khoaluan 3 6858

Lời cảm ơn Được đồng ý phân công cô giáo hướng dẫn Th.S Phùng Thị Thủy em thực đề tài “Đường tròn số tốn liên quan” Để hồn thành khóa luận em muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo khoa Khoa học Tự nhiên tận tâm hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Đại học Thủ đô Hà Nội Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới giáo Phùng Thị Thủy tận tình, chu đáo hướng dẫn em thời gian hoàn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh nhất, buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, kiến thức hạn hẹp nên khóa luận khơng tránh khỏi nhứng thiếu sót định mà thân em chưa thấy hết Em mong nhận góp ý, bảo thêm q thầy, bạn để khố luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2019 Tác giả khóa luận Dương Ngọc Ninh DƯƠNG NGỌC NINH Mục lục MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NỘI DUNG Chương Một số kiến thức 1.1 Đường tròn 1.1.1 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường trịn 1.1.2 Đường kính dây đường trịn 10 1.1.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây 10 1.1.4 Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn 10 DƯƠNG NGỌC NINH Mục lục 1.1.5 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn 12 1.1.6 Tính chất hai tiếp tuyến cắt 12 1.1.7 Vị trí tương đối hai đường trịn 13 1.2 Góc với đường trịn 1.2.1 Góc tâm Số đo cung 16 1.2.2 Liên hệ cung dây 18 1.2.3 Góc nội tiếp 18 1.2.4 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung 19 1.2.5 Góc có đỉnh bên đường trịn 19 Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn 1.2.6 Cung chứa góc 20 1.2.7 Tứ giác nội tiếp 21 1.2.8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp 22 1.2.9 Độ dài đường trịn, cung trịn 22 1.2.10 Diện tích hình trịn, hình quạt trịn 23 Chương Một số tốn liên quan 2.1 Bài toán chứng minh 24 2.2 Bài tốn tính tốn 39 2.3 Bài tốn quỹ tích 46 2.4 Bài tốn cực trị hình học 49 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 DƯƠNG NGỌC NINH Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu, từ viết tắt Giải thích ( O;R ) Đường trịn tâm O bán kính R ( O';r) Đường trịn tâm O' bán kính r (O ) Đường trịn tâm O ABC Góc ABC AmB Cung AmB  Khác  Trùng  Lớn  Lớn  Nhỏ  Nhỏ  Bằng ∽ Đồng dạng Song song  Vng góc  Thuộc  ABC Tam giác ABC DƯƠNG NGỌC NINH Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt S ABC Diện tích tam giác ABC CABC Chu vi tam giác ABC S MNPQ Diện tích tứ giác MNPQ CMT Chứng minh DHNB Dấu hiệu nhận biết ĐPCM Điều phải chứng minh c.c.c Cạnh - cạnh - cạnh g.c.g Góc - cạnh - góc g.g Góc – góc GT Giả thiết đvdt Đơn vị diện tích đvđd Đơn vị độ dài cm Xăng – ti - mét Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục tiêu việc dạy mơn Tốn dạy cho học sinh kiến thức Toán, cách giải tập, rèn luyện kĩ giải toán Từ yêu cầu đặt giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp giải, chứng minh dạng tốn Chương trình Tốn trung học sở hai lĩnh vực đại số hình học có nhiều dạng tập khác Đặc biệt, phần hình học có nhiều dạng tốn chứng minh tam giác đồng dạng, chứng minh tam giác nhau, chứng minh góc nhau, tốn quỹ tích dựng hình dạng tốn chứng minh đa giác nội tiếp, … Các toán đường tròn phong phú, phạm vi nghiên cứu rộng Các dạng tốn đường trịn đóng vai trò đơn vị kiến thức trọng tâm chương trình Hình học 9, cịn dạng toán quan tâm nhiều kì thi học kì, kì thi chuyển cấp kì thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp trung học sở Trên thực tế, dù dạng tốn khó, sách giáo khoa lại đưa cách chứng minh đơn giản định nghĩa, định lí; chưa có hệ thống phương pháp chứng minh cách cụ thể dẫn đến học sinh lúng túng tìm cách chứng minh tốn, kĩ làm cịn yếu kém, chưa biết cách khai thác hết kiện đề cho, chưa