Më ®Çu TiÕp theo Gi¸o tr×nh Kh«ng gian T«p« §é ®o TÝch ph©n, gi¸o tr×nh Gi¶i tÝch Hµm ®−îc t¸c gi¶ biªn so¹n trong ch−¬ng tr×nh x©y dùng bé gi¸o tr×nh hoµn chØnh cho sinh viªn hÖ §¹i häc s− ph¹m ngµnh[.]
Mở đầu Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải tích Hàm đợc tác giả biên soạn chơng trình xây dựng giáo trình hoàn chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s phạm ngành Toán Trờng Đại học Tây Bắc Học phần Giải tích Hàm đợc giảng dạy Trờng Đại học Tây Bắc năm đơn vị học trình Điều kiện tiên sinh viên đà học xong học phần Lý thuyết tập hợp Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính vi phân - tích phân hàm biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân Khi biên soạn giáo trình này, đà ý nhiều đến yếu tố s phạm để đảm bảo cho việc trình bày vấn vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đợc hàm lợng kiến thức cần thiết nhất, đồng thời ý nhiều đến việc hình thành cho sinh viên phơng pháp kĩ cần thiết môn học thông qua kĩ thuật chứng minh định lý, mệnh đề quan trọng qua việc su tầm, phân loại hệ thống tập phong phú kèm theo hớng dẫn giải lời giải chi tiết Ngoài ra, nội dung giáo trình đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức toán học quen thuộc nên tin tởng giáo trình trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu sinh viên trình học tập Nhân dịp giáo trình đợc đa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ biết ơn ngời thầy tôn kính đà dạy dỗ trực tiếp nh gián tiếp qua tài liệu quý báu họ mà tác giả đà sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo giáo trình, qua tác giả đà đợc trang bị tri thức, phơng pháp luận tự tin sẵn sàng chia sẻ kinh nghiệm tri thức NCKH dẫn đến kết dạy dỗ là đời giáo trình Tác giả xin cảm ơn đồng nghiệp tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin, trờng Đại học Tây Bắc đà dạy thực nghiệm đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp hoàn thiện giáo trình Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý khoa học Quan hệ quốc tế, đồng nghiệp sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin trờng Đại học Tây Bắc giúp đỡ quý báu nh tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình đợc đa sử dụng Do kinh nghiệm khoa học tác giả nhiều hạn chế, chắn tài liệu tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đợc nhiều góp ý để tác giả hoàn thiện giáo trình, góp phần tốt việc nâng cao chất lợng giảng dạy học tập sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trờng Đại học Tây Bắc Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông Mục lục Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa