SKKN phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua các bài toán sử dụng đồ thị của hàm đạo hàm chương trình giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT =====*===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH 12 NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều lĩnh vực khác Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em hình thành phát triển phẩm chất, lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT, em học sinh học đạo hàm từ cuối học kỳ II lớp 11, đại đa số em học xong kiến thức đạo hàm biết vận dụng cơng thức để giải tốn tính đạo hàm, khảo sát hàm số Cịn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác giải toán như: Bài toán đồ thị hàm đạo hàm biến thiên hàm số, toán đồ thị hàm đạo hàm cực trị hàm số, toán đồ thị hàm đạo hàm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, toán đồ thị hàm đạo hàm tương giao đồ thị hàm số… qua thực tế giảng dạy nhiều năm bậc THPT tìm hiểu tâm lý đối tượng học sinh thấy học sinh lúng túng, bỡ ngỡ Nhằm giúp em học sinh hứng thú học tập, biết cách khai thác, vận dụng kiến thức liên quan đến đạo hàm để giải toán đồ thị hàm đạo hàm toán liên quan tơi chọn viết chun đề trình bày số kinh nghiệm thân tích luỹ giảng dạy: “Phát triển lực toán học cho học sinh thơng qua tốn sử dụng đồ thị hàm đạo hàm chương trình Giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Tốn” nhằm phục vụ cơng tác dạy học nhà trường Trong q trình giảng dạy tơi cố gắng làm sáng tỏ mối quan hệ hàm số y  f '( x) hàm số y  f ( x) thơng qua số tốn liên quan Bằng cách xếp dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực học sinh, ý sửa sai cho em, giúp học sinh hiểu là phần tập có thuật giải rõ ràng, xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú giúp học sinh định hướng lực tư tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021 Mục đích nghiên cứu Đề tài giúp học sinh thấy mối quan hệ hàm số y  f '( x) hàm số y  f ( x) thơng qua số tốn liên quan Từ đó, học sinh định hướng lực tư tiếp cận kỳ thi THPT mối quan hệ hàm số y  f '( x) hàm số y  f ( x) thông qua số toán liên quan Bằng cách xếp dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực học sinh, ý sửa sai cho em, giúp học sinh hiểu là phần tập có thuật giải rõ ràng, xác, có nhiều nội Quốc Gia năm 2021 Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu, đề tài có nhiệm vụ: + Hình thành cách giải số tốn đồ thị hàm đạo hàm + Đề xuất số toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm + Làm sáng tỏ mối quan hệ hàm số y  f ( x) hàm đạo hàm y  f '( x) + Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài Từ đó, xây dựng phương pháp dạy học phù hợp tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021 Đối tương phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tương nghiên cứu Đề tài nghiên cứu toán đồ thị hàm đạo hàm toán liên quan nhằm mục đích để học sinh hiểu sâu sắc vấn đề khảo sát hàm số như: hình dạng đồ thị, biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số tương giao đồ thị hàm số Từ đó, giúp học sinh hồn thiện kỹ tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021 4.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán đồ thị hàm số y  f '( x) giải toán liên quan Phương pháp nghiên cứu 5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu: + Sách giáo khoa, sách giáo viên, nội dung giảm tải chương trình, hướng dẫn thực chương trình Tốn 12 + Sách tham khảo tài liệu Internet vấn đề liên quan đến đề tài 5.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng việc giải toán đồ thị hàm đạo hàm toán liên quan 5.