tìm hiểu luồng cực đại

Luồng cực đại toán tối ưu đồ thị tìm ứng dụng rộng rãi thực tế lý thuyết tổ hợp Bài toán đề xuất vào đầu năm 1950 gắn liền với tên tuổi nhà toán học Mỹ Lester Randolph Ford Delbert Ray Fulkerson Mục lục  1Mạng  2Luồng mạng  3Tính chất luồng  4Giá trị luồng  5Ứng dụng thực tế Ví dụ  6Một số thuật toán luồng cực đại 6.1Bài toán luồng cực đại mạng: o  6.1.1Lát cắt Đường tăng luồng  6.1.2Thuật toán Ford-Fulkerson 6.2Luồng cực đại với khả thông qua cung o đỉnh: o 6.3Giả mã luồng cực đại Mạng  Mạng (network) đồ thị có hướng G = (V, E) đó: Có đỉnh s khơng có cung vào, gọi đỉnh phát (source) Có đỉnh t khơng có cung ra, gọi đỉnh thu (sink) Mỗi cạnh e = (u, v) ∈ E gán số nguyên không âm c(e) = c[u, v] gọi khả thông qua cung (capacity)   Ta quy ước mạng khơng có cung (u, v) ta thêm vào cung (u, v) với khả thông qua c[u, v] Với mạng G = (V, E, c), ta ký hiệu: W-(x) = {(u, v) ∈ E | u ∈ V}: tập cung vào đỉnh v W+(x) = {(v, u) ∈ E | u ∈ V}: tập cung khỏi đỉnh v Luồng mạng  Giả sử cho mạng G = (V, E) Ta gọi luồng f mạng ánh xạ f: E → R+ gán cho cung e = (u, v) ∈ E số thực không âm f(e) = f[u, v], thoả mãn điều kiện sau: ĐK (Capacity Constraint): Luồng cung e ∈ E khơng vượt q khả thơng qua nó: ≤ f(e) ≤ c(e) ĐK (Flow Conversion): Điều kiện cân luồng đỉnh mạng: Tổng luồng cung vào đỉnh v tổng luồng cung khỏi đỉnh v, v ≠ s, t: t(W-(x)) = t(W+(x)), ∀x ≠ s, t Tính chất luồng Với tập B ⊆ V, ký hiệu: W-(B) = { (a, b) ∈ E | a ∉ B, b ∈ B } - tập cạnh từ B vào B W+(B) = { (a, b) ∈ E | a ∈ B, b ∉ B } - tập cạnh từ B khỏi B Khi tập đỉnh B khơng chứa x0 z thì: t (W -(B)) =t (W+ (B)).Theo tính chất b) luồng: ∑ t (W-(x)) =∑ t (W+(x)) Cạnh kề với đỉnh x có đỉnh đầu đỉnh cuối nằm tập B có mặt hai vế củađẳng thức lần, giản ước Giá trị luồng  Giá trị luồng tính tổng giá trị cung từ đỉnh nguồn s, tổng giá trị cung vào đỉnh thứ t val(f) = t(W+(s)) = t(W-(t)) Hình 1: Luồng cực đại với giá trị luồng khả thông qua cặp cạnh S đỉnh phát, t đỉnh thu Ứng dụng thực tế Ví dụ  Xét đồ thị tương ứng hệ thống ống dẫn dầu Trong ống tương ứng với cung, điểm phát tàu chở dầu, điểm thu bể chứa, điểm nối ống nút đồ thị Khả thông qua cung tương ứng tiết diện ống Cần phải tìm luồng dầu lớn bơm từ tàu chở dầu vào bể chứa  Xác định cường độ lớn dòng vận tải nút đồ giao thơng  Bài tốn cặp ghép: có m chàng trai n cô gái Mỗi chàng trai ưa thích số gái Hãy tìm cách ghép cặp cho số cặp ghép nhiều Một số thuật toán luồng cực đại Bài toán luồng cực đại mạng: Lát cắt Đường tăng luồng Định nghĩa Ta gọi lát cắt (X,X*) cách phân hoạch tập đỉnh V mạng thành hai tập X X*=V \ X, s ∈ X t ∈ X* Khả thông qua lát cắt (X,X*) số Lát cắt với khả thông qua nhỏ gọi lát cắt hẹp Bổ đề giá trị luồng f mạng nhỏ khả thông qua lát cắt (X,X*) nó: val(f) £ c(X,X*) Hệ Giá trị luồng cực đại mạng không vượt khả thông qua lát cắt hẹp mạng Giả sử f luồng mạng G = (V,E) Từ mạng G = (V,E) ta xây dựng đồ thị có trọng số cung Gf =(V,Ef), với tập cung Ef trọng số cung xác định theo quy tắc sau: * Nếu e = (v,w) ∈ E với f(v,w) = 0, (v,w)∈ Ef với trọng số c(v,w); * Nếu e = (v,w) ∈ E với f(v,w) = c(v,w), (w,v)∈ Ef với trọng số f(v,w); * Nếu e = (v,w) ∈ E với