PHẢN ÁNH CỦA SUY LUẬN NGOẠI SUY VÀ QUY NẠP QUA THAO TÁC KÉO RÊ TRONG MÔI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương _ PHẢN ÁNH CỦA SUY LUẬN NGOẠI SUY VÀ QUY NẠP QUA THAO TÁC KÉO RÊ TRONG MƠI TRƯỜNG HÌNH HỌC ĐỘNG TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG* TĨM TẮT Nghiên cứu tập trung vào q trình khám phá tốn mơi trường hình học động, qua khác biệt việc tiến hành suy luận ngoại suy quy nạp môi trường hình học động so với mơi trường giấy bút Đặc biệt, nghiên cứu đề xuất tiến trình sử dụng phương thức kéo rê khác kết hợp với suy luận ngoại suy quy nạp để đưa dự đốn khám phá tốn hình học kết thúc mở Từ khóa: suy luận ngoại suy, suy luận quy nạp, toán kết thúc mở, thao tác kéo rê, mơi trường hình học động ABSTRACT The reflection of abductive and inductive reasoning through dragging manipulationin the dynamic geometry environment This research focuses on exploring mathematics in the dynamic geometry environment, then showing the differences between using abductive and inductive reasoning in the dynamic geometry environment and in the paper – pencil one Especially, the author proposes a procedure of using the different ways of dragging combining with abductive and inductive reasoning to conjecture in exploring open-ended geometric problems Key words: abductive reasoning, inductive reasoning, open-ended problems, dragging manipulation, dynamic geometry environment Giới thiệu Tạo điều kiện để học sinh tương tác trực tiếp với môi trường hình học động nhằm kiến tạo tri thức chủ đề dành quan tâm ý giáo dục tốn Đóng góp mà phần mềm hình học động Cabri, The Geometer’ s Sketchpad (GSP) mang lại cho trình khám phá toán kết thúc mở cung cấp phản hồi trực quan cách nhanh chóng xác, làm sở để học sinh đưa dự đoán dựa suy luận ngoại suy quy nạp Các phản hồi thu nhận chủ yếu từ * ThS, Trường Y Dược, Đại học Huế 28 thao tác kéo rê mà học sinh thực lên đối tượng có hình Vào năm cuối thập niên 90, Arzarello với cộng tiến hành nghiên cứu phân loại tập hợp phương thức kéo rê khác học sinh sử dụng suốt trình giải vấn đề hình học Cabri (Arzarello et al., 2002, [1]) Trên sở đó, nghiên cứu thực nhằm tìm hiểu mối liên hệ việc tiến hành phương thức kéo rê GSP với suy luận ngoại suy quy nạp để đưa dự đoán tốn hình học kết thúc mở Các câu hỏi sau Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương _ xuất trình nghiên cứu cần làm rõ: Thế khám phá tốn hình học kết thúc mở? Việc tiến hành suy luận ngoại suy quy nạp mơi trường hình học động có khác so với mơi trường giấy bút? Suy luận ngoại suy quy nạp để đưa dự đoán khám phá toán kết thúc mở phản ánh qua cách học sinh sử dụng phương thức kéo rê khác mơi trường hình học động GSP? Khám phá tốn hình học kết thúc mở Các tốn hình học kết thúc mở nhận vài đặc điểm sau (Mogetta et al., 1999, pp 91-92, [3]):  Phát biểu cho tốn thường mơ tả ngắn gọn bước dựng hình theo trình tự khơng đề nghị phương pháp giải cụ thể  Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống “chứng minh rằng… ”, toán kết thúc mở thường yêu cầu học sinh tự đề xuất phát biểu mối quan hệ bất biến đối tượng có hình hay tính chất hình  Các câu hỏi tốn thường diễn đạt dạng: “Em tìm thấy mối quan hệ giữa… ”, “Trong điều kiện thì… ” Chú ý mối quan hệ bất biến tốn hình học phân thành hai loại: thứ mối quan