Nghịch đảo nhóm của một số dạng ma trận đặc biệt

Khái niệm nghịch đảo Drazin ra đời vào năm 1958 bởi nhà toán học Drazin mà khi mới ra đời ông gọi là nghịch đảo suy rộng. Lý thuyết nghịch đảo Drazin đã phát triển một cách nhanh chóng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như phương trình vi phân, lý thuyết đồ thị, lý thuyết mật mã. Bài viết trình bày một số kết quả mới gần đây về nghịch đảo nhóm.

NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ Khoa Toán học GIỚI THIỆU Khái niệm nghịch đảo Drazin đời vào năm 1958 nhà toán học Drazin mà đời ông gọi nghịch đảo suy rộng Lý thuyết nghịch đảo Drazin phát triển cách nhanh chóng có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực phương trình vi phân, lý thuyết dồ thị, lý thuyết mật mã Vì từ đời thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Việc tìm biểu diễn tường minh cho nghịch đảo Drazin ma trận vấn đề khơng hồn tồn đơn giản Năm 2009 Catral, Olesky Driessche cho biểu diễn cho nghịch đảo Drazin ma trận hai thành phần Năm 2010, khóa luận Nguyễn Tý cho biểu diển nghịch đảo Drazin hạng ma trận nhỏ Năm 2010 Kyrchei thiết lập biểu diển nghịch đảo Drazin qua trận phụ hợp Kết Thanh Hương tổng quan lại cách hệ thống khóa luận vào năm 2011 Năm 2011, X Liu, L Wu and J Benitez thiết lập biểu diển cho nghịch đảo nhóm tổ hợp tuyến tính hai ma trận khả nghịch nhóm Ta biết nghịch đảo nhóm trường hợp đặc biệt nghịch đảo Drazin Vấn đề đặt liệu có mở rộng kết Liu, Wu Benitez cho nghịch đảo Drazin hay không? MỘT SỐ KẾT QUẢ MỚI GẦN ĐÂY VỀ NGHỊCH ĐẢO NHÓM Lưu ý: Nếu P ∈ C n∗n khả nghịch nhóm, ta xác định P π = In − P P # rõ ràng P π hàm lũy đẳng P P π = P π P = Hiển nhiên, P ∈ C n∗n khả nghịch nhóm c ∈ C\{0} P π = (cP )π Định lý 2.1 Cho A ∈ C n∗n Khi A khả nghịch nhóm tồn ma trận không suy biến U ∈ C n∗n C ∈ C r∗r cho A = U (C ⊕ 0)U −1 với r hạng A Hay A# = U (C −1 ⊕ 0)U −1 Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2013-2014 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2013: tr 19-30 20 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ Định lý 2.2 Giả sử M= A B C ∈ C n∗n , A ∈ C m∗m (1) Khi đó: i) M # tồn A# C # tồn Aπ BC π = ii) Nếu M # tồn M# = A# X C# (2) mà X = (A# )2 BC π + Aπ B(C # )2 − A# BC # Định lý 2.3 Cho P, Q ∈ C n∗n hai ma trận khả nghịch nhóm với a, b hai số phức = Nếu P QQ# = QP P # aP + bQ khả nghịch nhóm Nếu a + b = thì: 1 1 [P # + Q# − P # QQ# ] + ( − )Qπ P # + ( − )P π Q# (aP + bQ)# = a+b a a+b b a+b Hơn nữa: (P − Q)# = (P − Q)(P # − Q# )2 Chứng minh: Gọi r hạng P Với P là nhóm khả nghịch, tồn ma trận khơng suy biến U ∈ C n∗n A ∈ C r∗r P = U (A ⊕ 0)U −1 (**) Ta viết: Q=U Q1 Q2 Q3 Q4 U −1 ; QQ# = U Q1 Q2 Q3 Q4 U −1 ; Q1 , X1 ∈ C r∗r ; (3) Khi đó: P QQ# = U AX1 AX2 0 U −1 QP P # = U Từ giả thiết tính khơng suy biến A, ta đặt: X2 = 0, Q3 = 0, AX1 = Q1 Khi đó: Q1 Q2 Q=U U −1 ; Q4 Q1 Q3 U −1 ; (4) (*1) (5) NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 21 Áp dụng định lý 3.2(Mời xem báo cáo tổng kết), ta có Q1 Q4 khả nghịch nhóm và: # Q =U Q# M Q# U −1 với M ∈ C r∗(n−r) Sử dụng (5), (6) đại diện QQ# (3), ta đặt: X1 = Q1 Q# , X3 = 0, X4 = Q4 Q# Sử dụng đại diện QQ# (3), đẳng thức (*1), (*2) ta có: QQ# = U Q1 Q# Q4 Q# U −1 (6) (*2) (7) Sử dụng đẳng thức Q = Q(QQ# ) = (QQ# )Q đại diện Q VÀ QQ# từ (5) (7) ta có: # Q2 = Q2 Q4 Q# = Q1 Q1 Q2 Gọi x, y hạng Q1 Q4 Khi đó, Q1 Q4 nhóm ma trận khả nghịch cho tồn ma trận không suy biến W ∈ C r∗r B1 ∈ C x∗x V ∈ C (n−r)∗(n−r) B2 ∈ C y∗y rằng: Q1 = W (B1 ⊕ 0)W −1 Q4 = V (B2 ⊕ 0)V −1 (*3) r∗(n−r) Ta có: Với Q2 ∈ C Ta có: B3 B4 B5 B6 Q2 = W V −1 với B3 ∈ C x∗y (8) # Từ Q2 = Q1 Q# Q2 , đặt B5 = B6 = Sử dụng Q2 = Q2 Q4 Q4 , dẫn đến B4 = Do đó: Q2 = W B3 0 V −1 (9) W −1 với A1 ∈ C x∗x (10) Ta có: A=W A1 A2 A3 A4 Từ đẳng thức (*1) (*2) Q1 (*3) ta có: A1 = B A3 = (*4) Từ (10) A3 = ma trận không suy biến A thể A1 A4 không suy biến và: A−1 = W −1 A−1 −A−1 1 A2 A4 A−1 W −1 (11) 22 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ Ta xác định ma trận không suy biến Z = U (W ⊕ V ) Từ (**) (5), ta thu được: P =Z W −1 AW 0 Z −1 ; Q = Z W −1 Q1 W W −1 Q2 V V −1 Q4 V Z −1 (12) Từ (9)(10) (*3)(*4) Ta có:    P =Z   B1−1 A2 A4 0 0 0 0 0 0      −1  Z ;Q = Z      B1 0 0 B3 0 B2 0 0 0    −1 Z   (13) Như vậy:    aP + bQ = Z    (a + b)B1 aA2 bB3 aA4 0 bB2 0 0 0    −1 Z   Thật dễ dàng thấy từ định nghĩa nghịch đảo nhóm từ (13) Ta có:   0 B1−1 −B1−1 A2 A−1   −1  0  A #  Z −1  P =Z  0 0   0 0 (14) (15) Và    Q =Z   # B1−1 −B1−1 B3 B2−1 A−1 0 B2−1 0 0 0    −1 Z   Hơn nữa, Từ (**) Ta đặt: P P # = U (Ir ⊕ 0)U −1 = Z(W −1 ⊕ V −1 )(Ir ⊕ 0)(W ⊕ V )Z −1 = Z(Ir ⊕ 0)Z −1 Do đó: P P # = Z(Ix ⊕ Ir−x ⊕ ⊕ 0)Z −1 Từ (7) (*3) ta thu được: # −1 = Z(I ⊕ ⊕ I ⊕ 0)Z −1 QQ# = U (Q1 Q# x y ⊕ Q4 Q4 )U (16) (*5) (*6) 23 NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT Từ giả thiết a + b = Thật khơng khó ta nhìn thấy ma trận:    X =Z   (a + b)−1 B1−1 −(a + b)−1 B1−1 A2 A−1 −(a + b)−1 B1−1 B3 B2−1 a−1 A−1 −1 0 b B2−1 0 0 0    −1 Z (17)   Thỏa mãn: (aP + bQ)X = X(aP + bQ), (aP + bQ)X(aP + bQ) = aP + bQ X(aP + bQ)X = X Vì aP + bQ khả nghịch nhóm (aP + bQ)# = X Quan sát ta có X biểu diễn:    X= Z a+b      + Z a   0 0  0 0  B1−1 −B1−1 A2 B4−1 A−1 0 0 0 0 −B1−1 B3 B2−1 B1−1 −B1−1 A2 A−1 0 0 0 0 0 0 A−1 0 0 0 0 0 0      −1  Z + Z   b    0 0 0 0 B2−1 0   −1 Z   (18)   −1 Z   (19) Ta tính toán thấy Qπ P # P π Q# Từ (15) (*6) Ta có:  π Q P #   =Z   0 Ir−x 0 0 0 0 