Véc tơ trong không gian

Véc tơ trong không gian Luyện tập vectơ Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xương 3 Véc tơ trong không gian Chuyển cách diễn đạt từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ véc tơ Phân tích một vectơ thành tổ hợp vec[.]

Luyện tập vectơ - Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xương Véc tơ không gian - Chuyển cách diễn đạt từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ véc tơ - Phân tích vectơ thành tổ hợp vectơ, thường nên tiến hành theo cách chọn vec tơ khơng đồng phẳng phân tích véctơ cần sử dụng theo vectơ Dạng toán 1: Biểu diễn véctơ Bài 1: cho hình chóp SABC, đáy có uurABC uuu ru uurtrọng tâm G uur a) Hãy phân tích SA theo SB, SG , BC uuu r r uuur r uuur r uuu r uuu r uuur rr r b) Đặt DA = i, DB = j , DC = k , biểu diễn GA, GB, GC theo i, j , k uuuu r OM = OA , Bài 2: Cho tam diện vuông OABC đỉnh O, OA = OB = OC Điểm M thỏa mãn nửa đường thẳng OMuu tạo với ur u uu r OC uuurgóc 45 tạo với hai tia OA, Ob hai góc nhọn uuuu r Phân tích OM theo OA, OB, OC Dạng toán 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp:uĐể ta chứng minh theo hai cách uu r chứng uuur minh A, B, C thẳnguuhàng u r uuur - Chứng minh AB, AC phương tức AB = k AC uuur uuu r uuu r - Chọn điểm O thích hợp chứng minh OC = kOA + mOB với k + m = Bài 3: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 a) CMR: A, C1, trọng tâm G ∆BDA1 thẳng hàng b) Tính tỉ số GA/GC1 Bài 4: CMR DABC góc tam diện vng đỉnh D D, trọng tâm G ∆ABC tâm O mặt cầu ngoại tiếp tam diện thẳng hàng Tìm tỉ số GO/GD Bài Cho uuu r 5: u uuur hình uuuurlập phương uuuur ABCDA’B’C’D’ cạnh a Gọi P, Q điểm xác định AP = D ' A; C ' Q = −C ' D , M trung điểm BB’ CMR: P, Q, M thẳng hàng Dạng tốn 3: Chứng minh vng góc, tìm điều kiện vng góc Phương pháp: uuu r uuur • Sử dụng tính chất AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = rr rr r • Đường thẳng ∆ vng góc với (P) ⇔ a.u = a.v = ; a véctơ phương ∆, r r u , v cặp véctơ phương (P) Bài 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N điểm thuộc AD, BB’ cho AM = BN I, J trung điểm AB, C’D’ Chứng minh IJ ⊥ MN Bài 7: Cho hình chóp SABC, đáy ABC cân đỉnh A, D trungđiểm BC, vẽ DE ⊥ AB (E ∈ AB), biết SE ⊥ (ABC) Gọi M trung điểm DE Chứng minh AM ⊥ (SEC) Bài 8: Cho hình chóp SABC, SA ⊥ (ABC), SA = a , AC = 2a, AB = a, ·ABC = 900 M uuur uuur r uu r uur r I hai điểm cho: 3MB + MS = 0;4IS + 3IC = Chứng minh: SC ⊥ (AMI) Luyện tập vectơ - Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xương Bài 9: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC, AB = AC SO ⊥ (ABC), D trung điểm AB, E trọng tâm ACD Chứng minh CD ⊥ (SOE) Dạng toán 4: Sự đồng phẳng ba véctơ Đ/n: Ba véctơ gọi đồng phẳng đường thẳng chứa chúng song song với