giao trinh giai tich mang dien 2003 le kim hung 143 trang 9149

LÊ KIM HÙNG GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH MẠNG ĐIỆN ĐÀ NẴNG 2003 GII TÊCH MẢNG GIẢI TÍCH MẠNG LỜI NĨI ĐẦU Hệ thống điện bao gồm khâu sản xuất, truyền tải phân phối điện Kết cấu hệ thống điện phức tạp, muốn nghiên cứu địi hỏi phải có kiến thức tổng hợp có phương pháp tinh tốn phù hợp Giải tích mạng mơn học cịn có tên gọi “Các phương pháp tin học ứng dụng tính tốn hệ thống điện” Trong đó, đề cập đến toán mà tất sinh viên ngành hệ thống cần phải nắm vững Vì vậy, để có cách nhìn cụ thể tốn này, giáo trình từ kiến thức sở học nghiên cứu lý thuyết toán việc ứng dụng chúng thơng qua cơng cụ máy vi tính Phần cuối, ngơn ngữ lập trình Pascal, cơng việc mơ phần mục tốn minh hoạ Nội dung giáo trình gồm phần chính: I Phần lý thuyết gồm có chương Đại số ma trận ứng dụng giải tích mạng Phương pháp số dùng để giải phương trình vi phân giải tích mạng Mơ hình hóa hệ thống điện Graph ma trận mạng điện Thuật tốn dùng để tính ma trận mạng Tính tốn trào lưu cơng suất Tính tốn ngắn mạch Xét trình độ máy phát có cố mạng II Phần lập trình: gồm có bốn phần mục: Xây dựng ma trận mạng cụ thể Tính tốn ngắn mạch Tính tốn trào lưu cơng suất lúc bình thường cố Xét trình độ máy phát có cố mạng điện GV: Lê Kim Hùng CHƯƠNG ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG Trong chương ta nhắc lại số kiến thức đại số ma trận thông thường ứng dụng giải tích mạng 1.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.1.1 Kí hiệu ma trận: Trang GII TÊCH MẢNG Ma trận chữ nhật A kích thước m x n bảng gồm m hàng n cột có dạng sau: a11 a A = 21 am1 a1n a2 n = j amn a12 a22 am2 [ ] Nếu m = n >1 A gọi ma trận hàng vectơ hàng Ngược lại n = m > A gọi ma trận cột vectơ cột A= Ví dụ: A= 1.1.2 Các dạng ma trận: Ma trận vng: Là ma trận có số hàng số cột (m = n) Ví dụ: a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà phần tử đường chéo aị j ma trận với i > j a11 A = 0 a12 a22 a13 a23 a33 Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà phần tử đường chéo aịj ma trận với i < j a11 A = a21 a31 a22 a32 0 a33 Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông tất phần tử đường chéo khác 0, cịn phần tử khác ngồi đường chéo ma trận (aịj = với i ≠ j ) a11 0 A = 0 a22 0 a33 Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông mà tất phần tử đường chéo ma trận tất phần tử khác (aij = với i = j aịj = với i ≠ j ) U = 0 0 Ma trận không: Là ma trận mà tất phần tử ma trận Trang GII TÊCH MẢNG Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà phần tử aịj = aji (đổi hàng thành cột ngược lại) a11 a12 A = a21 a31 a22 a32 AT = a11 a12 a21 a22 a31 a32 Cho ma trận A ma trận chuyển vị kí hiệu At, AT A’ Ma trận đối xứng: Là ma trận vng có cặp phần tử đối xứng qua đường chéo aịj = aji Ví dụ: A = 5 6 Chuyển vị ma trận đối xứng AT = A, nghĩa ma trận không thay đổi Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vng có A = - AT Các phần tử ngồi đường chéo tương ứng giá trị đối (aịj = - aji) phần tử đường chéo Ví dụ: −3 A = −5 −6 Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị nghịch đảo (A A = U = A AT với A ma trận vuông phần tử số thực) Ma trận phức liên hợp: Là ma trận phần tử a + jb a - jb ma trận * A ma trận phức liên hợp Cho ma trận A ma trận phức liên hợp A* T A= j3 + j + j1 A∗ = − j3 − j − j1 -Nếu tất phần tử A thực, A = A* -Nếu tất phần tử A ảo, A = - A* Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với phần tử đường chéo số thực cặp phần tử đối xứng qua đường chéo số phức liên hợp, nghĩa A = (A*)t A = − j3 + j3 Ma trận xiên - Hermitian (ma trận xiên - phức đối): Là ma trận vuông với phần tử đường chéo tồn ảo cặp phần tử đối xứng qua đường chéo số phức, tức A = - (A*)t A = − j3 − − j3 Nếu ma trận vng phức liên hợp có (A*) t A = U = A (A*)t ma trận A gọi ma trận đơn vị Nếu ma trận đơn vị A với phần tử số thực gọi ma trận trực giao Bảng 1.1: Các dạng ma trận Kí hiệu Dạng ma trận Kí hiệu Dạng ma trận Trang GII TÊCH MẢNG A = -A A = At A = - At A = A* A = - A* Không Đối xứng Xiên-đối xứng Thực Hoàn toàn ảo * t Hermitian Xiên- Hermitian Trực giao Đơn vị A = (A ) A = - (A*)t At A = U (A*)t A = U 1.2 CÁC ĐỊNH THỨC: 1.2.1 Định nghĩa tính chất định thức: Cho hệ phương trình tuyến tính a11x1 + a12x2 = k1 (1) a21x1 + a22x2 = k2 (2) Rút x2 từ phương trình (2) vào phương trình (1), giải được: x1 = a22 k1 − a12 k a11a22 − a12 a21 x2 = a11k − a21k1 a11a22 − a12 a21 Suy ra: (1.1) Biểu thức (a11a22 - a12a21) giá trị định thức ma trận hệ số A Trong |A| định thức | A| = a11 a12 a21 a22 Giải phương trình (1.1) phương pháp định thức ta có: x1 = k1 a12 k2 a22 A = a22 k1 − a12 k x2 a11 a22 − a12 a21 = a11 k1 a21 k2 A = a11 k − a21 k1 a11 a22 − a12 a21 • Tính chất định thức: a Giá trị định thức nếu: - Tất phần tử hàng cột - Các phần tử hàng (cột) tương ứng - Một hàng (cột) tương ứng tỉ lệ nhiều hàng (cột) b Nếu ta đổi chổ hàng ma trận vuông A cho ta ma trận vng B có det(B) = - det(A) c Giá trị định thức không thay đổi nếu: - Tất hàng cột tương ứng đổi chổ cho - Cộng thêm k vào hàng (cột) thứ tự tương ứng với phần tử hàng (cột) d Nếu tất phần tử hàng (cột) nhân với thừa số k, giá trị định thức nhân k e Tích định thức tích định thức | A.B.C| = |A| |B| |C| f Định thức tổng khác tổng định thức |A + B - C| = |A| + |B| -|C| 1.2.2 Định thức phần phụ đại số Xét định thức: a11 a12 a13 A = a21 a31 a22 a32 a23 a33 Trang GII TÊCH MẢNG Chọn định thức k hàng, k cột với [ k [ n Các phần tử nằm phía kể từ giao hàng cột chọn tạo thành định thức cấp k, gọi định thức cấp k A Bỏ k hàng k cột chọn, phần tử lại tạo thành định thức bù định thức A Phần phụ đại số ứng với phần tử aij định thức A định thức bù có kèm theo dấu (-1)i+j A21 = (−1) +1 a12 a13 a32 a33 =− a12 a13 a32 a33 Mối liên hệ định thức phần phụ: - Tổng tích phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng định thức |A| - Tổng tích phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng hàng (cột) khác 1.3 CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN 1.3.1 Các ma trận nhau: Hai ma trận A B gọi tất phần tử ma trận A tất phần tử ma trận B (aij = bịj ∀ i, j; i, j = 1, 2, n) 1.3.2 Phép cộng (trừ) ma trận Cộng (trừ) ma trận phái có kích thước m x n Ví dụ: Có hai ma trận A[aij ]mn B[bij ]mn tổng hiệu hai ma trận ma trận C[cij ]mn với cij = aij6 bij Mở rộng: R = A + B + C + + N với rij = aij bij6 cij 6 nij Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất giao hoán: A + B = B + A Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C 1.3.3 Tích vơ hướng ma trận: k.A = B Trong đó: bij = k aij ∀ i & j Tính giao hốn: k.A = A.k Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k B = (A + B) k (với A B ma trận có kích thước, k số ) 1.3.4 Nhân ma trận: Phép nhân hai ma trận A.B = C Nếu ma trận A có kích thước m x q ma trận B có kích thước q x n ma trận tích C có kích thước m x n Các phần tử cij ma trận C tổng tích phần tử tương ứng với i hàng ma trận A j cột ma trận B là: cij = ai1 b1j + ai2 b2j + + aiq bqj Ví dụ: a11 A.B = a21 a31 a12 a22 x a32 b11 b12 b21 b22 a11 b11 + a12 b21 = a21 b11 + a22 b21 a31 b11 + a32 b21 a11 b12 + a12 b22 a11 b12 + a12 b22 a11 b12 + a12 b22 Phép nhân ma trận khơng có tính chất hốn vị: A.B ≠ B.A Phép nhân ma trận có tính chất phân phối phép cộng: A (B + C) = A.B + A.C Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp: A (B.C) = (A.B) C = A.B.C Tích ma trận A.B = A = B = Tích C.A = C.B A = B Nếu C = A.B CT = BT.AT Trang GII TÊCH MẢNG (1.2) 1.3.5 Nghịch đảo ma trận: Cho hệ phương trình: a11x1 + a12x2 + a13x3 = y1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = y2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = y3 Viết dạng ma trận A.X = Y Nếu nghiệm hệ tồn ma trận B nghịch đảo ma trận A Do đó: X = B.Y (1.3) Nếu định thức ma trận A ≠ xác định xi sau: x1 = A A11 A y1 + 21 y2 + 31 y3 A A A x2 = A A12 A y1 + 22 y2 + 32 y3 A A A x3 = A13 A A y1 + 23 y2 + 33 y3 A A A Trong đó: A11, A12, A33 định thức phụ a11, a12, a13 |A| định thức ma trận A Ta có: Bi j = Aij A i, j = 1, 2, Nhân ma trận A với nghịch đảo ta có A.A-1 = A-1.A = U Rút X từ phương trình (1.3) sau nhân hai vế cho A-1 A.X = Y A-1.A.X = A-1 Y U.X = A-1.Y Suy ra: X = A-1 Y Nếu định thức ma trận 0, ma trận nghịch đảo không xác định (ma trận suy biến) Nếu định thức khác gọi ma trận không suy biến ma trận nghịch đảo Giả sử ma trận A B cấp khả đảo lúc đó: (A.B)-1 = B-1.A-1 Nếu AT khả đảo (AT)-1 khả đảo: (At)-1 = (A-1)t 1.3.6 Ma trận phân chia: A1 A2 A = A3 A4 Tổng ma trận phân chia biểu diễn ma trận nhỏ tổng ma trận nhỏ tương ứng A1 A2 B1 B2 A16B1 A26B3 = A3 A4 B3 B4 A36B3 A46B3 Phép nhân biểu diễn sau: Trang GII TÊCH MẢNG A1 A2 Trong đó: B1 B2 A3 A4 B3 B4 = C1 C2 C3 C4 C1 = A1.B1 + A2.B3 C2 = A1.B2 + A2.B4 C3 = A3.B1 + A4.B3 C4 = A3.B2 + A4.B4 Tách ma trận chuyển vị sau: A1 A2 A = A = = A-1 = A3 A4 Tách ma trận nghịch đảo sau: Trong đó: A1 A2 A3 A4 AT1 AT2 AT AT3 AT4 B1 B2 B3 B4 B1 = (A1 - A2.A4-1.A3)-1 B2 = -B1.A2.A4-1 B3 = -A4-1.A3.B1 B4 = A4-1 - A4-1.A3.B2 (với A1 A4 phải ma trận vuông) 1.4 SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN: 1.4.1 Sự phụ thuộc tuyến tính: Số cột ma trận A(m x n) viết theo n vectơ cột m vectơ hàng {c1}{c1} {c1} {r1}{r1} {r1} Phương trình vectơ cột (1.4) p1{c1} + p2{c2} + + pn{cn} = Khi tất Pk = (k = 1, 2, , n) Tương tự vectơ hàng khơng phụ thuộc tuyến tính qr = (r = 1, 2, , n) (1.5) q1{r1} + q2{r2} + + qn{rn} = Nếu pk ≠ thỏa mãn phương trình (1.4), vectơ cột tuyến tính Nếu qr ≠ thỏa mãn phương trình (1.5), vectơ hàng tuyến tính Nếu vectơ cột (hàng) ma trận A tuyến tính, định thức A = 1.4.2 Hạng ma trận: Hạng ma trận cấp cao mà tất định thức khác 0 [ r(A) [ min(m, n) với A ma trận kích thước m x n 1.