Giáo trình giải tích hàm

Đại học Huế Trờng Đại học S phạm NGUYễN HOàNG Và LÊ VĂN HạP Giáo trình giải tích hàm Huế - 2014 æ `.I NOI ´ D ˆU -` LO A ´ Va `o n˘ am 1932, Banach xuˆ a´t ba’n cuˆ o´n sa ´ ch “Ly ´ thuyˆ e t toa ´n ´ `e ly `om nh˜ ´ e t qua’ d¯u o c biˆ ´ vˆ ´ tu’ ”, nˆ o.i dung bao gˆ u ng kˆ e t va `o th` o i d¯o ´ thuyˆ e t ca ´ c khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n, d¯˘ a.c biˆ e.t la ` ca ´ c d¯i.nh ly ´ cu’a Banach ˜ cˆ d¯a ong bˆ o´ ca ´ c ba `i ba ´ o t` u n˘ am 1922-1929 Cuˆ o´n sa ´ ch na `y la `m o´n sa ´ ch cu’a Van der Waerden cho Gia’i tı ´ch `m co ´ mˆ o.t ta ´ c d¯ˆ o.ng nhu cuˆ `e d¯a.i sˆ vˆ o´, d¯u.o c xuˆ a´t ba’n hai n˘ am tru.´ o.c d¯o ´ Ca ´ c nha ` gia’i tı ´ch trˆ en ´t d¯ˆ `au nhˆ ´ a a.n th´ u c d¯u o c s´ ´ p m´ o i va ` u c ma.nh cu’a phu o ng pha thˆ e gi´ o i b˘ ´ap du.ng chu ´ ng va `o ca ´ c lı˜nh vu c kha ´ c nhau; ca ´ c ky ´ hiˆ e.u va ` thuˆ a.t ng˜ u `ay d¯u’ ˜ i, khˆ cu’a Banach d¯u.o c chˆ a´p nhˆ a.n rˆ o.ng ong gian d¯i.nh chuˆ a’n d¯ˆ `oi ch˘ ´ d¯u.o c go.i la ` khˆ ong gian Banach rˆ a’ng bao lˆ au, ly ´ thuyˆ e t na `y tro’ ´t buˆ `an b˘ tha `nh mˆ o.t phˆ a o.c chu.o.ng trı`nh d¯a.i ho.c J Dieudonne ´ (1981) Gia’i tı´ch `m la` mˆo.t nga `nh cu’a gia’i tı´ch toa ´ n ho.c nghiˆen c´ u.u ca ´ c d¯oˆ´i tu.o ng ong thu.`o.ng o’ng qua ´ t ho.n ca ´ c khˆ ong gian Rn thˆ va ` cˆa´u tru ´ c toa ´ n ho.c tr` u.u tu.o ng, tˆ `eu nga ´et qua’ va ´ p cu’a no ´ thˆ am nhˆ a.p va `o nhiˆ `nh kha ´ c nhu Ca ´ c kˆ ` phu.o.ng pha ´et phu.o.ng trı`nh vi phˆ ´et ly ´ thuyˆ an thu.` o.ng, phu.o.ng trı`nh d¯a.o `m riˆeng, ly ´ thuyˆ ´en phˆ ` biˆ an, phu o ng pha ´ p tı´nh, Ra d¯o` i va `o nh˜ u ng n˘ am ca ´ c ba `i toa ´ n cu c tri va ´e ky’ 20, d¯´ˆen gia’i tı´ch ˜ y d¯u o c nh˜ u ng tha `nh tu u quan d¯`aˆu cu’a thˆ `m tı´ch lu ´en `nh chuˆ a’n mu c viˆe.c nghiˆen c´ u u va ` trı`nh ba `y ca ´ c kiˆ tro.ng va ` no ´ d¯˜a tro’ tha ´ n ho.c th´ u c toa - a.i ho.c Su pha.m, d¯u.o c viˆ ´et ´n D Gia ´ o trı`nh na `y da `nh cho sinh viˆen ca ´ c l´o.p Toa - a.i ho.c Su `m d¯˜a d¯o.c cho sinh viˆen khoa Toa ´n D trˆen co so’ Ba`i gia’ng gia’i tı´ch -ˆ ´e nh˜ `an b˘ ˜ ng la pha.m Huˆ u.ng n˘ am v` u.a qua D ay cu ` ho.c phˆ a´t buˆ o.c cuˆo´i cu`ng `e mˆon gia’i tı´ch ma` sinh viˆen pha’i ho.c chı´nh khoa vˆ ´ ´et va `an hu.