ví dô 1.1 ChuÈn trªn kh«ng gian vector 1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach 11 1.3 TËp compact không gian định chuẩn 13 1.4 Mét sè vÝ dô vỊ kh«ng gian Banach 14 Không gian hàm khả tích bậc p 22 2.1 Bất đẳng thức Holder 22 2.2 Bất đẳng thức Minkowski 23 Chuỗi không gian định chuẩn 26 3.1 Chuỗi hội tụ chuỗi 26 3.2 Chuỗi hội tụ tut ®èi 29 ánh xạ tuyến tính liên tục 31 4.1 Định nghĩa tính chất 31 4.2 Kh«ng gian L(E; F ) 34 4.3 Mét sè vÝ dô ánh xạ tuyến tính liên tục 39 5 Không gian không gian thơng 45 5.1 Kh«ng gian 45 5.2 Tỉng trùc tiÕp t« p« 46 5.3 Siêu phẳng 48 5.4 Không gian thơng 50 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52 6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52 6.2 Không gian khả li 57 Bµi tËp ch−¬ng 59 Ba nguyên lý giải tích hàm Nguyên lý bị chặn 64 1.1 64 Nưa chn liªn tơc 64 Định lý ánh xạ mở đồ thị đóng 68 2.1 Định lý ánh xạ mở 69 2.2 Định lý đồ thị đóng 72 Định lý Hahn- Banach 73 3.1 Định lý Hahn-Banach không gian vector thực 73 3.2 Định lý Hahn- Banach không gian vector phøc 76 3.3 Mét sè hƯ qu¶ quan trọng định lý Hahn-Banach 79 Bài tập chơng 81 Toán tử không gian Banach 84 Toán tử liên hợp 84 To¸n tư compact 88 To¸n tử hữu hạn chiều 92 Phỉ cđa to¸n tư 94 4.1 Một số khái niệm cần thiÕt 94 4.2 Phổ toán tử không gian Banach 96 4.3 Phỉ cđa to¸n tư compact 103 Bài tập chơng 112 Kh«ng gian Hilbert toán tử không gian Hilbert 116 D¹ng hermite 116 1.1 Định nghĩa tính chất đơn gi¶n 116 1.2 Hai bất đẳng thức quan träng 118 TÝch vô hớng không gian Hilbert 119 HƯ trùc giao, trùc chn vµ phÐp chiÕu trùc giao 124 3.1 HƯ trùc giao vµ trùc chuÈn 124 3.2 PhÐp chiÕu trùc giao 127 PhiÕm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert 131 C¬ së trùc chuÈn 133 Toán tử liên hợp không gian Hilbert 138 Toán tử tự liên hợp toán tử compact không gian Hilbert 143 7.1 Toán tử tự liên hợp không gian Hilbert 143 7.2 Toán tử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt 148 Bài tập chơng 151 H−íng dÉn giải tập 157 Chơng 157 Ch−¬ng 172 Ch−¬ng 182 Ch−¬ng 197 Chơng Không gian định chuẩn không gian Banach Trong suốt tài liệu chóng ta kÝ hiƯu K lµ tr−êng sè thùc R trờng số phức C không gian vector đợc nói đến không gian vector trờng K Định nghĩa ví dụ 1.1 Chuẩn không gian vector Định nghĩa 1.1 Hàm xác định không gian vector E đợc gọi chuẩn E thoả mÃn điều kiện sau: 1) ρ(x) víi mäi x ∈ E vµ ρ(x) = ⇒ x = 0, 2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) víi mäi λ ∈ K vµ víi mäi x ∈ E, 3) ρ(x + y) ρ(x) + ρ(y) víi mäi x, y ∈ E Khi ρ tho¶ m·n điều kiện 2) 3), điều kiện 1) thay bëi ®iỊu kiƯn: 1’) ρ(x) víi mäi x