhiều đến việc hình thành cho sinh viên phơng pháp kĩ cần thiết môn học thông qua kĩ thuật chứng minh định lý, mệnh đề quan trọng qua việc su tầm, phân loại hệ thống tập phong phú kèm theo hớng dẫn giải lời giải chi tiết Ngoài ra, nội dung giáo trình đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức toán học quen thuộc nên tin tởng giáo trình trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu sinh viên trình học tập Nhân dịp giáo trình đợc đa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ biết ơn ngời thầy tôn kính đà dạy dỗ trực tiếp nh gián tiếp qua tài liệu quý báu họ mà tác giả đà sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo giáo trình, qua tác giả đà đợc trang bị tri thức, phơng pháp luận tự tin sẵn sàng chia sẻ kinh nghiệm tri thức NCKH dẫn đến kết dạy dỗ là đời giáo trình Tác giả xin cảm ơn đồng nghiệp tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin, trờng Đại học Tây Bắc đà dạy thực nghiệm đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp hoàn thiện giáo trình Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý khoa học Quan hệ quốc tế, đồng nghiệp sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin trờng Đại học Tây Bắc giúp đỡ quý báu nh tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình đợc đa sử dụng Do kinh nghiệm khoa học tác giả nhiều hạn chế, chắn tài liệu tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đợc nhiều góp ý để tác giả hoàn thiện giáo trình, góp phần tốt việc nâng cao chất lợng giảng dạy học tập sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trờng Đại học Tây Bắc Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông Mục lục Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa ví dô 1.1 ChuÈn trªn kh«ng gian vector 1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach 11 1.3 TËp compact không gian định chuẩn 13 1.4 Mét sè vÝ dô vỊ kh«ng gian Banach 14 Không gian hàm khả tích bậc p  22 2.1 Bất đẳng thức Holder 22 2.2 Bất đẳng thức Minkowski 23 Chuỗi không gian định chuẩn 26 3.1 Chuỗi hội tụ chuỗi 26 3.2 Chuỗi hội tụ tut ®èi 29 ánh xạ tuyến tính liên tục 31 4.1 Định nghĩa tính chất 31 4.2 Kh«ng gian L(E; F ) 34 4.3 Mét sè vÝ dô ánh xạ tuyến tính liên tục 39 5 Không gian không gian thơng 45 5.1 Kh«ng gian 45 5.2 Tỉng trùc tiÕp t« p« 46 5.3 Siêu phẳng 48 5.4 Không gian thơng 50 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52 6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52 6.2 Không gian khả li 57 Bµi tËp ch−¬ng 59 Ba nguyên lý giải tích hàm Nguyên lý bị chặn 64 1.1 64 Nưa chn liªn tơc 64 Định lý ánh xạ mở đồ thị đóng 68 2.1 Định lý ánh xạ mở 69 2.2 Định lý đồ thị đóng 72 Định lý Hahn- Banach 73 3.1 Định lý Hahn-Banach không gian vector thực 73 3.2 Định lý Hahn- Banach không gian vector phøc 76 3.3 Mét sè hƯ qu¶ quan trọng định lý Hahn-Banach 79 Bài tập chơng 81 Toán tử không gian Banach 84 Toán tử liên hợp 84 To¸n tư compact 88 To¸n tử hữu hạn chiều 92 Phỉ cđa to¸n tư 94 4.1 