VẤN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

VẤN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 57 Vấn đề Bất Phương Trình Chứa Giá Trị Tuyệt Đối A TÓM TẮT LÝ THUYẾT : I Vài nét chung : Bằng cách loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối, bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối biến đổi tương đương với hay nhiều bất phương trình tương đương với hay nhiều hệ bất phương trình không chứa giá trị tuyệt đối Chú ý : ⎧f (x) ≥ 0(1) ⎩g(x) ≥ 0(2) Để giải hệ có dạng ⎨ Ta tìm tập nghiệm S1 S2 (1), (2) Tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 ⎧f (x) ≥ ⎧h(x) ≥ ∨ (II) ⎨ ⎩g(x) ≥ ⎩k(x) ≥ Để giải hai hệ có dạng : (I) ⎨ Ta tìm nghiệm S (I) S' (II) Tập nghiệm hai hệ là: S ∪ S' II Các dạng thường gặp ⏐A⏐ ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B Chứng minh : Ta có ⏐A⏐ ≤ B (1) • B < : (1) không xảy • B ≥ : (1) ⇔ A2 ≤ B2 58 ⎡⎧ A − B ≤ ⎢⎨ ⎩A + B ≥ ⇔ ⇔ (A + B)(A – B) ≤ ⇔ ⎢ ⎢⎧ A − B ≥ ⎢⎨ ⎣⎢⎩ A + B ≤ ⎡− B ≤ A ≤ B ⇔ -B ≤ A ≤ B ⎣Khong xay ⎡ A ≤ −B ⏐A⏐ ≥ B ⇔ ⎢ ⎣A ≥ B ⇔ ⎢ ⎡⎧ A ≥ − B ⎢⎨ ⎢⎩ A ≥ B ⎢⎧ A ≤ − B ⎢⎨ ⎣⎢⎩ A ≥ B (Ban đọc tự chứng minh tính chất trên) ⏐A⏐ ≥ ⏐B⏐ ⇔ ⏐A⏐2 ≥ ⏐B⏐2 ⇔ A2 ≥ B2 ⇔ (A + B)(A – B) ≥ (Sau thường dùng xét dấu vế trái ) Với số thực a,b a + b ≤ a + b Daàu “=” xảy a , b không âm Như , ab < a + b < a + b Dùng phương pháp chia khoảng Dùng đồ thị để giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối B CÁC VÍ DỤ : Ví dụ a) x − 2x 〈 x (1) ⎡ x − 2x 〈 x (1) ⇔ ⎢ ⎢⎣ − x + 2x 〈 x ⎡ x − 3x 〈 ⇔⎢ ⎢⎣ x − x〉 ⎡0 〈 x 〈3 ⇔⎢ ⎣ x 〈 ∨ x〉1 Giải ,nếu x ≤ ∨ x ≥ ,neáu 0〈 x 〈 x ≤ o∨x ≥ o〈 x 〈 neáu x ≤ 0∨ x ≥ 0〈 x 〈 ⎡2 ≤ x < ⇔⎢ ⇔1< x < ⎣1 < x < Kết luận : Tập nghiệm Bất Phương trình la:ø S = (1,3) Nhớ : A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A vaø A ∪ B = B 59 x+2 − x > (1) − x2 Điều kiện : – x2 > ⇔ x < ⇔ − < x < (*) Với điều kiện (*) (1) ⇔ x + − x > b) ⇔ (x + 2)2 > x2 ⇔ (x + – x)(x + + x) > ⇔ 2(2x + 2) > ⇔ x > − Kết luận : − < x < Ví dụ (1) • Nếu BPT có dạng f ( x ) < g(x) ⎡ ⎧f (x) < g(x) ⎢⎨ ⎩x ≥ (1) ⇔ ⎢⎢ ⎧f (− x) < g(x) ⎢⎨ ⎣⎢ ⎩ x < BPT : x − x < ⎡ x − 2x < Giaûi (1) ⎡ x − 2x − < 0, neáu x ≥ ⇔⎢ ⎢⎣ x − 2.