mặt phẳng r Nhận xét: uuu r r r uuu r r uuur r c r b a • Dựng OA = a; OB = b; OC = c , véctơ r rr a, b, c đồng phẳng ⇔ O, A, B, C đồng phẳng • Để chứng minh ∆ // (P) ta chứng minh véctơ r rr r r r đồng phẳng với ∈ ∆ a , b, c b, c ∈ (P) a C α A r a r c r b B O r rr r r Định lí 1: Cho ba véctơ a, b, c , a; b khơng r rr phương Khi a, b, c đồng phẳng ⇔ ∃ k, m ∈ R cho r r r c = k a + mb r rr r Định lí 2: Nếu ba véctơ a, b, c khơng đồng phẳng, với véctơ x ln ∃ ! số r r r r k, m, n cho x = k a + mb + nc uuuu r uuu r uuu r uuur Bài 10: Cho tứ diện OABC M, N, P thỏa mãn: OM = OA + tOB − 2OC ; uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur ON = (t + 1)OA + 2OB + OC ; OP = (t − 2)OB + 2OC ; t ∈ R a) Tìm t để O, M, N, P đồng phẳng uuuu r uuur uuu r r uuu r uuu r uuur b) Cho t = 0, biểu diễn v = 5OA + 10OB − 15OC theo OM, ON , OP r u r r r r r u r r r r r r r Bài 11: CMR ba vectơ x, y, z xác định x = a − b; y = c − a; z = −2a + b + c đồng phẳng Bài 12: Cho hình lập phương Các điểm M, N thuộc AD, BB’ cho uuuu r ABCDA’B’C’D’ uuu r uuuur AM = BN Chứng minh MN , AB, B ' D đồng phẳng Bài 13: Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1, điểm M, N, P trung điểm AD, BB1 C1D1 Chứng minh C1D // (MNP) Bài 14: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Mp (α) qua A trọng tâm P, Q mặt A’B’C’D’ BB’C’C chia cạnh B’C’ theo tỉ số ? Dạng toán 5: Khoảng cách – Góc Bài 15: Đáy hình chóp S ABC ∆ ABC cạnh 1, SA ⊥ (ABC), SA = Mp (α) song2 với SB, AC Mp(β) song2 với SC, AB Tính cosin góc α β Bài 16: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy dài a Các đỉnh M, N tứ diện MNPQ nằm BC1, đỉnh P, Q nằm A1C Tìm a) Đường cao lăng trụ b) Khoảng cách trung điểm MN PQ Bài 17: H.chóp DABC, ∆ACD cạnh , ∆ABC vuông cân C, BD = Tính thể tích Bài 18: Tứ diện SABC cạnh 1, BD đường cao ∆ABC, ∆BDE nằm mp tạo với cạnh AC góc ϕ, biết S, E nằm phía mp(ABC) Tính SE Luyện tập vectơ - Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xương Bài tập: uuur uuur uuur uuu r uuuu r 1)Tứ diện ABCD M,N trung điểm ACu,BD CMR: AB + CD = AD + CB = 2MN uur uuur uuu r uuur uuur 2)Gọi P,Q trung điểm AC ,BD CMR : AB + AD + CB + CD = PQ 3)Hình hộp ABCD A’B’C’D’ K giao điểm AC’ (BDA’).CMR: uuur uuur uuur r a ) KA ' + KB + KD = uuuu r uuuur uuur b) AC ' + A ' C = AC c)CM tinh chat tam uuur uuur uuur uuur uuur uuur d)Hình hộp hình hộp chữ nhật ⇔ AB + AD + AA ' = AB + AD − AA ' uuu r uuu r uuu r uuur uuur r 4)Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Tìm O : OS + OA + OB + OC + OD = 5)Cho tứ diện ABCD mặt phẳng (P),tìm M mặt phẳng (P) để: uuur uuur uuuu r uuuu r MA + MB + MC + MD Nhá 6)Cho hình lập phơng ABCD.ABCD>Gọi M,N trung điểm AD vµ uuuu r uuur BB’.CMR: MN ⊥ AC r r r 7) Cho : u ; v kh«ng cïng phơng có độ dài 1,cmr: a có độ dài b»ng r r r rr r rr r vµ đồng phẳng với u ; v : b = ( u.a ) v − ( v.a ) u cã độ dài không đổi.