tìm ràng buộc giả thiết Vì vậy, việc hệ thống kiến thức sau học xong Chương II – Đường trịn Hình học việc làm cần thiết học sinh có cách giải nhanh, đúng, dễ hiểu Ta biết rằng, sử dụng đường trịn suy yếu tố góc nhau, cạnh nhau, … qua học sinh liên hệ, vận dụng ngược lại để giải số tốn hay khó Đây dạng tốn với học sinh lớp lại giúp học sinh lớp nhìn nhận lại tốn giải lớp để có cách giải hay lí giải theo hướng khác Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH Với lí trên, em chọn cho đề tài nghiên cứu: “Đường trịn số tốn liên quan” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận giúp giáo viên học sinh hệ thống hóa lại kiến thức, nắm rõ các tốn liên quan đến đường trịn, đồng thời vận dụng để giải tốn xi – ngược, tốn hay khó (về quỹ tích, điểm cố định, cực trị, …) Qua đây, em hy vọng khóa luận góp phần thực việc đổi phương pháp dạy học, trọng cho học sinh kĩ giải tốn, phân loại, phân tích tự tìm tịi lời giải nhiều cách khác nhau, kĩ nhận biết nhanh để giải tốn đường trịn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài đưa kiến thức định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến đường tròn mà học sinh học Phân loại dạng liên quan đến đường trịn có kèm ví dụ minh họa từ dễ đến khó có lời giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài đường tròn số tốn Đó việc áp dụng lý thuyết đường trịn để giải tốn liên quan đến đường tròn 3.2 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài nghiên cứu số dạng liên quan đến đường tròn phương pháp giải Giới hạn kiến thức: Chương trình Hình học lớp 6, 7, 8, trường THCS Mở đầu DƯƠNG NGỌC NINH Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài để đạt hiệu cao Em sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp quan sát thực tế giảng dạy học Toán chuyên đề đường trịn số tốn liên quan giáo viên THCS - Nghiên cứu tài liệu Cấu trúc đề tài Khóa luận chia làm hai chương sau: Chương Một số kiến thức Chương Một số toán liên quan Chương Một số kiến thưc DƯƠNG NGỌC NINH Chương Một số kiến thức 1.1 Đường trịn 1.1.1 Sự xác định đường trịn Tính chất đối xứng đường tròn Định nghĩa 1.1 (Đường tròn) Đường trịn tâm O bán kính R (với R  ) hình gồm R O điểm cách điểm O khoảng R (Hình 1.1) Đường trịn tâm O bán kính R kí hiệu ( O;R ) Hình 1.1 Ta kí hiệu ( O ) không cần ý đến bán kính  Cách xác định đường trịn Một đường trịn xác định biết tâm bán kính đường trịn Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường trịn (Hình 1.2) A A A O B O B O C' C C B Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.4 Hình 1.2  Tâm đối xứng Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn (Hình.1.3)  Trục đối xứng Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn (Hình 1.4) Chương Một số kiến thưc DƯƠNG NGỌC NINH 1.1.2 Đường kính dây đường trịn Định lí 1.1 A Trong dây đường tròn, dây lớn đường O kính C D I Định lí 1.2 B Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây Hình 1.5 qua trung điểm dây (Hình 1.5) Hình 1.2 Định lí 1.3 Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây 1.1.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây Định lí 1.4 (Hình 1.6) B K A Trong đường tròn: O  Hai dây cách tâm D H  Hai dây cách tâm C Hình 1.6 Định lí 1.5 (Hình 1.7) Trong hai dây đường trịn: B E A  Dây lớn dây gần tâm  Dây gần tâm dây lớn 1.1.4 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn  Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn  Đường thẳng đường tròn cắt 10 C O F D Hình 1.7 Chương Một số tốn liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Do  ABM cân B Lại có BD đường cao Suy BD đồng thời đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) Hay D trung điểm AM Từ suy AM  2.AD  3R (đvđd) Suy S ABM  Ta có: S AOD 1 