´ `om chu.o.ng ly ´ thuyˆ ` co ´ phˆ o.ng dˆ a˜n gia’i ba `i Nˆ o.i dung gia ´ o trı`nh gˆ ´en th´ `nh cho viˆe.c trı`nh ba `y nh˜ u ng kiˆ u c co tˆ a.p cu`ng phu lu.c Hai chu o ng d¯`aˆu da ba’n, d¯a.i cu.o.ng cu’a khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n va ` mˆo.t sˆo´ d¯i.nh ly ´ quan cu’a gia’i ´en tı´nh Ca `n la.i xe ´ t ca ´ c vˆa´n d¯`ˆe cu thˆe’ ho.n nhu ca ´c tı´ch `m tuyˆ ´ c chu o ng co p ´en ong gian Hilbert va ` ca ´ c vˆa´n d¯`ˆe liˆen quan d¯´ˆen toa ´ n tu’ tuyˆ khˆ ong gian L , khˆ o.i chu.o.ng trı`nh hiˆe.n `nh cu’a nga `nh toa ´ n ca ´c tı´nh Ca ´ c nˆ o.i dung na `y phu` ho p v´ Typeset by AMS-TEX tru.` o.ng su pha.m, d¯u.o c cho.n lo.c theo phu.o.ng chˆ am tinh gia’n va ` co ba’n giu ´ p sinh ´ i nhı`n thˆ o´ng nhˆ a´t d¯oˆ´i v´ o.i nga `nh gia’i tı´ch viˆen co ´ d¯u.o c ca ´en th´ `an gia’i tı´ch ´e th` ` pha ´ t triˆe’n ca ´ c kiˆ u.c cu’a ca ´ c ho.c phˆ Mˆ on ho.c na `y kˆ u.a va `an oˆn la.i ca ´en th´ `e khˆ o c d¯´o Do d¯´o sinh viˆen cˆ ´ c kiˆ u c vˆ ong gian mˆetric, tˆo pˆ o, tru ´ ´et d¯oˆ d¯o, tı´ch phˆ ˜ ng nhu mˆo.t sˆo´ ky˜ n˘ ang tı´nh toa ´ n cu’a gia’i tı´ch cˆo’ ly ´ thuyˆ an cu - ˆe’ giu ´en th´ d¯iˆe’n D ´ p sinh viˆen tˆa.p vˆ a.n du.ng kiˆ u.c d¯˜a ho.c, cuˆo´i mˆo˜i mu.c co ´ mˆo.t sˆo´ `an cuˆ ´ ng Phˆ o´i co ´ hu ´ o ng dˆ a˜n va ` gia’i mˆo.t sˆo´ ca ´ c ba `i tˆ a.p nhu la ` ba `i tˆ a.p tu o ng u ´ thˆe’ ho.c tˆo´t ho.n nh˜ u.ng go i ´y d¯ˆe’ sinh viˆen co ´ m o.n ca ´ c d¯`oˆng nghiˆe.p o’ Tˆo’ Gia’i tı´ch Khoa Toa ´ n, Ca ´ c ta ´ c gia’ xin d¯u.o c ca ´e d¯˜a d¯´o ng go ´en va `eu kiˆe.n d¯ˆe’ gia o ng d¯a.i ho.c Su pha.m Huˆ ´ p ´y kiˆ ` ta.o d¯iˆ ´ o trı`nh Tru ` `an in ´ ng tˆ oi mong nhˆ a.n d¯u o c nh˜ u ng phˆe bı`nh, go ´ p ´y d¯ˆe’ nh˜ u ng lˆ na `y d¯o` i Chu ´en tˆ o’ sung va ` ca’i tiˆ o´t ho.n sau gia ´ o trı`nh d¯u.o c bˆ Chu.o.ng ˆ ˆ´N T´INH D ˆ’ N - I.NH CHUA KHONG GIAN TUYE Kh´ niˆe.m khˆ ong gian tuyˆe´n t´ınh (hay khˆ ong gian vecto.) l` a mˆo.t nh˜ u.ng kh´ niˆe.m quan tro.ng v` a co ba’n cu’a to´ an ho.c hiˆe.n d¯a.i C´ ac vˆa´n d¯`ˆe cu’a d¯a.i sˆo´ y thuyˆe´t d¯i.nh th´ u c, ma trˆ a.n, hˆe phu o ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, tuyˆe´n t´ınh nhu l´ at biˆe’u v` a tr`ınh b` ay mˆo.t c´ach nhˆ a´t qu´ an trˆen ngˆon ng˜ u v` a cˆa´u tr´ uc cu’a d¯u.o c ph´ n ung ta am to´ an trˆen c´ac tˆa.p R hay R ch´ khˆ ong gian vecto Trong gia’i tı´ch, l` uc sˆo´ ho.c cu’a tˆ a.p n` ay Tuy nhiˆen bu ´ o c v`ao c´ac l˜ınh kha ´ quen thuˆ o.c v´o i cˆa´u tr´ ’ ac, ch˘ ang ha.n l´ y thuyˆe´t phu o ng tr`ınh vi phˆ an, phu o ng tr`ınh t´ıch phˆ an, vu c kh´ `an xˆ o ng xuyˆen l` am viˆe.c trˆen tˆa.p c´ ac h` am sˆo´, ta cˆ ay du ng c´ ac cˆa´u pha’i thu ` ´en tı´nh d¯ˆe’ thu c hiˆe.n ca ´ c phe ´ p toa ´ n d¯a.i sˆo´ trˆen tˆa.p c´ac h`am tr´ uc khˆ ong gian tuyˆ - `ˆ am to´ an gia’i t´ıch d¯u.o c trˆen c´ac khˆ ong gian aˆ´y mˆo.t sˆo´ d¯o´ D ong th` o.i, d¯ˆe’ c´o thˆe’ l` ung ta pha’i d¯u a cˆa´u tr´ uc mˆetric v`ao cho ch´ ung Tuy nhiˆen nˆe´u c´ach tu nhiˆen ch´ uc khˆ ong gian vecto v` a cˆa´u tr´ uc khˆ ong gian mˆetric th`ı nghiˆen c´ u.u riˆeng r˜e cˆa´u tr´ ` ng v´ `eu g`ı m´o i Chu ´ ng ta hy vo.ng r˘ a o.i su kˆe´t ho p nhˆ a´t ta s˜e khˆ ong thu d¯u o c d¯iˆ a´u tr´ uc n` ay th`ı c´ac vˆa´n d¯`ˆe nghiˆen c´ u u c` ung nh˜ u ng kˆe´t qua’ m´o.i d¯.inh gi˜ u a hai cˆ `an lu.o t tr`ınh b` `eu ho.n C´ ac nˆ o.i dung d¯o´ s˜e d¯u.o c lˆ ay qua c´ ac s˜e xuˆ a´t hiˆe.n nhiˆ ao tr`ınh n` ay Mo’ d¯`aˆu, mu.c §1 da `nh cho viˆe.c ˆon la.i c´ac kh´ niˆe.m chu o ng cu’a gi´ ´et liˆen quan d¯ˆe´n khˆ ´ c mu.c kha ´ c la` nˆ o.i dung v` a t´ınh chˆ a´t d¯˜a biˆ ong gian vecto Ca `y m´o.i cu’a chu.o.ng na ˆ ˆ´N T´INH §1 KHONG GIAN TUYE - i.nh ngh˜ıa Mˆ ´en tı´nh hay khˆ 1.1 D o.t khˆ ong gian tuyˆ ong gian vecto X trˆen o.ng K l` a mˆo.t tˆ a.p ho p kh´ ac trˆ o´ng X, c´o trang bi hai ph´ep to´ an cˆo.ng (+) mˆo.t tru.` o ng) nghiˆe.m d¯u ´ ng c´ac tiˆen d¯`ˆe sau: v` a ph´ep nhˆan ngo` (nhˆ an vˆ o hu ´ `an tu’ (x, y) ∈ X × X 1) (X, +) l` a mˆo.t nh´ om Abel, ngh˜ıa l` a: v´ o.i mˆo˜i c˘a.p phˆ `an tu’ cu’a X k´ o.i mˆo.t phˆ y hiˆe.u x + y, go.i l` a tˆ o’ng cu’a x v` a y, thoa’ m˜an cho u ´.ng v´ a x + y = y + x v´ o.i mo.i x, y ∈ X b (x + y) + z = x + (y + z) v´ o.i mo.i x, y, z ∈ X `an tu’ khˆ `on ta.i phˆ `an tu’ ∈ X, go.i l` a phˆ ong cho c Tˆ ∀x ∈ X, x + = + x = x `on ta.i mˆo.t phˆ `an tu’ k´ `an tu’ d¯ˆ d V´ o.i mo.i x ∈ X tˆ y hiˆe.u −x, go.i l` a phˆ o´i cu’a x cho x + (−x) = o.ng trˆen X, t´ u.c l`a mˆo˜i c˘a.p (α, x) ∈ K × X u ´.ng 2) X c` ung ph´ep nhˆan vˆ o hu.´ `an tu’ cu’a X, k´ y hiˆe.u αx, thoa’ m˜an v´ o.i mˆo.t phˆ a α(x + y) = αx + αy v´ o.i mo.i α ∈ K, x, y ∈ X b (α + β)x = αx + βx v´ o.i mo.i α, β ∈ K, x ∈ X c α(βx) = (β α)x = αβx, α, β ∈ K, x ∈ X d ∀x ∈ X, 1x = x `an tu’ cu’a X go.i l` a c´ac vecto., α ∈ K go.i l` a vˆ o hu.´ o.ng Trong gi´ ao C´ac phˆ o ng K l` a R (tru ` o ng c´ ac sˆo´ thu c) ho˘a.c C (tru `o ng tr`ınh n` ay ta chı’ l` am viˆe.c v´o i tru ` c´ac sˆo´ ph´ u c) V´ı du o.i c´ac ph´ep to´ Tˆ a.p ho p K n = K × × K v´ an cˆo.ng v` a nhˆ an vˆ o hu.´o.ng:  