(− x) < với x (5 − − 4a ) v (5 − − 4a ) : bpt có tập nghieäm ≤ x ≤ 4 < a ≤ : bpt có tập nghiệm 1 ≤ x < (5 − − 4a hay (5 − − 4a ) < x ≤ 2 ⎪⎧f(x) = x − 5x + − a < • x > : (1) ⇔ ⎨ ⎪⎩ x > 61 ⎧1 ⎪ (5 − + 4a < x < (5 + + 4a ) ⇔ < x < (5 + + 4a ) ⇔ ⎨2 2 ⎪⎩ x > Tóm lại : a ≤ : BPT vô nghiệm 0 ⇔ ⎨ ⎪⎩ x + x − 12 − x − < ⎪⎩ x + 3x − 17 < ⎧ − − 53 − + 33 ∨x> ⎪x < − + 53 − + 77 ⎪ 2 ⏐x - 6⏐ ⇔ (x2 – 5x + 9)2 > (x – 6)2 ⇔ (x2 – 6x + 15)(x2 – 4x + 3) > ⇔x3 c) ⏐x - 1⏐ + ⏐2 - x⏐ > + x x x-1 + | + x-2 + | + - ⎧x < ⎧x ≤ ⇔ x − x ⎧1 < x < ⎧1 < x < • TH2 : ⎨ ⇔⎨ ⇔x∈∅ ⎩x > ⎩x − + − x > − x ⎧x ≥ • TH3 : ⎨ ⇔ x > ⎩x − − + x > − x Hợp trường hợp , bpt (1) có nghiệm x < ∨ x > • TH1 : ⎨ Giải bất phương trình : a) 2⏐x + 3⏐ > x + ⎡ x < −4 ⎡2( x + 3) > x + ⎡2 x + < x + ⇔⎢ ⇔⎢ ⎣x > ⎣2 x + < − x − ⎣2( x + 3) < − x − Vậy nghiệm bất phương trình x < -4 ∨ x > ⇔ ⎢ 63 b) x +1 + x − >1 • x + ≥ ⇔ x ≥ (1) • x + < ⇔ x < -1 (3) x x +1+ x − − x x −1 >0⇔ > ⇔ x < ∨ x > (2) x x (1) vaø (2) ⇔ -1 ≤ x < ∨ x > bpt ⇔ bpt ⇔ − x −1+ x − − x − x−3 >0⇔ > ⇔ x < −3 ∨ x > (4) x x (2) vaø (4) ⇔ -3 < x < -1 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: –3 < x < ∨ x > c) ⏐x2 – 3x + 2⏐ > ⏐x2 + 3x + 2⏐ ⇔ (x2 – 3x + 2)2 – (x2 + 3x + 2)2 > ⇔ -6x(2x2 + 4) > Vì 2x2 + > , ∀x ∈ R Neân –6x > ⇔ x < Vậy tập nghiệm bất phương trình là: x < Giải bất phương trình sau : a) 2x2 + x + Đặt x + + -1>0 x x 1 = t (t ≥ 2) ⇒ t2 = x2 + + ⇒ x + = t − x x x bpt ⇔ 2(t2 – 2) + t – > , t ≥ ⇔ 2t2 + t – > ⇔t< − − 41 − + 41 ∨t > ] 4 Giao với điều kiện t ≥ ta t ≥ ⇔ x + ≥ ⇔ ∀x ≠ x Vậy bất phương trình có vô số nghiệm loại trừ x = b) ⏐x3 + x2 - 1⏐ ≤ ⏐ x3 + 2x - 4⏐ ⇔ (x3 + x2 – 1)2 ≥ (x3 + 2x – 4)2 ⇔ (2x3 + x2 + 2x – 5)(x2 – 2x + 3) ≤ Nhận xét : x2 – 2x + > ,∀x 64 ⇒ bpt : 2x3 + x2 + 2x – ≤ ⇔ (x – 1)(2x2 + 3x + 5) ≤ (*) Nhận xét : 2x2 + 3x + > ,∀x (*) ⇔ x – ≤ ⇔ x ≤ Ví dụ (*) Giải bất phương trình : x2 ≤ − x2 Giải Điều kiện : x ≠ ⎡ ⎢x ≤ − ⎡x − x + ≤ x (*) ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢ ⎢⎣− x − x + ≥ x − ≥ − ⎢ x2 ⎣ Đặt t = x2 ; t > với ∀x ≠ ⎡ t ∈ ∅ (vì t − t + > , ∀t) ⎡t − t + ≤ ⎢ ⇔ < t ≤ (*) ⇔ ⎢ ⇔ ⎢⎧- ≤ t ≤ ⎢⎣− t − t + ≥ ⎨ ⎢ t>0 ⎣⎩ ⎧⎪x > , ∀x ≠ ⎧∀x ∈ R \ {0} (*) ⇔ ≤ x2 ≤ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎪⎩x ≤ ⎩− ≤ x ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ vaø x ≠ Ví dụ Giải bất phương trình sau : |x3 + x2 – 1| ≤ |x3 + 2x – 4| Giaûi 2 ⇔ (x + x – 1) ≤ (x + 2x – 4) ⇔ (x3 + x2 –1 – x3 – 2x + 4)(x3 + x2 – + x3 + 2x – 4) ≤ ∀x ⇔ (x2 – 2x + 3)(2x3 + x2 + 2x – 5) ≤ ⎡⎧⎪x − 2x + ≥ ⎡⎧⎪x ∈ R ⎢⎨ ⎢⎨ 2 ⎢⎪⎩2x + x + x − ≤ ⎢⎪⎩( x − 1)(2x + 3x + 5) ≤ ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢⎧⎪x − 2x − ≤ ⎢⎧⎪x ∈ ∅ ⎢⎨ ⎢⎨⎪ ⎢⎣⎪⎩2x + x + x − ≥ ⎣⎩( x − 1)(2x + 3x + 5) ≥ ⇔ (x – 1)(2x3 + 3x + 5) ≤ 65 ⇔ x – ≤ ⇔ x ≤ (Vì 2x2 + 3x + ≥ 0, ∀x) Ví dụ Giải bất phương trình sau : 2+ x − 4x + x2 + ≤ x x2 Giaûi ⎧ x2 − ⎪t = x − 4x + Đặt ⎨ ⇒ t2 = x x2 ⎪ ⎩t ≥ ⎧⎪2 + t ≤ t ⎧⎪t − t − ≥ ⎧t ≤ −1 ∨ t ≥ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔t≥2 ⎪⎩t ≥ ⎪⎩t ≥ ⎩t ≥ ⎡ x2 − ⎡x2 ≤ − ⎢ ⎢ x2 − x ⇔ ⎢ ⇒ ≥2⇔ ⎢ ⎢x2 x ⎢x − 2 ≥ ⎢ ⎢⎣ x ⎣ ⎡ x ≤ −1 − ∨ < x ≤ −1 + ⇔ ⎢ ⎣⎢1 − ≤ x < ∨ x ≥ + + 2x − ≤0 x − 2x − ≥0 x Keát quaû : x ≤ -1 - ∨ - ≤ x < ∨ < x ≤ -1 + ∨ x ≥ + Ví dụ Giải biện luận : x − mx + m + < x − mx(*) Giaûi Dựa vào tính chất : A < B ⇔ −B < A < B ⎧⎪ x − mx + m + < x − mx (1) (*) ⇔ ⎨ ⎪⎩ x − mx + m + > − x + mx (2) Goïi S1 S2 tập nghiệm (1)và (2) Ta coù : (1) ⇔ 0x > m + * m ≥ −1: (1) vô nghiệm ⇒ S1 = ∅ * m < −1: (1) ∀x ∈ R ⇒ S1 = R 66 Nghiệm bất phương trình (*)là S = S1 ∩ S2 Do : * m ≥ −1: S = ∅ * m < −1: S = S2 Giải (2) với m < - Ta coù : (2) ⇔ 2x − 2mx + m + > maø ∆ ' = m − 2(m + 1) > 0(do m < - 1) Do đó: S2 = (−∞, x1 ) ∪ (x ' + ∞) với x1,2 = m ± m − 2m − 2 Kết luận : Nghiệm bất phương trình (*) : S = (−∞, x1 ) ∪ (x1, ∞ ) Ví dụ 10 Xác định m cho nghiệm bất phương trình : mx2 - m + x + thỏa mãn bất phương trình 1 − m ≥ (1) < (2) sin mx Giải Xét điều kiện (2) : sinmx ≠ ⇔ mx ≠ kπ (k ∈ Z) ⎡sin mx < ⇔ (1) ⇔ ⎢ ⎢sin mx > ⎣ ⎡π + 2k π < mx < 2π + 2k π ⎢π (3) ⎢ + 2k π < mx < 5π + 2k π ⎢⎣ 6 Do (2) ta có điều kiện m ≠ Nếu m > nghiệm (1) với x (trong trường hợp ∆ ≤ ) khoảng nghiệm [-∞ , x1] [x2 ,∞] (trong trường hợp ∆ > 0) nên điều kiện : với nghiệm (1) nghiệm (2) không thỏa mãn Vậy toán cần xét trường hợp m < Do m < , nhân vế (1) với m Đặt t = mx , ta có : ⎛1 ⎞ − m ⎟ ≤ (3) ⎝2 ⎠ T2 - (m + 1)t + 3m ⎜ 67 ⎛1 ⎞ − m ⎟ = (2m – 1)2 ⎠ ⎝ ∆ = (m+1)2 –12m ⎜ m−2 3m ≤t≤ − 2 a) Neáu m < -1 : (m+1)=-(m+1) (2) có