Microsoft Word TOAN 9 CAP TINH DAK LAK NAM 20202021 GV Nguyễn Dương Hải GV Nguyễn Dương Hải GV Nguyễn Dương Hải ––– TTTHHHCCCSSS NNNggguuuyyyễễễnnn CCChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BMT BMT BMT ––– Đăk Lă[.]
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 – 2021 MƠN: TỐN LỚP – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/3/2021 Bài 1: (4 điểm) x 5 x 1 với x x x x 2 x 1 x 2 Tìm tất giá trị nguyên x cho biểu thức A nhận giá trị nguyên 2) Cho phương trình x 2m 3 x m với m tham số Tìm m để phương trình 1) Cho biểu thức A có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho x12 x22 Bài 2: (4 điểm) 1) Cho parabol P : y x đường thẳng d : y x b Tìm b để đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt A, B cho OI 13 (với I trung điểm AB ) 2) Giải phương trình x 1 x 1 x 3 15 x 1 Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x 3xy y 2) Cho x, y, z số nguyên đôi khác Chứng minh rằng: 5 x y y z z x chia hết cho x y y z z x Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF ABC cắt H 1) Chứng minh AF AB AE AC 2) Chứng minh DH tia phân giác EDF 3) Giả sử ACB 600 Chứng minh EF BF CF 600 , BCD 1200 tia phân giác BAD cắt Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có BAD cắt BD F Chứng minh rằng: BD E Tia phân giác BCD 1 1 AB BC CD DA AE CF Bài 6: (2 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 3x y x2 y xy Hết GV: GV: Nguyễn Nguyễn Dương Dương Hải Hải –– TTH HCCSS NNgguuyyễễnn CChhíí TThhaannhh –– BMT BMT –– Đăk Đăk Lăk Lăk (Sưu (Sưu tầm tầm và giới giới thiệu) thiệu) ttrraanngg 11 BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 1) A x x x 1 x 5 x 1 x x x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 10 x x x x x 1 x x 1 x x 1 x x Do A nhận giá trị nguyên với x nguyên x 1 x 2 2 1 x 2 x 2 x Ư 1; 2 x 1; 3; 0; 4 x 1; 9; 0;16 (TMĐK) 2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 m 3 4m 4m2 8m 4m 1 với m x1 x2 m x1 x2 m Theo Vi ét, ta có: m Khi x12 x22 x1 x2 2 x1 x2 2m 2 2m m 2m m Bài 2: (4 điểm) 1) Phương trình hồnh độ giao điểm d P x x b x x b * Đường thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt A, B * có hai nghiệm phân biệt 4b b x x 1 Theo Vi ét, ta có: A B x A xB b x A xB xI Vì I trung điểm AB, nên có: 2 y y A yB x A xB xA xB xA xB 2b I 2 2 2 1 2b 13 Do OI xI2 yI2 2 b 3 l 2b 2b 13 b b b 3 b 2 b n Vậy b 2 2) x 1 x 1 x 3 15 x 1 x x3 56 x 56 x 12 x 10 x3 x x 60 x 36 x x 20 x 12 x x 10 x 6 x x 10 x x 10 x x 10 x x x x 19; x2 19 x 10 x x 6x x3 3 11; x4 3 11 GV: GV: Nguyễn Nguyễn Dương Dương Hải Hải –– TTH HCCSS NNgguuyyễễnn CChhíí TThhaannhh –– BMT BMT –– Đăk Đăk Lăk Lăk (Sưu (Sưu tầm tầm và giới giới thiệu) thiệu) ttrraanngg 22 Bài 3: (4 điểm) 1) x 3xy y x yx y * Ta có x 3 y y y 24 * có nghiệm nguyên dương y 24 k k N y k y k 24 Vì y Z , k N y k y k y k y k 24 Mặt khác y k ; y k chẵn, nên có trường hợp sau: y k y k y y k x 8 TH1: y x 21x 104 x x 13 y k 12 x 13 y k x y x 15 x 56 x x y k x TH2: Vậy cặp số nguyên dương x; y cần tìm là: 8; , 13; 7;5 , 8;5 2) Đặt x y a, y z b z x a b a b 5 5 Có x y y z z x a b a b a b5 a 5a 