0 In−r−y    =Z   Từ (16) (*5) Ta thu    P π Q# = Z          0 A−1 0 0 0 0 0 Iy 0 In−r−y       0 0 0 0 B1−1 0 0 0    −1 Z   (20)    −1 Z   −B1−1 B3 B2−1 0 B2−1 0 (21) 0 0    −1 Z   (22) 24 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ    =Z   0 0 0 0 B2−1 0 0 0    −1 Z   (23) Ta có:    P QQ = Z    # # B1−1 −B1−1 A2 B4−1 A−1 0 0  B −1   0 =Z  0  0 0 0 0 0 0 0          Ix 0 0 0 0 Iy 0   −1 Z   0 0    −1 Z   (24) (25) Theo cách ta chứng minh P # QQ# = Q# P P # Vì vậy: 1 1 [P # + Q# − P # QQ# ] + ( − )Qπ P # + ( − )P π Q# X= a+b a a+b b a+b Mặt khác, ta chứng minh P − Q khả nghịch nhóm, ta có biểu thức (P − Q)# Từ (13) ta có:    P −Q=Z   A2 −B3 A4 0 −B2 0 0 0    −1 Z   (26) Thật khơng khó để thấy rằng:    Y =Z   B (B −1 )2 A2 (A−1 ) A−1 0 −B2−1 0 0 0    −1 Z   (27) Thỏa: (P − Q)Y = Y (P − Q), (P − Q)Y (P − Q) = (P − Q) Y (P − Q)Y = Y Vì P − Q khả nghịch nhóm (P − Q)# = Y Ta biểu diễn Y theo P Q 25 NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT Từ (15) (16) Ta có:  P #   −Q =Z   # −B1 A2 A−1 B1−1 B3 B2−1 A−1 0 −B2−1 0 0 0    −1 Z   (28) Suy ra:  (P #   −Q ) =Z   # 2 −B −1 B (B −1 )2 −B1 A2 (A−1 ) 2 (A−1 ) 0 (B2−1 )2 0 0 0    −1 Z   (29)   −1 Z = Y   (30) Từ ta có:  (P − Q)(P #   −Q ) =Z   # 2 −B (B −1 )2 A2 (A−1 ) −1 0 A4 0 B2−1 0 0 0  Điều phải chứng minh Định lý 2.4 Cho P, Q ∈ C n∗n hai ma trận khả nghịch nhóm với a, b hai số phức = Nếu QQ# P = P P # Q aP + bQ khả nghịch nhóm Nếu a + b = thì: 1 1 [P # + Q# − Q# QP # ] + ( − )P # Qπ + ( − )Q# P π (aP + bQ)# = a+b a a+b b a+b Hơn nữa: (P − Q)# = (P # − Q# )2 (P − Q) Chứng minh: Tương tự phần chứng minh định lý 3.3 (Bản báo cáo tổng kết) tổ hợp tuyến tính a P ∗ + b Q∗ sử dụng ma trận C có nghịch đảo nhóm C ∗ khả nghịch nhóm Trong trường hợp (C ∗ )# = (C # )∗ Hệ 2.5 Cho P, Q ∈ C n∗n hai ma trận khả nghịch nhóm với a, b hai số phức = Nếu P QQ# = QP P # QQ# P = P P # Q aP + bQ P Q khả nghịch nhóm 26 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ Nếu a + b = thì: 1 (aP + bQ)# = P # QQ# + Qπ P # + P π Q# a+b a b Hơn nữa: (P − Q)# = P # − Q# và: (P Q)# = (P # QQ# )2 = (QP )# Chứng minh: Từ P QQ# = QP P # chứng minh định lý 3.3, P Q viết tương tự (7) (phần chứng minh định lý 3.3 (Bản báo cáo tổng kết)), P P # tương tự (*5) QQ# tương tự (*6) Từ QQ# P = P P # Q Đặt A2 = B3 = Do đó: P = Z(B1 ⊕ A4 ⊕ ⊕ 0)Z −1 Q = Z(B1 ⊕ ⊕ B2 ⊕ 0)Z −1 Vì vậy: aP + bQ = Z((a + b)B1 ⊕ aA4 ⊕ bB2 ⊕ 0)Z −1 P Q = Z(B1 ⊕ ⊕ ⊕ 0)Z −1 Vì aP + bQ nhóm khả nghịch và: 1 (aP + bQ)# = Z((a + b)# B1 −1 ⊕ A4 −1 ⊕ B2 −1 ⊕ 0)Z −1 a b (P Q)# = Z(B1−2 ⊕ ⊕ ⊕ 0)Z −1 Ở đây, ta xác định λ# = λ−1 với λ ∈ C\{0} 0# = Từ việc chứng minh dễ dàng từ (21) (23) (25) Do P Q ma trận lũy đẳng P Q khả nghịch nhóm P # = P Q# = Q