Một số khái niệm cần thiÕt 94 4.2 Phổ toán tử không gian Banach 96 4.3 Phỉ cđa to¸n tư compact 103 Bài tập chơng 112 Kh«ng gian Hilbert toán tử không gian Hilbert 116 D¹ng hermite 116 1.1 Định nghĩa tính chất đơn gi¶n 116 1.2 Hai bất đẳng thức quan träng 118 TÝch vô hớng không gian Hilbert 119 HƯ trùc giao, trùc chn vµ phÐp chiÕu trùc giao 124 3.1 HƯ trùc giao vµ trùc chuÈn 124 3.2 PhÐp chiÕu trùc giao 127 PhiÕm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert 131 C¬ së trùc chuÈn 133 Toán tử liên hợp không gian Hilbert 138 Toán tử tự liên hợp toán tử compact không gian Hilbert 143 7.1 Toán tử tự liên hợp không gian Hilbert 143 7.2 Toán tử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt 148 Bài tập chơng 151 H−íng dÉn giải tập 157 Chơng 157 Ch−¬ng 172 Ch−¬ng 182 Ch−¬ng 197 Chơng Không gian định chuẩn không gian Banach Trong suốt tài liệu chóng ta kÝ hiƯu K lµ tr−êng sè thùc R trờng số phức C không gian vector đợc nói đến không gian vector trờng K Định nghĩa ví dụ 1.1 Chuẩn không gian vector Định nghĩa 1.1 Hàm xác định không gian vector E đợc gọi chuẩn E thoả mÃn điều kiện sau: 1) ρ(x)  víi mäi x ∈ E vµ ρ(x) = ⇒ x = 0, 2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) víi mäi λ ∈ K vµ víi mäi x ∈ E, 3) ρ(x + y)  ρ(x) + ρ(y) víi mäi x, y ∈ E Khi ρ tho¶ m·n điều kiện 2) 3), điều kiện 1) thay bëi ®iỊu kiƯn: 1’) ρ(x)  víi mäi x E, đợc gọi nửa chuẩn E Mệnh đề 1.2 Giả sử nửa chuẩn E Khi đó, với x, y ∈ E ta cã: |ρ(x) − ρ(y)|  ρ(x − y) (3’) Chøng minh Cho x, y ∈ E, tõ ®iỊu kiƯn 3) ta cã: ρ(x) = ρ(x − y + y)  ρ(x − y) + ρ(y) suy ρ(x) − ρ(y)  ρ(x − y) (∗) Thay đổi vai trò x y kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đợc (y) ρ(x)  ρ(y − x) = ρ(x − y) (∗∗) Cuèi cïng, tõ (∗) vµ (∗∗) ta cã |ρ(x) − ρ(y)|  ρ(x − y) Tõ c¸c tÝnh chÊt cđa chuẩn định nghĩa khoảng cách có mệnh ®Ị sau: MƯnh ®Ị 1.3 NÕu ρ lµ mét chn E công thức: d(x, y) := (x y), (x, y E) xác định khoảng cách E thoả mÃn:  d(x + z, y + z) ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K, d(λx, λy) = d(x, y), = |λ|d(x, y) (1.1) (1.2) Kho¶ng cách d xác định công thức (1.1) đợc gọi khoảng cách sinh chuẩn Cho E không gian véc tơ a, b K Ta gọi tập hợp sau đoạn với mút a, b: [a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R,  t  1} 10 Định nghĩa 1.4 Tập X không gian vector E đợc gọi là: a) Tập låi nÕu [a, b] ⊂ X víi mäi a, b ∈ X b) TËp c©n nÕu λx ∈ X víi mäi x ∈ X vµ víi mäi λ ∈ K mà ||  c) Tập hút với x E tồn số > cho λx ∈ X víi mäi λ ∈ K mà ||  Mệnh đề 1.5 Giả sử nửa chuẩn E Khi tập hỵp: B = {x ∈ E : ρ(x) < 1}, B = {x ∈ E : ρ(x)  1} lµ lồi, cân, hút Chứng minh Trớc tiên ta chứng minh B tập lồi, cân hút: Cho a, b ∈ B vµ  t  Ta cã: ρ(ta + (1 − t)b)  ρ(ta) + ρ((1 − t)b) = tρ(a) + (1 − t)ρ(b) < t + t = Mặt khác, (x) = ||(x)  ρ(x) < Suy B lµ låi vµ cân Cuối cùng, x E x B, : || < nên B tËp hót ρ(x) + ViƯc chøng minh B lµ lồi, cân hút hoàn toàn tơng tự 1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.6 Không