Mặt tròn xoay và một số bài toán trong thực tế

Bài viết Mặt tròn xoay và một số bài toán trong thực tế trình bày một số kiến thức mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay. Tiếp theo chúng tôi trình bày một số bài toán trong thực tế được giải quyết bằng cách sử dụng kiến thức vừa nêu. Mời các bạn cùng tham khảo!

MẶT TRỊN XOAY VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN TRONG THỰC TẾ Trần Thanh Phong1 Khoa Sư phạm phongtt.khtn@tdmu.edu.vn, TÓM TẮT Bài viết trình bày số kiến thức mặt nón trịn xoay mặt trụ trịn xoay Tiếp theo chúng tơi trình bày số tốn thực tế giải cách sử dụng kiến thức vừa nêu Từ khóa: Bài tốn thực tế , mặt nón trịn xoay, mặt trụ trịn xoay GIỚI THIỆU Trước đây, đa số học sinh tốt nghiệp trung học phổ thơng chưa giải tốn thực tế Giải toán thực tế chủ đề quan tâm Gần đây, em học sinh tiếp cận toán thực tế giáo viên hướng dẫn tìm cách giải tốn Trong chương Hình học lớp 12, mặt trịn xoay trình bày lý thuyết có nhiều ứng dụng đời sống ngày Đặc biệt lý thuyết mặt nón trịn xoay mặt trụ trịn xoay tìm thấy nhiều ứng dụng Trong viết này, chúng tơi tổng hợp lý thuyết tốn học mặt nón trịn xoay mặt trụ trịn xoay, số tốn thực tế giải cách sử dụng khéo léo lý thuyết KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này, chúng tơi nhắc lại lý thuyết tốn học mặt nón trịn xoay mặt trụ trịn xoay, lý thuyết hình ảnh minh họa tìm thấy [2], [3] [4] 2.1 Định nghĩa mặt nón trịn xoay Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng d  cắt điểm O tạo thành góc  với Khi mặt phẳng ( P ) quay xung quanh  đường thẳng d sinh mặt tròn xoay gọi mặt nón trịn xoay đỉnh O Người ta thường gọi mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng  gọi trục, 0    90 đường thẳng d gọi đường sinh góc  gọi góc đỉnh mặt nón (Hình 1.1) 729 2.2 Hình nón trịn xoay khối nón trịn xoay Cho tam giác OIM vng I (Hình 1.2) Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OMI tạo thành hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình nón Hình trịn tâm I sinh điểm thuộc cạnh IM IM quay quanh trục OI gọi mặt đáy hình nón, điểm O gọi đỉnh hình nón Độ dài đoạn IO gọi chiều cao hình nón, khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy Độ dài OM gọi độ dài đường sinh hình nón Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh trục OI gọi mặt xung quanh hình nón Khối nón trịn xoay phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kế hình nón Người ta cịn gọi khối trịn xoay khối nón Những điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón ứng với khối nón gọi điểm khối nón Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay tích độ dài đường trịn đáy độ dài đường sinh Thể tích khối nón phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao 2.3 Định nghĩa mặt trụ tròn xoay Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng  l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay mặt trụ Đường thẳng  gọi trục, đường thẳng l đường sinh r bán kính mặt trụ đó.(Hình 1.3) 2.4 Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB , đường gấp khúc ADCB tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay cịn gọi tắt hình trụ (Hình 1.4) Khi quay quanh AB , hai cạnh AD BC vạch hai hình trịn gọi hai đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình trụ Độ dài đoạn CD gọi độ dài đường sinh hình trụ, phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ Khoảng cách AB hai mặt phẳng song song chứa hai đáy chiều cao hình trụ Khối trụ trịn xoay phần khơng gian giới hạn 730 hình trụ trịn xoay kể hình trụ Khối trụ trịn xoay cịn gọi khối trụ Những điểm không thuộc khối trụ gọi điểm khối trụ Những điểm thuộc khối trụ khơng thuộc hình trụ gọi điểm khối trụ Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính hình trụ theo thứ tự mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính khối trụ tương ứng Diện tích xung quanh hình trụ trịn xoay tích độ dài đường tròn đáy độ dài đường sinh Thể tích khối trụ trịn xoay tích diện tích đáy chiều cao MỘT SỐ BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG THỰC TẾ Bài toán ([1] – Câu 44) Ơng Bình làm lan can ban cơng ngơi nhà kính cường lực Tấm kính phần mặt xung quanh hình trụ hình bên Biết giá tiền m kính 1.500.000 đồng Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng Bình mua kính bao nhiêu? A 