nghiệm b) Nếu m ≥ -1 (3) có nghiệm : 3m 2−m ≤t≤ 2 Ta thấy nghiệm (1) khoảng (4) (5) tùy theo m , khoảng có đầu mút trái dấu Còn nghiệm (2) khoảng cho (3) , al2 khoảng có đầu mút dấu (dương hay âm tuỳ theo việc chọn k1 k2) Vậy : nghiệm (1) tất nghiệm (2) Hay không tồn m thỏa mãn toán cho Ví dụ 11 Một tí suy nghó từ phương trình chuyển qua bất phương trình ( ngày 2-4-2001 lớp học 12 PTTH Chuyên Lê hồng Phong ) Cho phương trình : x2 – x + = 3|x – 1| + m Định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt Giải Cách x2 – x + = 3|x – 1| + m (1) ⎡ x − x + = 3(1 − x) + m, x ≥ ⇔ ⎢ ⎣ x − x + = 3(1 − x) + m, x (luô n đú n g) ⎪m > ⎪m > ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨2 ⇔ ⎨ ⎪g(1)>0 ⎪1 − m > ⎪m < ⎪∆g>0 ⎪⎩m + > ⎪⎩m > −3 ⎪ ⎪ S2 < ⎪⎩ ⇔ 0 x + ÑS: x < hay x > f) x +1 + x − x > ÑS: -3 < x < hay x > g) x − 3x + > x + 3x + ÑS: x < h) − x + 3x − 6x < 2x − ÑS: x ∈ ∅ g) |3x3 + 5x – 8| < x2 – h) |2x + 7| ≤ x2 i) |x2 + 4x – 12| < x + j) Bài Giải bpt sau : a) x2 − x +x+2 b) x ≤ − c) ≤1 ÑS: -6 ≤ x ≤ −1 + 17 -1- 17 ∨x≥ 4 x2 x − 3x + x + 3x + ≥1 ≥1 d) 4x2 + 2|x + 3| - 10 ≤ 70 x − 5x + 4x −3| x | ≤1 x +1 h) − i) |x2 – 3x – 3| - |x + 3| ≥ k) |2x2 – 5x| > |x2 – 4| Baøi Giải bất phương trình : a) |x – 3| + |5 – x| < 3x c) |x2 – 5x + 4| > x – e) |3x2 – 2x – 1| < |x2 – x| Đáp số : a) x > c) x < + hoaëc x > + ≥ x2 x j) |2x + 3| > | 11x – 4| b) |x2 – x – 6| < x d) |x - |x – 2|| < b) < x Baøi Giải biện luận theo m bất phương trình : |x2 – 2x + m| ≤ |x2 – 3x – m| Bài Định m để bpt sau có tập nghiệm ∈ R a) x − 2mx + x − m + > ÑS:- < m < b) Định a để : sin x + cos6 x ≥ a ( sin 2x ) , ∀x Hướng dẫn : t = sin 2x , ≤ t ≤ ÑS : a ≤ c) Định m để bất phương trình x − x − ≥ m thỏa với x Đáp số : m ≤ −3 d) 4x + mx + < 4x + 2x + Bài Định m để bpt sau có nghieäm a) 2x − x + + m2 − m ≤ (1) Hướng dẫn : đặt t = x + ⇔ x = t − (1) ⇔ 2(t − 1)2 − t + m − m ≤ 71 ⎡ ⎧⎪ t ≥ ⎢⎨ 2 ⎢⎪⎩f (t) = 2t − 8t + m − m + ≤ (a) ⇔⎢ ⎢⎪⎧ t < ⎢⎨ 2 ⎣⎢ ⎩⎪g(t) = 2t + m − m + ≤ (b) Xử dụng phương pháp gián tiếp , tìm m để (1) vô nghiệm ⎧(a) vô nghiệm ⎧f (t) > 0, ∀t ≥ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩(b) vô nghiệm ⎩g(t) > 0, ∀t < b) x + x − m + m + 2m ≤ ĐS : m ∈ [ -1,0 ] Bài Giải biện luận bất phương trình : a) x − 2x + m ≥ x b) x − 2x − < c) x−m +x x+2 x d) x − x + m ≤ x − 3x − m Bài 11 Định m để bất phương trình có nghiệm b) x − 3x + m < − x a) x − x + m < x − x c) x − x − m + x < Baøi 12 72 d) x − 2mx + x − m + > Định m để bất phương trình thỏa ∀x ∈ R a) x − 3x + + mx > b) x + 2x + x − m ≥ m c) x + 2mx − x + m + > Bài 13 Cho bất phương trình : x + x − m < 3(*) Định m để : a) Bất phương trình (*) có nghiệm b) Bất phương trình (*) có nghiệm âm c) Bất phương trình thỏa ∀x ∈ ( −1; ) Bài tập làm thêm Bài Giải phương trình : a) 0,3 x -1≤ 6− x c) ( x - 5)( x − ) ≤ e) ( x - 17)( x + ) ≥ g) x2 – 8x- +18 ≤ x−4 b) ( x - 3)( x + ) < d) x -4,5≥ f) ( x - 8)( x − ) > h) x2 – 4x - x − +1≤0 j) x2 + 6x - x + -12≤0 k) x2 + 10x - l) m) x+4 ≤1 x+2 40 − x x −3 ≥1 x −5 +4>0 x+5 Bài Giải phương trình : a) − x < b) 3x − ≥10 e) x –7x +12 < x − f) x2 –5x +9 < x − c) x + >x+4 g) x − x < d)3 x − ≤ x+3 h) x − x − >4 73 j) x + 3x ≥ 2- x2 Bài Giải phương trình : k) x − x + < 5x-x2 a) x − ≤ b) − x ≥ e) x2 – x- 2< 5x − f)2x2 –9x+9 ≥ x − c) x − < 2x-10 g) x − x − < j) x − 3x + > 3x-x2 -2 Bài Giải phương trình : x+3 +x >1 x+2 2x − c) > −1 x −3 a) e) g) x − x + 10 x − 6x + d) x − ≥ x - h) x − x + 15 ≥ 20 k) x − < 3x x − 3x − + x − − x e) x − 4x + x2 + x − ≥1 Baøi Giải hệ bất phương trình : ⎧⎪ x − x < a) ⎨ ⎪⎩ x + < Bài 10 Giải bất phương trình : a) ≥ x −1 x +1 − d) x ≥ 2x x −3 f) − x < − x + x − ⎧⎪ x + 5x < b) ⎨ ⎪⎩ x + ≤ b) x − > − x 75 c) 3x + x −1 ! Bài 13 Giải biện luận bất phương trình : a) x − a − 2a > x − 3a b) x + 2a + x − a < 3x Bài 14 Giải bất phương trình : ⎧x ≥ x a) ⎨ ⎩2 x − > ⎧⎪ x + ≥ − 4x ⎪⎩ x < x − + x − c) ⎨ ⎧⎪ x − − x + ≥ e) ⎨ ⎪⎩ x − + + x ≥ ⎧⎪x − > x − g) ⎨ ⎪⎩ − 3x − x + ≤ 76 ⎧⎪ x ≤ − x ⎪⎩ x + > b) ⎨ ⎧⎪ x − − 3x + − x − > −6 ⎪⎩ x + − x − < d) ⎨ ⎧ x + − 3x + > ⎪ f) ⎨ x + ⎪ x −1 ≥ ⎩ ⎧x + x + − 10 < ⎪⎪ h) ⎨ x − x + ≥1 ⎪ ⎪⎩ x + x − ⎧ −3 ⎪ x − > 2x − j) ⎨ ⎪ x3 − x ≤ x ⎩ Bài 15 Tùy theo a , giải biện luận bất phương trình : b) x − ≥ ax a) + x ≤ ax c) x − a ≥ x d) x + a ≤ x e) ax ≥ + x f) x − ≤ ax j) x − a < 2ax - x2 - k) x + a > l) x − a > 2a m) a + g) x − ≥ a n) − x < a − x h) x + a ≥ x 3a + x−a 4a ≥0 x − 2a 77