gian vector E với chuẩn xác định E đợc gọi không gian tuyến tính định chuẩn Một không gian tuyến tính định chuẩn thờng gọi ngắn gọn không gian định chuẩn Khi E không gian định chuẩn với chuẩn với x E ta viết (x) = x vµ gäi sè x lµ chn cđa vector x 11 Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E không gian metric với khoảng cách d sinh chuẩn xác định công thức: d(x, y) := x − y, x, y ∈ E Nh− vËy, kh«ng gian định chuẩn, nói tới khái niệm giới hạn dÃy điểm, dÃy Cauchy, tập mở, tập đóng, giới hạn ánh xạ không gian định chuẩn khái niệm liên quan khác hiểu khái niệm tơng ứng không gian metric với khoảng cách sinh chuẩn không gian Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính định chuẩn E đợc gọi không gian Banach nÕu E cïng víi metric sinh bëi chuÈn E không gian metric đầy Mệnh đề 1.8 Nếu E không gian định chuẩn hàm chuẩn x  x liên tục E Chøng minh Tr−íc hÕt ta chó ý r»ng tÝnh liªn tục theo nghĩa ánh xạ liên tục không gian metric Cho > bất kì, chọn = Khi đó, theo mƯnh ®Ị 1.3, víi mäi x, y ∈ E, nÕu d(x, y) = x − y < δ th× |x − y|  x − y = d(x, y) = δ = ε Chøng tá hµm . : E → R liên tục E Mệnh đề 1.9 Nếu E không gian định chuẩn phép toán vec tơ E liên tục: Chứng minh Nhờ đánh giá dới (x + y) (x0 + y0 )  x − x0  + y − y0  λx − λ0 x0   |λ|x − x0 + |λ − λ0 |x0 12 +) λ = giá trị riêng A ứng với véctơ riêng x = x(t) = t, t [0; 1] Từ {0; 1} (A) Giả sử C, = 0, = Với y C[0; 1], xét phơng trình: Ax x = y ⇔ x(0) + tx(1) − λx(t) = y(t), t [0; 1] (1) Trong phơng trình (1) lần lợt cho t = 0; t = ta đợc: x(0) = y(1) y(0) y(0) ; x(1) = − 1−λ − λ (1 − λ)2 Thay vµo (1) ta đợc phơng trình tơng đơng với (1) là: y(0) ty(1) ty(0) − λx(t) = y(t), t ∈ [0; 1] + − − λ − λ (1 − λ)2 (2) Rõ ràng, với y C[0; 1] phơng tr×nh (2) cã nghiƯm nhÊt: y(0) ty(1) ty(0) x(t) = − y(t) + + − λ λ(1 − ) (1 ) (1 )2 Điều chứng tỏ ánh xạ A I : C[0; 1] C[0; 1] song ánh tuyến tính liên tục Do C[0; 1] không gian Banach nên A I đẳng cấu Theo định nghĩa / (A) Nh vËy, víi mäi λ ∈ C, nÕu λ = 0, λ = th× λ ∈ s(A) = C \ σ(A) Suy σ(A) = {0; 1} Ta cã r(A) = sup{|λ : λ ∈ σ(A)} = Theo kÕt ta có: R(A, ) = (A I)1 : C[0; 1] C[0; 1] toán tử xác ®Þnh bëi: x(0) tx(1) tx(0) + − , t ∈ [0; 1] R(A, λ)(x)(t) = − x(t) + λ λ(1 − λ) λ(1 − λ) λ(1 − λ)2 ®ã λ = 0, λ = 1, x ∈ C[0; 1] 195 Bài 25 Cho C, ta tìm điều kiện để với y C[0; 1] phơng trình Ax x = y có nghiÖm nhÊt x ∈ C[0; 1] Ta cã: t Ax − λx = y ⇔ x(s)ds − λx(t) = y(t), ∀t ∈ [0; 1] (1) Ta thÊy: +) Với = y(t) hàm liên tục nhng không khả vi đoạn [0; 1] phơng trình (1) nghiệm x(t), chứng tỏ (A) Giả sử = 0, đặt u(t) = t x(s)dx, t [0; 1], u(t) khả vi đoạn [0; 1] u(t) = x(t), t [0; 1] Phơng trình (1) tơng đơng với phơng tr×nh: u(t) − λu (t) = y(t), u(0) = hay 1 u(t) = − y(t), u(0) = (2) Phơng trình (2) phơng trình vi phân tuyến tính, với y C[0; 1] phơng u (t) trình có nghiệm u(t) thoả mÃn điều kiện ban đầu u(0) = là: u(t) = − λ t e t−s λ y(s)ds, t [0; 1] Do phơng trình (1) cã nghiÖm nhÊt x(t) = u(t) = R(A, λ)(y)(t) Nh