BD.AM  R.2 3R  3R (đvdt) 2 1 3R  S ABD   AD.DB  (đvdt) 2 Ta có: SOBmD   R 60 360   R2 (đvdt) 3R  R  3       R (đvdt) Suy S  3R  6  Ví dụ 2.19 Cho đường trịn ( O;R ) Hãy: Tính chu vi đường trịn biết đường kính 5cm Tính độ dài cung 120 đường trịn bán kính 4cm Tính sđ AB Biết độ dài AB  R 4 Tính AOB biết độ dài cung AB R Trên cung lớn AB lấy điểm C cho  AOC vng cân O Tính độ dài AC; BC lớn Chứng minh 45 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Chu vi đường tròn C   d    5 ( cm ) Độ dài cung 120 đường trịn bán kính 4cm là: l  Rn 180   4.120 180  8 ( cm ) 3 Gọi n số đo cung nhỏ AB Ta có: l   Rn 180 Nên R Theo công thức l    Rn 180  Rn 180 nên hay n  45  Rn  R  180 Suy ra, n  60 hay AOB  60 Độ dài cung AC là:  R.90  R  (đvđd) 180 Số đo cung BC lớn là: 360  60  90  210 Độ dài cung BC lớn là:  R.210 180  7 R (đvđd) 2.3 Bài tốn quỹ tích Ví dụ 2.20 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2018 – 2019) Cho đường tròn ( O;R ) với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB ( S khác A ) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC,SD với đường tròn ( O;R ) cho điểm C nằm cung nhỏ AB ( C,D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định 46 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Chứng minh Vẽ đường kính AN ( O;R ) Gọi M giao điểm EF NB Vì EF  AD (GT) AD  DN (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy EF DN Hay EM DN D N Lại có E trung điểm đoạn BD E F Suy M trung điểm đoạn BN O S Vì hai điểm N ,B hai điểm cố định A M B H C Nên điểm M điểm cố định Hình 2.19 Ta có AFM  90 Suy điểm F thuộc đường trịn đường kính AM cố định (ĐPCM) Ví dụ 2.21 (Trích đề thi thử vào 10 Trường liên cấp THCS Ngôi Sao Hà Nội 2018) Cho đường trịn, đường kính BC cố định điểm A cố định nằm đoạn OB ( A  O,A  B ) Kẻ dây PQ vuông góc với BC A Gọi M điểm tùy ý thuộc cung lớn PQ ( M không trùng C ) Nối BM cắt PQ E Chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PME nằm đường thẳng cố định M chuyển động cung lớn PQ Chứng minh M Do đường thẳng BC cố định, điểm A cố định P Nên P,Q cố định Hay PC cố định E Từ điểm E kẻ đường thẳng song song với BC cắt I B A O PC I Q Ta có MEI  MBC (hai góc đồng vị) Hình 2.20 47 C Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Mà MBC  MPC (góc nội tiếp chắn cung MC ) Suy MEI  MPC (tính chất bắc cầu) Mà P,E hai đỉnh kề nhìn cạnh MI Vậy MPEI tứ giác nội tiếp Lại có EI BC PE  BC Nên EI  PE hay PEI  90 Do MPEI nội tiếp đường trịn đường kính PI , hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MPE nằm đường thẳng PC cố định (ĐPCM) Ví dụ 2.22 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2013 – 2014) Cho đường tròn ( O ) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến AM ,AN với đường tròn ( M ,N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn hai điểm B,C ( AB  AC , d không qua O ) Hai tiếp tuyến ( O ) B,C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định đường thẳng d thay đổi thỏa K mãn đề Chứng minh T Dựa theo kết chứng minh ví dụ 2.12, ta M C I chứng minh tiếp Ta có: KB  KC OB  OC O B A Nên KO đường trung trực BC N Suy K ,I ,O thẳng hàng Hình 2.21 Vì KB tiếp tuyến ( O ) Suy KBO  90 48 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Áp dụng hệ thức lượng KBO vng B, có BI đường cao Ta có: OB2  OI OK Lại có OB  OM Nên OI OK  OM Hay OI OM  OM OK Xét MIO KMO ta có MOK chung, OI OM  (CMT) OM OK Suy MIO ∽ KMO (c.g.c) Suy KMO  MIO (hai góc tương ứng nhau) (2.13) Mặt khác, A,M,N,O thuộc đường tròn đường kính AO (Theo ví dụ 2.12) Lại có A,I ,O thuộc đường trịn đường kính AO (do  AIO vuông I ) Vậy điểm A,M ,I,O,N nằm đường trịn đường kính AO Suy MNO  NMO  180  MIO (2.14) Từ (2.13) (2.14), ta có NMO  180  KMO Suy NMO  KMO  180 Suy