Xấp xỉ đạo hàm của một hàm số

Bài viết Xấp xỉ đạo hàm của một hàm số dựa trên phương pháp sai phân và ý tưởng của phương pháp ngoại suy Richardson chúng tôi sẽ xây dựng các công thức tường minh xấp xỉ bậc cao cho đạo hàm cấp một của một hàm số tại một điểm.

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 11.1, 2022 47 XẤP XỈ ĐẠO HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ APPROXIMATION OF DERIVATIVE OF A FUNCTION Tôn Thất Tú*, Trần Thiên Ân, Đoàn Nhật Minh Thuỳ Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: tttu@ued.udn.vn (Nhận bài: 08/9/2022; Chấp nhận đăng: 21/11/2022) Tóm tắt - Phương pháp sai phân lưới công cụ giúp ta tính xấp xỉ đạo hàm hàm số [1, 2, 4] Khi hàm số có độ dốc lớn, người ta thường sử dụng lưới khơng để cải thiện độ xác phép xấp xỉ Trong phương pháp số, phương pháp ngoại suy Richardson [3, 5] thường sử dụng để nâng bậc xác sơ đồ xấp xỉ, đặc biệt giải gần phương trình vi phân thuật toán tối ưu Trong báo này, dựa phương pháp sai phân ý tưởng phương pháp ngoại suy Richardson xây dựng công thức tường minh xấp xỉ bậc cao cho đạo hàm cấp một hàm số điểm Việc mở rộng kết cho phép xấp xỉ đạo hàm cấp hai xét đến Abstract - The difference method on the uniform grid is a basic tool to help us approximate the derivative of a function [1, 2, 4] When functions have large slopes, it is common to use nonuniform grids to improve the accuracy of the approximation In numerical methods, the Richardson extrapolation method [3, 5] is often used to improve the accuracy order of approximation schemes, especially in approximately solving differential equations and in optimization algorithms In this paper, based on the differences scheme and the idea of the Richardson extrapolation method, we will build explicit formulas for approximating the derivative of a function with high order of accuracy at a given point The extension of obtained results for approximation of derivative of second order is also considered Từ khóa - Xấp xỉ bậc cao; đạo hàm; khai triển Taylor; phép ngoại suy Richardson Key words - Approximation with high order; derivative; Taylor expansion; Richardson extrapolation Giới thiệu vấn đề triển Taylor cho hàm f ( x ) đến cấp cao hơn, ta có: Đạo hàm phép tính giải tích Việc tính đạo hàm hàm số khơng giúp ta nghiên cứu dáng điệu hàm số mà cịn ứng dụng nhiều tính tốn khoa học khác, chẳng hạn giải gần phương trình phi tuyến tìm điểm cực trị [1, 2, 4] Tuy nhiên, việc tính xác giá trị đạo hàm điểm cần tìm nhiều trường hợp khơng phải vấn đề dễ dàng, đặc biệt hàm cho dạng biểu thức giải tích phức tạp cho hệ thức truy hồi Do đó, việc tính xấp xỉ đạo hàm với độ xác cao vấn đề cần thiết có ý nghĩa Cho hàm f ( x ) xác định R Để thuận lợi cho việc biểu