Giáo trình Giải tích hàm

Mở đầu Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải tích Hàm đợc tác giả biên soạn chơng trình xây dựng giáo trình hoàn chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s phạm ngành Toán Trờng Đại học Tây Bắc Học phần Giải tích Hàm đợc giảng dạy Trờng Đại học Tây Bắc năm đơn vị học trình Điều kiện tiên sinh viên đà học xong học phần Lý thuyết tập hợp Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính vi phân - tích phân hàm biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân Khi biên soạn giáo trình này, đà ý nhiều đến yếu tố s phạm để đảm bảo cho việc trình bày vấn vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đợc hàm lợng kiến thức cần thiết nhất, đồng thời ý nhiều đến việc hình thành cho sinh viên phơng pháp kĩ cần thiết môn học thông qua kĩ thuật chứng minh định lý, mệnh đề quan trọng qua việc su tầm, phân loại hệ thống tập phong phú kèm theo hớng dẫn giải lời giải chi tiết Ngoài ra, nội dung giáo trình đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt chẽ với nhiều kiến thức toán học quen thuộc nên tin tởng giáo trình trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu sinh viên trình học tập Nhân dịp giáo trình đợc đa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ biết ơn ngời thầy tôn kính đà dạy dỗ trực tiếp nh gián tiếp qua tài liệu quý báu họ mà tác giả đà sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo giáo trình, qua tác giả đà đợc trang bị tri thức, phơng pháp luận tự tin sẵn sàng chia sẻ kinh nghiệm tri thức NCKH dẫn đến kết dạy dỗ là đời giáo trình Tác giả xin cảm ơn đồng nghiệp tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin, trờng Đại học Tây Bắc đà dạy thực nghiệm đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp hoàn thiện giáo trình Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý khoa học Quan hệ quốc tế, đồng nghiệp sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin trờng Đại học Tây Bắc giúp đỡ quý báu nh tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình đợc đa sử dụng Do kinh nghiệm khoa học tác giả nhiều hạn chế, chắn tài liệu tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đợc nhiều góp ý để tác giả hoàn thiện giáo trình, góp phần tốt việc nâng cao chất lợng giảng dạy học tập sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trờng Đại học Tây Bắc Sơn La, tháng 12 năm 2007 Tác giả Phạm Minh Thông Mục lục Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa ví dô 1.1 ChuÈn trªn kh«ng gian vector 1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach 11 1.3 TËp compact không gian định chuẩn 13 1.4 Mét sè vÝ dô vỊ kh«ng gian Banach 14 Không gian hàm khả tích bậc p 22 2.1 Bất đẳng thức Holder 22 2.2 Bất đẳng thức Minkowski 23 Chuỗi không gian ®Þnh chuÈn 26 3.1 Chuỗi hội tụ chuỗi 26 3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt ®èi 29 ánh xạ tuyến