`an n lˆ x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ), αx = (αx1 , , αxn ) d¯o´ α ∈ K, x = (x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) ∈ K n l` a mˆo.t khˆ ong gian -˘ a.c biˆe.t n = th`ı K l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto trˆen ch´ınh n´ o vecto D ac d¯a th´ u.c mˆo.t biˆe´n thu c trˆen R, k´ y hiˆe.u l` a P v´ o.i ph´ep cˆo.ng hai Tˆ a.p ho p c´ o.t sˆo´ v´ o.i d¯a th´ u.c d¯u.o c x´ac d¯i.nh theo c´ ach thˆ ong thu.`o.ng d¯a th´ u.c, ph´ep nhˆan mˆ c˜ ung l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto a´t ca’ c´ac h` am sˆo´ thu c ho˘ a.c ph´ u.c x´ac d¯i.nh trˆen mˆo.t tˆ a.p A kh´ ac Tˆ a.p ho p tˆ an trˆ o´ng v´ o i c´ac ph´ep to´ ∀x ∈ A, (f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λf (x), l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto., ta k´ y hiˆe.u l` a F(A) Tˆa.p ho p c´ ac d˜ay sˆo´ thu c (ho˘ a.c ph´ u.c) v´ o.i c´ac ph´ep cˆo.ng v` a ph´ep nhˆ an o.ng d¯u.o c x´ac d¯.inh theo c´ ach thˆ ong thu.` o.ng lˆ a.p th` anh khˆ ong gian vecto., k´ y vˆ o hu.´ o i N l` a tˆ a.p c´ ac sˆo´ tu hiˆe.u l` a s Thˆ a.t ra, theo k´ y hiˆe.u o’ v´ı du 3, ta c´o s = F(N), v´ nhiˆen -ˆ 1.2 D o.c lˆ a.p tuyˆ e´n t´ınh-Co so’ a c´ac vecto a mˆo.t khˆ ong gian vecto v` a x1 , x2 , , xn l` 1.2.1 Gia’ su’ X l` thuˆ o.c X Tˆ o’ng n  α1 x1 + · · · + αn xn = αi xi , i=1 d¯o´ c´ac αi ∈ K d¯u.o c go.i l` a mˆo.t tˆ o’ ho p tuyˆe´n t´ınh cu’a c´ac vecto x1 , , xn v´ o.i c´ac hˆe sˆ o´ α1 , , αn Cho M l` a mˆo.t tˆ a.p cu’a X Ta go.i M l` a mˆo.t tˆ a.p ho p d¯ˆ o.c lˆ a.p tuyˆe´n t´ınh `an tu’ {x1 , , xn } ⊂ M va ´ c phˆ ` ca ´ c sˆo´ α1 , , αn ∈ K, nˆe´u mo.i tˆ a.p h˜ u.u ha.n ca ´eu nˆ n  αi xi = th`ı αi = 0, i = 1, , n, i=1 d¯o´ n l` a sˆo´ tu nhiˆen bˆ a´t k` y Tru.