hệ khẳng định từ đầu nhờ phép dựng hình, thứ hai mối quan hệ suy từ quan hệ có trước hệ hình học Euclide Kết trình khám phá tốn hình học kết thúc mở thường giả thuyết mối quan hệ bất biến dạng thứ hai này, bao gồm việc xác định điều kiện xảy bất biến Như vậy, làm việc với tốn hình học kết thúc mở tạo hội cho học sinh tự khám phá suy luận để đưa giả thuyết đánh giá chúng, giống cách mà nhà toán học thường làm để tìm kiếm kết Suy luận suy diễn cần thiết để chứng minh kết thiết lập sẵn, đặc biệt tốn hình học truyền thống Tuy nhiên, việc sử dụng suy luận ngoại suy quy nạp trở nên quan trọng nhiều lần toán hình học kết thúc mở, để đưa giả thuyết cho vấn đề trước chứng minh chúng Suy luận ngoại suy quy nạp khám phá tốn mơi trường hình học động 3.1 Suy luận ngoại suy Ngoại suy tiến trình suy kiện/quy tắc giả thuyết để làm cho vấn đề trở nên có lí, để khám phá giải thích tượng/quan sát (Magnani, 2001, pp 1718, [2]) Trong suy luận quy nạp khám phá quy luật, khuynh hướng ngoại suy khám phá kiện mà kết thường trước cách trực tiếp bị che dấu hình thức Chẳng hạn vài tính chất hình học có 29 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương _ thể không phát quan sát hình vẽ dạng tĩnh, lại xuất dạng bất biến cho đối tượng di chuyển Điều cho thấy thao tác lên đối tượng khảo sát có ý nghĩa quan trọng trình suy luận ngoại suy Khái niệm ngoại suy thao tác xuất bao quát phần rộng lớn phát khoa học nơi mà vai trò hoạt động trung tâm đặc trưng hoạt động nằm dạng ẩn tàng khó lí giải: hoạt động cung cấp thơng tin cho phép nhà nghiên cứu giải vấn đề cách thực tiến trình ngoại suy phù hợp để xây dựng chọn giả thuyết Việc vẽ thêm đường phụ để giải tốn hình học hay đưa quy trình cần thực cho tốn dựng hình thể cụ thể ngoại suy thao tác, bối cảnh hình học Đặc biệt, mơi trường hình học động GSP, phản hồi thu hình thơng qua thao tác kéo rê cho phép học sinh nhận “sự chuyển động đối tượng hình học khác phụ thuộc lẫn nhau”, tương ứng với phụ thuộc diễn tả mặt logic theo ngôn ngữ hình học (Mariotti, 2002, pp 716, [4]) Đây xem chìa khóa để phát triển giả thuyết mối quan hệ phụ thuộc lẫn yếu tố xuất hình Và tất nhiên, suy luận ngoại suy gắn liền với trình chủ yếu ngoại suy thao tác 3.2 Suy luận quy nạp 30 Suy luận quy nạp trình suy luận nhằm đưa kết tổng quát từ hữu hạn kết tương tự có với trường hợp đặc biệt (Phương, 2009, [6]) Trong q trình khám phá tốn hình học kết thúc mở, suy luận quy nạp giúp học sinh đề xuất giả thuyết tính chất bất biến hình trường hợp tổng quát từ kết khảo sát trường hợp riêng, dự đốn quỹ tích hình học dựa số trường hợp cụ thể, hay phát triển thành quy luật cho lớp đối tượng hình học tương tự (tam giác, tứ giác ) Chẳng hạn định lí Euler số đỉnh, số mặt số cạnh khối đa diện quy luật hình học tổng qt hóa nhờ suy luận quy nạp Suy luận quy nạp hỗ trợ việc kiểm tra điều chỉnh giả thuyết ngoại suy thông qua thực nghiệm Đặc biệt mơi trường hình học động, thực nghiệm diễn gần liên tục thông qua vài thao tác kéo rê đơn giản, nên học sinh tập trung vào việc quan sát đưa tổng qt hóa thay dành nhiều thời gian vào việc vẽ hình khác giấy Tóm lại, mơi trường giấy bút mơi trường hình học động, suy luận ngoại suy quy nạp sử dụng để đưa giả thuyết Tuy nhiên, môi trường giấy bút, phép quy nạp địi hỏi thời gian tính cẩn thận phép ngoại