Từ việc sử dụng định lý 3.3 Ta thu hệ Hệ 2.6 Cho P, Q ∈ C n∗n hai ma trận lũy đẳng cho P Q = QP thì: (P + Q)# = P + Q − P Q (P − Q)# = P − Q Do P Q ma trận lũy đẳng P Q nghịch đảo nhóm P # = P Q# = Q Từ việc sử dụng định lý 3.3 Ta thu hệ Hệ 2.7 Cho P, Q ∈ C n∗n hai ma trận lũy đẳng cấp cho P Q2 = QP thì: 1 (P + Q)# = P + Q − P Q2 − P Q − Q2 P 2 và: (P − Q)# = (P − Q)3 = (P − Q) + (Q2 P − P Q) + (QP Q − P QP ) Từ định lý 3.4 ta thu hệ Hệ 2.8 Cho P, Q ∈ C n∗n hai ma trận lũy đẳng cấp cho P Q2 = QP thì: 1 (P + Q)# = P + Q − P Q2 − P Q2 − QP 2 2 NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT 27 và: (P − Q)# = (P − Q)3 = (P − Q) + (QP − P Q2 ) + (QP Q − P QP ) Khi P, Q ∈ C n∗n lũy đẳng, điều kiện QP = P nghiên cứu nhiều năm xuất nhiều trường phái ứng dụng tốn (ở ta chứng minh QP=P miền P không gian miền Q) Định lý 2.9 Cho P, Q ∈ C n∗n hai ma trận khả nghịch Nếu QP # P = P a, b ∈ C\{0} hai số thỏa a + b = aP + bQ khả nghịch nhóm và: (aP + bQ)# = b a2 + 2ab π # π a a P# + Q# + P Q P − P # (Q − P )Q# 2 (a + b) (a + b) b(a + b)2 (a + b)2 Chứng minh Gọi r hạng P Từ định lý 3.1 (Bản báo cáo tổng kết), tồn ma trận không suy biến U ∈ C n∗n A ∈ C r∗r P = U (A ⊕ 0)U −1 P # = U (A−1 ⊕ 0)U −1 P π = U (0 ⊕ In − r)U −1 Ta có: Q=U Q1 Q2 Q3 Q# U −1 (31) Từ QP P # = P ta đặt Q1 = A Q3 = Từ đây, ứng dụng định lý 2.2 (Bản báo cáo tổng kết) cho ma trận Q khả nghịch nhóm thu Q4 khả nghịch nhóm Q# = U A−1 X Q# U −1 ; X = A−2 Q2 Qπ4 − A−1 Q2 Q# (32) Khi đó: aP + bQ = U (a + b)A bQ2 bQ4 U −1 (33) Từ định lý 3.2, tồn (aP + bQ)# và: (aP + bQ)# = U (a + b)−1 A−1 Y −1 b Q# Với: Y = (a + b)−2 A−2 (bQ2 )(bQ4 )π − (a + b)−1 A−1 (bQ2 )(bQ4 )# = b(a + b)−2 A−2 Q2 Qπ4 − (a + b)−1 A−1 Q2 Q# Ta có: U −1 (34) 28 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ U −1 (a + b)−1 A−1 Y −1 b Q# U= 1 P # + P π Q# P π + U −1 a+b b Y 0 U (35) Nhưng Y 0 = = b (a + b)2 b = (a + b)2 b (a + b)2 A−2 Q2 Qπ4 0 − A−1 A−2 Q2 Qπ4 − A−1 Q2 Q# Q# 0 Q# A−1 Q2 Qπ4 0 a+b − b +( − ) (a + b) (a + b) b (a + b)2 A−1 0 0 A−1 Q2 Q# 0 (36) (37) (38) b b (Q# − P # − P π Q# P π ) + ( − )P # (Q − P )Q# }U −1 2 (a + b) (a + b) (a + b) Khi đó: ta có: = U{ U −1 (a + b)−1 A−1 Y b−1 Q# U (39) a b a #+ # + a + 2ab P π Q# P π − P Q P # (Q − P )Q# 2 (a + b) (a + b) b(a + b) (a + b)2 Điều phải chứng minh = NGHỊCH ĐẢO NHĨM QUA TỔ HỢP TUYẾN TÍNH HAI MA TRẬN Định lý 3.1 (Về tổ hợp tuyến tính ma trận nghịch đảo nhóm) Gọi P, Q ma trận khả nghịch nhóm với P Q = QP ,khi tồn ma trận khơng suy biến Z ∈ C n∗n A1 , B1 ∈ C x∗x A2 ∈ C (r−x)∗(r−x) B2 ∈ C y∗y rằng: P = Z(A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ 0)Z −1 ,Q = Z(B1 ⊕ ⊕ B2 ⊕ 0)Z −1 , A1 B1 = A2 B2 Chứng minh: Gọi r hạng P Vì P khả nghịch