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: Hệ phương trình tuyến tính m phương trình n hệ số viết: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 (1.6) am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym Trong đó: j: Là hệ số thực phức ; xj: Là biến số ; yj: Là số hệ Trang GIAÍI TÊCH MẢNG Hệ phương trình biểu diễn dạng ma trận sau: A X = Y Ma trận mở rộng: a11 a Aˆ = 21 am1 a12 a22 am a1n a2 n amn (1.7) y1 y2 ym Nếu yi = hệ phương trình gọi hệ nhất, nghĩa là: A.X = Nếu nhiều phần tử vectơ yi ≠ hệ gọi hệ khơng Định lý: Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng Hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm hạng ma trận hệ số nhỏ hạng ma trận mở rộng Nếu hạng ma trận r(A) = r(Â) = r = n (số ẩn) hệ phương trình tuyến tính (1.6) hệ có nghiệm (hệ xác định) Nếu r(A) = r(Â) = r < n hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm thành phần nghiệm phụ thuộc (n - r) tham số tùy ý Trang GIAÍI TÊCH MẢNG CHƯƠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 2.1 GIỚI THIỆU Nhiều hệ thống vật lý phức tạp biểu diễn phương trình vi phân khơng giải xác giải tích Trong kỹ thuật, người ta thường sử dụng giá trị thu việc giải gần hệ phương trình vi phân phương pháp số hóa Theo cách đó, lời giải phương trình vi phân giai đoạn quan trọng giải tích số Trong trường hợp tổng quát, thứ tự việc làm tích phân số q trình bước xác chuổi giá trị cho biến phụ thuộc tương ứng với giá trị biến độc lập Thường thủ tục chọn giá trị biến độc lập khoảng cố định Độ xác cho lời giải tích phân số phụ thuộc hai phương pháp chọn kích thước khoảng giá trị Một số phương pháp thường xuyên dùng trình bày mục sau 2.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ 2.2.1 Phương pháp Euler: Cho phương trình vi phân bậc dy = f ( x, y) dx (2.1) y y = g(x,c) Δy y0 Δx Hình 2.1: Đồ thị hàm số từ giải phương trình vi phân x x0 Khi x biến độc lập y biến phụ thuộc, nghiệm phương trình (2.1) có dạng: y = g(x,c) (2.2) Với c số xác định từ lý thuyết điều kiện ban đầu Đường cong miêu tả phương trình (2.2) trình bày hình (2.1) Từ chỗ tiếp xúc với đường cong, đoạn ngắn giả sử đoạn thẳng Theo cách đó, điểm riêng biệt (x0,y0) đường cong, ta có: Δy ≈ dy Δx dx Với dy độ dốc đường cong điểm (x0,y0) Vì thế, ứng với giá trị ban dx đầu x0 y0, giá trị y thu từ lý thuyết Δx: y1 = y + Δy hay y1 = y + dy h (đặt h = Δx) dx Khi Δy số gia y tương ứng với số gia x Tương tự, giá trị thứ hai y xác định sau Trang 12 GII TÊCH MẢNG y = y1 + dy h dx y y= g(x c) y3 y2 y1 y0 Hình 2.2 : Đồ thị lời giải xấp xỉ cho phương trình vi phân phương h Khi dy = f ( x1 , y1 ) dx h h x1 x0 x2 x3 x Q trình tính tiếp tục, ta được: y3 = y + dy h dx y = y3 + dy h dx Bảng giá trị x y cung cấp cho tồn giải phương trình (2.1) Minh họa phương pháp hình 2.2 2.2.2 Phương pháp biến đổi Euler Trong ứng dụng phương pháp Euler, giá trị dy/dx khoảng giả thiết tính tốn bắt đầu vượt khoảng cho phép Sự thay thu cách tính tốn giá trị y cho x1 trước x1 = x0 + h y1( ) = y + dy h dx Dùng giá trị x1 y1(0) thay vào phương trình (2.1) để tính tốn gần giá trị dy cuối khoảng dx (0) dy = f ( x1 , y1( ) ) dx Sau tận dụng giá trị y1(1) (0) dy dy tìm thấy dùng trung bình dx dx sau: y1(1) ( 0) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ Trang 13 GII TÊCH MẢNG (1) Dùng x1 y1 , giá trị xấp xỉ thứ ba y1 sau: y1( ) (1) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ ( 2) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx = y0 + ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟h ⎟ ⎟ ⎠ (2) thu trình tương tự Ta được: y1(3) Q trình tính tiếp tục hai số liền ước lượng cho y ngang nằm phạm vi mong muốn Q trình hồn tồn