điểm K ,M ,N thẳng hàng Do M ,N cố định nên MN cố định Vậy K chuyển động đường thẳng MN cố định d thay đổi (ĐPCM) 2.4 Bài tốn cực trị hình học Để giải tốn cực trị hình học, ta thường sử dụng bất đẳng thức sau - Quan hệ đường vng góc đường xiên - Bất đẳng thức tam giác - Quan hệ dây đường kính - Các bất đẳng thức đại số Ví dụ 2.23 (Trích đề thi vào 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội 2008 - 2009) 49 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Cho tam giác ABC vuông C Trên cạnh AB lấy điểm M ( M khác A B ) Gọi O;O1 ;O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AMC BMC Xác định vị trí M đoạn AB cho đường tròn (T ) có bán kính nhỏ (Với (T ) đường trịn câu ví dụ 2.7) Chứng minh A Gọi R bán kính đường trịn (T ) M Dựa vào kết chứng minh ví dụ 2.7, O O1 O2 ta có (T ) qua O C B C Nên CO  2R hay R  CO Hình 2.22 Dấu “  ” đạt R  CO Suy CO đường kính Từ suy CMO  90 (góc nội tiếp chắn đường kính) Vậy M hình chiếu C AB Ví dụ 2.24 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2009 – 2010) Cho đường tròn ( O;R ) A điểm nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B,C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC đường tròn ( O;R ) lấy điểm K ( K khác B C ) Tiếp tuyến K đường tròn ( O;R ) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P,Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC Đường thẳng qua O , vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M ,N Chứng minh PM  QN  MN 50 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Chứng minh Ta có: PB,PK hai tiếp tuyến kẻ từ P đến ( O ) nên PK  PB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tương tự, ta có QK  QC Ta có, chu vi  APQ C APQ  AP  AQ  PQ  AP  AQ  PK  KQ Mà PK  PB,QK  QC (CMT) Suy C APQ  AP  AQ  PB  QC  AP  PB  AQ  QC  AB  AC Mà A,( O ) cố định C N Q Suy ra, tiếp tuyến AB, AC cố định Do AB, AC khơng đổi A E O K Vậy chu vi  APQ không đổi P B M K chuyển động cung nhỏ BC Hình 2.23 Ta có: AO đường cao  AMN (do AO  MN ) AO tia phân giác BAC (dựa vào kết chứng minh ví dụ 2.1) Suy  AMN cân A Do AMN  ANM OM  ON (tính chất tam giác cân) Suy AMN  MAN  180 (2.15) Ta có: BOC  BOP  POK  KOQ  QOC Mà BOP  POK KOQ  QOC Suy BOC  POK  KOQ  POQ 51 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Theo ví dụ 2.1 ta có tứ giác OBAC tứ giác nội tiếp Nên: BOC  MAN  180 Suy POQ  MAN  180 (2.16) Từ (2.15) (2.16) suy POQ  AMN Hay POQ  OMP Ta có: PON góc ngồi đỉnh O MOP Suy PON  OPM  OMP Hay POQ  QON  OPM  OMP Mà POQ  OMP (CMT) Suy QON  OPM Xét  ONQ PMO có AMN  ANM QON  OPM (CMT) Suy  ONQ ∽ PMO (g.g) Do NQ ON (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)  MO PM Hay PM NQ  OM ON Mà OM  ON (CMT) Suy PM QN  OM Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số PM  PN  ta có: PM  QN  PM Q N  PM  QN  OM  PM  QN  2OM  PM  QN  MN Dấu “  ” đạt PM  QN  MN 52 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Ta có: PM  PB  BM QN  QC  CN Mà ta dễ dàng chứng minh BM  CN (do CNO  BMO ) Nên PB  QC Mà PB  PK ,QC  QK (CMT) Suy PK  QK Từ suy K trung điểm QP Mà K   O; R  K  PQ Suy dấu “  ” đạt K cung nhỏ BC Ví dụ 2.25 (Trích đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Khánh Hịa 2018 – 2019) Cho đường tròn ( O;R ) dây cung AB không qua O Từ điểm M nằm tia đối tia BA ( M không trùng với B ), kẻ hai tiếp tuyến MC,MD với đường tròn ( O;R ) ( C,D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt tia MC,MD E F Xác định hình dạng tứ giác MCOD để diện tích tam giác MEF nhỏ M di động tia đối tia BA Chứng minh Dựa theo kết chứng minh ví dụ 2.5, ta chứng minh tiếp Ta có: CD E EF (cùng vng góc với OM ) C Xét MCD MEF ta có EMF chung MCD  MEF (hai góc đồng vị CD O EF ) A I Suy MCD ∽ MEF (g.g) H B Mà MCD cân M Suy