suy thực dựa khả tư trừu tượng xuất sắc người học, mơi trường hình học động, thao tác kéo rê hỗ trợ tích cực cho hai loại suy luận Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương _ Suy luận quy nạp ngoại suy khám phá tốn hình học kết thúc mở: phản ánh qua thao tác kéo rê học sinh môi trường hình học động GSP Thế mạnh phần mềm hình học động GSP, Cabri cho phép người sử dụng thay đổi vị trí, hình dạng, kích thước đối tượng biểu diễn bảo đảm giữ nguyên tính chất mối quan hệ hình học thiết lập ban đầu, chúng phản ánh tất trình trung gian chuyển động biến đổi Dựa nghiên cứu Arzarello (Arzarello et al., 2002, [1]) tương tự mặt chất “động” phần mềm hình học động Cabri GSP, chúng tơi giới thiệu với học sinh tham gia khảo sát bốn phương thức kéo rê sau thực GSP:  Kéo rê thăm dò: Kéo rê ngẫu nhiên điểm đến vị trí khác để khám phá tính chất thú vị hình  Kéo rê trì: Kéo rê điểm đến vị trí để hình vẽ trì tính chất vừa khám phá Phương thức kéo rê kết hợp với việc kích hoạt chức tạo vết GSP để hiển thị dấu vết mà điểm qua  Kéo rê theo hướng dẫn: Kéo rê điểm hình để đưa hình dạng đặc biệt Có thể kết hợp sử dụng công cụ GSP đo đạc, tính tốn độ dài cạnh, độ dài cung, số đo góc, chu vi, diện tích… dựa thay đổi số liệu hiển thị hình để thực phương thức kéo rê cách xác Chẳng hạn kéo rê đỉnh tứ giác để nhận hình vng  Kéo rê liên kết: Liên kết điểm vào đối tượng hình học di chuyển điểm đối tượng để kiểm tra tính chất Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu trường hợp riêng với sáu học sinh chia thành ba nhóm, nhóm có hai học sinh sử dụng máy tính để khám phá hai tốn hình học kết thúc mở thời gian hai (30 phút cho toán 30 phút cho tốn 2) Cách làm việc theo nhóm cổ vũ học sinh làm rõ em quan sát suy nghĩ đầu em cách giao tiếp với bạn khác Ba nhà quan sát, kể tác giả theo dõi q trình làm việc nhóm học sinh thơng qua ghi chép, vấn sử dụng máy ảnh để chụp lại phản hồi máy tính học sinh tạo Chú ý tất học sinh tham gia khảo sát biết cách sử dụng phần mềm GSP trước Chúng tơi nhấn mạnh với em phương thức kéo rê giới thiệu hữu dụng cho việc khám phá toán mà em đối mặt Hai toán kết thúc mở sử dụng nghiên cứu là: Bài toán Cho tứ giác ABCD Về phía ngồi tứ giác, dựng hình vng nhận AB, BC, CD, DA tương ứng làm cạnh Gọi M, N, P, Q tâm hình vng Trong trường hợp tổng qt, có nhận xét tứ giác MNPQ? 31 Trương Thị Khánh Phương Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ Bài toán Cho tứ giác ABCD Gọi H, K, L, M giao điểm đường trung trực cạnh AB, BC, CD, DA a) HKLM trở thành tứ giác đặc biệt trường hợp nào? b) HKML suy biến thành điểm khơng? Giả thuyết tứ giác ABCD để tình xảy ra? Dưới tóm tắt kết ghi nhận từ thực nghiệm giai đoạn học sinh khám phá toán đề xuất giả thuyết Với toán 1, gần tất học sinh sử dụng kéo rê thăm dò M giai đoạn đầu tiên: kéo rê đỉnh A, B, C, D cách tùy ý để xem xét tính chất tứ giác MNPQ Khi nhận thấy tứ giác MNPQ có nhiều hình dạng khác nhau, học sinh thay đổi chiến lược cách sử dụng kéo rê theo hướng dẫn để đưa tứ giác ABCD hình dạng đặc biệt Các em cho với cách làm này, tính chất tứ giác MNPQ dễ dàng phát Sau vài hình ảnh minh họa cho trường hợp ABCD hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật M M B A N Q Q B A A B N Q D C P Hình 1a N D C P 32 C P Hình 1b Quan sát phản hồi qua trường hợp