(đề 65) 8)Cho:A,B,C trung điểm cạnh BC, CA ,AB cua tam giác ABC Tính: uuur uuur uuu r uuur uuu r uuuu r BC AA ' + CA.BB ' + AB.CC ' (®Ị 104) 9)Tø diện ABCD Gọi A,B,C,D điểm chia đoạn th¼ng : uuuur uuuur uuuur A ' A B ' B C 'C AB,BC,CD,DA theo tØ sè k, tøc lµ: uuuur = uuuur = uuuur = A ' B B 'C C ' D uuu r uuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuu r a) CMR : OA + OB + OC + OD = OA ' + OB ' + OD ' + OC ' ; ∀O uuuuu r D'D uuuur = k D'A b)Tìm k để A,B,C,D đồng phẳng (đề 111) 10)Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a.Gọi P,Q điểm xác định bởi: uuur uuuur uuuur uuuur AP = − AD ' ; C ' Q = −C ' D a)Chøng minh r»ng ®êng th¼ng PQ ®i qua trung ®iĨm M cđa BB’ b)Tính độ dài PQ.(đề 114) 11)Trên cạnh AB,BC,CD,DA tứ diện ABCD ,lấy điểm theo thứ tự:A,B,C,D Biết khôngr gian tồnr điểm O: uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu uuuur uuuu OA + OB + OC + OD = OA ' + OB ' + OD ' + OC ' uuur uuur uuuu r uuuur AA ' BB ' CC ' DD ' CMR: uuuur = uuuur = uuuur = uuuur (®Ị 115) A ' B B 'C C ' D D ' A 12)Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD.Gọi G trọng tâm tam gi¸c AB’C uuuu r uuur a) CMR : BD ' = 3BG (đề 120) b)Gọi P,Q,R đối xứng cđa D’ qua A, B’, C CMR: B lµ träng t©m tø diƯn PQRD’ Luyện tập vectơ - Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xương 13)Cho h×nh hép ABCD.ABCD ,gọi P,R trung điểm AB, AD, gọi P , Q, Q, R giao điểm đờng chéo mặt ABCD, CDDC, ABCD, ADDA uuur uuuur uuur ur a)CMR : PP ' + QQ ' + RR ' = b)CMR tam giác PQR PQR có trọng tâm.(đề 121) r r uuuuu r r uuuur r uuuuu 14)Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD §Ỉt: B ' A ' = a ; B ' B = b ; B ' C ' = c Gọi M điểm chia đoạn thẳng AC theo tỉ số m, N điểm chia đoạn thẳng CD theo tØ sè n, tøc lµ: uuur uuur MA NC uuuur = m, uuuur = n MC ' ND ' uuuuur uuuur r r ur a)Biểu thị véc tơ B ' M , B ' N theo a , b , c m,n b)Tìm m,n để đ/t MN //BD c)Tính độ dài MN (đề 123) Các toán không gian chuyển véc tơ 1)Chóp SABC đáy ABC vuông C , CA=a , CB=b,h=SA (ABC) D trung điểm AB Tính góc khoảng cách AC SD ( chọn sở : SA,CA, CB) 2)Chóp ABCD vuông B: AB=1 , CD= 2 ,BD=BC M,N trung điểm BC, CD Tính góc khoảng cách AM,BN 3)Chóp SABCD đáy ABCD lục giác đều; AB=BC=CD=a a = SA ( BCD) a) Xđ M B SB để góc AMD vuông b)mf(AMD) cắt hình chóp theo thiết diÖn ,tÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn c) TÝnh gãc (SAD) vµ (SBC) , (SCD) vµ (SBC)> d) TÝnh k/c tõ A,D ®Õn (SBC) Tõ AB ®Õn (SCD) 4)Tø diƯn ABCD có góc BAC góc BDC vuông góc ABC DCB 60 độ AB=DC=a a)Tính độ dài AD theo a (ABC)vuông góc (BDC) b)Tính AD (ABC) tạo với (BDC) góc 60 độ.