vậy, ta đà chứng minh (A) ∀λ ∈ C, λ = ⇒ λ ∈ / (A), nghĩa (A) = {0} Từ chứng minh trên, víi λ = ta cã: ⎛ ⎞ t t−s R(A, λ)(x)(t) = ⎝− e λ x(s)ds⎠ , t ∈ [0; 1] λ 196 t Ch−¬ng Bài a) Do (x, y) R nên ta cã: VP = ϕ(x, x) + ϕ(x, y) + ϕ(y, x) + ϕ(y, y) − [ϕ(x, x) − ϕ(x, y) − ϕ(y, x) + ϕ(y, y)] = 2ϕ(x, y) + 2ϕ(x, y) = 2ϕ(x, y) + 2ϕ(x, y) = 4ϕ(x, y) = VT b) Ta cã V P = ϕ(x, x) + ϕ(x, y) + ϕ(y, x) + ϕ(y, y) − [ϕ(x, x) − ϕ(x, y) − ϕ(y, x) + ϕ(y, y)] + i[ϕ(x, x) + iϕ(x, y) + iϕ(y, x) + iiϕ(y, y)] − i[ϕ(x, x) − iϕ(x, y) − iϕ(y, x) + iiϕ(y, y)] = 2ϕ(x, y) + 2ϕ(y, x) + 2iiϕ(x, y) + 2i2 ϕ(y, x) = 4ϕ(x, y) = VT Bµi +) Tr−íc hÕt, (x, y) R từ công thức xác định ϕ ta cã: ϕ(x, y) = ϕ(y, x) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ E +) Tõ ®iỊu kiƯn ®· cho ta cã: ϕ(x, y) = (x + y2 − x − y2), ∀x, y ∈ E nªn víi mäi x1, x2 , y ∈ E ta cã: ϕ(x1 + x2 , y) = (x1 + x2 + y2 − x1 + x2 − y2) ((x1 + y) + x2 2 + (x1 + y) − x2 2) = − (x1 + (x2 − y)2 + x1 − (x2 − y)2) = (x1 + y2 + x2 2) − (x1 2 + x2 − y2) = (x1 + y2 − x1 2 − y 2) + (y2 + x22 ) − x2 − y2) = (x1 + y2 − x1 2 − y 2) + (x2 + y2 − x22 − y 2) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y) 197 +) Với x, y E cố định, |1 x + y − λ2 x + y|  |λ1 |x nên hàm số R   x + y liên tục Đặt g() = (x, y) = (λx + y2 − λx − y2), λ R ta đợc g : R R hàm số liên tục Theo chứng minh ta cã: g(λ1 + λ2 ) = ϕ(λ1 x + λ2 x, y) = ϕ(λ1 x, y) + ϕ(λ2 x, y) = g(λ1 ) + g(λ2 ), ∀λ1 , λ2 ∈ R Suy g(λ) = aλ, λ ∈ R, (a R cố định) Nhng g(1) = a = ϕ(x, y) nªn ta cã: ϕ(λx, y) = g(λ) = λa = λϕ(x, y), ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ R Chứng tỏ dạng Hermite E +) Cuèi cïng ϕ(x, x) = 2x2 − x2 − x2 = 2x2  0, ∀x ∈ E vµ ϕ(x, x) = chØ x = ∈ E nªn tích vô hớng E Bài +) Gi¶ sư G(x1 , , xn ) = 0, ta chøng minh hÖ vector {x1; x2; ; xn } ®éc lËp tuyÕn tÝnh ThËt vËy, nÕu λ1 , λ2 , , λn ∈ C cho λ1 x1 +λ2 x2 + .+λn xn = Khi ®ã: ⎧ λ1 x1, x1  + λ2 x2 , x1 + + λn xn , x1 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨λ x , x  + λ x , x  + + λ x , x  = 1 2 2 n n ⎪ ······································· ⎪ ⎪ ⎩ λ1 x1, xn  + λ2 x2 , xn  + + λn xn , xn  = 198 (1) Hệ (1) hệ phơng trình tuyến tính n phơng trình n ẩn , , n có định thức hệ số định thức Gram G(x1 , , xn ) cđa hƯ vector {x1; x2; ; xn }, v× vËy, víi G(x1 , , xn ) = th× hƯ (1) cã nghiÖm nhÊt λ1 = λ2 = = n = Điều chứng tỏ hệ vector {x1; x2; ; xn } ®éc lập tuyến tính +) Ngợc lại, giả sử G(x1 , , xn ) = XÐt hÖ phơng trình (1) với ẩn , , , n Vì định thức ma trận hệ số của hệ llà định thức Gram G(x1, , xn ) = nên hệ (1) có nghiệm không tầm thờng (1 , λ2 , , λn ) Khi ®ã, tõ hÖ (1) ta cã n  n n   λi xi , xj  = ⇒  λi xi , λj xj  = λj λi xi , xj  = 0, ∀j = 1, n i=1 i=1 Suy ra: n 1 λi xi , i=1 Chøng tá cã sù biĨu diƠn i=1 n  λj xj n 2    λi xi  = = j=1 n  i=1 i=1 λi xi = víi c¸c hƯ sè λ1 , λ2 , , n không đồng thời không, nghĩa lµ hƯ vector {x1; x2 ; ; xn } phơ thc tun tÝnh Bµi Tr−íc hÕt ta chøng minh nÕu x = (xn ), y = (yn ) ∈ l1 th× (xn y n ) ∈ l1 Thật   vậy, chuỗi số dơng |xn |, |yn | hội tụ nên lim |xn | = lim |yn | = 0, n=1 n→∞ n=1 n vậy, tồn số n0 cho |xn | < 1, |yn | < víi mäi n  n0 Suy |xn |2  |xn | vµ |yn |2  |yn | víi mäi n  n0 Theo dấu hiệu so sánh, chuỗi ∞ ∞   |xn |2 , |yn |2 héi tụ, từ đó, nhờ bất đẳng thức |xn yn |  |xn |2 + |yn |2 víi mäi n=1 n=1 n N, ta suy chuỗi số  n=1 |xn y n | hội tụ Hơn nữa, nhờ định nghĩa, dễ dàng kiểm tra đợc ánh xạ (x; y) → x, y = ∞  n=1 |xn yn | tích vô hớng l1 , đồng thời, chuẩn sinh tích vô hớng xác định bëi c«ng thøc: ∞  x =  |xn |2, x = (x1 , x2, , xn ) ∈ l1 n=1 199 TiÕp theo, theo chøng minh ta thấy l1 l2, nữa, l1 không gian vector l2 chuẩn sinh tích vô hớng l1 trùng với chuẩn không gian Banach l2 Vì vậy, với tích vô hớng trên, l1 không gian Hilbert, thân không gian Banach l2 nên không gian đóng l2 Nhng l1 không gian đóng l2, kh«ng gian Hilbert ThËt vËy, chän d·y (xk )k∈N∗ ⊂ l1 xác định bởi: xk = (xkn ) n=1 với xkn = ∞  1+ k n=1 n n , n = 1, +∞ , k = 1, 2, héi tô s > nên, với k N , chuỗi  + héi tơ, nghÜa lµ xk = 1+1 ∈ l1 víi mäi k = 1, 2, Nãi cách Rõ ràng, chuỗi Riemann số  1+ k1 n=1 ns n kh¸c, d·y (xk )∞ k=1 ⊂ l1 k n=1 ∞ V× r»ng, nÕu d·y l1  yk = (ξkn )∞ n=1 héi tơ ®Õn phÇn tư y = (ξn )n=1 ∈ l1 , k → ∞, theo chn sinh bëi tÝch v« h−íng l1 (tức chuẩn không gian Banach l2) hội tụ hội tụ theo thành phần, nghĩa lim kn = n , ∀n = 1, 2, nªn nÕu d·y (xk )kN l1 xác định hội tụ k đến phần tử x = (n ) l2 th× lim k→∞ 1 n1+ k = , n Nhng lại chuỗi số dơng n = 1, 2, ta suy x =  n=1 n không hội tụ nên x =  ∞ n n=1  ∞ n n=1 l2 / l1 Điều chứng tỏ l1 không gian đóng l2 theo chuẩn sinh tích vô hớng xét Bài Nếu chuẩn sup đà cho sinh tích vô hớng C[0; 2] bất đẳng thức hình bình hành sau phải thoả mÃn với mäi f, g ∈ C[0; 2π]: f + g2 + f − g2 = 2(f2 + g2 ) 200 (1) B»ng c¸ch chän f(t) = max(sin t; 0), g(t) = max(− sin t; 0), t ∈ [0; 2π] ta thÊy f + g = f − g = f = g = Nh vậy, với hàm f, g vừa chọn bất đẳng thức hình bình hành (1) thoả mÃn Chứng tỏ chuẩn đà cho đợc sinh tích vô hớng C[0; 2] Bài Bằng định nghĩa tích vô hớng, dễ dàng kiểm tra đợc công thức 1 f, g := f(x)g(x)dx (1) xác định tích vô hớng C[1; 1] nên C[1; 1] không gian tiền Hilbert chuẩn C[1; 1] sinh tích vô h−íng nµy lµ: f =  1 |f(x)|2dx  12 , f ∈ C[0; 1] (2) −1 Ta chøng minh C[1; 1] với chuẩn (2) không gian Banach, tức C[1; 1] với tích vô hớng (1) không gian Hilbert Xét dÃy hàm số liên tục {fn }n1 xác định bởi: fn (t) = nt ⎪ ⎩ nÕu −  t  nÕu  t  n1 nÕu n1  t  Khi ®ã d·y ({fn }n1 dÃy Cauchy |fm (t) − fn (t)| = |fm (t) − fn (t)|  ⎪ ⎩ 201 −  t  1  t  max{ m ; n} 1 max{ m ; n }  t   fm − fn  =  |fm (t) − fn (t)| dt = −1  1 max{ m ;n } + −1 |fm (t) − fn (t)|2dt + |fm (t) − fn (t)| dt +  1 max{ m ;n} |fm (t) − fn (t)|2dt 1 1 ; } + = max{ ; } → m, n → ∞ m n m n Từ đó, f hàm liªn tơc trªn [−1; 1] cho  + max{  lim fn − f = lim n→∞ n→∞ −1 |fn (t) − f(t)|2dt = th× phải có giới hạn điểm lim |fn (t) f(t)| = 0, t ∈ [−1; 1], tõ ®ã suy ra: n→∞  f(t) = lim fn (t) = n→∞ −  t   t  Điều trái với tính liên tục f Bài Vì F không gian vector thực E nên tồn = a ∈ E \ F XÐt kh«ng gian vector mét chiÒu L sinh bëi a: L = {λa, λ ∈ C} Gäi H = L⊥ ∩ F Khi đó, H siêu phẳng đóng F phần tử b F \ {0} không trực giao với H, b trực giao víi H th× b = λa, λ = nên a F , mâu thuẫn ! 