riêng, học sinh nhận thấy tứ giác MNPQ có hai đường chéo vng góc với Việc kiểm tra dự đốn thực dễ dàng cơng cụ đo góc GSP Học sinh quay trở lại sử dụng kéo rê thăm dò để đưa tứ giác ABCD hình dạng kiểm tra thấy tính chất ln Giả thuyết quy nạp cho tốn: Tứ giác MNPQ có hai đường chéo vng góc với Với tốn 2a, trước tiên số học sinh có ý định sử dụng kéo rê theo hướng dẫn điểm H, K, L, M để đưa D Hình 1c HKLM hình dạng đặc biệt tứ giác Tuy nhiên, việc thực hành gặp khó khăn chuyển động điểm H, K, L, M phụ thuộc lẫn Học sinh chuyển sang kéo rê thăm dò, đặc biệt kéo rê theo hướng dẫn điểm A, B, C, D để đưa tứ giác ABCD hình dạng đặc biệt nhận thấy: ABCD hình bình hành HKLM hình bình hành (hình 2a), ABCD hình thang HKLM hình thang (hình 2b) ABCD hình thoi HKLM hình thoi Quá trình thực kéo rê theo hướng dẫn việc đưa kết luận ủng hộ số liệu hiển thị Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương _ hình độ dài cạnh số đo góc hai tứ giác ABCD, HKLM thời điểm Hình 2a Hình 2b Với toán 2b, ban đầu nhiều học sinh kéo rê thăm dò điểm A, B, C, D cách ngẫu nhiên nhằm tìm kiếm trường hợp thỏa mãn đề chưa thể đưa kết luận có ý nghĩa Học sinh nhận thấy dễ dàng giữ nguyên vị trí ba điểm A, B, C kéo rê điểm D cho bốn đường trung trực đồng quy điểm Với Hình 2c Hình 2d Kết thực nghiệm cho thấy tầm quan trọng việc sử dụng phương thức kéo rê GSP để hình thành dự đốn Từ đó, chúng tơi đề xuất tiến trình sử dụng phương thức kéo rê khác nhau, kết hợp với suy luận quy nạp ngoại suy để đến dự đoán khám phá tốn hình học kết thúc mở điều chỉnh này, xuất nhiều vị trí khác D thỏa mãn toán, nghĩa tứ giác ABCD khơng thiết phải tn theo hình dạng cố định (hình 2c, hình 2d) Sử dụng kĩ thuật tạo vết cho điểm D kéo rê trì, học sinh quan sát đưa dự đốn: vết thu đường trịn (hình 2e) Để xác định tâm bán kính đường trịn này, học sinh tiếp tục sử dụng kéo rê trì nhận thấy D gần trùng khớp với A, bốn đường trung trực gần đồng quy điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (hình 2f) Học sinh đưa giả thuyết ngoại suy: Nếu D nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC HKLM trở thành điểm Các em kiểm tra giả thuyết cách dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sử dụng kéo rê liên kết để liên kết điểm D đường trịn di chuyển nó, kết HKLM ln suy biến thành điểm Hình 2e Hình 2f Bước Sử dụng phối hợp kéo rê thăm dò kéo rê theo hướng dẫn nhằm tìm kiếm bất biến hình Thường xảy ba khả sau: a) Sử dụng kéo rê theo hướng dẫn nhận thấy có tính chất T ln thỏa mãn với tất hình dạng đặc biệt hình Khi cần tiếp tục sử dụng kéo rê thăm dị để kiểm tra xem tính chất 33 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương _ có thỏa mãn với trường hợp khác (bài tốn 1) b) Sử dụng kéo rê theo hướng dẫn nhận thấy có tính chất T thỏa mãn với trường hơp đặc biệt cụ thể hình (bài tốn 2a) c) Sử dụng kéo rê thăm dị nhận thấy có tính chất T xuất số trường hợp ngẫu nhiên chưa xác định (bài toán 2b) Bước Với trường hợp a) b): Sử dụng suy luận quy nạp để đề xuất giả thuyết tính chất bất biến T cách tổng quát Tiến trình khám phá để đưa dự đoán kết thúc Với trường hợp c): Sử dụng kéo rê trì để khẳng định có tập hợp điểm D cho kéo rê điểm hình trùng với điểm tập hợp tính chất T trì Tiếp tục chuyển qua bước Bước Sử dụng kết hợp kéo rê trì với việc kích