Trong bài viết này sẽ trình bày về một số xấp xỉ Trotter_Kato và xấp xi Yosida của nửa nhóm các toán tử liên tục mạnh trong không gian Banach và mối quan hệ của nửa nhóm liên tục mạnh với toán tử sinh của nó. Bài viết sử dụng tính chất bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất của toán tử sinh của nó và giải thức chứng minh tính hội tụ và hội tụ đều của dãy các nửa nhóm.
ISSN 2354-0575 XẤP XỈ TROTTER_KATO CỦA C0 NỬA NHÓM Trịnh Xuân Yến Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên Ngày tòa soạn nhận báo: 10/05/2018 Ngày phản biện đánh giá sửa chữa: 18/07/2018 Ngày báo duyệt đăng: 02/08/2018 Tóm tắt: Trong báo trình bày số xấp xỉ Trotter_Kato xấp xi Yosida nửa nhóm tốn tử liên tục mạnh `T _ t ijt $ khơng gian Banach mối quan hệ nửa nhóm liên tục mạnh với tốn tử sinh Bài viết sử dụng tính chất bị chặn nửa nhóm liên tục mạnh số tính chất tốn tử sinh giải thức chứng minh tính hội tụ hội tụ dãy nửa nhóm Từ khóa: Nửa nhóm liên tục mạnh, tốn tử sinh, không gian Banach Đặt vấn đề Xấp xỉ, nhiễu loạn phương pháp sử dụng để nghiên cứu tốn tử phức tạp nửa nhóm sinh Đối với tốn tử (A,D(A)) X thỏa mãn điều kiện HilleYosida định lý toán tử sinh, ta xác định xấp xỉ Yosida (bị chặn) An = nAR(n, A), sinh nửa nhóm (liên tục đều) (e tAn ) t $ , với -1 R _ n, A i = _ nI - A i , n ! N Sử dụng kiện An " A theo điểm D(A) n " chứng tỏ nửa nhóm hội tụ, tức e tAn " T (t) n " Trong viết đưa số công cụ nghiên cứu tính chất hội tụ xấp xỉ nửa nhóm cách có hệ thống xét mối quan hệ ba đối tượng: nửa nhóm, tốn tử sinh giải thức Các định lý xấp xỉ Trotter_Kato 2.1 Định nghĩa Một không gian D miền xác định D(A) tốn tử tuyến tính A: D (A) X " X gọi lõi A D trù mật D(A) với chuẩn đồ thị x A = x + Ax 2.2 Bổ đề Cho A B tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh `T _ t ijt $ ` S _ t ijt $ tương ứng Với x ! X m ! t _ A i + t _ B i ta có R _ m , B i8T _ t i - S _ t iB R _ m , A i x = t = # S_t - s i8R_ m , A i - R_ m , B iBT_ s i xds đây, ρ(A) = { m ! K | _ mI - A i -1 liên tục } Chứng minh: Với x ! X m ! t _ A i + t _ B i 56 , hàm giá trị s S _t - s i R _ m , B i T _ s i R _ m , A i x khả vi Xét toán tử đơn giản d _ i _ i _ i _ i ds [S t - s R m , B T s R m , A x] S _t - s i [- BR _ m , B i T _ s i + R _ m , B i T _ s i A] R _ m , A i x = S _t - s i [R _ m , A i - R _ m , B i] T _ s i x sử dụng tính chất R _ m , A i T _ s i x = T_ s iR_m , Aix Từ suy t # S _t - s i [R_ m , A i - R_ m , B i] T _ s i xds = = S _t - s i R _ m , B i T _ s i R _ m , A i x = R _ m , B i [T (t) - S _ t i] R _ m , A i x t 2.3 Định lý xấp xỉ Trotter_Kato thứ Cho `T _ t ijt $ `Tn _ t ijt $ _ n ! N i nửa nhóm liên tục mạnh X với toán tử sinh A An tương ứng, giả thiết chúng thỏa mãn đánh giá T _ t i , Tn _ t i # Me ~t 6t $ 0, n ! N số M $ 1, ~ ! R Cho D lõi A xét khẳng định sau: (a) D D _ A i 6n ! N An x " Ax 6x ! D (b) Với x ! D , tồn xn ! D _ An i cho xn " x An xn " Ax (c) R _ m , An i x " R _ m , A i x với x ! X với m ~ (d) Tn _ t i x " T _ t i x với x ! X , với t khoảng compact Khi suy (a) & (b) & (c) & (d) đúng, (b) khơng suy (a) Chứng minh: Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 Journal of Science and Technology ISSN 2354-0575 (a) & (b) hiển nhiên (b) & (c) cho m ~ ta có M R _ m , An i # 6n ! N m ~ Hàm dấu tích phân bên phía phải -1 bị chặn 2M3 e2~T _ m - ~ i x Tn _t - s i # ~T M e ~ (t - s) # M e , R _m , Ai - R _m , Ani # -1 2M _m - ~i , T _ s i # M e ~T , suy 2M3 e2~T x Tn _t - si (R ( m , A) - R ( m , An )) T (s) x # _m - ~i Cho x ! D xác định y = _ mI - A i x , y thuộc không gian trù mật _ mI - A i D Theo giả thiết từ (b) tồn (xn ) D _ An i cho xn " x An xn " Ax yn = _ mI - An i xn " y Xét đánh giá R _ m , An i y - R _ m , A i y + # R _ m , An i yn - R _ m , A i y R _ m , An i y - R _ m , An i yn + # R _m , An i y - yn + xn - x xn " x , yn " y suy R _ m , An i y " R _ m , A i y với y ! _ mI - A i D Do _ mI - A i D không gian trù mật nên với y ! X (c) & (b) y ! _ mI - A i D cho = _ x R m , A i y xn = R _ m , An i y , với m ~ cố định nhận xét xn " x (c) An xn = An R _ m , An i y = mR _ m , An i y - y hội tụ tới mR _ m , A i y - y suy An xn " Ax (d) & (c) từ biểu diễn tích phân giải thức R_m , A i = +3 # e - mt T (t) dt với m ~ Ta có R _ m , A i x - R _ m , An i x +3 # # e - mt T (t) x - Tn (t) x dt Do Tn (t) x " T (t) x định lý hội tụ bị chặn Lebesgue suy R _ m , An i x " R _ m , A i x (c) & (d) với x cố định khoảng 0#t#T Xét (Tn (t) - T (t)) R ( m , A) x # Tn (t) (R ( m , A) - R ( m , An )) x + R ( m , An ) (Tn (t) - T (t)) x + + R ( m , An ) - R ( m , A)) T (t) x = D1 + D2 + D3 Do Tn _ t i # M e ~t với # t # T , giả thiết (c) suy D1 " n " [0,T] Cũng vậy, t T _ t i x liên tục, tập $T _ t i x: # t # T compact X D3 " n " [0,T] Cuối sử dụng bổ đề 2.2 với B = An ta có R ( m , An ) (Tn (t) - T (t)) R ( m , A) x # t (*) # Tn _t - s i (R ( m , A) - R ( m , An )) T (s) x ds T # # Tn _t - s i (R ( m , A) - R ( m , An )) T (s) x ds Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 tiến tới n " định lý hội tụ bi chặn Lebesgue vế bên phải (*) tiến tới lim R _ m , An i`Tn _ t i - T _ t ij R _ m , A i x = (**) n"3 giới hạn (**) [0,T] Do với x ! D _ A i viết x = R _ m , A i z với z ! X Ta suy từ (**) với x ! D _ A i n " [0,T] Từ suy với x ! D _ A i ta có lim `Tn _ t i - T _ t ij x = n"3 giới hạn trên [0,T] Do Tn _ t i - T _ t i bị chặn [0,T] D(A) trù mật X ta suy giới hạn với x ! X [0,T] 2.4 Định lý xấp xỉ Trotter_Kato thứ hai Cho `T n _ t ijt $ n ! N nửa nhóm liên tục mạnh X với toán tử sinh ` An , D _ An ij tương ứng thõa mãn điều kiện ổn định Tn _ t i # M e ~t với số M $ 1, ~ ! R với t $ 0, n ! N Với m ~ xét khẳng định sau (a) Tồn toán tử xác định trù mật (A,D(A)) cho An x " Ax với x lõi D A cho miền giá trị rg _ m I - A i trù mật X (b) Các toán tử R _ m0 , An i n ! N hội tụ mạnh tới toán tử R ! L _ X i với miền giá trị trù mật rgR (c) Các nửa nhóm `T n _ t ijt $ n ! N hội tụ mạnh (và đều) với t ! 70, t0A tới nửa nhóm liên tục mạnh (T _ t i ) t $ với toán tử sinh B cho R = R_m , Bi Khi ta suy (a) & (b) + (c) Đặc biệt (a) B = -A Chứng minh: Khơng làm tính tổng quát sau thay nửa nóm cho nửa nhóm điều chỉnh lại, cần xét nửa nhóm bị chặn (a) & (b) Như chứng minh trên, cần chứng minh hội tụ dãy a R ` m , An j y k với n!N y = _ m I - A i x x ! D Thật vậy, R ` m , An j y = R ` m , An j9` m I - An j x - ` m I - An j x + ` m I - A j xC = x + R _ m , An i_ An x - Ax i " x = Ry (vì giả thiết = Journal of Science and Technology 57 ISSN 2354-0575 An x " Ax với x ! D ) n " Hơn rgR chứa D, trù mật X (c) & (b) định lý 2.3 (b) & (c) thu giả giải thức $ R _ m i : m xác định R _ m i x = lim R _ m , An i x x ! X Giả giải thức thỏa mãn, với m mR _ m i # M k k k R _ m i = lim R _ m , An i , m k R _ m i # M với n"3 k ! N n"3 Hơn nữa, có miền giá trị trù mật rgR _ m i = rgR Do cho tồn toán tử xác định trù mật (B,D(B)) cho R _ m i = R _ m , B i với m > Hơn toán tử toán tử thỏa mãn đánh giá Hille-Yosida k m