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài Dự kiến đóng góp đề tài + Góp phần củng cố hệ thống kiến thức khảo sát hàm số toán liên quan + Có thể sử dụng đề tài để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh giảng dạy nội dung khảo sát Điểm kết nghiên cứu 7.1 Về mặt lý luận Đề tài hệ thống kiến thức tảng theo tốn liên quan Hình thành cách tư giải toán 7.2 Về mặt thực tiễn Giải tình thực tiễn nghiên cứu đồ thị hàm số y  f '( x) Xây dựng hệ thống tập nhằm rèn luyện kỹ cho học sinh NỘI DUNG ĐỒ THỊ HÀM ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đồ thị hàm đạo hàm biến thiên hàm số 1.l Kiến thức a) Đinh nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f ( x) xác đinh K Ta nói +) Hàm số y  f ( x) đồng biến (tăng) K với x1 , x2 K mà x1 nhỏ x2 f ( x1 ) nhỏ f ( x2 ) , tức x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ); +) Hàm số y  f ( x) nghịch biến (giảm) K với x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ x2 f ( x1 ) lớn f ( x2 ) , tức x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghich biến K gọi chung hàm số đơn điêu K b) Tính đơn điêu dấu đạo hàm Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm K +) Nếu f '( x)  với x thuộc K hàm số f ( x) đồng biến K +) Nếu f '( x)  với x thuộc K hàm số f ( x) nghịch biến K Tóm lại, K  f '( x )   f ( x ) đồng biến   f '( x)   f ( x) nghịch biến Chú ý: Nếu f '( x )  0, x  K f ( x) khơng đổi K Các ví dụ minh họa Ví dụ ( Câu 39 mã đề 123 đề thi THPT quốc gia năm 2019) Cho hàm số f ( x) , hàm số y  f ( x) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f ( x)  x  m ( m tham số thực) nghiệm với x  (0; 2) A m  f (2)  B m  f (0) C m  f (2)  D m  f (0) 1.2 Lời giải Ta có f ( x)  x  m, x  (0;2)  m  f ( x)  x, x  (0;2)(*) Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x ) ta có với x  (0;2) f '( x)  Xét hàm số g ( x)  f ( x)  x khoảng (0;2) g '( x )  f '( x )  1, x  (0;2) Suy hàm số g ( x) nghịch biến khoảng (0;2) Do (*)  m  g (0)  f (0) Chọn phương án D Ví dụ (Đề KSCL HK1, Chuyên Đại học Vinh, Nghệ An 2018) Hàm số f ( x) xác định có đồ thị f '( x) đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng ( 1;2) B Hàm số f ( x) đồng biến khoảng (1;2) C Hàm số f ( x) đồng biến khoảng ( 2;1) D Hàm số f ( x) nghịch biến khoảng (0;2) Lời giải Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x), suy  2  x  0  x  f '( x )    vaø f '( x )     x2  x  2 Do đó, hàm số nghịch biến khoảng (0;2) Chọn phương án D Cách 2: Từ đồ thị hàm số y  f '( x), suy f '( x)  a( x  2).x.( x  2)  a.x.( x  4) với a  Lập bảng biến thiên hàm số y  f ( x ) sau x f J(x) f (x) −∞ −2 − +∞ f (−2) f (−2) + 0 f (0) − +∞ + +∞ f (2) f (2) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  f ( x ) , suy hàm số nghịch biến khoảng (0;2) Nhận xét:  Chìa khóa tốn này, kỹ đọc đồ thị hàm số y  f '( x ) , từ xác định dấu đạo hàm cuối đưa bảng xét dấu biểu thức f '( x)  cách 2, học sinh cần có kĩ xét tương giao đồ thị hàm số y  f '( x ) trục hồnh Từ đó, xây dựng dạng hàm số y  f ( x) Ví dụ (THPTQG - Minh họa lần - 2018 - Câu 39) Cho hàm số y  f ( x ) Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f (2  x ) đồng biến khoảng A 1;3 B  2;   C  2;1 D  ;2  Lời giải Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) , suy ra:  1  x   x  1 vaø f '( x )    f '( x)     x4 1  x  Suy rằng:  1   x  1  x   f '(2  x)     2 x 4  x  2   x  1  x3 f '(2  x)     1   x   2  x  Đặt g ( x )  f (2  x) Hàm số y  g ( x) xác định có đạo hàm g '( x )   f (2  x), x  Lập bảng biến thiên hàm số y  g ( x) sau X −∞ f '(2  x) g J ( x) + g(x) + − −2 0 g(-2) − + 0 g(1) + − 0 +∞ − + + g(3) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  g ( x) , suy hàm số y  f (2  x ) đồng biến khoảng  2;1  3;   Chọn phương án C Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x ) , suy f '( x )  a( x  1).( x  1).