lặp lại thu giá trị y2 Kết thu có xác cao từ biến đổi phương pháp Euler minh họa hình 2.3 y = g(x c) y dy dx y2 y1 x0 (0) ⎛ dy dy ⎜ + ⎜ dx dx ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ y0 h (0) dy dx ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Hình 2.3 : Đồ thị lời giải xấp xỉ cho phương trình vi phân phương pháp biến đổi Euler x x1 Phương pháp Euler ứng dụng để giải hệ phương trình vi phân lúc Cho hai phương trình: dy = f1 ( x, y, z) dx dz = f ( x, y, z) dx Với giá trị ban đầu x0, y0 z0 giá trị y1 là: y1 = y0 + Với: dz h dx dy = f1 ( x0 , y , z ) dx Tương tự z1 = z + Với: dz h dx dz = f ( x0 , y , z ) dx Trang 14 GII TÊCH MẢNG Cho số gia tiếp theo, giá trị x1 = x0 + h, y1 z1 dùng để xác định y2 z2 Trong phương pháp biến đổi Euler y1 z1 dùng để xác định giá trị đạo hàm x1 cho đánh giá gần cấp hai y1(1) z1(1) 2.2.3 Phương pháp Picard với xấp xỉ liên tục Cơ sở phương pháp Picard giải xác, thay giá trị y hàm x phạm vi giá trị x cho y ⎟ g(x) Đây biểu thức ước lượng thay trực tiếp giá trị x để thu giá trị tương ứng y Cho phương trình vi phân (2.1) dy = f(x,y)dx Và tích phân khoảng giới hạn cho x y ∫ y1 y0 x1 dy = ∫ f ( x, y)dx x0 x1 Thì y1 − y0 = ∫ f ( x, y)dx Hay y1 = y0 + ∫ f ( x, y)dx x0 x1 x0 (2.3) Số hạng tích phân trình bày thay đổi kết y với thay đổi x từ x0 đến x1 Lời giải thu đánh giá tích phân phương pháp xấp xỉ liên tục Ta xem giá trị y hàm x thu thay y dạng tích phân với y0, cho giá trị ban đầu sau: x1 y1(1) = y0 + ∫ f ( x, y0 )dx x0 Thực biểu thức tích phân với giá trị y thay vào phương trình (2.3) thu lần xấp xỉ thứ hai cho y sau: x1 y1( ) = y0 + ∫ f ( x, y1(1) ) dx x0 Q trình lặp lại thời gian cần thiết để thu độ xác mong muốn Thật vậy, ước lượng tích phân ln ln phức tạp phải giả thiết cho biến cố định Khó khăn cần thực nhiều lần tích phân, nên mặt hạn chế áp dụng phương pháp Phương pháp Picard áp dụng để giải đồng thời nhiều phương trình sau: dy = f ( x, y , z ) dx dz = f ( x, y, z) dx Theo cơng thức, ta có: x1 y1 = y0 + ∫ f ( x, y0 , z0 ) dx x0 x1 z1 = z0 + ∫ f ( x, y0 , z0 ) dx x0 Trang 15 GIAÍI TÊCH MAÛNG 2.2.4 Phương pháp Runge- Kutta Trong phương pháp Runge- Kutta thay đổi giá trị biến phụ thuộc tính tốn từ cơng thức cho, biểu diễn điều kiện ước lượng đạo hàm điểm định trước Từ giá trị xác y cho cơng thức, phương pháp khơng địi hỏi thay lặp lại phương pháp biến đổi Euler hay tích phân liên tiếp phương pháp Picard Công thức rút gọn gần xuất phát thay khai triển chuổi Taylor RungeKutta xấp xỉ bậc hai viết cơng thức (2.4) y1 = y0 + a1k1 + a2k2 Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Các hệ số a1, a2, b1 b2 xác Đầu tiên khai triển f(x0+ b1h, y0+ b2k1) chuổi Taylor (x0,y0), ta được: ⎫ ⎧ ∂f ∂f k = ⎨ f ( x0 , y0 ) + b1 h + b2 k1 + .⎬ h ∂x ∂y ⎭ ⎩ Thay hai điều kiện k1 k2 vào phương trình (2.4), thu được: y1 = y + (a1 + a ) f ( x0 , y )h + a b1 ∂f ∂f h + a b2 f ( x0 , y ) h2 ∂x ∂y (2.5) Khai triển chuổi Taylor y giá trị (x0,y0) là: y1 = y + Từ dy dx dy dx h+ = f ( x0 , y ) d2y h2 dx 2 0 + d2y dx = (2.6) ∂f ∂f + f ( x0 , y ) ∂x ∂y Phương trình (2.6) trở thành y = y + f ( x , y )h + ∂f h2 ∂x + ∂f ∂y f (x , y ) h2 (2.7) Cân hệ số phương trình (2.5) (2.7), ta được: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2 Chọn giá trị tùy ý cho a1 a1 = 1/2 Thì a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = Thay