k R _ m , B i # M với k ! N Do sinh nửa nhóm liên tục mạnh bị chặn (T _ t i ) t $ với toán tử sinh B cho R_ m i = R_ m0 , B i Bước cuối cần chứng minh (a) suy A = B Do R _ m , B i = R Ta có: R _ m , B i_ m I - A i x = x với x ! D Tuy nhiên, D lõi A R _ m , B i_ m I - A i x = x với x ! D _ A i Từ điều suy m không giá trị riêng xấp xỉ A Hơn rg _ m I - A i trù mật X giả thiết, m không phụ thuộc phổ dư A Do m ! t _ A i ta thu được: R _ m , A i = R _ m , B i tức A = B Xấp xỉ Yosida Cho (A,D(A)) toán tử X thỏa mãn điều kiện định lý toán tử sinh với n ! N , xác định xấp xỉ Yosida An = nAR _ n, A i ! L _ X i Nhận xét: Các toán tử An, n ! N giao hốn với Tính chất cho phép chứng minh đơn giản trực tiếp bước cốt yếu định lý xấp xỉ 2.3 3.1 Bổ đề: Cho (T _ t i ) t $ `T n _ t ijt $ n ! N nửa nhóm liên tục mạnh, với toán tử sinh tương ứng (A,D(A)) toán tử sinh bị chặn An Hơn giả sử (T _ t i ) t $ `T n _ t ijt $ thỏa mãn điều kiện ổn định: T (t) ; Tn (t) # M e ~t với t $ AnT(t) = T(t)An với n ! N t > Nếu An x " Ax với x lõi D A, Tn (t) x " T (t) x với x ! X với t ! 70, t0A Chứng minh: Với x ! D n ! N , ta có t d Tn _ t i x - T _ t i x =- # ds 8Tn _t - S i T _ s i xB ds t # Tn (t - s) (An - A) T (s) xds = t # Tn (t - s) T (s) (An x - Ax) ds = Tn _ t i x - T _ t i x # t M2 e ~t An x - Ax suy Tn (t) x " T (t) x 3.2 Công thức xấp xỉ đầu tiên: Cho (T _ t i ) t $ nửa nhóm co liên tục mạnh X với tốn tử sinh (A,D(A)) Khi tốn tử bị chặn T (1 / n) - I n ! N An = 1/n Xấp xỉ A D(A) sinh nửa nhóm co (e tAn ) t $ ta thu công thức xấp xỉ suy sau 3.3 Hệ quả: Với định nghĩa ta có: T (t) x = lim e -nt e ntT (1 / n) x n"3 với x ! X với t [0,t0] Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐHQG HÀ NỘI, 2001 [2] Hồng Tụy Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐHQG HÀ NỘI, 2002 [3] Jerome A Goldstein Semigroups of Linear Operators anh Application, Oxford University Press Clarendon Press, 1985 [4] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel One-Parameter Semigroups of Linear Evolution Equation, Springer, 2000 [5] A Pazy Semigroups of Linear Operators anh Application to Partial Differential Equations, Springer, New York, 1983 [6] Tosio Kato Perturbation Theory for Linear Operators, Springer-Verlag, 1976 58 Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 Journal of Science and Technology ISSN 2354-0575 APPROXIMATION TROTTER_KATO OF C0 SEMIGROUP Abstract: In this paper we will state about some Trotter-Kato approximation and Yosida approximation of strongly continuous operator semigroups and its generators The paper used boundedness of strongly continuous semigroups and the property of generator and resolvent prove that convergence and uniform convergence of semigroups Keywords: Strongly continuous semigroups, generators, Banach space Khoa học & Công nghệ - Số 19/Tháng - 2018 Journal of Science and Technology 59 ... 3.2 Công thức xấp xỉ đầu tiên: Cho (T _ t i ) t $ nửa nhóm co liên tục mạnh X với tốn tử sinh (A,D(A)) Khi tốn tử bị chặn T (1 / n) - I n ! N An = 1/n Xấp xỉ A D(A) sinh nửa nhóm co (e tAn ) t... + (c) Đặc biệt (a) B = -A Chứng minh: Khơng làm tính tổng qt sau thay nửa nóm cho nửa nhóm điều chỉnh lại, cần xét nửa nhóm bị chặn (a) & (b) Như chứng minh trên, cần chứng minh hội tụ dãy a... chặn [0,T] D(A) trù mật X ta suy giới hạn với x ! X [0,T] 2.4 Định lý xấp xỉ Trotter_Kato thứ hai Cho `T n _ t ijt $ n ! N nửa nhóm liên tục mạnh X với tốn tử sinh ` An , D _ An ij tương ứng thõa