tính liên tục 31 4.1 Định nghĩa tính chất 31 4.2 Kh«ng gian L(E; F ) 34 4.3 Mét sè vÝ dơ vỊ ánh xạ tuyến tính liên tục 39 5 Không gian không gian thơng 45 5.1 Kh«ng gian 45 5.2 Tỉng trùc tiÕp t« p« 46 5.3 Siêu phẳng 48 5.4 Không gian thơng 50 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52 6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 52 6.2 Không gian khả li 57 Bài tập chơng 59 Ba nguyên lý giải tích hàm Nguyên lý bị chặn 64 1.1 64 Nưa chn liªn tơc 64 Định lý ánh xạ mở đồ thị ®ãng 68 2.1 Định lý ánh xạ mở 69 2.2 Định lý đồ thị đóng 72 Định lý Hahn- Banach 73 3.1 Định lý Hahn-Banach ®èi víi kh«ng gian vector thùc 73 3.2 Định lý Hahn- Banach không gian vector phøc 76 3.3 Mét sè hƯ qu¶ quan trọng định lý Hahn-Banach 79 Bài tập chơng 81 Toán tử không gian Banach 84 Toán tử liên hợp 84 To¸n tư compact 88 To¸n tư hữu hạn chiều 92 Phæ cđa to¸n tư 94 4.1 Một số khái niệm cần thiết 94 4.2 Phæ toán tử không gian Banach 96 4.3 Phæ cđa to¸n tư compact 103 Bài tập chơng 112 Kh«ng gian Hilbert toán tử không gian Hilbert 116 Dạng hermite 116 1.1 Định nghĩa tính chất đơn giản 116 1.2 Hai bất đẳng thức quan trọng 118 TÝch v« hớng không gian Hilbert 119 HƯ trùc giao, trùc chn vµ phÐp chiÕu trùc giao 124 3.1 HƯ trùc giao vµ trùc chuÈn 124 3.2 PhÐp chiÕu trùc giao 127 PhiÕm hµm tuyến tính liên tục không gian Hilbert 131 C¬ së trùc chuÈn 133 Toán tử liên hợp không gian Hilbert 138 Toán tử tự liên hợp toán tử compact không gian Hilbert 143 7.1 Toán tử tự liên hợp không gian Hilbert 143 7.2 Toán tử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt 148 Bài tập chơng 151 H−íng dÉn gi¶i tập 157 Chơng 157 Ch−¬ng 172 Ch−¬ng 182 Ch−¬ng 197 Chơng Không gian định chuẩn không gian Banach Trong suốt tài liệu kí hiệu K trờng số thực R trờng số phức C không gian vector đợc nói đến không gian vector trờng K Định nghĩa ví dụ 1.1 Chuẩn không gian vector Định nghĩa 1.1 Hàm xác định không gian vector E đợc gọi chuẩn E thoả mÃn điều kiện sau: 1) ρ(x) víi mäi x ∈ E vµ ρ(x) = ⇒ x = 0, 2) ρ(λx) = |λ|ρ(x) víi mäi λ ∈ K vµ víi mäi x ∈ E, 3) ρ(x + y) ρ(x) + ρ(y) víi mäi x, y E Khi thoả mÃn điều kiện 2) 3), điều kiện 1) thay điều kiƯn: 1’) ρ(x) víi mäi x ∈ E, th× đợc gọi nửa chuẩn E Mệnh đề 1.2 Giả sử nửa chuẩn E Khi đó, với x, y E ta cã: |ρ(x) − ρ(y)| ρ(x − y) (3’) Chøng minh Cho x, y ∈ E, tõ ®iỊu kiƯn 3) ta cã: ρ(x) = ρ(x − y + y) ρ(x − y) + ρ(y) suy ρ(x) − ρ(y) ρ(x y) () Thay đổi vai trò x y kết hợp với điều kiện 2) ta nhận ®−ỵc ρ(y) − ρ(x) ρ(y − x) = ρ(x − y) Cuèi cïng, tõ (∗) vµ (∗∗) ta cã |ρ(x) − ρ(y)| (∗∗) ρ(x − y) Tõ c¸c tÝnh chÊt chuẩn định nghĩa khoảng cách có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.3 Nếu chuẩn E công thức: d(x, y) := (x y), (x, y E) (1.1) xác định khoảng cách E thoả mÃn: x, y, z E, ∀λ ∈ K, d(x + z, y + z) d(λx, λy) = d(x, y), = |λ|d(x, y) (1.2) Kho¶ng cách d xác định công thức (1.1) đợc gọi