Bai ging toan 1

Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i Bài s Gi i h n tính liên t c c a hàm s 1.1 Hàm s m t bi n s nh ngh a hàm s Cho t p h p D E t p c a R T ơng ng f : D E cho t ơng ng m i ph n t x D v i nh t m t ph n t y E c g i hàm s m t bi n s th c + T pD c g i mi n xác c a f + T p f(X) c g i mi n giá tr c a f c g i bi n s c l p ( hay i s ) + x D + f ( x ), x D c g i bi n s ph thu c ( hay hàm s ) th c a hàm s : Gf x, f ( x ) | x A + Cách nh n bi t th theo ph ơng pháp ki m tra ng th ng ng: M t ng th c a m t hàm c a x n u ch n u ng th ng cong m t ph ng xy song song v i Oy c t ơng cong ó t i nhi u nh t m t i m th hàm s 1.2 Gi i h n hàm s : Ví d 1: Xét hàm s y f ( x ) nh ng i m x g n x0 Không x2 x th hàm s Ta l p b ng giá tr c a hàm s t i Bài gi ng Toán Nh n th y x ti n g n Ths Lê Th Minh H i n x0 giá tr hàm s f ( x ) ti n g n Ta nói r!ng hàm s có gi i h n b!ng x x0 nh ngh a gi i h n hàm s nh ngh a 1: Ta nói hàm s f ( x ) có gi i h n L (h u h n) x lim f ( x ) x x0 L n u v i b t k" dãy xn mà xn nh ngh a 2: theo ngôn ng lim f ( x ) L x 0, x0 0: x x0 lim f ( xn ) n n x0 vi t L f (x) L x0 Chú ý + N u hàm f ( x ) không tho mãn nh ngh a, ta nói r!ng f ( x ) khơng có gi i h n x x0 , ho c lim f ( x ) không t n t i x x0 + Khi tìm gi i h n, ta ch quan tâm n giá tr “x d n t i x0 ” ch không ph i xét x x0 Do ó hàm s f ( x ) có th khơng xác nh t i x x0 nh ng ph i xác nh t i i m thu c lân c n c a i m ó x Ví d 2: Hàm s f ( x ) không xác nh t i x Ta l p b ng tính giá tr x2 c a f ( x ) x T# ó xem f ( x ) d n n giá tr Nh n th y x ti n g n n x0 giá tr hàm s 0,5 Ta nói r!ng hàm s có gi i h n b!ng 0,5 x x0 f ( x ) ti n g n n Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i Cách mô t ch y u cho ta dáng i$u c a f(x) x g n a, d oán giá tr c a gi i h n, có l i v tr c giác phù h p v i m c ích th c hành Tuy nhiên không ch t ch% x 1 S d ng nh ngh a, ch r!ng lim x 1x , ch n Ta có: x Th t v y, cho tr c x x2 1 x x 1 ( v i x lân c n c a 1) x x Ví d 3: Tìm gi i h n lim cos x Gi i: cos x t f (x) , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) 2n 1 , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) V y lim cos không t n t i +V i x x x 2n Gi i h n vô c c nh ngh a: lim f ( x ) L 0, N l n, cho x N f (x) L +V i x x x lim f ( x ) 0, N L Ví d 4: Ch ng minh r!ng + T# x + Ta có: x x lim l n, cho x f (x) L N x , ch n N Khi ó x N nh lí 1: Gi s c h!ng s lim f ( x ) L, f (x) Các tính ch t c a gi i h n x lim f ( x ) g( x) lim c.f ( x ) cL x x a a lim x a f (x) g( x ) L lim g ( x ) x lim f ( x ) M L n uM M a x a a g( x) lim f ( x ).g ( x ) x a M Khi ó L M L.M nh lý 2: ( v gi i h n k&p) Gi s hàm s f ( x ), g ( x ), h( x ) tho mãn b t ng th c f ( x ) g ( x ) lân c n c a i m a Khi ó n u lim f ( x ) lim h( x ) L lim g ( x ) L x a x a x a h( x ) Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i sin x x Ví d 5: Ch ng minh r!ng lim x 1 Mà lim x x x sin x x Ta có: M t s phương pháp kh 0 nên lim x d ng vơ + Phân tích a th c thành nhân t nh sin x x , hay ta có pcm , nh: , ,1 ho c nhân bi u th c liên h p kh d ng vô + S d ng gi i h n k&p + S d ng m t s gi i h n b n sau: sin x 1, x x lim a x 0, lim x lim Gi i: + D ng 1 xm + lim n x x x 1, x a x lim x ea , x x x x 1 xm x x Ví d 7: Tìm lim + D ng x ln( x 1) x lim xm xn lim x ln a , 1,… a Ví d 6: Tìm lim x x ax n 2x xm n 1 2x x lim x xm x x n x xm n m n 