202 Bài a) Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, với n ∈ N∗ ta cã:   |xn , yn |  xn .yn   xn   |xn , yn |  xn   ⇒ |xn , yn |  xn .yn   yn   |xn , yn |  yn   (1) Theo giả thiết, lim = nên (1) cho n ta đợc lim xn  = n→∞ n→∞ 1, lim yn  = n→∞ b) Víi mäi n ∈ N∗ ta cã: xn − yn 2 = xn − yn , xn − yn  = xn 2 + yn 2 − xn , yn  − xn , yn  (2) Do lim xn , yn  = suy lim xn , yn  = LÊy giíi h¹n hai vÕ cña (2) n→∞ n→∞ n → ∞ ta ®−ỵc lim xn − yn 2 = 0, suy lim xn − yn  = n→∞ n→∞ Bµi Cách 1: Do E không gian Hilbert, tức với chuẩn sinh tích vô hớng E không gian Banach, nên để chứng minh ánh xạ A : E E liên tục, áp dụng kết tập chơng 2, ta cần chøng minh A ◦ f liªn tơc víi mäi f ∈ E  ThËt vËy, v× f ∈ E  nên theo Định lý Riesz biểu diễn phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert, tồn t¹i a ∈ E cho f(y) = y, a víi mäi y =∈ E Do ®ã (u ◦ A)(x) = u(Ax)Ax, a = x, Aa, ∀x ∈ E Suy (u ◦ A)(x) = |x, Aa|  Aa.x víi x E Bất đẳng thức chứng tỏ u A liên tục u A  Aa Cách 2: Với chuẩn sinh tích vô hớng, E không gian Banach Để chứng minh toán tư tun tÝnh A : E → E liªn tơc, áp dụng định lý đồ thị đóng, ta cần chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dÃy phần tử E cho (xn , Axn ) → (x, y) E ì E, xn x, Axn y Lại hàm E ì E  (x, y)  x, y hàm liên tục nên ta cã (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n 203 (1) Kết hợp với giả thiết ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = lim xn , Au = x, Au = Ax, u n→∞ n→∞ (2) Tõ (1) vµ (2), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (3) Tõ (3) ta suy Ax − y = hay lµ Ax = y, chứng tỏ A có đồ thị đóng Bài 10 Tơng tự nh Bài 10, ta chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dÃy phần tử E cho (xn , Axn ) → (x, y) ∈ E × E, ®ã xn → x, Axn → y Khi đó, tính liên tục tích vô hớng ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n→∞ (4) Tõ gi¶ thiÕt vỊ tÝnh liên tục phiếm hàm x  Ax, u, (u ∈ E), ta suy (∀u ∈ E) lim Axn , u = Ax, u n→∞ (5) Tõ (4) vµ (5), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (6) Tõ (6) ta suy Ax − y = hay Ax = y, chøng tá A cã đồ thị đóng Bài 11 Do L không gian đóng E nên E = L L Khi đó, phần tử x E biểu diễn đợc dới dạng x = u + v víi u ∈ L, v ∈ L⊥ Ngoài ra, theo chứng minh Định lý 3.9, Chơng vỊ sù tån t¹i phÐp chiÕu trùc giao ta cã: v = x − u = dist(x, L)  x − y víi mäi y ∈ L (∗) Do ®ã x ⊥ L vµ chØ u = x = v Kết hợp với bất đẳng thức (∗) ta suy ra: x  x − y víi y L 204 Bài 12 Theo giả thiết |λn |  M = sup |λn | < +∞ với n N nên theo bất nN đẳng thøc Bessel ta cã: ∞  |λn x, en |  M 2 n=1 ∞  |x, en |2  M x2, (∀x ∈ E) n=1 Suy Ax2 = Ax, Ax = ∞  n=1 |λn |2|x, en |2  