E, đợc gọi nửa chuẩn E Mệnh đề 1.2 Giả sử nửa chuẩn E Khi đó, với x, y ∈ E ta cã: |ρ(x) − ρ(y)| ρ(x − y) (3’) Chøng minh Cho x, y ∈ E, tõ ®iỊu kiƯn 3) ta cã: ρ(x) = ρ(x − y + y) ρ(x − y) + ρ(y) suy ρ(x) − ρ(y) ρ(x − y) (∗) Thay đổi vai trò x y kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đợc (y) ρ(x) ρ(y − x) = ρ(x − y) (∗∗) Cuèi cïng, tõ (∗) vµ (∗∗) ta cã |ρ(x) − ρ(y)| ρ(x − y) Tõ c¸c tÝnh chÊt cđa chuẩn định nghĩa khoảng cách có mệnh ®Ị sau: MƯnh ®Ị 1.3 NÕu ρ lµ mét chn E công thức: d(x, y) := (x y), (x, y E) xác định khoảng cách E thoả mÃn: d(x + z, y + z) ∀x, y, z ∈ E, ∀λ ∈ K, d(λx, λy) = d(x, y), = |λ|d(x, y) (1.1) (1.2) Kho¶ng cách d xác định công thức (1.1) đợc gọi khoảng cách sinh chuẩn Cho E không gian véc tơ a, b K Ta gọi tập hợp sau đoạn với mút a, b: [a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, t 1} 10 Định nghĩa 1.4 Tập X không gian vector E đợc gọi là: a) Tập låi nÕu [a, b] ⊂ X víi mäi a, b ∈ X b) TËp c©n nÕu λx ∈ X víi mäi x ∈ X vµ víi mäi λ ∈ K mà || c) Tập hút với x E tồn số > cho λx ∈ X víi mäi λ ∈ K mà || Mệnh đề 1.5 Giả sử nửa chuẩn E Khi tập hỵp: B = {x ∈ E : ρ(x) < 1}, B = {x ∈ E : ρ(x) 1} lµ lồi, cân, hút Chứng minh Trớc tiên ta chứng minh B tập lồi, cân hút: Cho a, b ∈ B vµ t Ta cã: ρ(ta + (1 − t)b) ρ(ta) + ρ((1 − t)b) = tρ(a) + (1 − t)ρ(b) < t + t = Mặt khác, (x) = ||(x) ρ(x) < Suy B lµ låi vµ cân Cuối cùng, x E x B, : || < nên B tËp hót ρ(x) + ViƯc chøng minh B lµ lồi, cân hút hoàn toàn tơng tự 1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.6 Không gian vector E với chuẩn xác định E đợc gọi không gian tuyến tính định chuẩn Một không gian tuyến tính định chuẩn thờng gọi ngắn gọn không gian định chuẩn Khi E không gian định chuẩn với chuẩn với x E ta viết (x) = x vµ gäi sè x lµ chn cđa vector x 11 Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E không gian metric với khoảng cách d sinh chuẩn xác định công thức: d(x, y) := x − y, x, y ∈ E Nh− vËy, kh«ng gian định chuẩn, nói tới khái niệm giới hạn dÃy điểm, dÃy Cauchy, tập mở, tập đóng, giới hạn ánh xạ không gian định chuẩn khái niệm liên quan khác hiểu khái niệm tơng ứng không gian metric với khoảng cách sinh chuẩn không gian Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính định chuẩn E đợc gọi không gian Banach nÕu E cïng víi metric sinh bëi chuÈn E không gian metric đầy Mệnh đề 1.8 Nếu E không gian định chuẩn hàm chuẩn x x liên tục E Chøng minh Tr−íc hÕt ta chó ý r»ng tÝnh liªn tục theo nghĩa ánh xạ liên tục không gian metric Cho > bất kì, chọn = Khi đó, theo mƯnh ®Ị 1.3, víi mäi x, y ∈ E, nÕu d(x, y) = x − y < δ th× |x − y| x − y = d(x, y) = δ = ε Chøng tá hµm . : E → R liên tục E Mệnh đề 1.9 Nếu E không gian định chuẩn phép toán vec tơ E liên tục: Chứng minh Nhờ đánh giá dới (x + y) (x0 + y0 ) x − x0 + y − y0 λx − λ0 x0 |λ|x − x0 + |λ − λ0 |x0 12 víi chó ý E ì E hay K ì E đợc xét nh không gian metric tích không gian metric với khoảng cách E khoảng cách sinh chuẩn khoảng cách K khoảng cách Euclide thông thờng 1.3 Tập compact không gian định chuẩn Định nghĩa 1.10 Tập X không gian định chuẩn E đợc gọi là: a) tập bị chặn nếu: sup{x : x ∈ X} < +∞ b) tËp hoµn toàn bị chặn nếu: Với > tồn tập hữu hạn A E cho (x ∈ X)(∃y ∈ A) | x − y < ε X B(y, ) yA Tập hữu hạn A E thoả mÃn b) gọi - lới hữu hạn X c) tập compact nếu: d·y {xn } ⊂ X cã mét d·y {xnk } héi tơ tíi mét phÇn tư x ∈ X Nhận xét Nếu X tập hoàn toàn bị chặn E với > cã thĨ chän cho X mét ε - l−íi h÷u hạn A gồm toàn phần tử X Thật vËy, cho ε > cã thÓ chän cho X /2 lới hữu hạn A E Khi ε ε B(y, ) ∩ X = X= B(y, ) ∩ X 2 yA yA B y, = {x ∈ E : x − y < } , A = {y ∈ A : B(y, ) ∩ X = } 2 Với y A, chän zy ∈ B(y, 2ε ) ∩ X Ta kiĨm l¹i {zy : y ∈ A } ⊂ X - lới hữu hạn X Cho x X, chän y ∈ A ®Ĩ x−y < 2ε Suy B(y, ε2 )∩X = ∅ nªn y ∈ A vµ x − zy x − y + y − zy < 13 ε ε + =ε 2 NhËn xÐt Mäi tËp hoµn toµn bị chặn tập bị chặn Thật vậy, X tập hoàn toàn bị chặn với = tån t¹i x1, x2, , xn - lới hữu hạn X Giả sö x ∈ X tuú ý, chän k n ®Ĩ x − xk < Suy x xk + x − xk xk + max xk | + 1kn Do ®ã sup x max xk + < +∞ n∈X 1kn VËy X lµ tËp bị chặn Đối với không gian định chuẩn, đặc trng Hausdorff tập compact đợc phát biểu định lý sau đây: Định lý 1.11 (Hausdorff) Tập X không gian Banach E compact X đóng hoàn toàn bị chặn 1.4 Một sè vÝ dơ vỊ kh«ng gian Banach VÝ dơ Không gian Euclide n- chiều Với số tự nhiên n, ký hiệu Kn tích Descartes n lần tr−êng v« h−íng K: Kn := {x = (x1 , x2, , xn ) : x1 , x2, , xn K} Với x = (x1 , x2, , xn ) Kn , ta đặt: x = n |xi | 1 (1) i=1 Ta sÏ chứng tỏ công thức (1) xác định chuẩn Kn , gọi chuẩn Euclide Thật vậy, hiển nhiên hàm x x thoả mÃn tiên đề 1) 2) định nghĩa chuẩn Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski sau n 12 n 12 n |ai bi| |ai |2 |bi |2 i=1 i=1 i=1 14 chóng ta cã thĨ chøng minh tiên hàm . thoả mÃn điều kiện 3) định nghÜa chuÈn: ThËt vËy, víi mäi x = (x1, x2, , xn ), y = (y1 , y2, , yn ) ∈ Kn ta cã: n |xi + yi |2 n i=1 i=1 n (|xi | + |yi|)2 = n |x2i | + i=1 n |xi yi| + i=1 n |yi2| i=1 n n n 12 12 2 |xi | + |xi | |xi | + |yi2| i=1 i=1 i=1 ⎞2 ⎛ n n |x2i | + |yi2| ⎠ = ⎝ i=1 i=1 i=1 chøng tá x + y x + y víi mäi x, y ∈ Kn Nh− vậy, hàm . thoả mÃn ba điều kiện định nghĩa chuẩn nên chuẩn Kn - gọi chuẩn Euclide, đồng thời Kn với chuẩn Euclide không