` o.ng ho p M khˆ ong pha’i l` a d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh th`ı ta go.i M l` a phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh 1.2.2 Cho B l` a mˆo.t tˆ a.p kh´ ac trˆ o´ng cu’a khˆ ong gian vecto X Tˆa.p B a mˆo.t co so’ ( hay co so’ Hamel ) cu’a X nˆe´u: d¯u.o c go.i l` a) B l` a mˆo.t tˆ a.p ho p d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh a mˆo.t tˆ o’ ho p tuyˆe´n t´ınh cu’a b) B sinh X, ngh˜ıa l` a v´ o.i mo.i x ∈ X, x l` `an tu’ cu’a B : ac phˆ mˆo.t sˆo´ h˜ u.u ha.n c´ n     ∀x ∈ X ∃ α1 , , αn ∈ K; ∃ x1 , , xn ∈ B : x = αi xi (1.2) i=1 `e Gia’ su’ B l` 1.2.3 Mˆ e.nh d ¯ˆ a mˆ o.t co so’ cu’ a khˆ ong gian vecto X Khi d¯´ o ac d¯.inh mˆ o.t c´ ach nhˆ a´t biˆe’u diˆ˜e n cu’ a vecto x ∈ X cho bo’.i (1.2) d¯u.o c x´ ` ng tˆ o.c r˘a o’ng (1.2) Ch´ u ´y Trong ph´ at biˆe’u cu’a mˆe.nh d¯`ˆe n` ay ta qui u.´ ac t` u ng d¯oˆi mˆo.t; khˆ a ong co ´ m˘a.t c´ac ha.ng tu’ da.ng 0xj v` c´ac vecto xj kh´ u.a, tı´nh chˆ a´t giao hoa ´ n cu’a phe ´ p + nˆen ta khˆ ong quan tˆ am d¯ˆe´n th´ u tu ho.n n˜ cu’a c´ac ha.ng tu’ ˜e n kh´ Ch´ u.ng minh Gia’ su’ c´o hai c´ ach biˆe’u diˆ ac nhau: x = α1 x1 + · · · + αn xn = β1 y1 + · · · + βm ym , v´ o.i αi = 0, βj = 0, i = 1, , n, j = , m Ta loa.i bo’ c´ac ha.ng tu’ αj xj v` a βk yk o’ hai vˆe´ nˆe´u αj = βk v` a xj = yk L´ uc a βk yk c`on la.i o’ hai vˆe´ s˜e xa’y ho˘ a.c nˆe´u a.c xj = yk ho˘ d¯o´ c´ac ha.ng tu’ αj xj v` `e mˆo.t vˆe´ v` ac ha.ng tu’ d¯o´ vˆ a viˆe´t la.i th` anh xj = yk th`ı αj = βk Chuyˆe’n c´ µ1 v1 + · · · + µr vr = 0, < r ≤ n + m - iˆ `eu n` Do B l` a mˆo.t tˆ a.p ho p d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh nˆen µ1 = · · · = µr = D ay a αj ho˘ a.c βk thı` kh´ ac khˆ ong ho˘ a.c αj − βk = vˆ o l´ y v`ı mˆo˜i µk pha’i l` Bˆay gi` o gia’ su’ B l` a mˆo.t co so’ cu’a khˆ ong gian vecto X v` a B l` a tˆ a.p h˜ u.u ha.n `an tu’ `an tu’ Khi d¯o´ mo.i tˆ a.p d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh cu’a X c´o tˆ o´i d¯a k phˆ c´o k phˆ `eu d¯o´ nhu la ´en th´ ´en tı´nh!) ` ca ´ ch ˆ on la.i kiˆ u.c cu’a d¯a.i sˆo´ tuyˆ (H˜ ay ch´ u.ng minh d¯iˆ `eu, sˆo´ phˆ `an tu’ cu’a B gˆ `om k phˆ `an tu’ L´ uc n` ay ta n´ oi X l` a khˆ ong gian h˜ u.u ha.n chiˆ `eu cu’a X v` d¯u.o c go.i l` a sˆ o´ chiˆ a k´ y hiˆe.u l` a dim X = k Nˆe´u X khˆ ong pha’i l` a khˆ ong `eu th`ı ta go.i n´ `eu v` o l` a khˆ ong gian vˆ o ha.n chiˆ a viˆe´t dim X = ∞ gian h˜ u u ha.n chiˆ - ˆe’ nhˆ Cho B l` a tˆ a.p cu’a X D a.n biˆe´t B l` a co so’ cu’a khˆ ong gian vecto X, ta c`on c´o: - i.nh l´ ong gian vecto X v` a 1.2.4 D y Tˆ a.p ∅ = B ⊂ X l` a co so’ cu’ a khˆ o.c lˆ a.p tuyˆe´n t´ınh tˆ o´i d¯a.i (ngh˜ıa l` a B d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v` a chı’ B l` a tˆ a.p ho p d¯ˆ nˆe´u M