M x2, (∀x ∈ E) Chøng tỏ A liên tục A  M = sup |n | Hơn nữa, đợc A = M nN Bài 13 Với n N xét ánh xạ An : E E xác định bëi An x := n  λk x, ek ek , x ∈ E k=1 Do dim R(An ) < + nên An toán tử hữu hạn chiều, An toán tử compact Mặt khác, với ε > tån t¹i n0 cho |λn | < ε víi mäi n  n0 vµ víi n  n0 ta cã: ∞     λk x, ek ek  < ε A − An  = sup Ax − An x = sup x1 x1 k=n+1 Chứng tỏ A giới hạn L(E) dÃy toán tử compact nên theo Định lý 2.5 Chơng 3, A toán tử compact   Bài 14 Giả sử p : E L toán tử compact Do p = idL : L → L lµ toán tử L compact nên dim L < + Ngợc lại, dim L < + p : E L toán tử hữu hạn chiều nên p toán tử compact Bài 15 Với n xét ánh xạ An : E F xác định An x = n  x, ek Aek (1) k=1 Dễ thấy An toán tử tuyến tính theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, với x E ta cã An x  n  k=1 |x, ek |Aek   n  x.ek |Aek  = k=1 205 n  k=1  Aek  x nªn An liên tục An   n  k=1 Aek  Nhờ định nghĩa (1) ta có Im An không gian không gian sinh hệ {Ae1; ; Aen } nªn dim An < +, nghĩa An toán tử hữu hạn chiều toán tử compact Hơn nữa, {en }nN sở trực chuẩn E   nên với x E ta cã x = x, en en nªn Ax = x, en Aen Tõ ®ã ta cã, n=1 n=1 víi mäi n ∈ N∗ vµ víi mäi x ∈ E ta cã: ∞ ∞       x, ek Aek   |x, ek |.Aek  (A − An )x =  k=n+1 k=n+1  ∞  ∞      |x, ek |2  Aek 2 k=n+1 k=n+1 ∞     ∞   ∞   Aek 2. |x, ek |2 =  Aek 2 x k=n+1 Suy k=1 k=n+1    ∞ Aek 2 víi mäi n ∈ N∗ An − A   k=n+1 Cho n , theo giả thiết chuỗi  n=1 Aen2 héi tơ nªn lim ∞  n→∞ k=n+1 Aek 2 = 0, suy lim An − A = chứng tỏ A giới hạn dÃy toán tử compact n L(E; F ) nên A toán tử compact Bài 16 Điều kiện cần Nếu M tập compact tơng đối M tập bị chặn Đặt n  sn (x) = x, ek ek {sn }nN L(E; E) lim sn (x) = idE (x), x ∈ E n→∞ k=1 Theo hệ 1.7 chơng 2, dÃy {sn }nN hội tụ M đến idE Điều kiện đủ Víi ε > cho tr−íc, tån t¹i n0 cho n > n0 víi mäi x ∈   n ε    x, ek ek  < Cố định n1 > n0 xét L = span{e1; ; en1 } M : x − k=1 n1  x, ek ek DÔ thấy f ánh xạ Giả sử f : E L ánh xạ cho f(x) = k=1 tuyến tính liên tục Do f(M) tập bị chặn L Vì dim L < + nên 206 f(M) hoàn toàn bị chặn L tån t¹i x1 , , xp ∈ M cho víi ε x ∈ M : x f(xi0 ) < với xi0 đó,  i0  p Khi ®ã, nÕu x ∈ M th× n1 n1 n1           x, ek ek  +  x, ek ek − xi0 , ek ek  x − xi0   x − k=1 k=1 k=1 n1   ε ε ε   + xi0 , ek ek − xi0  < + + = ε 3 k=1 Nh− vËy M lµ tËp hoàn toàn bị chặn E tập compact tơng đối E Bài 17 Gọi B hình cầu đóng đơn vị E Ta cần chứng minh {An }nN hội tụ B đến A Từ giả thiết ta có A(B) tập compact tơng đối E nên áp dụng kết 16 ta thu đợc kết cần chứng minh Bài 18 Trớc hết ta nhắc lại khái niệm hội tụ yếu: DÃy {xn }nN không gian Hilbert E đợc gọi hội tụ yếu ®Õn phÇn tư x0 ∈ E nÕu lim x, xn  = x, x0  n→vc víi mäi x ∈ E Kí hiệu xn  x0 Bây giờ, giả sử dÃy {en }nN hệ trực chuẩn không gian Hilbert E, theo bất đẳng thức Bessel ta có: ∞  |x, en |2  x2 víi mäi x E n=1 Chứng tỏ chuỗi  n=1 |x, en|2 hội tụ có lim |x, en | = = x, 0 víi n→∞ mäi x ∈ E Chøng tá en  ®ã en  =  nªn en  Bµi 19 Ta cã |xn , yn  − x, y|  |xn , yn  − x, yn | + |x, yn  − x, y| = |xn − x, yn | + |x, yn  − x, y|  xn − x.yn + |x, yn  − x, y| 207 Do yn  y nên theo định lý Banach - Steinhaux ta cã sup yn  < + Lại theo n giả thiết xn x nên từ đánh giá ta có |xn , yn  − x, y| → n → ∞ Chøng tá lim xn , yn  = x, y n Trờng hợp xn  x yn  y không suy đợc xn , yn  → x, y ThËt vËy, nÕu {en }n∈N∗ lµ hệ trực chuẩn E với n N∗ cã thĨ chän xn = yn vµ x = y = Khi ®ã xn , yn  = víi mäi n ∈ N∗ nªn xn , yn   x, y = Bµi 20 Víi mäi n ∈ N∗ ta cã: xn − x2 = xn − x, xn − x = xn 2 − xn , x − x, xn  + x2 (1) Theo giả thiết, xn  x nên lim xn , x = x, x = x2 vµ lim x, xn  = n→∞ n→∞ x, x = x2, ®ång thêi lim xn  = x nªn lim xn 2 = x2 Từ đó, n n chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (1) ta đợc lim xn x = 0, chứng tỏ dÃy n {xn }nN hội tụ mạnh đến x ∈ E Bµi 21 Ta sÏ chøng minh Aen phản chứng: Giả sử ngợc lại, Aen  n Khi tồn > tồn dÃy {Aekn }nN cđa d·y {Aen}n∈N∗ cho Aekn   ε0 víi mäi n ∈ N∗ (1) V× A ∈ L(E) toán tử compact dÃy {ekn }nN bị chặn trªn E nªn d·y {Aekn }n∈N∗ cã Ýt nhÊt mét dÃy {Aejkn }nN hội tụ đến phần tử x0 E Khi rõ ràng Aejkn  x0 từ (1) ta có x0  Mặt khác theo tập 18 ta có: en  0, suy Aen  Aejkn  Do tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n u kh«ng gian Hilbert suy x0 = Nh− vËy ta gặp mâu thuẫn với khẳng định x0  > Chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai, vËy lim Aen = n→∞ Bµi 22 a) ⇒ b): Hiển nhiên nhờ tính liên tục tích vô hớng n   xk Theo giả thiết chuỗi xn hội tụ b) c): Với n N∗, xÐt sn = k=1 n=1 yÕu E nªn với x E dÃy số {sn , x}nN hội tụ nên bị chặn Suy 208 dÃy {sn , x}nN bị chặn điểm E Theo nguyên lý Banach-Steinhaux, dÃy bị chặn theo chuẩn, nghĩa sn   M víi mäi n ∈ N∗ Tõ ®ã ta cã: n n  2    xk  = xk 2  M víi mäi n ∈ N∗ sn  =  k=1 Chứng tỏ chuỗi số  n=1 k=1 xk 2 héi tơ c) ⇒ a): Víi mäi n, p ∈ N, theo đẳng thức Pythagore ta có: n+p n+p   2    sn+p − sn  =  xk  = xk 2 k=n+1 Theo gi¶ thiết c) chuỗi số  n=1 k=n+1 xn 2 héi tơ nªn víi mäi p ∈ N∗ ta cã lim n→∞ n+p  xk 2 = k=n+1 Suy lim sn+p − sn  = vµ dÃy tổng riêng {sn }nN chuỗi n  n=1 xn dÃy Cauchy không gian Hilbert E nên hội tụ Theo định nghĩa chuỗi  xn héi tơ E n=1 Bµi 23 DƠ thÊy A toán tử tuyến tính Với x L2 [0; 1], áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski ta có:  1 2  1 2 1   |x(s)|ds  x(s)2 ds = x2  x(s)ds  0 suy ra, víi mäi x ∈ L2 [0; 1] ta cã:    t      1   2       (Ax(t)) dt = x(s)ds dt  x(s)ds dt = x Ax = 0 0 VËy A liªn tơc 209 ... 46 x1, x2 ∈ E, α1, ? ?2 ∈ K th× ∈M ∈N     p(α1 x1 + ? ?2 x2) + q(α1x1 + ? ?2 x2) = α1x1 + ? ?2 x2 = α1 [p(x1) + q(x1)] + ? ?2[ p(x2 ) + q(x2)] = [α1p(x1 ) + ? ?2 p(x2 )] + [α1 q(x1) + ? ?2 q(x2)] ∈ M... 22 2. 1 Bất đẳng thức Holder 22 2. 2 Bất đẳng thức Minkowski 23 Chuỗi không gian định chuẩn 26 3.1 Chuỗi hội tụ chuỗi 26 ... (x1, x2, , xn ), y = (y1 , y2, , yn ) ∈ Kn ta cã: n  |xi + yi |2  n  i=1 i=1  n  (|xi | + |yi| )2 = n  |x2i | + i=1 n  |xi yi| + i=1 n  |yi2| i=1 n n n   12    12  2 |xi