khoảng cách sinh chuẩn Cho E không gian véc tơ a, b K Ta gọi tập hợp sau đoạn với mút a, b: [a, b] := {x = ta + (1 − t)b ∈ E : t ∈ R, 10 t 1} Định nghĩa 1.4 Tập X không gian vector E đợc gọi là: a) Tập lồi [a, b] ⊂ X víi mäi a, b ∈ X b) TËp c©n nÕu λx ∈ X víi mäi x ∈ X vµ víi mäi λ ∈ K mµ |λ| c) Tập hút với x E ®Ịu tån t¹i sè ε > cho λx ∈ X víi mäi λ ∈ K mµ |λ| ε Mệnh đề 1.5 Giả sử nửa chuẩn E Khi tập hợp: B = {x ∈ E : ρ(x) < 1}, B = {x ∈ E : (x) 1} lồi, cân, hút Chứng minh Trớc tiên ta chứng minh B tập lồi, cân vµ hót: Cho a, b ∈ B vµ t Ta cã: ρ(ta + (1 − t)b) ρ(ta) + ρ((1 − t)b) = tρ(a) + (1 − t)ρ(b) < t + t = Mặt khác, (x) = |λ|ρ(x) ρ(x) < Suy B lµ låi cân Cuối cùng, x E λx ∈ B, ∀λ : |λ| < nªn B lµ tËp hót ρ(x) + ViƯc chøng minh B lồi, cân hút hoàn toàn tơng tự 1.2 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.6 Kh«ng gian vector E cïng víi mét chn ρ xác định E đợc gọi không gian tuyến tính định chuẩn Một không gian tuyến tính định chuẩn thờng gọi ngắn gọn không gian định chuẩn Khi E không gian định chuẩn với chuẩn với x E ta viết (x) = x vµ gäi sè x lµ chn cđa vector x 11 Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E không gian metric với khoảng cách d sinh chuẩn xác định công thức: d(x, y) := x − y , x, y ∈ E Nh− vËy, không gian định chuẩn, nói tới khái niệm giới hạn dÃy điểm, dÃy Cauchy, tập mở, tập đóng, giới hạn ánh xạ không gian định chuẩn khái niệm liên quan khác hiểu khái niệm tơng ứng không gian metric với khoảng cách sinh chuẩn không gian Định nghĩa 1.7 Không gian tuyến tính định chuẩn E đợc gọi không gian Banach E với metric sinh chuẩn E không gian metric đầy Mệnh đề 1.8 Nếu E không gian định chuẩn hàm chuẩn x x liên tục trªn E Chøng minh Tr−íc hÕt ta chó ý r»ng tính liên tục theo nghĩa ánh xạ liên tục không gian metric Cho ε > bÊt k×, chän δ = ε Khi ®ã, theo mƯnh ®Ị 1.3, víi mäi x, y ∈ E, nÕu d(x, y) = x − y < δ th× | x − y | x − y = d(x, y) = δ = ε Chøng tá hµm : E R liên tục E Mệnh đề 1.9 Nếu E không gian định chuẩn phép toán vec tơ E liên tục: Chứng minh Nhờ đánh giá dới (x + y) − (x0 + y0 ) λx − λ0 x0 x − x0 + y − y0 |λ| x − x0 + |λ − λ0 | x0 12 TiÕp theo, theo chứng minh ta thấy l1 l2, nữa, l1 không gian vector l2 chuẩn sinh tích vô hớng l1 trùng với chuẩn không gian Banach l2 Vì vậy, với tích vô hớng trên, l1 không gian Hilbert, thân không gian Banach l2 nên không gian đóng l2 Nhng l1 không gian đóng l2, vËy kh«ng thĨ kh«ng gian Hilbert ThËt vËy, chän d·y (xk )kN l1 xác định bởi: xk = (xkn ) n=1 với xkn = Rõ ràng, chuỗi Riemann ∞ sè n=1 1+ n k n=1 ns n +∞ 1+ n k kh¸c, d·y (xk )∞ k=1 ⊂ l1 , n = 1, +∞ , k = 1, 2, héi tô s > nên, với k N , chuỗi hội tụ, nghĩa xk = Vì r»ng, nÕu d·y l1 1+ k1 n=1 ∈ l1 víi mäi k = 1, 2, Nãi cách yk = (kn ) n=1 hội tụ đến phÇn tư y = (ξn )n=1 ∈ l1 , k → ∞, theo chn sinh bëi tÝch v« h−íng l1 (tức chuẩn không gian Banach l2) hội tụ hội tụ theo thành