Ước lượng hợp lý cực đại cho tham số λ đối với phân phối Poisson Trần Nam Hưng* Ngày 6 tháng 8 năm 2021 Tóm tắt nội dung Từ mẫu ngẫu nhiên M ξ n = (X1 ,X2 , Xn) được lấy từ biến ngẫu nhiên gốc ξ
Ước lượng hợp lý cực đại cho tham số λ phân phối Poisson Trần Nam Hưng* Ngày tháng năm 2021 Tóm tắt nội dung ξ Từ mẫu ngẫu nhiên Mn = (X1 , X2 , Xn ) lấy từ biến ngẫu nhiên gốc ξ, tìm ước lượng hợp lý tối đa (Maximum Likelihood Estimation) cho tham số λ biết ξ ∼ P (λ) Biểu thức hàm mật độ f (X | λ) Hàm mật độ phân phối Poisson ((Poisson Distribution)) với tham số λ f (X | λ) = λX −λ ·e X! (Poisson Distribution) Hàm hợp lý (Mật độ đồng thời) ξ Ta gọi L(Mn , µ , σ) hàm hợp lý hay hàm mật độ đồng thời Khi đó, theo định nghĩa de f L(Mnξ , λ) = n ∏ f (Xi | λ) (L.F) i=1 Với f (Xi | λ) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên gốc ξ Đối với phân phối Poisson, ta có hàm hợp lý L sau: * hungb1906052@student.ctu.edu.vn n ∑ Xi n λXi −λ λi=1 · e−nλ ·e = n X ! i i=1 ∏ Xi ! L=∏ (λ > 0) i=1 Giá trị cực đại hàm hợp lý µ Điều kiện cần để hàm hợp lý đạt giá trị cực đại phương trình ∂ ln L ∂θ = Vậy ta lấy logarithm tự nhiên hai vế L sau: ❺ ➄ n ∑ Xi ln L = ln λi=1 n ∑ Xi −nλ = ln λi=1 ·e n ∏ Xi ! ! ❶ ➀ n ⑨ = + ln e−nλ ∏ Xi! − ln ∂L ∂θ ❾ i=1 ❶ i=1 n = ∑ Xi · ln λ − ln i=1 ➀ n ∏ Xi! − nλ i=1 Lấy đạo hàm riêng theo biến tham số λ ta được: ∂ ∂ ln L = ∂λ ∂µ = ➊ ❶ n n ➀ ∑ Xi · ln λ − ln ∏ Xi! ➍ − nλ (1) i=1 i=1 n ∑ (Xi) − n λ i=1 (2) Cho biểu thức (2) ta được: n n (X ) − n = ⇔ λ = ∑ i ∑ (Xi) = X λ i=1 n i=1 Vì phương trình điều kiện đủ ∂ ln L ∂λ = có nghiệm λ = X nên ta không cần kiểm tra Kết luận Giá trị hợp lý cực đại (MLE) tham số λ trung bình mẫu ngẫu nhiên X ... Lấy đạo hàm riêng theo biến tham s? ?? λ ta đư? ?c: ∂ ∂ ln L = ∂λ ∂µ = ➊ ❶ n n ➀ ∑ Xi · ln λ − ln ∏ Xi! ➍ − nλ (1) i=1 i=1 n ∑ (Xi) − n λ i=1 (2) Cho biểu th? ?c (2) ta đư? ?c: n n (X ) − n = ⇔ λ = ∑ i... Xi ! L=∏ (λ > 0) i=1 Giá trị c? ? ?c đại hàm hợp lý µ Điều kiện c? ??n để hàm hợp lý đạt giá trị c? ? ?c đại phương trình ∂ ln L ∂θ = Vậy ta lấy logarithm tự nhiên hai vế L sau: ❺ ➄ n ∑ Xi ln L = ln λi=1... λ i=1 n i=1 Vì phương trình điều kiện đủ ∂ ln L ∂λ = c? ? nghiệm λ = X nên ta không c? ??n kiểm tra Kết luận Giá trị hợp lý c? ? ?c đại (MLE) tham s? ?? λ trung bình mẫu ngẫu nhiên X