(cơ sở:AE,BC,DF ; E,F hình chiếu A,D BC) 5)Tam giác ABC cân đỉnh A đờng cao AH ,D hình chiếu H AC,M trung điểm HD.CMR:AM vuông góc víi HD (chän H(0;0) ,A(0;a) ,B(-b;0),C(b;0), D(x;y) xÐt tÝch v« hớng véc tơ AM BD ) 6)CM đờng thẳng ơle:Gọi K,M hình chiếu H O trªn BC ( chän : K(0;0) , B(b;0) , C(c;0) ,A(0;a) , H(0;-bc/a)ta cã VÐc t¬ GH=2GO) Luyện tập vectơ - Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xng 7) (GTVT-A-2001)Tam giác ABC vuông cân đỉnh A.AB=AC=a, M trung điểm BC Trên nửa dt AA MM vuông góc (ABC) phía lấy N,I :2MI=AN=a.Gọi H hình chiếu A NB.CMR: AH vuông góc NI -Chọn sở :AB,AC,AN xét TVH véc tơ AH NI -Chọn A0;0;0) ,B(a;0;0) C(0;a;0) ,N(0;0;a) 8) (ĐH-CĐ-B-2002)Hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a a)Tính khoảng cách AB BD b)Gọi M,N,P trung điểm BB, CD , AD Tính góc khoảng cách MP vàCN c)TÝnh thĨ tÝch tø diƯn APBD’ víi P lµ trung điểm BC d)Tìm điểm E BB để mf(AEC) cắt hình lập phơng theo thiết diện có diện tích nhỏ - Chọn sở:gốc A biểu diển véc tơ BA,BD,IG qua sở 9)Chóp S.ABCD đáy nửa lục giác AB=BC=CD=a, cạnh bên SA=a vuông góc với đáy.Dựng đờng vuông góc chung Của BD SC, xác định vị trí chân đờng vuông góc SC BD.Tính độ dài đờng vuông góc chung 10)(BCVT-A_1998) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a a)Tính góc ,khoảng cách AA BD b) CMR BD vuông góc mf(DAC) 11)(DHVinh-D-2001)Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a M,N chuyển động đoạn thẳng BD BA cho BM=BN=t Gọi góc tạo MN với BD BA a) Tính độ dài MN theo a t Tìm t để MN nhỏ b) Khi MN nhá nhÊt tÝnh : α , β c) Trong trờng hợp tổng quát :CMR: cos + cos β = 12) H×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A’B’C’D’ AB=a , AD=b , AA’=c a) TÝnh góc, khoảng cách DA BD b)Tính góc BD mf(MNP) với M,N,P trung điểm BB, CD DA 13) Hình lập phơng ABCD,ABCD a) G trọng tâm tam giác ABD CMR G nằm AC, AG vuông góc mf(ABD) Tính AG b)I ,K trung điểm AD vàBC , mf(P) qua IK cắt AA E cắt CD F , CMR:AE=DF è vuông góc với IK trung điểm O EF c)M , N di động trênAD DB cho AM=DN=x + Tìm x để MN ngắn , lớn +CMR : MN song song (A’D’CB) + CMR MN ngắn MN song song AC +Tìm tập hợp trung ®iĨm cđa MN Luyện tập vectơ - Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xương 14) Chãp S.ABCD đáy ABCD hình vuông cạnh a.E,F hình chiếu S AB CD I trung điểm AB.Mặt bên (SAB) Là tam giác vuông góc với đáy a)CMR : (SEF) vuông góc với ( ABCD) b)CMR : SI vu«ng gãc víi (ABCD) , AD vu«ng gãc víi (SAB) c)TÝnh gãc cđa BD vµ (SAD) , SD (SCI) 15) Cho lăng trụ ABC.ABC có a=AA vuông góc (ABC), đáy ABC tam giác vuông A có BC=2a AB= a a)Tính khoảng cách từ AA đến (BCCB) b)Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c)CMR AB vuông góc với (ACCA) tính khoảng cách từ A đến (ABC) 16) Chóp tứ giác S.ABCD cạnh bên tạo với đáy góc 60 độ , cạnh đáy a a) Tính thể tích hình chóp b) Qua A dựng mf(P) vuông góc víi SC , tÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn t¹o bëi (P) với hình chóp 17) Cho tứ diện SABC cạnh a Dựng đờng cao SH a)CMR : SA vuông góc BC b)Tính thể tích diện tích toàn phần hình chóp c)Gọi O trung điểm SH , CMR : OA,OB;OC đôi vuông góc 18)Chóp S.ABCD đáy hình thang vuông A D, với AD=DC=a vàAB=2a.