4b 10a 3b 10a 2b3 5ab b 5ab a3 2a 2b 2ab b3 5ab a b a ab b x y y z z x a ab b Vì x, y, z đôi khác nhau, nên x y y z z x 5 Vậy x y y z z x chia hết cho x y y z z x Bài 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF ABC cắt H A 1) Chứng minh AF AB AE AC Xét ABE ACF: (góc chung) AEB AFC 900 gt ; BAE Vậy ABE ACF (g.g) F E H AB AE AF AB AE AC (đpcm) AC AF O 2) Chứng minh DH tia phân giác EDF Tứ giác BDHF có: B D C BFH 90 gt BDH BFH 180 BDH HBF a Vậy tứ giác BDHF nội tiếp HDF 0 Tứ giác CDHE có: CEH 900 gt CDH CEH 1800 CDH HCE b Vậy tứ giác CDHE nội tiếp HDE Lại có ABE HCE c ACF HBF HDE Vậy DH tia phân giác EDF Từ a), b), c) HDF 3) Giả sử ACB 600 Chứng minh EF BF CF Tứ giác AEHF có: AEH AFH 900 gt AEH AFH 1800 ) EAD (góc nội tiếp chắn cung HE Vậy tứ giác AEHF nội tiếp EFC EAD cmt ; ECF EDA (tứ giác CDHE nội tiếp) Xét EFC EAD: EFC GV: GV: Nguyễn Nguyễn Dương Dương Hải Hải –– TTH HCCSS NNgguuyyễễnn CChhíí TThhaannhh –– BMT BMT –– Đăk Đăk Lăk Lăk (Sưu (Sưu tầm tầm và giới giới thiệu) thiệu) ttrraanngg 33 EF AE d CF AD (góc chung) Xét AEH ADC: AEH ADC 900 gt ; EAH Vậy EFC EAD (g.g) AE HE e AD CD Mặt khác AEH: AEH 900 gt , AHE ACB 60 (tứ giác CDHE nội tiếp) Vậy AEH ADC (g.g) Vậy AEH nửa tam giác cạnh AH AH HE f HDC 900 gt ; BCF (góc chung) Xét BFC HDC: BFC BF HD g CF CD AD Lại có ACD: ADC 900 gt tan ACD tan 600 h CD EF BF AH HD AD Từ d), e), f), g), h) ta có: EF BF 3CF (đpcm) CF CF CD CD CD Vậy BFC Bài 5: HDC (g.g) (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có 60 , BCD 1200 tia phân giác BAD cắt BD BAD cắt BD F Chứng minh E Tia phân giác BCD B C rằng: E 1 1 AB BC CD DA AE CF F O D A Ta có S ABD S ABE S ADE AB AE sin BAE DA AE sin DAE AB DA sin BAD 2 AB DA sin 600 AB AE sin 30 DA AE sin 300 AB DA AB DA 1 AE AB DA AB DA AB DA AE 2 1 2 BC CF sin BCF CD CF sin DCF Tương tự S BCD S BCF S DCF BC CD sin BCD BC CD sin120 BC CF sin 600 CD CF sin 60 BC CD BC CD 1 CF BC CD BC CD Từ 1), 2) suy 3 BC CD CF 2 2 1 1 (đpcm) AB BC CD DA AE CF Bài 6: (2 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ 1 3x y x2 y xy GV: GV: Nguyễn Nguyễn Dương Dương Hải Hải –– TTH HCCSS NNgguuyyễễnn CChhíí TThhaannhh –– BMT BMT –– Đăk Đăk Lăk Lăk (Sưu (Sưu tầm tầm và giới giới thiệu) thiệu) ttrraanngg 44 biểu thức: P P 1 3x y 1 1 xy 16 xy 45 xy 3 2 2 x 4y xy x 4y xy xy xy x 4y Lại có 1 4 4 2 x 4y xy x y xy x y 2 x y 1 1 45 16 xy 16 xy 12 ; x y 2 xy xy 45 xy xy 8 xy ; 3 Do P 12 45 83 8 x 0, y 1 x 2y 1 x x 83 Dấu “=” xảy x y xy Vậy Min P y y 4 16 xy xy GV: GV: Nguyễn Nguyễn Dương Dương Hải Hải –– TTH HCCSS NNgguuyyễễnn CChhíí TThhaannhh –– BMT BMT –– Đăk Đăk Lăk Lăk (Sưu (Sưu tầm tầm và giới giới thiệu) thiệu) ttrraanngg 55 ... x 10 x 6 x x 10 x x 10 x x 10 x x x x 19; x2 19 x 10 x x 6x x3 3 11; x4 3 11 GV: GV: Nguyễn Nguyễn Dương... AEB AFC 90 0 gt ; BAE Vậy ABE ACF (g.g) F E H AB AE AF AB AE AC (đpcm) AC AF O 2) Chứng minh DH tia phân giác EDF Tứ giác BDHF có: B D C BFH 90 gt BDH... CF AD (góc chung) Xét AEH ADC: AEH ADC 90 0 gt ; EAH Vậy EFC EAD (g.g) AE HE e AD CD Mặt khác AEH: AEH 90 0 gt , AHE ACB 60 (tứ giác CDHE nội tiếp) Vậy