( x  4) với a  Do đó, y  f ( x )   f '( x ) d x   ( ax  4ax  ax  4a )dx  a a a x  x  x  4ax  C với C số a a a g ( x)  (2  x )  (2  x )3  (2  x)  4a (2  x)  C Do đó: Suy g '( x )  a ( x  x  x  6)  a( x  1)( x  2)( x  3), lập bảng biến thiên hàm số y  g ( x) sau X g J ( x) g( x ) −∞ − +∞ −2 + g(−2) g(1) − +∞ + +∞ g(3) Dựa vào bảng biến thiên hàm số g '( x ) , suy khoảng đồng biến 2;1 3;   hàm số y  g ( x) khoảng   Cách 3: Đặt g ( x )  f (2  x) Ta có g '( x)   f (2  x)  '  (2  x)' f '(2  x)   f (2  x) Từ đồ thị hàm số y  f '( x) , suy   x  1  x3 g '( x )    f '(2  x)   f '(2  x)     1   x   2  x  2;1 3;   Hàm số y  g ( x) đồng biến khoảng   Nhận xét  Ở cách 1, học sinh cần có kĩ xét dấu f '( x) cách phần đồ thị nằm phía trên, phía trục hoành, suy dấu f '(2  x)  Ở cách 2, học sinh cần tương giao đồ thị hàm số y  f '( x ) với trục hồnh, từ xây dựng dạng hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ, suy dạng hàm số y  g ( x) Việc xét dấu g '( x) đơn giản cần dựa vào tích nhị thức bậc mà học sinh học lớp 10  Ở cách 2, để tìm phân tích g'( x) tịnh tiến nghiệm suy g'( x)  a( x  3)( x  1)( x  2)  Ở cách 3, học sinh xét dấu f '(2  x) trực tiếp cách dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x)  Qua ba cách giải trên, phương án gây nhiễu dựa vào sai lầm cách tư học sinh Chẳng hạn phương án A,D dựa sai lầm học sinh đơn giải bất phương trình f '(2  x)  mà chưa thấy mối quan hệ g '( x) f '(2  x) quan hệ ràng buộc g '( x)   f '(2  x) Phương án B nhiễu số hàm số y  f (2  x) đồng biến khoảng (3; )  (2; )  Với phân tích trên, hồn tồn xây dựng hàng loạt tập tương tự để học sinh rèn luyện kĩ tư cách trực quan qua đồ thị hàm số y  f ( x) sau: Bài toán tổng quát Cho hàm số y  f ( x) a số thực Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình bên Hàm số y  f (a  x) đồng biến khoảng A  a  n;a  m  B  a  m  1;   C  a  p;a  n  O n ; p  D  Bài toán tổng quát Cho hàm số y  f ( x) a số thực Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình bên Hàm số y  f (a  x) đồng biến khoảng A  a  n;a  m  B  a  p;   C  a  p  1;a  n  D  a  m;    Bài toán tổng quát Cho hàm số y  f ( x) a số thực Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình bên Hàm số y  f (a  x) nghịch biến khoảng A  ;a  p  B  ;a  m  C  a  p;a  m  D  a  m;   Ví dụ (HK1-Chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục đồ thị hàm số y  f '( x ) cho hình bên Xét hàm số g ( x)  f ( x  2) Mệnh đề sai ? −1 A Hàm số g ( x) đồng biến (2; ) B Hàm số g ( x) nghịch biến ( 1;0) C Hàm số g ( x) nghịch biến ( ; 2) D Hàm số g ( x) nghịch biến tr ên (0;2) −2 −4 Lời giải Cách 1: Do g ( x)  f ( x  2) nên g '( x)  [f ( x  2)]'  ( x  2)' f '( x  2)  x f '( x  2) Khi đó:   x0  x0 x0   g '( x )     x     x  2  f '( x  2)     x   1  x  1 Mặt khác, từ đồ thị hàm số y  f '( x) suy f '( x  2)   x    2  x  10 D f (a)  f (b)  f (c) Lời giải Từ đồ thị hàm số y  f '( x) suy bảng biến thiên hàm số y  f ( x) sau: x f J ( x) a −∞ f (x) + f (a) − b c + f (c) +∞ − f (b) Từ bảng biến thiên suy f (a)  f (b); f (c)  f (b) neân [f (b)  f (a)][f (b)  f (c)]>0 Khẳng định A sai  f (a)  f (b) nên khẳng định B sai    f (c)  f (b) nên khẳng định D sai Do f (a )  f (b); f (c)  f (b) neân f (a)  f (c)  f (b)  f ( a )  f (c)  f ( b)  Khẳng định C Chọn phương án C Đồ thị hàm đạo hàm nhận dạng hàm số 5.1 Kiến thức Nhận xét: Một hàm số y  f ( x) nhận dạng thơng qua cơng thức đồ thị xây dựng lại từ đồ thị đạo hàm y  f '( x) Một số lưu ý quan trọng:   f '( x)dx  f ( x)  C  Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm khoảng (a; b) đạt cực đại cực tiểu x0 f '( x0 )  Khi hình chiếu điểm cực trị M ( x0 ; f ( x0 )) trục hoành trùng với giao điểm đồ thị hàm số y  f '( x) với trục hồnh Các ví dụ minh họa Ví dụ (THPT Chuyên Hà Tĩnh, 2017 - Lần 2) 5.2 Cho hàm số y  f ( x)  a x  bx  cx  d Hàm số y  f '( x) có đồ thị hình vẽ bên Hàm số cho hàm số hàm số cho đây? 33 A y   x3  x  x  B y  x  x  C y   x3  x  x  D y   x  x  x  2 Lời giải Ta có f '( x)  3a x  2bx  c Từ hình vẽ, suy đồ thị hàm số y  f '( x) parabol có quay bễ lõm xuống cắt trục tung điểm có tung độ âm, đỉnh parabol nằm góc phần tư thứ 4.Do 3a     a0 c0     c0 4b   0  a   b0