giá trị vào phương trình (2.4), cơng thức gần bậc hai Runge-Kutta là: y1 = y + k + k 2 k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vì Với Δy = (k1 + k ) Áp dụng phương pháp Runge-Kutta cho việc xấp xỉ bậc hai địi hỏi tính tốn k1 k2 Sai số lần xấp xỉ bậc h3 chuổi cắt sau điều kiện bậc hai Tông quát công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta là: y1 = y + a1 k + a k + a k + a k (2.8) Với k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Trang 16 GIAÍI TÊCH MAÛNG k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiếp theo thủ tục giống dùng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số phương trình (2.8) thu là: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6 Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = Thay giá trị vào phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta trở thành y1 = y + (k1 + 2k + 2k + k ) Với k1 = f(x0,y0)h k h , y + )h 2 k h k = f ( x0 + , y + )h 2 k = f ( x0 + h, y + k )h k = f ( x0 + Như vậy, tính tốn Δy theo cơng thức địi hỏi tính tốn giá trị k1, k2, k3 k4 : Δy = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai số xấp xỉ bậc h5 Công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta cho phép giải đồng thời nhiều phương trình vi phân dy = f ( x, y , z ) dx dz = g ( x, y , z ) dx Ta co: y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Với: k1= f(x0,y0,z0)h k l h k = f ( x0 + , y + z + )h 2 k2 l2 h k = f ( x0 + , y + z + )h 2 k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h k l h l = g ( x0 + , y + z + )h 2 k2 l2 h l3 = g ( x0 + , y + z + )h 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h 2.2.5 Phương pháp dự đoán sửa đổi Phương pháp dựa sở ngoại suy, hay tích phân vượt trước, lặp lại nhiều lần việc giải phương trình vi phân dy = f ( x, y ) dx (2.9) Trang 17 GIAÍI TÊCH MẢNG Được gọi phương pháp dự đốn sửa đổi Thủ tục phương pháp dự đoán sửa đổi xuất phát từ điểm (xn,yn) đến điểm (xn+1, yn+1) Thì thu phương trình vi phân sửa đổi giá trị yn+1 xấp xỉ cơng thức xác Loại đơn giản cơng thức dự đốn phương pháp Euler là: yn+1 = yn + yn’h Với: dy y n' = dx dy dx từ n +1 (2.10) n Cơng thức xác khơng dùng phương pháp Euler Mặc dù, phương pháp biến đổi Euler giá trị gần yn+1 thu từ công thức dự đoán (2.10) giá trị thay phương trình vi phân (2.9) y’n+1 Thì giá trị xác cho yn+1 thu từ cơng thức biến đổi phương pháp là: y n +1 = y n + ( y ' n +1 + y ' n ) h (2.11) Giá trị thay phương trình vi phân (2.9) thu có đánh giá xác cho y’n+1, ln ln thay phương trình (2.11) làm cho yn+1 xác Quá trình tiếp tục lặp lại hai giá trị tính tốn liên tiếp yn+1 từ phương trình (2.11) trùng với giá trị mong muốn chấp nhận Phương pháp dự đoán biến đổi kinh điển Milne Dự đốn Milne cơng thức biến đổi, theo ông là: 4h (2 y ' n −2 − y ' n −1 +2 y ' n ) h y n +1 = y n −1 + ( y ' n −1 +4 y ' n + y ' n +1 ) y ' n +1 = f ( x n +1 , y n( 0+)1 ) y n( 0+)1 = y n −3 + Và Với: Bắt đầu tính tốn địi hỏi biết bốn giá trị y Có thể tính toán RungeKutta hay số phương pháp số trước sử dụng cơng thức dự đốn sửa đổi Milne Sai số phương pháp bậc h5 Trong trường hợp tổng quát, phương pháp mong muốn chọn h đủ nhỏ nên vài lần lặp đòi hỏi thu yn+1 hồn tồn xác mong muốn Phương pháp mở rộng cho phép giải số phương trình vi phân đồng thời Phương pháp dự đoán sửa đổi áp dụng độc lập phương trình vi phân phương trình vi phân đơn giản Vì vậy, thay giá trị cho tất biến phụ thuộc vào phương trình vi phân địi hỏi đánh giá đạo hàm (xn+1, yn+1) 2.