gian định chuẩn - gọi kh«ng gian Euclide n chiỊu Ci cïng, víi x = (x1, , xn ) ∈ Kn , y = (y1, , yn ) ∈ Kn ta cã: max |xi − yi | x − y n max |xi − yi | 1in 1in nªn x − y → ⇔ ∀i = 1, n, |xi − yi | → 0, suy ra, sù héi tơ Kn lµ sù héi tơ theo toạ độ dÃy dÃy Cauchy Kn tất dÃy toạ độ dÃy Cauchy K Lại K không gian metric đầy suy Kn không gian đầy Vậy Kn không gian Banach Ví dụ Không gian hàm liên tục Ký hiệu C[a; b] không gian hàm liên tục đoạn hữu hạn [a, b] Đặt: f = sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C[a; b] DƠ dµng thấy hàm f f xác định chuẩn không gian C[a; b] với chuẩn đó, C[a; b] trở thành không gian định chuẩn 15 Ta kiểm lại C[a; b] không gian Banach: Cho {fn } lµ mét d·y Cauchy C[a; b], ®ã víi mäi sè ε > cho tr−íc, tồn số tự nhiên n0 cho với m, n ∈ N∗ , m, n n0 ta ®Òu cã: fn − fm = sup fn (x) − fm (x) < ε x∈[a;b] Suy (∀m, n n0 ) |fn (x) − fm (x)| ε víi mäi x ∈ [a, b] (1.3) Nh− vËy víi x [a, b] cố định, dÃy số {fn (x)} lµ mét d·y Cauchy K Do K lµ không gian metric đầy nên dÃy hội tụ K Đặt f(x) = lim fn (x) K, x [a, b] n ta đợc hàm số f : [a; b] → K Ta sÏ chØ f ∈ C[a; b] dÃy {fn } hội tụ đến f C[a; b], nghÜa lµ fn − f → Thật vậy, giả sử x0 [a; b] điểm tuỳ ý, ta chứng minh f liên tục x0 Trong (1.3) cách cố định x [a, b] vµ n n0 , cho m → ∞ ta đợc |fn (x) f(x)| với x ∈ [a, b] vµ n n0 (1.4) Cho x0 ∈ [a; b], n = n0 ta cã |fn0 (x0) f(x0 )| (1.5) Vì fn0 liên tục x0 nên tồn > cho víi mäi x ∈ [a; b] |x − x0| < δ ⇒ |fn0 (x) − fn0 (x0)| < ε (1.6) Từ bất đẳng thức (1.4), (1.5) (1.6) ta suy ra: Víi mäi x ∈ [a; b] tho¶ m·n |x − x0| < δ ta ®Ịu cã: |f(x) − f(x0 )| |f(x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − fn0 (x0)| + |fn0 (x0) − f(x0 )| < Chứng tỏ f liên tục x0 Vì x0 [a; b] điểm tuỳ ý ta suy f liên tục đoạn [a; b], nghĩa f ∈ C[a; b] 16 Còng tõ (1.4) suy fn − f = sup |fn (x) − f(x)| ε víi mäi n n0 x∈[a,b] Chøng tá lim fn − f = 0, nghÜa lµ d·y {fn } héi tơ ®Õn f C[a; b] n→∞ VÝ dụ Không gian hàm bị chặn Giả sử S tập tuỳ ý Ký hiệu B(S) không gian tất hàm bị chặn S, tức sup{|f(s)| : s S} < + Đặt f := sup{|f(s)| : s ∈ S} < +∞, Cã thÓ thấy công thức (1.7) xác định chuẩn không gian định chuẩn Hơn nữa, f B(S) (1.7) B(S), B(S) B(S) không gian Banach Ví dụ Không gian d·y kh¶ tỉng bËc p KÝ hiƯu ∗ KN = {x = (x1 , x2, , xn , ) : xn ∈ K, n ∈ N } tập hợp tất dÃy số K Với số thực p tuỳ ý, ký hiệu lp tập hợp tất d·y sè kh¶ tỉng bËc p: ∗ lp = {x = (xn ) ⊂ KN : ∞ |xn |p < +∞} n−1 Chóng ta sÏ chøng tá lp lµ không gian Banach với chuẩn xác định công thøc: xp := ∞ |xn | p 1p , x = (x1, x2 , , xn , ) ∈ lp (1.8) n=1 §Ĩ chứng minh lp không gian vector công thức (1.8) thực xác định chuẩn lp , trớc tiên, cần chứng minh bổ đề quan trọng sau đây: Bổ đề 1.12 Nếu p, q > víi p + q = th× víi mäi α, β ∈ R+ ta cã: α.