B th`ı M phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh) Ch´ u.ng minh - iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an Cho M
B Gia’ su’ x ∈ M v` a D ax∈ / B Khi d¯o´ theo d¯i.nh ngh˜ıa co so’., pha’i c´o x1 , , xn ∈ B, α1 , , αn ∈ K cho x= n  i=1 αi xi hay n  αi xi − 1x = n=1 Hˆe {x1 , , xn , x} phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen M phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh - iˆ `eu kiˆe.n d¯u’ V´ b D o.i x ∈ X, nˆe´u x ∈ B th`ı x = 1x Nˆe´u x ∈ / B th`ı `on ta.i mˆo.t tˆ B ∪ {x} phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh nˆen tˆ o’ ho p tuyˆe´n t´ınh α1 x1 + · · · + αn xn = ` cho tˆa´t ca’ c´ac α1 , , αn khˆ ong d¯`oˆng th` o.i b˘ a ng khˆ ong Trong c´ac vecto xi n` ay pha’i c´o m˘a.t vecto x, ch˘ a d¯o´ α1 = v`ı nˆe´u khˆ ong pha’i a’ng ha.n x = x1 v` a.y th`ı B s˜e phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh Do d¯o´ nhu vˆ −1 x = x1 = −(α−1 α2 x2 + · · · + α1 αn xn ) Vˆ a.y B l` a mˆo.t co so’ cu’a X - inh l´ a mˆ o.t khˆ ong gian vecto v` a M l` a mˆ o.t tˆ a.p ho p d¯ˆ o.c 1.2.5 D y Gia’ su’ X l` `on ta.i mˆ lˆ a.p tuyˆe´n t´ınh X L´ uc d¯´ o tˆ o.t co so’ B cu’ a X cho B ⊃ M y hiˆe.u F l` a tˆ a.p ho p tˆ a´t ca’ c´ac tˆa.p ho p N d¯oˆ c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh Ch´ u.ng minh K´ u tu trˆen X ch´ u.a M Khi d¯o´ F = ∅ v`ı M ∈ F Ta d¯i.nh ngh˜ıa quan hˆe th´ F nhu sau: v´ a chı’ N1 ⊂ N2 Gia’ su’ A ⊂ F l` o.i N1 , N2 ∈ F, N1 ≤ N2 v` a ` ng ho p cu’a tˆ a a´t ca’ c´ac tˆa.p N thuˆ o.c mˆo.t tˆ a.p s˘ a´p th˘ a’ng cu’a F Ta d¯a˘ t N0 b˘ a mˆo.t cˆa.n trˆen cu’a A Do F thoa’ m˜an c´ac gia’ thiˆe´t cu’a bˆ o’ d¯`ˆe A L´ uc d¯o´ N0 l` `on ta.i mˆo.t phˆ `an tu’ tˆ Zorn nˆen F tˆ o´i d¯a.i B Vˆ a.y B l` a co so’ pha’i t`ım `on ta.i co so’ 1.2.6 Hˆ e qua’ Mo.i khˆ ong gian vecto X = {0} d¯`ˆeu tˆ - i.nh l´ `oi a´p du.ng D a´y x ∈ X, x = v` a d¯a˘ t M = {x} rˆ y 1.2.5 Ch´ u.ng minh Lˆ 1.3 Khˆ ong gian vecto - i.nh ngh˜ıa Cho X l` a M l` a mˆo.t tˆ a.p 1.3.1 D a mˆo.t khˆ ong gian vecto v` an cˆo.ng v` a nhˆ an vˆ o hu ´ o ng trˆen X thu he.p kh´ ac trˆ o´ng cu’a X Gia’ su’ c´ac ph´ep to´ a la.i trˆen M c˜ ung l` am cho M th` anh mˆ o.t khˆ ong gian vecto Khi d¯o´ ta go.i M l` a´t la ` khˆ ong gian con) cu’a