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO Trong kỹ thuật trước mô tả cho việc giải phương trình vi phân bậc áp dụng cho việc giải phương trình vi phân bậc cao đưa vào biến phụ Ví dụ, cho phương trình vi phân bậc hai a dy d2y + b + cy = dx dx Với điều kiện ban đầu x0, y0, dy phương trình viết lại hai dx phương trình vi phân bậc dy = y' dx Trang 18 GII TÊCH MẢNG d y dy ' by '+cy = =− dx a dx Một phương pháp mơ tả trước việc làm tìm lời giải cho hai phương trình vi phân bậc đồng thời Theo cách tương tự, vài phương trình hay hệ phương trình bậc cao quy hệ phương trình vi phân bậc 2.4 VÍ DỤ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ Giải phương trình vi phân minh họa tính tốn dịng điện cho mạch RL nối tiếp R t = Hình 2.4: Sự biểu diễn i(t mạch điện RL L e(t ) ) Cho mạch điện RL hình 2.4 sức điện động hiệu dụng đóng khóa là: e(t) = 5t [ t [ 0,2 e(t) = t > 0,2 Điện trở cho theo đơn vị ohms R = 1+3i2 Và điện cảm theo đơn vị henrys L=1 Tìm dịng điện mạch điện theo phương pháp sau: a Euler’s b Biến đổi Euler c Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta d Milne’s e Picard’s Bài giải: Phương trình vi phân mạch điện L di + Ri = e(t ) dt Thay cho R L ta có: di + (1 + 3i )i = e(t ) dt Điều kiện ban đầu t = e0 = i0 = Khoảng chọn cho biến độc lập là: Δt = 0,025 a Phương trình theo phương pháp Euler Δi n = di Δt dt n in+1 = in +Δin Với di dt = en − (1 + 3in2 )in n Thay giá trị ban đầu vào phương trình vi phân, dịng điện i1 = Tại t1 = 0,025; e1 = 0,125 dy dt = Δi0 Vì thế, di = 0,125 − {1 + 3(0) }0 = 0,125 dt Trang 19 GII TÊCH MẢNG Thì Δi1 = (0,125)0,025 = 0,00313 i2 = + 0,00313 = 0,00313 Lập bảng kê kết lời giải đưa vào bảng 2.1 Bảng 2.1: Giải phương pháp Euler Thời gian Sức điện động Dòng n tn en di i n = i n −1 + 10 11 12 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,000 0,125 0,250 0,250 0,375 0,500 0.625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000 dt Δt n −1 0,00000 0,00000 0,00313 0,00930 0,01844 0,03048 0,4534 0,06295 0,08323 0,10611 0,12837 0,15000 0,17100 di dt = e n − (1 + 3i n2 )i n n 0,00000 0,12500 0,24687 0,36570 0,48154 0,59444 0,70438 0,81130 0,91504 0,89031 0,86528 0,83988 b Phương trình phương pháp biến đổi Euler Δi n( ) = di Δt dt n i n( 0+)1 = i n + Δi n( ) (0) ⎛ di di ⎞⎟ ⎜ + ⎜ dt dt n+1 ⎟ Δi n(1) = ⎜ n ⎟Δt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1) (1) i n+1 = i n + Δi n Với di dt (0) = en +1 − {1 + 3(in( 0+)1 ) }in( 0+)1 n +1 Thay giá trị ban đầu e0 = i0 = vào phương trình vi phân di =0 dx Do đó: Δi0( 0) = ; i1( 0) = Thay vào phương trình vi phân i1( 0) = e1 = 0,125 (0) Và di = 0,125 − {1 + 3(0) }0 = 0,125 dt 0,125 + Δi0(1) = ( )0,025 = 0,00156 Nên Trang 20 GII TÊCH MẢNG (1) i = + 0,00156 = 0,00156 Trong lời giải ví dụ cho phương pháp, khơng thực lặp lại in(1+)1 = in+1 Bài giải thu phương pháp biến đổi Euler đưa vào bảng 2.2 Bảng 2.2: Bài giải phương pháp biến đổi Euler Thời Sức Dòng (0) di di n Gian điện điện in en +1 Δin( ) in( 0+)1 dt n +1 Δin(1) dt n tn động en 0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,00000 0,125 0,025 0,125 0,00156 0,12344 0,00309 0,250 0,050 0,250 0,00617 0,34383 0,00610 0,375 0,075 0,375 0,01375 0,36124 