diễn, báo ta giả sử hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục đến cấp cần thiết cho biểu diễn có nghĩa Sử dụng khai triển Taylor, ta có: f ( x) = f ( x + h) − f ( x ) + O(h), h (1) f ( x) = f ( x ) − f ( x − h) + O(h), h (2) f ( x) = f ( x + h ) − f ( x − h) + O(h2 ), 2h (3) Công thức xấp xỉ đạo hàm (1), (2) (3) gọi công thức sai phân tiến, sai phân lùi sai phân hướng tâm [1, 2] Có thể thấy, cơng thức (3) có độ xác cao Để nâng bậc cho sơ đồ xấp xỉ (1), ta sử dụng phương pháp Richardson [5] Sử dụng công thức khai h2 h3 f ( x) + f ( x ) 2! 3! h (4) h5 (5) h (6) + f ( x) + f ( x) + f ( x) + O(h ) 4! 5! 6! f ( x + h) = f ( x) + hf ( x) + Từ đó, suy ra: f ( x + h) − f ( x ) h h2 = f ( x) + f ( x) + f ( x) h 2! 3! h3 (4) h (5) h5 (6) + f ( x) + f ( x) + f ( x) + O(h7 ) 4! 5! 6! N1(1) (h) = Tương tự, ta có: h N 2(1) (h) = N1(1) (h) − N1(1)   2 2 h  h3 h  h3  (4) = − f ( x) +  −  f ( x) +  −  f ( x)  3!  3!   4!  4!   h4  h5 h  (5) h5  (6) + −  f ( x) +  −  f ( x) + O(h )  5!  5!   6!  6!  Do đó, N1(1) (h) = f ( x) + O(h), N2(1) (h) = − f ( x) + O(h2 ) Điều có nghĩa f ( x) = −N2(1) (h) + O(h2 ) Q trình làm tổng quát hoá lên ta thu kết Mục The University of Danang – University of Science and Education (Ton That Tu, Tran Thien An, Doan Nhat Minh Thuy) Tôn Thất Tú, Trần Thiên Ân, Đồn Nhật Minh Thuỳ 48 Kết 2.1 Xấp xỉ đạo hàm cấp f ( x) = Giả sử hàm f ( x ) khai triển dạng chuỗi Taylor: + f ( x + h) = f ( x ) +  f ( i ) ( x ) i =1 Ta xây dựng dãy hàm Ni(1) (h, a), i  sau: f ( x + h) − f ( x )  (1) N1 (h, a) = ,  h    (1) i (1)  h  Ni(1) , a  , i  +1 ( h, a ) = N i ( h, a ) − a N i   a   N (h, a ) = f ( x) +  f (i ) i=2 k −1 + i =1 = Khi đó, với k  ta có khai triển: k −1 N k(1) (h, a ) =  (1 − a i ) f ( x) i =1 i =1 ◼ N k(1) (h, a ) hi (i + 1)! hi k −1   1 − (i + 1)! j =1  a i − j  = i− j   Định lý 2: Với k  hàm Nk(1) (h, a) biểu diễn sau: Định lý 1: Giả sử hàm f ( x ) biểu diễn dạng (4) +  f ( i +1) ( x)  j =1 hi −1 ( x) i! = f ( x) +  f (i +1) ( x) + Chứng minh: Kết suy trực tiếp từ Định lý với lưu ý  i  k −1  1 − a Dễ thấy +  k i  (1 − a ), k  1, Ak (a) =  i =1 1, k =  (4) Giả sử a số thực, a  {-1, 0,1} x  R cố định (1) Trong i h i! N k(1) (h, a) + O(h k ), k  2, Ak −1 (a)    (5) Chứng minh: Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với k = ta có đẳng thức (5) N 2(1) (h, a) = N1(1) (h, a) − aN1(1) ( ah , a) +  ( )  hi − a  f ( x) +  f (i +1) ( x) (i + 1)!  (i + 1)!  