nhóm Từ định lý 3.1 ta có: tồn ma trận không suy biến U ∈ C n∗n A ∈ C r∗r P = U (A ⊕ 0)U −1 Ta có: Q=U Q1 Q2 Q3 Q# U −1 (40) 29 NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT Khi đó: QP = U PQ = U Q1 A Q3 A U −1 AQ1 AQ2 0 (41) U −1 (42) Với P Q = QP Từ ma trận A không suy biến Ta đặt Q1 A = AQ1 Q2 = Q3 = Khi đó: Q = U (Q1 ⊕ Q4 )U −1 Từ định lý 3.2 (Bản báo cáo tổng kết) Q1 Q4 nhóm khả nghịch Gọi x,y hạng Q1 Q4 Từ định lý 3.1 (Bản báo cáo tổng kết), tồn ma trận không suy biến B1 ∈ C x∗x ; W ∈ C r∗r B2 ∈ C y∗y ; V ∈ C (n−r)∗(n−r) rầng: Q1 = W (B1 ⊕ 0)W −1 Q4 = V (B2 ⊕ 0)V −1 Nếu ta xác định Z = U (W ⊕ V ) ta có: Q = Z(B1 ⊕ ⊕ B2 ⊕ 0)W −1 P = U (A ⊕ 0)U −1 = W 0 V W −1 AW 0 W −1 0 V −1 U −1 (43) = Z(W −1 AW ⊕ 0)Z −1 Ta viết: W −1 AW = X1 X2 X3 X4 ; X1 ∈ C x∗x (44) Từ AQ1 = Q1 A Ta có: X1 X2 X3 X4 B1 0 = B1 0 X1 X2 X3 X4 (45) Từ ta có ma trận khơng suy biến B1 với X1 B1 = B1 X1 , X2 = X3 = Ta có X1 X4 không suy biến điều thể từ W −1 AW = X1 ⊕ X4 ma trận A không suy biến Hệ 3.2 Gọi P Q ∈ C n∗n ma trận khả nghịch P Q = QP Khi P, Q, P # Q# giao hoán 30 NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - LÊ THỊ QUỲNH DƯ Hệ 3.3 Gọi P Q ∈ C n∗n ma trận khả nghịch P Q = QP a, b ∈ C\{0} Thì aP + bQ khả nghich nhóm aP QQ# + bQP P # khả nghịch nhóm Khi đó: 1 (aP + bQ)# = (aP QQ# + bQP P # ) + P # Qπ + Q# P π a b TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] X Liu, L Wu and J Benitez, On the group inverse of linear combinations of two group invertible matrices, Electronic Journal of Linear Algebra, 21:490-503, 2011 [2] Nguyễn Thị Thanh Hương, Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp, Khóa luận tốt nghiệp, Trường đại học sư phạm Huế (2011) [3] Nguyễn Tý, Đồ thi hai thành phần nghịch đảo Drazin ma trận, Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Sư Phạm Huế (2010) [4] Các tài liệu lấy từ Internet NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI LÊ THỊ QUỲNH DƯ SV lớp Toán 4B, Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐT: 0934.694.428, Email: nguyenngoc.uyennhi@gmail.com ... chứng minh = NGHỊCH ĐẢO NHĨM QUA TỔ HỢP TUYẾN TÍNH HAI MA TRẬN Định lý 3.1 (Về tổ hợp tuyến tính ma trận nghịch đảo nhóm) Gọi P, Q ma trận khả nghịch nhóm với P Q = QP ,khi tồn ma trận khơng suy... P khả nghịch nhóm Từ định lý 3.1 ta có: tồn ma trận không suy biến U ∈ C n∗n A ∈ C r∗r P = U (A ⊕ 0)U −1 Ta có: Q=U Q1 Q2 Q3 Q# U −1 (40) 29 NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT Khi... Q)Y (P − Q) = (P − Q) Y (P − Q)Y = Y Vì P − Q khả nghịch nhóm (P − Q)# = Y Ta biểu diễn Y theo P Q 25 NGHỊCH ĐẢO NHÓM CỦA MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN ĐẶC BIỆT Từ (15) (16) Ta có:  P #   −Q =Z   #