Đờng cao SA = a a) Tính số đo góc nhị diện (S;BC;A) (A,SB,C) b) Tính góc mf(SBC) (SCD) 19)Chóp S.ABCD đáy hình vuông cạng a.SA vuông với đáy Tính độ dài SA biết nhị diện (B,SC,D) 1200 20)Chóp SABCD đáy hình vuông cạnh a.SA =a vuông góc đáy a)Tính k/c từ A đến (SBC) b)Tính k/c từ tâm O ®Õn (SBC) c)TÝnh k/c tõ träng t©m G cđa tam giác SAB đến (SAC) 21)Hình thoi tâm O cạnh a AC=a.Từ trung điểm H AB dựng SH vuông góc đáy SH=a a)Tính k/c từ O đến (SCD) từ A đến (SBC) b) M ,N trung ®iĨm CD vµ SA tÝnh k/c MN vµ SO; gãc MN (SBD) 22)Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh a a)Tính góc (ABC) và(BCA) b)Lấy E,F thuộc BC CA cho EE//(ABBA), tìm GTNN độ dài EF 23) Cho hình hộp chữ nhËt ABCD.A’B’C’D’ cã AB=a, AD=2a ,AA’=a , a) TÝnh k/c AD CB b)Gọi M chia đoạn AD theo tỉ sè AM/MD=3.TÝnh k/c tõ M ®Õn (ACB’) Luyện tập vectơ - Trần Mạnh Tường – THPT Quảng Xương c) TÝnh thĨ tÝch AB’D’C 24) Cho tø diƯn ABCD cã AD vu«ng víi (ABC), AC=AD=4, AB=3 , BC=5 TÝnh k/c từ a đến (BCD) 25) Chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a.SA vuông với đáy Gọi M, N thuéc BC, DC cho BM=a/2; DN=3a/4 Cmr (SAM) vuông góc (SMN) 26) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a M,N trung điểm BC , DD Cmr MN// (ABD) tính k/c BD MN 27)Tam giác ABC cạnh a Trên đ/t vuông góc (ABC) phía B C lấy D vµ E : BD = a ; CE = a a) Tính độ dài AD,AE ,DE.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCE b) M giao ED BC ;cmr AM vuông gãc (ACE) vµ tÝnh gãc (ADE) vµ (ABC) 28)Cho gãc tam diƯn vu«ng OABC; OA=a; OB= a ;OC=c (a,c>0), gọi D đỉnh đối diện với O hình chữ nhật AOBD Và M trung điểm BC , (P) mf qua A,M cắt (OCD) theo đ/t vuông góc với AM a)Gọi E giao (P) với OC , tính độ dài OE b)Tính tỉ số thể tích khối đa diện tạo thành cắt khối chóp (P) c) Tính k/c tõ C ®Õn (P) ... '' uuuuur uuuur r r ur a)Biểu thị véc tơ B '' M , B '' N theo a , b , c vµ m,n b)Tìm m,n để đ/t MN //BD c)Tính độ dài MN (đề 123) Các toán không gian chuyển véc tơ 1)Chóp SABC đáy ABC vuông C ,... đồng phẳng ba véctơ Đ/n: Ba véctơ gọi đồng phẳng đường thẳng chứa chúng song song với mặt phẳng r Nhận xét: uuu r r r uuu r r uuur r c r b a • Dựng OA = a; OB = b; OC = c , véctơ r rr a, b, c... b, c đồng phẳng ⇔ ∃ k, m ∈ R cho r r r c = k a + mb r rr r Định lí 2: Nếu ba véctơ a, b, c khơng đồng phẳng, với véctơ x ln ∃ ! số r r r r k, m, n cho x = k a + mb + nc uuuu r uuu r uuu r uuur