0,00903 0,500 0.100 0,500 0,02423 0,47573 0,01189 0,625 0.125 0,625 0,03754 0,58730 0,01468 0,750 0.150 0,750 0,05360 0,69594 0,01740 0,875 0,175 0,875 0,07234 0,80152 0,02004 1,000 0,200 1,000 0,09367 0,90386 0,02260 1,000 0,225 1,000 0,11596 0,87936 0,02198 1,000 10 0,250 1,000 0,13763 0,85455 0,02136 1,000 11 0,275 1,000 0,15867 0,82935 0,02073 1,000 12 0,300 1,000 0,17908 c Phương trình dùng phương pháp Runge-Kutta để giải 0,00000 0,00465 0,01227 0,02278 0,03612 0,05222 0,07100 0,09238 0,11627 0,13794 0,15899 0,17940 0,12500 0,24535 0,36272 0,47718 0,58874 0,69735 0,80293 0,90525 0,87901 0,85419 0,82895 0,80328 0,00156 0,00461 0,00758 0,01048 0,01331 0,01606 0,01874 0,02133 0,02229 0,02167 0,02104 0,02041 di = e(t ) − (1 + 3i )i dt Ta có: k1 = {e(t n ) − (1 + 3in2 )in }Δt ⎧⎪ ⎡ k1 ⎞ ⎤ ⎛ k ⎞⎫⎪ Δt ⎛ k = ⎨e(t n + ) − ⎢1 + 3⎜ i n + ⎟ ⎥ ⎜ i n + ⎟⎬Δt 2 ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎪⎩ ⎣⎢ ⎭ ⎧⎪ k ⎞ ⎤ ⎛ k ⎞⎫⎪ Δt ⎡ ⎛ k = ⎨e(t n + ) − ⎢1 + 3⎜ i n + ⎟ ⎥ ⎜ i n + ⎟⎬Δt 2 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎢⎣ ⎪⎩ ⎭ k = {e(t n + Δt ) − + 3(i n + k3 ) (i n + k3 )}Δt Δin = (k1 + 2k + 2k3 + k ) [ Với: ] in+1 = in + Δin e(tn) = en e(t n + e +e Δt ) = n n +1 2 e(tn + Δt) = en+1 Thay giá trị ban đầu tìm k1: k1 = Tìm k2: [ ] ⎧ + 0,125 ⎫ k2 = ⎨ − + 3(0) 0⎬0,025 = 0,00156 ⎩ ⎭ Tìm k3: Trang 21 GII TÊCH MẢNG ⎧⎪ + 0,125 ⎡ ⎛ 0,00156 ⎞ ⎤ 0,00156 ⎫⎪ k3 = ⎨ − ⎢1 + 3⎜ ⎟ ⎥ ⎬0,025 = 0,00154 2 ⎪⎭ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎩ ⎢⎣ Tìm k4: [ { ] } k = + 0,125 − + 3(0,00154) 0,00154 0,025 = 0,00309 Thì Δi0 = (0 + 0,00312 + 0,00308 + 0,00309) = 0,00155 Và i1 = i0 + Δi0 = 0+ 0,00155 = 0,00155 Bài giải thu phương pháp Runge-Kutta đưa vào bảng 2.3 d Cơng thức dự đốn sửa đổi phương pháp Milne 4Δt (2i'n − −i 'n −1 +2i 'n ) Δt in +1 = in −1 + (i 'n −1 +4i 'n +i 'n +1 ) in( 0+)1 = in −3 + Với i 'n = di dt n Và di = en − (1 + 3in2 )in dt n Các giá trị ban đầu đòi hỏi phải thu từ lời giải phương pháp Runge-Kutta Với i0 = 0; i1 = 0,00155; i2 = 0,00615; i3 = 0,01372 Thay vào phương trình vi phân, ta có: i’0 = 0; i’1 = 0,12345; i’2 = 0,23485; i’3 = 0,36127 Bắt đầu t4 = 0,100 thay vào cơng thức dự đốn, ước lượng cho i4 là: i4( ) = + (0,025)[2(0,12345) − 0,24385 + 2(0,36127)] = 0,02418 Thay e4 = 0,500 i4 = 0,02418 vào phương trình vi phân, ta được: i’4 = 0,500 [ + 3(0,02418)2]0,02418 = 0,47578 Dự đoán giá trị xác, khác số hàng thập phân khơng địi hỏi lặp lại nhiều lần Kết sau bước ghi vào bảng 2.4 Tại t9 giá trị dự đốn dịng điện 0,11742 giá trị xác 0,11639 Việc thực lặp lại thay giá trị xác phương trình vi phân thu i’9 = 0,87888 Cứ dùng công thức sửa đổi để thu ước lượng thứ hai cho i9 = 0,11640, trước kiểm tra giá trị xác Thực lặp lại tất bước để đảm bảo yêu cầu xác Trang 22 ... thức dự đốn phương pháp Euler là: yn+1 = yn + yn’h Với: dy y n'' = dx dy dx từ n +1 (2.10) n Cơng thức xác khơng dùng phương pháp Euler Mặc dù, phương pháp biến đổi Euler giá trị gần yn+1 thu từ... định thức: a11 a12 a13 A = a21 a31 a22 a32 a23 a33 Trang GIAÍI TÊCH MAÛNG Chọn định thức k hàng, k cột với [ k [ n Các phần tử nằm phía kể từ giao hàng cột chọn tạo thành định thức cấp k, gọi... tính chất giao hoán: A + B = B + A Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C 1.3.3 Tích vơ hướng ma trận: k.A = B Trong đó: bij = k aij ∀ i & j Tính giao hốn: k.A