23.519.000 đồng B 36.173.000 đồng C 9.437.000 đồng D 4.718.000 đồng Giải Giả sử ( O , R ) đường trịn đáy hình trụ Áp dụng định lý sin tam giác AMN , với ( O ) đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN Ta có MN sin A = R  R = 4, 45 Suy diện tích xung quanh hình trụ là: ( ) S xq = 2 Rh = 2 4, 45.1, 35 = 12, 015 m Vì OM = ON = MN = 4, 45 nên OMN tam giác nên MON = 60 Do diện tích cường lực là: ( 2) S xq m Vậy số tiền ơng Bình mua kính là: 12,105 1500000  9436558 (đồng) Chọn C 731 Bài tốn Một cơng ty sản xuất bồn đựng nước hình trụ tích thực m với chiều cao m Biết bề mặt xung quanh bồn sơn loại sơn màu xanh tơ hình vẽ màu trắng phần lại mặt xung quanh; với mét vuông bề mặt lượng sơn tiêu hao 0.5 lít sơn Cơng ty cần sơn 10000 bồn dự kiến cần lít sơn màu xanh gần với số nhất, biết đo dây cung BF = m A 6150 B 6250 C 1230 D 1250 Giải Gọi r bán kính đường trịn đáy Ta có: V =  r h  r = Xét tam giác O BF  ta có : cos( BO F ) = 2 r − BF 2r 2 =1−  Suy ra: BO F  2,178271695 (rad) Vậy độ dài cung BF : l = r   1, 2289582 (m), với  = BO F (đơn vị đo rad) Tổng số lít sơn màu xanh cho bồn nước là: T = l h.0.5 = 0.6144791001 (lít) Vậy tổng số sơn cần cho 10000 bồn S  6145 (lít) Chọn A Bài tốn Cổ động viên bóng đá đội tuyển Indonesia muốn làm mũ có dạng hình nón sơn hai màu Trắng Đỏ quốc kỳ Giả thiết thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân, S đỉnh, AB đường kính đường trịn đáy O tâm đường tròn đáy Cổ động viên muốn sơn màu Đỏ bề mặt phần hình nón có đáy cung nhỏ MBN , phần cịn lại hình nón sơn màu Trắng Tính tỉ số phần diện tích hình nón sơn màu Đỏ với phần diện tích sơn màu Trắng A B C D Giải 732 Do tam giác SAB vuông cân S nên SO = OA = OB = r (Với r bán kính đường trịn đáy) Suy ra: SM = r = MN Do dó tam giác OMN vuông cân O Gọi S diện tích xung quanh hình nón, S d diện tích xung quanh phần hình nón sơn màu đỏ, ứng với góc MON = 90 nên S1 S = 90 360 Suy ra: = Sd = St Chọn D Bài tốn Một thợ thủ cơng trang trí 100 nón có hình nón giống hình vẽ bên Biết AB = 20 cm SA = 25 cm, AIB = 60 Ở phần mặt trước nón (từ A đến B khơng chứa điểm I ) có sơn vẽ hình trang trí với giá tiền cơng 50000 đồng / m , phần lại nón sơn với giá tiền cơng 12000 đồng / m Tổng số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà người thợ nhận đợt trang trí nón A 387000 đồng B 257000 đồng C 410000 đồng D 262000 đồng Giải Đổi SA = 25cm = m, AB = 20 3cm = m Do AIB = 60 nên AOB = AIB = 120 Áp dụng định lí sin tam giác OAB ta có: OA AB = sin OBA sin AOB Từ suy ra: R = OA = AB sin120 = AB = (m) , với R bán kính đường trịn đáy 733 Do AOB = 120 nên S1 = S xq ( S1 diện tích phần mặt trước nón từ A đến B khơng chứa điểm I có sơn vẽ hình trang trí) Từ suy ra: S = S xq ( S phần cịn lại nón sơn) 1 Ta có: S xq =  Rl =  = 20  (m ) Suy tổng số tiền mà người thợ nhận đợt trang trí nón là: 50000 S1 + 12000 S = 50000 S xq + 12000 S xq 3 1 = 50000  + 12000  20 20 = 3700  (đồng) Vì số tiền làm trịn đến hàng nghìn nên số tiền người thợ nhận 387000 đồng Chọn A KẾT LUẬN Bài viết cho thấy số ứng dụng đơn giản kiến thức mặt tròn xoay để giải số toán thực tế Những tốn sử dụng để phân loại thí sinh kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng để xét tuyển vào trường đại học có uy tín Ngồi ra, ứng dụng vào thực tế nhằm đem lại hiệu cao công việc, đời sống ngày TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục Đào tạo (2021), Đề thi tham khảo mơn Tốn – Kỳ thi tốt nghiệp THPT https://moet.gov.vn/tintuc/Pages/tin-tong-hop.aspx?ItemID=7275 Lê Khắc Bảo (1977), Hình học giải tích, NXB Giáo dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2019), Sách giáo khoa Hình học 12 (tái lần thứ 11), NXB Giáo dục https://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html 734 ... nghĩa mặt trụ tròn xoay Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng  l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay. .. (đồng) Vì số tiền làm trịn đến hàng nghìn nên số tiền người thợ nhận 387000 đồng Chọn A KẾT LUẬN Bài viết cho thấy số ứng dụng đơn giản kiến thức mặt trịn xoay để giải số tốn thực tế Những tốn... tích diện tích đáy chiều cao MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG THỰC TẾ Bài tốn ([1] – Câu 44) Ơng Bình làm lan can ban cơng ngơi nhà kính cường lực Tấm kính phần mặt xung quanh hình trụ hình