i =1 i =1   i + h   = (1 − a) f ( x) +  f (i +1) ( x) 1 − i −1  ( i + 1)! a   i =1 + = f ( x) +  f (i +1) ( x) h i a Giả sử đẳng thức (5) với k  Ta có: h  N k(1)+1 (h, a ) = N k(1) (h, a ) − a k N k(1)  , a  a  k −1 + hi k −1   =  (1 − a i ) f ( x) +  f (i +1) ( x)  1 − i − j  (i + 1)! j =1  a  i =1 i =1 i  h  k −1   k −1 + a  − a k   (1 − a i ) f ( x) +  f (i +1) ( x)    1 − i − j  i =1 (i + 1)! j =1  a i =1   k k + hi   =  (1 − a i ) f ( x) +  f (i +1) ( x)  1 − i − j  ( i + 1)! a   i =1 i =1 j =1        Điều có nghĩa đẳng thức (5) với k + Theo nguyên lý quy nạp, định lý chứng minh ◼ Hệ 1: Với điều kiện Định lý 1, ta có khai triển: k −1 1 h  A (a)  (6)  f ( x + h) +  ci(1, k ) (a ) f  x + i  − k f ( x)  ,  h a  1− a  i =1  Trong đó, {ci(1,k ) (a), i  1, k  1} mảng số thực thoả điều kiện: ci(1, k −1) (a) − a k , i = 1,  (1, k −1) k (1, k −1) (a) − a ci −1 (a ), i = 2, k − 2, ci ci(1, k ) (a) =  k (1, k −1) i = k − 1, −a ci −1 (a), 0, i  k  Chứng minh: Khai triển (6) chứng minh phương pháp quy nạp Thật vậy, h  N 2(1) (h, a ) = N1(1) (h, a ) − aN1(1)  , a  a  =   ( f ( x + h) − f ( x ) ) − a   h h/a = 1  f ( x + h) − a f h h   f  x +  − f ( x)   a   h    x +  − (1 − a ) f ( x)  a   1 f ( x + h ) + ci(1,2 ) (a ) f  h  i =1   i  −  (1 − a ) f ( x )   i =2  Do đó, đẳng thức (6) với k = Giả sử đẳng thức với k  Ta có: h  N k(1)+1 (h, a ) = N k(1) (h, a) − a k N k(1)  , a  a  k −1 1 h k   =  f ( x + h) +  ci(1, k ) (a ) f  x + i  −  (1 − a i ) f ( x)  h a   i =2 i =1  = h  x+ i a  − ak  f h / a  = 1 h   f ( x + h) + ( c1(1, k ) (a ) − a k +1 ) f  x +   h  a   h  k −1 (1, k )   x +  +  ci (a) f a  i =1  h  k   i  x + i +1  −  (1 − a ) f ( x)  a  i=2    k −1 h   +   (ci(1, k ) (a) − a k +1ci(1,−1k ) (a )) f  x + i   h  i=2 a   k +1 1 h    −  a k +1ck(1,−1k ) (a ) f  x + k  +  (1 − a i ) f ( x)  h a   i=2  ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 11.1, 2022 = k 1 f ( x + h) +  ci(1, k +1) (a) f  h i =1 h  x+ i a    i  −  (1 − a ) f ( x)   i =2  k +1 Vậy, đẳng thức (6) với k + Định lý chứng minh ◼ Theo công thức (6) giá trị Nk(1) (h, a) tính thơng Bằng cách thực chứng minh tương tự Định lý 1, Hệ Định lý ta có kết sau: Định lý 4: Với k  ta có khai triển sau: k −1 N k(2) (h, a ) =  (1 − a 2i ) f ( x) i =1 + +  f (2i +1) ( x) giá trị hàm f x giá trị nằm bên phải x có dạng x + h / , i = 0, k − a  Khi a  điểm x + h / , i = 0, k − nằm luân phiên bên phải trái điểm x Kết sau cho ta công thức khai triển “đối xứng hơn” Định lý 3: Cho b số thực cố định, b  {−1, 0,1} Giả sử hàm f ( x ) biểu diễn dạng (1) Khi đó, với k  ta có khai triển: f ( x) =  f ( x + h) f ( x − h)  +   2h  Ak −1 (a ) Ak −1 (b)  + k −1  ci(1, k ) (a)  h f x+ i  2h i =1  Ak −1 (a )  a + 1− b 1− a  k −   f ( x) + O(h ) 2h  − b − a  k (1, k ) h  ci (b)  − f x− i  b  Ak −1 (b)     k Chứng minh: Trong Hệ 1, ta thay h −h a b ta được: f ( x) = N k(1) (−h, b) + O(h k ), k  Ak −1 (b) Do đó, f ( x) =  N k(1) (h, a ) N k(1) ( −h, b)  k +   + O( h ), k  2  Ak −1 (a ) Ak −1 (b)  Áp dụng Định lý ta điều phải chứng