X mˆo.t khˆ ong gian vecto (hay go.i t˘ - i.nh l´ - iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an v` 1.3.2 D y Cho M l` a mˆ o.t tˆ a.p kh´ ac trˆ o´ng cu’ a X D a anh mˆ o.t khˆ ong gian cu’ a X l` a: d¯u’ d¯ˆe’ M tro’ th` a ∀ x, y ∈ M : x + y ∈ M b ∀x ∈ M, ∀α ∈ K : αx ∈ M - iˆ `eu kiˆe.n cˆ `an hiˆe’n nhiˆen Do gia’ thiˆe´t, c´ac ph´ep to´ Ch´ u.ng minh D an cˆo.ng v` a o ng l` a k´ın trˆen M Ho n n˜ u a, c´ac t´ınh chˆ a´t cu’a c´ac ph´ep to´ an n` ay vˆ a˜n nhˆ an vˆ o hu ´ `an tu’ cu’a M nˆen ta ´ m tiˆen d¯`ˆe cu’a mˆo.t khˆ ong c`on d¯u ´ ng ta l` am viˆe.c v´o.i c´ac phˆ `eu kiˆe.n d¯u’ u d¯aˆy cho ph´ep ta suy d¯u o c d¯iˆ gian vecto d¯u o c nghiˆe.m d¯´u ng T` anh, d¯ˆe’ kiˆe’m tra mˆo.t tˆ a.p Y n` ao d¯o´ l` a khˆ ong gian Ch´ u y ´ Trong thu c h` `oi o.i ta thu.` o.ng nh´ ung n´ o v` ao mˆo.t khˆ ong gian vecto d¯a˜ biˆe´t rˆ vecto., ngu.` `eu kiˆe.n cu’a d¯i.nh l´ kiˆe’m tra c´ac d¯iˆ y trˆen 1.3.3 V´ı du `om tˆa´t ca’ c´ac d˜ ay sˆo´ thu c ho˘ a.c ph´ u.c x = (xn )n cho Tˆa.p ho p l1 gˆ ∞  |xn | < ∞ l` a mˆo.t khˆ ong gian cu’a khˆ ong gian s c´ac d˜ay sˆo´ n=1 Tˆ a.p ho p c´ a ac h` am sˆo´ liˆen tu.c x´ac d¯i.nh trˆen d¯oa.n [a, b] k´ y hiˆe.u C[a,b] l` mˆo.t khˆ ong gian cu’a khˆ ong gian c´ ac h`am sˆo´ F([a, b]) ay sˆo´ thu c ho˘a.c Tˆ a.p ho p l∞ = {x = (xn )n ⊂ K : sup |xn | < ∞} c´ac d˜ n∈N - ´o la a.n c˜ ung l` a mˆo.t khˆ ong gian vecto D ph´ u.c x = (xn )n bi ch˘ ` khˆ ong gian cu’a ˜ y sˆo´ ´ c da khˆ ong gian vecto s ca - i.nh l´ T` u D y 1.3.2 ta c´ o mˆe.nh d¯`ˆe sau `e Giao mˆ 1.3.4 Mˆ e.nh d ¯ˆ o.t ho tu`y ´y c´ ac khˆ ong gian cu’ a X l` a mˆ o.t khˆ ong gian cu’ a X - ˘a.t Ch´ u.ng minh Gia’ su’ (Mi )i∈I l` a mˆo.t ho c´ac khˆ ong gian cu’a X D Mi Ta c´o M kh´ ac trˆ o´ng v`ı n´ o c´o ch´ u.a vecto Nˆe´u x, y ∈ M, (t´ u.c M = i∈I l` a x, y ∈ Mi , ∀i ∈ I), α ∈ K th`ı x + y ∈ Mi , αx ∈ Mi v´ o.i mo.i i ∈ I Do d¯o´ x + y ∈ M v` a αx ∈ M Vˆ a.y M l` a khˆ ong gian cu’a X - i.nh ngh˜ıa Gia’ su’ A l` 1.3.5 D a mˆo.t tˆ a.p cu’a khˆ ong gian vecto X Luˆ on ’ `on ta.i mˆo.t khˆ ang ha.n ba’n thˆ an khˆ ong gian luˆ on tˆ ong gian cu’a X ch´ u a A (ch˘ ung l` a mˆo.t khˆ ong gian X) Giao cu’a ho tˆ a´t ca’ c´ac khˆ ong gian ch´ u a A c˜ ong gian n` ay d¯u.o c goi l` a khˆ ong gian sinh bo’.i A hay l` a bao ch´ u.a A Khˆ y hiˆe.u l` a A ho˘ a.c span (A) Theo d¯i.nh ngh˜ıa, d¯aˆy tuyˆe´n