β αp β q + p q 17 (1.9) Chøng minh Tr−íc hÕt, nÕu α = hc β = bổ đề hiển nhiên Giả sử > 0, β > XÐt hµm sè f(t) = t−q + p q , (t > 0) Do f (t) = t−q−1 (tp+q −1) = ⇔ t = f (t) < khoảng (0; 1), f (t) > khoảng (1; +) nên f có giá trị cực tiểu f(1) = p + q = Nh− vËy tq + víi mäi t > p q Thay t = α q β p vào bất đẳng thức ta đợc p q α q β −1 β p α−1 + 1 p q Nhân hai vế bất đẳng thức với lu ý ta đợc p q + = p, q p + = q, αp β q + α.β p q Bỉ ®Ị 1.13 (Bất đẳng thức Holder) Cho p, q R, p, q > 1, p + q = Khi ®ã, nÕu (xn ) ∈ lp, (yn ) ∈ lq th×: ∞ |xn yn | n=1 ∞ ∞ 1 1 p q q |xn | |yn | p n=1 (1.10) n=1 Gän hơn, cách sử dụng ký hiệu công thức (1.8) ta cã: ∞ |xn yn | xp.yp (1.11) n=1 Chứng minh Hiển nhiên bổ đề xp = yq = Vậy cần chøng minh tr−êng hỵp xp > 0, yq > Với số tự nhiên n 1, áp dụng bổ đề 1.12 cho = |xn | xp = |yn | yq ta đợc |xn |p |yn |q |xn yn | + xp yq p xpp q yqq 18 LÊy tæng hai vÕ theo n ta đợc |xn yn | 1 1 n=1 p |xn | + |yn |q = + = xpyq pxp n=1 qyq n=1 p q Suy ∞ |xn yn | ∞ n=1 ∞ 1p 1 q q |xn | |yn | p n=1 n=1 Bổ đề 1.14 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho p ∈ R, p NÕu x, y lp x + y lp x + yp xp + yp Chøng minh Tõ bất đẳng thức |xn + yn |p (|xn | + |yn |)p 2p max{|xn |p, |yn |p } 2p (|xn |p + |yn |p ), ∀n ta cã ∞ p p |xn + yn | ∞ n=1 p |xn | + n=1 ∞ |yn |p < +∞ n=1 Suy x + y lp Bất đẳng thức Minkowski hiển nhiên với p = Giả sử p > 1, chän q > ®Ĩ ∞ p + q = Do q(p − 1) = p ta có |xn + yn |(p−1)q = n=1 NghÜa lµ (|xn + yn |p−1 )∞ n=1 |xn + yn |p < +∞ n=1 ∈ lq áp dụng bất đẳng thức Holder tới (xn ) ∈ lp vµ (|xn + yn |p−1 ) ∈ lq víi l−u ý thªm r»ng ∞ ∞ |xn |.|xn + yn | p−1 q = xp n=1 = xp p−1 p ∞ n=1 ∞ n=1 19 ta đợc |xn + yn | (p1)q |xn + yn |p p−1 p 1q T−¬ng tù ta cã ∞ |yn |.|xn + yn | p−1 yq ∞ n=1 |xn + yn |p p1 p n=1 Từ bất đẳng thức ta nhận đợc: p |xn + yn | n=1 ∞ |xn |.|xn + yn | n=1 (xp + yp ) p−1 ∞ + ∞ |yn |.|xn + yn |p−1 n=1 |xn + yn | p p−1 p n=1 ∞ Chia hai vÕ bất đẳng thức cho n=1 |xn + yn |p p1 p ta đợc: x + yp = xp + yp Mệnh đề 1.15 Nếu p lp không gian Banach Chứng minh Trớc hết, hiển nhiên .p thoả mÃn điều kiện thứ định nghĩa chuẩn Cho x, y lp ∈ K theo bỉ ®Ị 1.14 ta cã x + y lp hiển nhiên x := (xn ) ∈ lp, ®ång thêi ta cã λxp = ∞ p |λ| |xn| p 1p = |λ| ∞ n=1 |xn | p 1p = |λ|.xp n=1 Nh− .p thoả mÃn điều kiện thứ hai định nghĩa chuẩn Sử dụng bất đẳng thức Minkowski ta có .p thoả mÃn điều kiện lại Vậy lp không gian định chuẩn với chuẩn .p Bây ta chứng minh lp không gian Banach: Cho {x(k)} k=1 lµ d·y