minh ◼ Hệ 2: Với điều kiện Định lý 3, ta có khai triển: f ( x) = + 2hAk −1 f ( x + h) − f ( x − h) 2hAk −1 (a ) k −1 c (a) i =1 (1, k ) i i =1  k   + O(h )  Có thể thấy, công thức khai triển đối xứng Hệ với số nút (điểm lưới) tăng lên gần gấp đôi ( 2k so với k + nút Hệ 1) bậc xấp xỉ không đổi O(hk ) Để cải thiện bậc xấp xỉ, ta xuất phát từ sai phân hướng tâm Cụ thể, ta xây dựng dãy hàm sau: f ( x + h) − f ( x − h)  (2) N1 (h, a) = ,  2h    (2) 2i (2)  h  Ni(2) +1 ( h, a ) = N i ( h, a ) − a N i  , a  , i   a   Dễ thấy, + N1(2) (h, a) = f ( x) +  f (2i +1) ( x) i =1 2i h (2i + 1)! h 2i k −1   1 − 2( i − j ) (2i + 1)! j =1  a    Hệ 3: Với k  ta có khai triển sau: f ( x) = N k(2) (h, a) + O(h k ), Ak −1 (a) Trong  k 2i  (1 − a ), k  1, Ak (a) =  i =1 1, k =  Định lý 5: Với k  hàm Nk(2) (h, a) biểu diễn sau:  f ( x + h) − f ( x − h)  2h k −1   h h   +  ci(2, k ) (a)  f  x + i  − f  x − i   , 2h i =1 a  a     N k(2) (h, a) = Trong đó, {ci(2,k ) (a), i  1, k  1} mảng số thực thoả điều kiện: ci(2, k −1) (a ) − a k −1 ,  (2, k −1) k −1) (a ) − a k −1ci(2, (a ), c −1 ci(2, k ) (a ) =  i k −1 (2, k −1) −a ci −1 , 0,  i =1 i = 2, k − 2, i = k −1 i  k 2.2 Xấp xỉ đạo hàm cấp hai Đối với phép xấp xỉ đạo hàm cấp hai, ta sử dụng công thức sai phân: f ( x) =   h h  (a)  f  x + i  − f  x − i a  a    49 f ( x + h) + f ( x − h) − f ( x ) + O(h ) h2 Sử dụng ý tưởng nâng bậc xấp xỉ tương tự mục trước, ta tiến hành xây dựng dãy hàm sau: f ( x + h) + f ( x − h) − f ( x )  (3) N1 (h, a) = ,  h2    (3) 2i (3)  h  Ni(3) +1 ( h, a ) = N i ( h, a ) − a N i  , a  , i   a   Dễ thấy + N1(3) (h, a ) = f ( x) + 2 f (2i ) ( x) i=2 + = f ( x) +  f (2i + 2) ( x) i =1 h 2( i −1) (2i )! h 2i (2i + 2)! Sử dụng phương pháp chứng minh tương tự, ta kết khai triển sau cho phép xấp xỉ đạo hàm cấp hai hàm số: Tôn Thất Tú, Trần Thiên Ân, Đoàn Nhật Minh Thuỳ 50 Định lý 6: Với k  ta có khai triển sau: k −1 N k(3) (h, a ) =  (1 − a 2i ) f ( x) i =1 + +  f (2i + 2) ( x) i =1 h (2i ) k −1   1 − (2i + 2)! j =1  a 2(i − j )    N k(3) (h, a) + O(h k ) Ak −1 (a) Bảng So sánh sai số phương pháp Tham số k = 5; h = 0,1; a = k = 5; h = 0,1; a = f HT -30643,0690979360 -30643,0690979360  HT 9605,4713717335 9605,4713717335 f HQ1 -40248,3155828278 -40248,5404499403 HQ1 0,2248868416 0,0000197292 f HQ3 -40248,5404698938 -40248,5404698945 HQ3 0,0000002243 0,0000002250 Tham số k = 5; h = 0,001; a = k = 5; h = 0,001; a = 10 i =1 f HT -40247,4632282500 -40247,4632282500 i = 2, k − 2, i = k −1 i  k  HT 1,0772414195 1,0772414195 f HQ1 -40248,5404847032 -40248,5516207384 HQ1 0,0000150337 0,0111510689 f HQ3 -40248,5404670368 -40248,5425204060 HQ3 0,0000026327 0,0020507365 Định lý 7: Với k  hàm N (h, a) biểu diễn sau: (3) k N (h, a) =  f ( x + h) + f ( x − h)  h k −1 (3, k )   h h  +  ci (a)  f  x + i  + f  x − i h i =1 a  a    (3) k Ak  f ( x),  − 2   h (1 − a ) Trong đó, {ci(3,k ) (a), i  1, k  1} mảng số thực thoả điều kiện: ci(3, k −1) (a ) − a k − ,  (3, k −1) k −1) (a ) − a k − ci(3, (a ), c (3, k ) −1 ci (a ) =  i k − (3, k −1) −a ci −1 , 0,  2.3 Ví dụ minh hoạ Xét hàm f ( x ) đoạn [ − 1,1] xác định sau: f ( x) = Ni(1,k ) , Ni(2,k ) “phóng đại” sai số tính tốn Điều dẫn đến ta không nên chọn a lớn, đặc biệt h nhỏ nên chọn a  gần Hệ 4: Với k  ta có khai triển sau: f ( x) = h , i  khơng có khác biệt nhiều a  cách xa Mặt khác, nhân tử , a 2i công thức truy hồi h nhỏ, giá trị có dạng x  x 5000e 0,1 + x cos( x) Ta cần tính đạo hàm f ( x ) x0 = 0,1 Giả sử giá trị đạo hàm xấp xỉ tính theo cơng thức sai phân hướng tâm, theo Hệ theo Hệ kí hiệu f HT , f HQ1 f HQ3 Giá trị xác đạo hàm điểm x0 = 0,1 tính xấp xỉ số thập phân -40248,5404696695 Kí hiệu sai số: HT =| f ( x0 ) − f HT ( x0 ) |, HQ1 =| f ( x0 ) − f HQ1 ( x0 ) |, HQ3 =| f ( x0 ) − f HQ3 ( x0 ) | Từ Bảng ta thấy, việc xấp xỉ đạo hàm sai phân hướng tâm, giá trị f HT xác ta giảm h Khi xét tham số k , h a, nhìn chung giá trị xấp xỉ tính theo Hệ có mức độ xác cao Với h = 0,1 việc tăng nhẹ a làm tăng mức độ xác giá trị xấp xỉ Tuy nhiên, h = 0,001 việc tăng a làm cho giá trị xấp xỉ giảm xác Điều giải thích Kết luận Bài báo thiết lập công thức xấp xỉ bậc cao cho đạo hàm cấp đạo hàm cấp hàm số điểm (Hệ 1, 2, 4) Các điểm nút sử dụng có dạng h x  i , i  Khi chọn a  dãy điểm nút a hội tụ nhanh chóng đến điểm x giá trị i tăng lên Điều phù hợp với việc tính xấp xỉ đạo hàm điểm đồ thị mà đồ thị nhìn chung có độ dốc lớn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996 [2] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, Giải tích số, NXB Giáo dục, 2007 [3] Francis Bach, “On the Effectiveness of Richardson Extrapolation in Data Science”, Journal on Mathematics of Data Science, (4), 2021, 1251 – 1277 [4] Joe D Hoffman, Numerical methods for engineers and scientists, McGraw-Hill, Inc, New York, 1992 [5] Avram Sidi, Practical extrapolation methods: Theory and Applications, Cambridge University Press, 2003  ... tính đạo hàm f ( x ) x0 = 0,1 Giả sử giá trị đạo hàm xấp xỉ tính theo cơng thức sai phân hướng tâm, theo Hệ theo Hệ kí hiệu f HT , f HQ1 f HQ3 Giá trị xác đạo hàm điểm x0 = 0,1 tính xấp xỉ số. .. i k −1 (2, k −1) −a ci −1 , 0,  i =1 i = 2, k − 2, i = k −1 i  k 2.2 Xấp xỉ đạo hàm cấp hai Đối với phép xấp xỉ đạo hàm cấp hai, ta sử dụng cơng thức sai phân: f ( x) =   h h  (a) ... trị xấp xỉ giảm xác Điều giải thích Kết luận Bài báo thiết lập công thức xấp xỉ bậc cao cho đạo hàm cấp đạo hàm cấp hàm số điểm (Hệ 1, 2, 4) Các điểm nút sử dụng có dạng h x  i , i  Khi chọn