t´ınh cu’a A v` a d¯u o c k´ a.p A Ta c´o: l` a khˆ ong gian b´e nhˆ a´t cu’a X ch´ u a tˆ `e Bao tuyˆe´n t´ınh cu’ a tˆ 1.3.6 Mˆ e.nh d ¯ˆ a.p A l` a tˆ a.p ho p tˆ a´t ca’ c´ ac tˆ o’ ho p `an tu’ thuˆ o.c A tuyˆe´n t´ınh cu’ a c´ ac phˆ n  -˘ ˜ Ch´ u.ng minh D αi xi | αi ∈ K, xi ∈ A, n ∈ N Ro `ng theo a.t M = i=1 - i.nh l´ D y 1.3.2, M l` a khˆ ong gian cu’a X Ho.n n˜ u.a t` u A ⊂ M suy A |2 ≥ y, y T` u d¯o´ ta suy bˆ a´t d¯a˘’ ng th´ u.c (1.1) ` Ch´ uy ´: Dˆ a´u b˘ a ng bˆ a´t d¯a˘’ ng th´ u.c Schwarz xa’y v` a chı’ x v` a y phu thuˆ o.c tuyˆe´n t´ınh 74 - i.nh l´ `en Hilbert thı` cˆ 1.1.2 D y Nˆe´u H l` a khˆ ong gian tiˆ ong th´ u.c  x = x, x , x ∈ H (1.2) x´ ac d¯.inh mˆ o.t chuˆ a’n trˆen H ´et la.i tha V´ o.i ky ´ hiˆe.u m´ o.i na `y, bˆ a´t d¯a˘’ ng th´ u.c Schwarz d¯u.o c viˆ `nh |x, y | ≤ x y u tiˆen d¯`ˆe d) d¯i.nh ngh˜ıa t´ıch vˆ o hu.´ o.ng ta suy ra: Ch´ u.ng minh T` ∀ x ∈ H, x ≥ 0; x = v` a chı’ x = T` u a) v` a c) ta c´o : λx =  λx, λx =  |λ|2 x2 = |λ| x v´ o.i mo.i x ∈ H, λ ∈ K ´ep theo, v´ ´: Tiˆ o.i mo.i x, y ∈ H ta co x + y2 = x + y, x + y = x2 + y, x + x, y + y2 = x2 + x, y + x, y + y2 = x2 + 2Re (x, y ) + y2 ≤ x2 + 2|x, y | + y2 ´ du.ng bˆ Ap a´t d¯a˘’ ng th´ u.c Schwarz, ta c´o x + y2 ≤ x2 + 2x y + y2 = (x + y)2 ´e  ·  la Vˆa.y x + y ≤ x + y Nhu thˆ ` mˆo.t chuˆ a’n trˆen H - i.nh l´ `en Hilbert H ch´ınh l` Nhˆ a.n x´ et Do D y 1.1.2, ta thˆ a´y khˆ ong gian tiˆ a a’n ca’m sinh t` u t´ıch vˆ o hu.´ o.ng bo’.i cˆong th´ u.c mˆo.t khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n v´ o.i chuˆ a.y mo.i kh´ niˆe.m, kˆe´t qua’ d¯a˜ d¯u.o c thiˆe´t lˆ a.p cho khˆ ong gian d¯i.nh (1.2) Nhu vˆ `en Hilbert ong gian tiˆ chuˆ a’n d¯`ˆeu c´ o thˆe’ ´ ap du.ng d¯u o c cho khˆ 1.2 Khˆ ong gian Hilbert `en Hilbert, xem nhu khˆ ong gian d¯i.nh chuˆ a’n, c´ o thˆe’ d¯`aˆy Mˆ o.t khˆ ong gian tiˆ d¯u’ ho˘ a.c khˆ ong d¯`aˆy d¯u’ 75 `en Hilbert v` Nˆe´u H l` a mˆo.t khˆ ong gian tiˆ a d¯`aˆy d¯u’ d¯oˆ´i v´ o.i chuˆ a’n ca’m sinh ˜ ng tu.o.ng tu tru.` o hu.´ o.ng th`ı d¯u.o c go.i l` a khˆ ong gian Hilbert Cu o.ng ho p t` u t´ıch vˆ `en Hilbert, o.ng K la ` R hay C ta co ´ khˆ ong gian Hilbert khˆ ong gian tiˆ ` theo tru.` ong gian Hilbert ph´ u.c thu c hay khˆ 1.3 V´ı du a khˆ ong gian Hilbert thu c (tu.o.ng u ´.ng Cn ) l` ´.ng ph´ u.c) 1) Rn (tu.o.ng u o hu.´ o.ng v´ o.i t´ıch vˆ x, y = n  xi yi (t.u , x, y