phần, nghĩa lim kn = n , ∀n = 1, 2, nªn nÕu d·y (xk )kN l1 xác định hội tụ k đến phần tử x = (n ) l2 th× lim k→∞ 1+ k1 n = , n n = 1, 2, ta suy x = Nhng lại chuỗi số dơng n=1 n không hội tụ nên x = n ∞ n=1 ∞ n n=1 ∈ l2 / l1 Điều chứng tỏ l1 không gian đóng l2 theo chuẩn sinh tích vô hớng xét Bài Nếu chuẩn sup đà cho sinh tích vô hớng C[0; 2] bất đẳng thức hình bình hành sau phải thoả mÃn với f, g ∈ C[0; 2π]: f +g + f −g 200 = 2( f + g 2) (1) B»ng c¸ch chän f(t) = max(sin t; 0), g(t) = max(− sin t; 0), t ∈ [0; 2π] ta thÊy f + g = f − g = f = g = Nh vậy, với hàm f, g vừa chọn bất đẳng thức hình bình hành (1) thoả mÃn Chứng tỏ chuẩn đà cho đợc sinh tích vô hớng C[0; 2] Bài Bằng định nghĩa tích vô hớng, dễ dàng kiểm tra đợc công thức f(x)g(x)dx f, g := (1) xác định tích vô hớng C[1; 1] nên C[1; 1] không gian tiền Hilbert chuẩn C[1; 1] sinh tích vô hớng nµy lµ: |f(x)|2dx f = , f ∈ C[0; 1] (2) −1 Ta chøng minh C[−1; 1] với chuẩn (2) không gian Banach, tức C[1; 1] với tích vô hớng (1) không gian Hilbert Xét dÃy hàm số liên tục {fn }n Khi dÃy ({fn }n xác định bëi: ⎧ ⎪ ⎨0 fn (t) = nt ⎪ ⎩ nÕu − t nÕu t n1 n1 t dÃy Cauchy ⎨0 |fm (t) − fn (t)| = |fm (t) − fn (t)| ⎪ ⎩ 201 − t 1 t max{ m ; n} 1 max{ m ; n } t fm − fn = −1 1 max{ m ;n } + |fm (t) − fn (t)|2dt = −1 |fm (t) − fn (t)|2dt + |fm (t) − fn (t)|2dt + 1 max{ m ;n} |fm (t) − fn (t)|2dt 1 1 ; } + = max{ ; } → m, n → ∞ m n m n Từ đó, f hàm liên tục trªn [−1; 1] cho + max{ lim fn − f n→∞ = lim n→∞ −1 |fn (t) f(t)|2dt = phải có giới hạn điểm lim |fn (t) f(t)| = 0, t ∈ [−1; 1], tõ ®ã suy ra: n→∞ f(t) = lim fn (t) = n→∞ − t t Điều trái với tính liên tục f Bài Vì F không gian vector thực E nên tồn t¹i = a ∈ E \ F XÐt kh«ng gian vector mét chiỊu L sinh bëi a: L = {λa, λ ∈ C} Gäi H = L⊥ F Khi đó, H siêu phẳng đóng F phần tử b F \ {0} không trực giao với H, b trùc giao víi H th× b = λa, λ = nên a F , mâu thuẫn ! 202 Bài a) Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, với mäi n ∈ N∗ ta cã: | xn , yn | | xn , yn | xn yn xn yn xn yn 1 ⇒ | xn , yn | | xn , yn | xn yn 1 Theo giả thiết, lim = nên (1) cho n ta đợc lim xn n n (1) = 1, lim yn = n→∞ b) Víi mäi n ∈ N∗ ta cã: xn − yn = xn − yn , xn − yn = xn + yn − xn , yn − xn , yn (2) Do lim xn , yn = suy lim xn , yn = LÊy giíi h¹n hai vÕ cđa (2) n→∞ n→∞ n ta đợc lim xn yn n = 0, suy lim xn − yn = n→∞ Bài Cách 1: Do E không gian Hilbert, tức với chuẩn sinh tích vô hớng E không gian Banach, nên để chứng minh ánh xạ A : E E liên tục, áp dụng kết tập chơng 2, ta cần chứng minh A f liên tục với f ∈ E ThËt vËy, v× f ∈ E nên theo Định lý Riesz biểu diễn phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian Hilbert, tồn t¹i a ∈ E cho f(y) = y, a víi mäi y =∈ E Do ®ã (u ◦ A)(x) = u(Ax) Ax, a = x, Aa , ∀x ∈ E Suy (u ◦ A)(x) = | x, Aa | Aa x víi mäi x ∈ E BÊt đẳng thức chứng tỏ u A liên tục u A Aa Cách 2: Với chuẩn sinh tích vô hớng, E