Cauchy lp, x(k) = (xn )∞ n=1 , ®ã, víi mäi sè ε > cho trớc, tồn số tự nhiên (k) k0 cho víi mäi k, l ∈ N∗ : k, l k0 ta ®Ịu cã: Suy ra, víi mäi m ∈ N∗ ta cã: x (k) −x = (l) m |x(k) n n=1 20 − p x(l) n | 1 p < ε Suy ra, víi mäi m vµ k, l k0 ta cã: m 1 (k) (l) (k) (l) p p |xn − xn | < ε x − x = (1.12) n=1 (k) Tõ (1.12) suy víi mäi n dÃy {xn }k1 dÃy Cauchy K Vì K không gian Banach nên tồn xn = lim xn , n N Đặt x = (xn )∞ n=1 , ta sÏ (k) k→∞ chøng tá r»ng x ∈ lp vµ x(k) → x lp Trong (1.12), cố định m k k0 cho l ta đợc m p |x(k) n − xn | p1 ε víi mäi m 1, ∀k k0 n=1 suy ∞ |x(k) n − xn | p p1 ε, (∀k k0 ) n=1 Chøng tá (xn − xn )∞ n=1 ∈ lp ¸p dơng bÊt đẳng thức Minkovski cho dÃy (k ) (xn )∞ − x n )∞ n=1 ∈ lp , (xn n=1 lp ta đợc: (k ) (k ) ∞ |xn | p p1 ∞ n=1 0) p |x(k n | p1 + ∞ n=1 0) |x(k n − xn | p 1p < +∞ n=1 suy x ∈ lp Cũng từ (1.12), cố định k k0 cho l ta đợc x(k) xp , k k0 điều chứng tỏ x(k) xp → k → ∞, nghÜa lµ x(k) → x lp Ví dụ Không gian l không gian c0 Đặt l = {(xn ) KN : sup |xn | < +∞} vµ c0 = {(xn ) ∈ l∞ : lim xn = 0} n→∞ n Khi đó, l = B(N ) không gian hàm bị chặn N nên l không gian Banach với chuẩn cảm sinh chuẩn l Có thể chứng minh c0 không gian đóng l nên c0 không gian Banach 21 Không gian hàm khả tích bậc p Cho X tập đo đợc Lebesgue Rk độ đo Lebesgue - đại số L tập đo đợc Lebesgue Rk Với p 1, ký hiệu Lp (X) tập tất hàm khả tích (Lebesgue) bậc p X (hai hàm tơng đơng xem một) Lp (X) = {f : x → R ®o ®−ỵc : |f|p dμ < +∞} X Chóng ta sÏ chứng tỏ Lp (X) không gian Banach với chuẩn xác định công thức: fp := 1p |f|p d X Việc chứng minh Lp (X) không gian vector vµ hµm Lp (X) f :→ fp R chuẩn hoàn toàn tơng tự nh không gian lp dÃy khả tổng bậc p, thay cho phÐp lÊy tỉng lµ phÐp lÊy tÝch phân Trớc hết chứng minh bất đẳng thức Holder bất đẳng thức Minkowski Lp (X) Bổ đề sau 2.1 Bất đẳng thức Holder + 1q = Khi ®ã víi mäi f Lp (X), g Định lý 2.1 Giả sử p, q > cho p Lq (X), ta cã p1 1q |f| dμ |g|q dμ |f.g|dμ X p X (2.1) X Hay với ký hiệu đà nêu fg1 fp gq Chøng minh NÕu f = hc g = f = h.k.n g = h.k.n Suy f.g = h.k.n vµ fg1 = Vậy bất đẳng thức Holder 22 ... hoàn thiện giáo trình, góp phần tốt việc nâng cao chất lợng giảng dạy học tập sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trờng Đại học Tây Bắc Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông Mục lục Không... = B(N∗ ) không gian hàm bị chặn N nên l không gian Banach với chuẩn cảm sinh chuẩn l Có thể chứng minh c0 không gian đóng l nên c0 không gian Banach 21 Không gian hàm khả tích bậc p Cho X tập... gian khả li 57 Bài tập chơng 59 Ba nguyên lý giải tích hàm Nguyên lý bị chặn 64 1.1 64 Nöa chn liªn tơc