MEF cân M F D Hình 2.24 SMEF  2SOMF  OD.MF 53 M Chương Một số tốn liên quan Mà OD  R (khơng đổi) nên DƯƠNG NGỌC NINH S MEF nhỏ MF nhỏ Ta có MF  MD  DF Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số MD  DF  ta có: MD  DF  MD.DF (2.17) Mặt khác, xét ODM FDO ta có ODM  ODF (cùng 90 ) FOD  OMD (cùng phụ với DOM ) Suy ODM ∽ FDO (g.g) Do MD.MF  OD2 Thay vào (2.17) ta có: MD  MF  OD  MD  MF  2OD  MD  MF  R Dấu “  ” xảy MD  DF Suy MOF vng cân O Do OM  OD  R Khi SMEF đạt giá trị nhỏ 2R2 Vậy tứ giác MCOD hình vng cạnh R Ví dụ 2.26 (Trích đề thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội 2014 – 2015) Cho đường trịn ( O;R ) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn ( O;R ) ( M khác A , M khác B ) Tiếp tuyến đường tròn ( O;R ) B cắt đường thẳng AM ,AN Q,P 54 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Chứng minh Ta có: 2S MNPQ  2S APQ  2S AMN  R.PQ  AM AN  R.( PB  BQ )  AM AN Ta có : APB  PAB  90 PAB  QAB  90 P N F Suy APB  QAB O A   ABP  ABQ  90 Xét  ABP QBA ta có:    APB  QAB B M E Suy  ABP ∽ QBA (g.g) Do AB BP  Hay AB  BP.QB QB BA Q Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số BP  QB  ta có: BP  QB  BP.QB   R 2 Hình 2.25  4R Mặt khác, áp dụng bất đằng thức Cauchy cho hai số AM  AN  ta có: AM  AN MN  R  AM AN     2R 2 2 Do đó, S MNPQ  R.4 R  R  R Suy S MNPQ  3R Do max S MNPQ  3R  AM  AN  R Dấu “  ” xảy   (hay MN  AB )  BP  BQ  R Ví dụ 2.27 (Thi HSG cấp Huyện Sở GD&ĐT Tiền Giang 2012 – 2013) 55 Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm P cố định đường tròn Hai dây cung AC BD thay đổi vuông góc với P Xác định vị trí AC BD cho diện tích tứ giác ABCD lớn Chứng minh Kẻ OH  AC,OK  BD  H  AC,K  BD  B Theo định lí đường kính dây cung, ta có: A AC BD AH  ,BK  2 P H K O Ta có: OHP  OKP  KPH  90 Suy tứ giác OHPK hình chữ nhật D Nên KH  OP khơng đổi Hình 2.27 Ta có:  AC  BD   AH    BK   AH  BK  AH  BK 2   OA2  OH  OB  OK      2R  OP (không đổi) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số AC  BD  ta có: S ABCD AC.BD AC  BD    R  OP Dấu “  ” đạt  AC  BD  OH  OK  OHPK hình vng  HPO  OPK  45 56 C Chương Một số toán liên quan DƯƠNG NGỌC NINH Do đó, diện tích tứ giác ABCD lớn là: maxS ABCD  R  OP Vậy AC,BD hợp với OP góc 45 diện tích ABCD lớn 57 DƯƠNG NGỌC NINH Kết luận KẾT LUẬN Qua trình học tập, nghiên cứu, em hồn thành khóa luận: “Đường trịn số tốn liên quan” Khóa luận trình bày vấn đề sau: Trình bày kiến thức đường tròn bao gồm định nghĩa, định lí, hệ liên quan Khóa luận giới thiệu số dạng toán thường gặp: tốn chứng minh, tốn tính tốn, tốn quỹ tích, tốn cực trị Khóa luận hệ thống phong phú ví dụ minh họa trích từ đề thi năm đồng thời trình bày lời giải chi tiết ví dụ minh họa Hà Nội, tháng năm 2019 Tác giả khóa luận Dương Ngọc Ninh 58 DƯƠNG NGỌC NINH Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính, Tốn tập 1, 2, Nhà xuất giáo dục, 2006 [2] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển toán tập 2, Nhà xuất giáo dục, 2005 [3] Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8, Nhà xuất giáo dục, 2016 [4] Nguyễn Đức Tấn, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9, Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [5] Nguồn Internet 59 ... 2.AD  3R (đvđd) Suy S ABM  Ta có: S AOD 1 BD.AM  R.2 3R  3R (đvdt) 2 1 3R  S ABD   AD.DB  (đvdt) 2 Ta có: SOBmD   R 60 36 0   R2 (đvdt) 3R  R  3       R (đvdt) Suy S  3R ... Định nghĩa 1 .3 (Đường tròn nội tiếp tam giác) Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đường trịn (Hình 1. 13) Trên hình 1. 13, đường tròn... bán kính R (Hình 1 .31 ) R tính theo công thức C  2 R Nếu gọi d đường kính đường trịn ( d  2R ) C   d Hình 1 .31  (đọc “pi”) kí hiệu số vơ tỉ mà giá trị gần thường lấy   3, 14  Cơng thức