không gian Banach Để chứng minh toán tử tuyến tính A : E E liên tục, áp dụng định lý đồ thị đóng, ta cần chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dÃy phÇn tư bÊt kú cđa E cho (xn , Axn ) → (x, y) ∈ E × E, xn x, Axn y Lại hàm E ì E (x, y) x, y hàm liªn tơc nªn ta cã (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n→∞ 203 (1) KÕt hỵp víi gi¶ thiÕt ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = lim xn , Au = x, Au = Ax, u n→∞ n→∞ (2) Tõ (1) vµ (2), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (3) Tõ (3) ta suy Ax − y = hay lµ Ax = y, chøng tá A có đồ thị đóng Bài 10 Tơng tự nh Bài 10, ta chứng minh A có đồ thị đóng Thật vậy, giả sử {xn }nN dÃy phần tử bất kú cña E cho (xn , Axn ) → (x, y) E ì E, xn x, Axn y Khi đó, tính liên tục cđa tÝch v« h−íng ta suy ra: (∀u ∈ E) lim Axn , u = y, u n→∞ (4) Tõ giả thiết tính liên tục phiếm hàm x → Ax, u , (∀u ∈ E), ta suy (∀u ∈ E) lim Axn , u = Ax, u n→∞ (5) Tõ (4) vµ (5), tÝnh nhÊt cđa giíi h¹n C ta suy ra: (∀u ∈ E) Ax, u = y, u ⇔ (∀u ∈ E) Ax − y, u = (6) Tõ (6) ta suy Ax − y = hay Ax = y, chứng tỏ A có đồ thị đóng Bài 11 Do L không gian đóng E nên E = L L Khi đó, phần tử x E biểu diễn đợc d−íi d¹ng x = u + v víi u ∈ L, v ∈ L⊥ Ngoµi ra, theo chøng minh Định lý 3.9, Chơng tồn phép chiÕu trùc giao ta cã: v = x − u = dist(x, L) x − y víi mäi y ∈ L () Do x L u = x = v Kết hợp với bất đẳng thức () ta suy ra: x x − y víi mäi y ∈ L 204 M = sup |λn | < +∞ víi mäi n ∈ N∗ nên theo bất Bài 12 Theo giả thiết |n | nN đẳng thức Bessel ta có: |n x, en | M n=1 Suy Ax | x, en |2 M x 2, (∀x ∈ E) n=1 ∞ = Ax, Ax = A liªn tơc vµ A n=1 |λn |2| x, en |2 M x 2, (∀x ∈ E) Chøng tá M = sup |n | Hơn nữa, đợc A = M nN Bài 13 Với n N xét ánh xạ An : E E xác định bëi n An x := λk x, ek ek , x ∈ E k=1 Do dim R(An ) < +∞ nên An toán tử hữu hạn chiều, An toán tử compact Mặt khác, với > tån t¹i n0 cho |λn | < ε víi mäi n víi n n0 vµ n0 ta cã: ∞ A − An = sup Ax − An x = sup x x 1 λk x, ek ek < k=n+1 Chứng tỏ A giới hạn L(E) dÃy toán tử compact nên theo Định lý 2.5 Chơng 3, A toán tử compact Bài 14 Giả sử p : E L toán tö compact Do p L = idL : L → L toán tử compact nên dim L < + Ngợc lại, dim L < + p : E L toán tử hữu hạn chiều nên p toán tử compact Bài 15 Với n xét ánh xạ An : E F xác định bëi n An x = x, ek Aek (1) k=1 Dễ thấy An toán tử tuyến tính theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, với x E ta cã n n n | x, ek | Aek An x k=1 x ek | Aek = k=1 205 Aek k=1 x n nªn An liªn tơc An k=1 Aek Nhờ định nghĩa (1) ta có Im An không gian không gian sinh bëi hÖ {Ae1; ; Aen } nên dim An < +, nghĩa An toán tử hữu hạn chiều toán tử compact Hơn nữa, {en }nN sở trực chuẩn E nên với x E ta cã x = ∞ ∞ n=1 x, en en nên Ax = với n N với mäi x ∈ E ta cã: ∞ (A − An )x = n=1 x, en Aen Tõ ®ã ta cã, ∞ | x, ek | Aek x, ek Aek k=n+1 k=n+1 ∞ ∞ | x, ek |2 k=n+1 Aek k=n+1 ∞ ∞ k=n+1 ∞ | x, ek |2 = Aek k=1 Aek x k=n+1 Suy ∞ An − A Aek víi mäi n ∈ N∗ k=n+1 Cho n → ∞, theo gi¶ thiết chuỗi n=1 Aen hội tụ nên lim n→∞ k=n+1 Aek = 0, suy lim An − A = chøng tá A lµ giíi hạn dÃy toán tử compact n L(E; F ) nên A toán tử compact Bài 16 Điều kiện cần Nếu M tập compact tơng đối M tập bị chặn Đặt n sn (x) = k=1 x, ek ek th× {sn }n∈N∗ ⊂ L(E; E) vµ lim sn (x) = idE (x), x ∈ E n Theo hệ 1.7 chơng 2, dÃy {sn }nN hội tụ M đến idE Điều kiện ®đ Víi ε > cho tr−íc, tån t¹i n0 cho n > n0 víi mäi x ∈ n x, ek ek < Cố định n1 > n0 vµ xÐt L = span{e1; ; en1 } M : x− k=1 Gi¶ sư f : E L ánh xạ cho f(x) = n1 k=1 x, ek ek DÔ thÊy f ánh xạ tuyến tính liên tục Do f(M) tập bị chặn L Vì dim L < + nên 206 f(M) hoàn toàn bị chặn L tồn x1 , , xp ∈ M cho víi ε x ∈ M : x − f(xi0 ) < víi mét xi0 đó, i0 p Khi đó, x M th× n1 n1 x− x − xi0 x, ek ek − x, ek ek + k=1 k=1 n1 xi0 , ek ek − xi0 < + n1 k=1 xi0 , ek ek k=1 ε ε ε + + = ε 3 Nh− vËy M lµ tËp hoàn toàn bị chặn E tập compact tơng đối E Bài 17 Gọi B hình cầu đóng đơn vị E Ta cần chứng minh {An }nN hội tụ B đến A Từ giả thiết ta có A(B) tập compact tơng đối E nên áp dụng kết 16 ta thu đợc kết cần chứng minh Bài 18 Trớc hết ta nhắc lại khái niệm hội tụ yếu: DÃy {xn }nN không gian Hilbert E đợc gọi hội tụ yếu ®Õn phÇn tư x0 ∈ E nÕu lim x, xn = x, x0 víi mäi x ∈ E KÝ hiƯu xn nvc x0 Bây giờ, giả sử dÃy {en }nN hệ trực chuẩn không gian Hilbert E, theo bất đẳng thức Bessel ta có: | x, en |2 x víi mäi x ∈ E n=1 Chứng tỏ chuỗi n=1 | x, en |2 hội tụ có lim | x, en | = = x, víi mäi x ∈ E Chøng tá en n→∞ ®ã en = nên en Bài 19 Ta cã | xn , yn − x, y | | xn , yn − x, yn | + | x, yn − x, y | = | xn − x, yn | + | x, yn − x, y | xn − x yn + | x, yn − x, y | 207 Do yn y nên theo định lý Banach - Steinhaux ta cã sup yn < +∞ Lại theo n giả thiết xn x nên từ đánh giá ta có | xn , yn − x, y | → n → ∞ Chøng tá lim xn , yn = x, y n Trờng hợp xn y không suy đợc xn , yn x, y Thật x vµ yn vËy, nÕu {en }n∈N∗ lµ hƯ trùc chuẩn E với n N có thĨ chän xn = yn vµ x = y = Khi ®ã xn , yn = víi mäi n ∈ N∗ nªn xn , yn x, y = Bµi 20 Víi mäi n ∈ N∗ ta cã: xn − x = xn − x, xn − x = xn Theo gi¶ thiÕt, xn x, x = − xn , x − x, xn + x x x nªn lim xn x nªn lim xn , x = x, x = n→∞ x 2, ®ång thêi lim xn = n→∞ n→∞ (1) vµ lim x, xn = = n→∞ x Tõ đó, chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (1) ta ®−ỵc lim xn − x = 0, chøng tá d·y n {xn }nN hội tụ mạnh đến x E Bµi 21 Ta sÏ chøng minh Aen → b»ng phản chứng: Giả sử ngợc lại, Aen n Khi tồn > tån t¹i d·y {Aekn }n∈N∗ cđa d·y {Aen}n∈N∗ cho Aekn ε0 víi mäi n ∈ N∗ (1) Vì A L(E) toán tử compact dÃy {ekn }nN bị chặn E nên dÃy {Aekn }nN cã Ýt nhÊt mét d·y {Aejkn }n∈N∗ héi tô đến phần tử x0 E Khi râ rµng Aejkn 18 ta cã: en 0, suy Aen x0 vµ tõ (1) ta cã x0 vµ Aejkn Mặt khác theo tập Do tính giới hạn yếu không gian Hilbert suy x0 = Nh− vËy ta gặp mâu thuẫn với khẳng định x0 > Chøng tá gi¶ thiÕt ph¶n chøng sai, vËy lim Aen = n Bài 22 a) b): Hiển nhiên nhờ tính liên tục tích vô hớng b) c): Với n N, xét sn = n k=1 xk Theo giả thiết chuỗi n=1 xn hội tụ yếu E nên với x E d·y sè { sn , x }n∈N∗ héi tô nên bị chặn Suy 208 dÃy { sn , x }nN bị chặn điểm E Theo nguyên lý Banach-Steinhaux, d·y M víi mäi n ∈ N∗ Tõ ta có: bị chặn theo chuẩn, nghĩa sn n sn = xk n = k=1 n=1 M víi mäi n ∈ N∗ k=1 Chứng tỏ chuỗi số xk xk hội tơ c) ⇒ a): Víi mäi n, p ∈ N∗, theo đẳng thức Pythagore ta có: n+p sn+p sn = xk n+p = k=n+1 ∞ Theo gi¶ thiết c) chuỗi số n=1 xn xk k=n+1 héi tơ nªn víi mäi p ∈ N∗ ta cã n+p xk lim n→∞ = k=n+1 Suy lim sn+p sn = dÃy tổng riêng {sn }nN chuỗi n n=1 xn dÃy Cauchy không gian Hilbert E nên hội tụ Theo định nghĩa chuỗi n=1 xn hội tụ E Bài 23 Dễ thấy A toán tử tun tÝnh Víi x ∈ L2 [0; 1], ¸p dơng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski ta có: x(s)ds |x(s)|ds x(s) ds = x suy ra, víi mäi x ∈ L2 [0; 1] ta cã: t (Ax(t))2dt = Ax = x(s)ds 0 dt 209 x(s)ds dt = x VËy A liªn tơc Gọi A toán tử liên hợp cuả A Khi ®ã Ax, y = x, A∗y , víi mäi x, y ∈ L2[0; 1] Ta cã: t (Ax)(t)y(t)dt = Ax, y = x(s)ds y(t)dt 0 t 1 = x(s)y(t)dsdt = x(s) y(t)dt ds s 1 x, A∗y = x(t)(A∗y)(t)dt = x(s)(A∗y)(s)ds Tõ ®ã ta cã: ∗ y(t)dt, y ∈ L2 [0; 1], x ∈ [0; 1] (A y)(s) = s Bµi 24 Víi mäi t ∈ [0; 1] ta cã: |(Ax)(t)| = tx(s)ds =t x(s)ds t |x(s)|2ds = t2 x (1) Tõ ®ã, víi mäi x ∈ L2 [0; 1] ta cã: 1 |(Ax)(t)| dt = 2 tx(s)ds dt x t2dt = x chứng tỏ Ax L2 [0; 1] Mặt khác, dễ dàng kiểm tra thấy A toán tử tuyến tính từ (1) suy A liên tục Bây giê, víi mäi x, y ∈ L2 [0; 1] ta cã Ax, y = x; A∗ y Do Ax, y = 1 (Ax)(t)y(t)dt = tx(s)ds y(t)dt = 0 x, A∗ y = x(s)(A∗y)(s)ds 210 x(s) x(t)(A∗y)(t)dt = ty(t)dt ds suy ∗ ty(t)dt víi mäi y ∈ L2[0; 1], s ∈ [0; 1] (A y)(s) = Bài 25 Dễ thấy A toán tử tuyến tÝnh vµ x, u v = | x, u | v Ax = ( u v ) x với x E nên A liên tục Bây ta tìm toán tử liên hợp A A Víi x, y ∈ E ta cã: x, u v, y = x, u v, y = x, y, v u = x, A∗y Ax, y = suy A∗x = x, v u, x ∈ E Bµi 26 Với x L2 [0; 1] nhờ đánh giá dới suy Ax L2 [0; 1]: 1 |tx(t)|2dt |x(t)|2dt = x DÔ thÊy A toán tử tuyến tính nhờ đánh giá suy A liên tục Với mäi x, y ∈ L2 [0; 1] ta cã: ⎧ ⎪ ⎪ tx(t)y(t)dt, Ax, y = ⎨ A ⎪ ⎪ ⎩ x, Ay = x(t)ty(t)dt = ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ tx(t)y(t)dt ⎪ ⇒ Ax, y = x, Ay VËy A∗ = A A toán tử tự liên hợp Với (0, 1) dễ dàng kiểm tra đợc hàm x dới thuộc L2 [0; 1] x = ε: √ xε (t) = ε víi t − ε víi − ε < t Suy Axε t2x2ε (t)dt = εt2dt = ε2 (1 − ε)2 = xε (1 − ε)2 = 1−ε 211 Nh− vËy, víi mäi ε ∈ (0; 1) ta cã: Axε xε A Cho ta đợc A (1 ) Kết hợp với chứng minh ta có A = Tìm tập hợp phổ (A) A: Với λ ∈ K ta thÊy λ ∈ / σ(A) với y L2 [0; 1] phơng trình x Ax = y có nghiệm x L2 [0; 1] Phơng trình ( t)x(t) = y(t) h.k.n [0; 1] với ®é ®o Lebesgue, y(t) cã nghiÖm nhÊt x(t) = vµ chØ λ − t = víi t [0; 1] t Điều xảy vµ chØ λ ∈ / [0; 1] Suy (A) = [0; 1] Tìm tập giá trị riêng A: Vì giá trị riêng giá trị phổ nên giá trị riêng A [0; 1] tồn x ∈ L2 [0; 1], x = cho (λ t)x(t) = h.k.n [0; 1] Điều xảy với x = h.k.n [0; 1] Vậy tập giá trị riêng A lµ tËp trèng Bµi 27 Víi A ∈ L(A) ta lu«n cã: ⎫ sup A Ax ⎪ ⎬ x A2 = sup A2x = sup A(Ax) x x 1 ⎪ ⎭ = A sup Ax = A A = A x Ng−ỵc l¹i, víi mäi x ∈ E, x Ax ⇒ A2 A ta cã: = Ax, Ax = x, A∗ Ax = x, A2x x A2x A2 x A2 Suy A = sup Ax x = sup Ax sup Ax = sup Ax x x 1 x A2 VËy ta cã A2 = A Bµi 28 Nếu giá trị quy A A đẳng cấu nên tồn sè C > cho (λ − A)−1 (y) C y víi mäi y ∈ E V× λ − A đẳng cấu 212 nên bất đẳng thức tơng đơng với x C ( A)(x) với x E Đặt m = 1/C ta có điều cần chứng minh Ngợc lại, đặt A = A, từ điều kiện đà cho suy A đơn cấu Do A = A nên R(A) = R(Aλ ), ®ã R(Aλ ) = E VËy víi u E tồn dÃy {xn }n∈N∗ ⊂ E cho lim Aλxn = u Víi n, p ∈ N∗ ta cã: n→∞ Aλxn+p − Aλ xn = Aλ(xn+p − xn ) m xn+p − xn → Suy tån t¹i giíi h¹n lim xn = x E A liên tục suy Aλ x = u Nh− n→∞ vËy Aλ : E E song ánh tuyến tính liên tục đẳng cấu, nghĩa giá trị quy A Bài 29 Giả sủ F không gian đóng E p : E → F lµ phÕp chiÕu trùc giao từ E lên F Khi đó, với x ∈ E nÕu y = p(x) th× y = x − z, víi z ⊥ F Do ®ã p(x), x = y, y + z = y, y + z, y = y, y Theo định nghĩa, p toán tử dơng Bài 30 Giả sử A toán tử dơng giá trị riêng khác không E, tồn x E, x = cho Ax = λx Do Ax, x = λ x, x suy λ > Ngợc lại, A toán tử compact nên tập phổ, tập giá trị riêng A, đếm đợc Gọi {n } dÃy tất giá trị riêng khác không A Khi đó, tồn hệ trực chuẩn {en } E cho vector en vector riêng tơng ứng với giá trị riêng n n | x, en |2 λn x, en en suy Ax, x = Ax = n n chøng tá A toán tử dơng 213 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính Giải tích hàm NXBĐH& THCN, Hà nội 1978 [2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (Tập 1), NXBGD, Hà nội 2001 [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (Tập 2), NXBGD, Hà nội 2002 [4] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc Không gian tôpô - Độ đo lý thuyết tích phân Trờng đại học s phạm - Đại học Quốc gia Hà nội, 1996 [5] Hoàng Tụy Giải tích đại NXBGD, Hà nội 1979 [6] Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm NXBGD, Hà nội 1998 [7] Nguyễn Xuân Liêm Bài tập Giải tích hàm NXBGD, Hà nội 1998 [8] Phạm Minh Thông Không gian tôpô - Độ đo- Tích phân NXB Giáo dục Hà nội, 2006 214 ... + H víi mäi a ∈ E \ H; c) Tån t¹i phiếm hàm tuyến tính f = E cho H = ker f Trong trờng hợp ta gọi phơng trình f(x) = gọi phiếm hàm tuyến tính f phơng trình siêu phẳng H Chứng minh a) b) hiển... gian khả li 57 Bài tập chơng 59 Ba nguyên lý giải tích hàm Nguyên lý bị chặn 64 1.1 64 Nöa chuÈn liªn tơc ... gian Banach Ví dụ Không gian hàm liên tục Ký hiệu C[a; b] không gian hàm liên tục đoạn hữu hạn [a, b] Đặt: f = sup{|f(x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C[a; b] DƠ dµng thấy hàm f f xác định chuẩn không