hoạt chức tạo vết để đánh dấu tập D Tập hợp nhận dạng quỹ tích hình học Q Bước Sử dụng suy luận ngoại suy để đề xuất giả thuyết: Nếu điểm X thuộc tập hợp điểm D, T thỏa mãn Đặc biệt, tập hợp D quỹ tích Q phát biểu trở thành: Nếu X nằm Q, T thỏa mãn Có thể sử dụng kéo rê liên kết để liên kết điểm X vào quỹ tích Q nhằm xác nhận lại giả thuyết ngoại suy Như vậy, trình khám phá tốn hình học kết thúc mở, suy luận quy nạp giúp tổng qt hóa tính chất từ trường hợp đặc biệt, ngoại suy giúp nhận bất biến 34 phụ thuộc mang tính điều kiện đối tượng hình Quá trình khám phá diễn mơi trường hình học động phương thức kéo rê trì với việc kích hoạt chức tạo vết quan trọng đánh dấu thời điểm học sinh đưa giả thuyết ngoại suy, phương thức kéo rê theo hướng dẫn sở để em phát triển nhanh kết luận mang chất quy nạp Kết luận Những phân tích thực nghiệm q trình khám phá tốn hình học kết thúc mở nghiên cứu cho thấy: tùy theo mục tiêu mà học sinh hướng đến (thăm dị tốn trường hợp tổng qt, xét trường hợp riêng, tạo dự đoán, kiểm chứng dự đoán), em sử dụng phương thức kéo rê tương ứng (kéo rê thăm dò, kéo rê theo hướng dẫn, kéo rê trì, kéo rê liên kết) Những phản hồi trực quan xuất hình sau học sinh chuyển hóa thành dự đốn phát biểu theo ngơn ngữ logic hình học thơng qua suy luận quy nạp ngoại suy Vì vậy, nhìn vào cách học sinh tiến hành phương thức kéo rê, giáo viên hình dung trình suy luận diễn đầu em Nghiên cứu đem lại ý nghĩa việc phát triển lực khám phá toán học sinh mơi trường hình học động: học sinh cần luyện tập việc sử dụng phương thức kéo rê khác vận dụng tiến trình khám phá tốn chúng tơi đề xuất tình cụ thể Đồng thời, tập hình học truyền thống cần cân kết hợp chặt chẽ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Trương Thị Khánh Phương _ với sức mạnh phần mềm hình học động để phát huy lực khám phá toán suy luận quy nạp ngoại suy học sinh, thay nhấn mạnh vào hình học mang tính lí thuyết với việc sử dụng suy luận suy diễn Ghi chú: Bài báo tài trợ phần Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia Việt Nam – NAFOSTED với đề tài mã số: VI2.2-2010.11 TÀI LIỆU THAM KHẢO Arzarello, F., Olivero, F., Paola, D & Robutti, O (2002), A cognitive analysis of dragging practices in Cabri environments, Zentralblatt fur Didaktik der Mathematik/International Reviews on Mathematical Education, 34(3), pp 66-72 Magnani, L (2001), Abduction, Reason and Science, Processes of Discovery and Explanation, Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York Mogetta, C., Olivero, F and Jones, K (1999), Providing the Motivation to Prove in a Dynamic Geometry Environment, In Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, St Martin's University College, Lancaster, pp 91-96 Mariotti M A (2002), Influence of technologies advances on students' math learning, In English, L et al Handbook of International Research in Mathematics Education Lawrence Erbaum Associates, pp 695-723 Trương Thị Khánh Phương (2009), “Sử dụng tốn tìm kiếm quy luật có biểu diễn hình học để nâng cao lực suy luận quy nạp ngoại suy học sinh Trung học phổ thơng”, Tạp chí Khoa học Giáo dục Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, ISSN 1859-1612, 2(10), tr 108-116 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 10-8-2011; ngày chấp nhận đăng: 31-8-2011) 35