0 + lim x x x + lim x + lim x x 1 dang x 2x x + V y lim x 2x 2 x lim x 1 x x x 0 dang 0 2x 3 3 lim x x 1 lim x 2x x Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i x Ví d 8: Tìm lim Gi i: D ng + x x2 x x lim x x x x x + KQ: Ví d 9: Tìm lim x x + D ng + lim x2 + KQ: x x x x2 lim x x2 Ví d 10: Tìm 1 x2 2x , + D ng x2 x x2 + lim x x2 1 x 2x x lim x Ví d 11: Tìm gi i h n sau lim x cos x.cos x + lim x cos x x2 2 x2 ex lim ! cos x.cos x cos x + D ng lim x cos x cos x cos x = + KQ: Ví d 12: Tìm gi i h n sau lim cos x x x2 + D ng + Ta có: cos x 1 cos x 2sin2 x cos x x2 x x2 e2 Bài gi ng Toán 1 + lim cos x x Ths Lê Th Minh H i x2 + KQ: e Gi i h n m t phía a nh ngh a: Gi i h n c a f(x) x a, x a (ho c x a, x a ) n u t n t i g i gi i h n trái ( ho c gi i h n ph i ) Ký hi$u lim f ( x ) f (a ), lim f ( x ) f (a ) x Ký hi$u khác: lim f ( x ) x f (a a 0), x lim f ( x ) a a f (a x a 0) lim f ( x ) x b nh lý: T n t i lim f ( x ) x Ví d 13: Xét s t n t i c a lim x Ta có: lim x x x lim x x x Ví d 14: N u f ( x ) 1, lim x x lim f ( x ) L ch a x x x x a x a lim f ( x ) lim f ( x ) x x a L a lim x x x 4, x , Xác x, x V y lim x x x không t n t i nh s t n t i c a lim f ( x ) x →4 GI'I: Vì f ( x ) = x − v i x > , có: lim f ( x ) = lim+ x − = − = x → 4+ x→4 Vì f ( x ) = − x v i x < , có : lim f ( x ) = lim− ( − x ) = − 2.4 = x → 4− x →4 Gi i h n trái gi i h n ph i b!ng Vì v y, gi i h n t n t i lim f ( x ) = x→4 th c a f c ch Hình Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i HÌNH Vơ l n, vô bé nh ngh a: Hàm s f(x) c g i vô bé, vi t t t VCB x lim f ( x ) Hàm s f(x) c g i vô l n, vi t t t VCL x x x0 lim f ( x ) x x0 n u x0 n u x0 Chú ý: + x0 có th h u h n ho c vơ h n 1 x lim f ( x ) (1 x ) + lim f ( x ) x x0 x x0 f ( x ) so sánh t c d n n c a VCB f(x), g(x) x x0 xét + f (x) lim Ta có tr ng h p sau: x x0 g ( x ) f (x) ( N u lim ta nói r!ng f(x) b c cao g(x), kí hi$u x x0 g ( x ) f ( x ) o(g ( x )), x x0 f (x) ( N u lim C ta nói r!ng f(x) b c v i g(x) x x0 g ( x ) f (x) ( N u lim ta nói r!ng f(x) t ơng ơng v i g(x), kí hi$u f ( x ) g ( x ) x x0 g ( x ) M t s VCB b c x : sin x x, ln(1 x ) x, e x x ln(1 x ) ∼ → lim x x nh lý: N u f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) x Ví d 15: Tính Ta có: e x f (x) x0 g ( x ) x0 Khi ó : lim x e2x ln(1 sin3 x ) lim x ∼ 2x x → 0; e2x Do ó : lim x ln(1 sin3 x ) lim x 2x 3x ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x x → f *(x) x0 g * ( x ) lim x Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i 1.3 Tính liên t c c a hàm s nh ngh a nh ngh a 1: Hàm s f(x) liên t c t i i m x0 n u lim f ( x ) x f ( x0 ) x0 Hàm s y = f(x) liên t c mi n D n u liên t c t i m i i m thu c mi n D Chú ý: T# nh ngh a 1, ta th y y = f(x) liên t c t i i m x0 c n n i u ki$n: x0 thu c t p xác nh c a hàm s T n t i lim f ( x ) x x0 lim f ( x ) x f ( x0 ) x0 Nh n xét: + Các a th c, hàm phân th c, hàm h u t , hàm l ng giác, hàm m), hàm logarit hàm s liên t c mi n xác nh c a + Hàm s y = f(x) liên t c (a, b) th c a m t ng cong trơn kho ng (t c không b gãy, không b t o n) nh ngh a 2: Hàm s f (x) c g i liên t c ph i t i x0 n u lim f x x Hàm s f (x) c g i liên t c trái t i x0 n u lim f x x x0 x0 f x0 f x0 Hàm s y = f (x) liên t c t i x0 ch v#a liên t c trái, v#a liên t c ph i t i x0 x2 Ví d 16: Xét tính liên t c c a hàm s f x x x + Ta th y hàm s liên t c t i m i i m x x x 2 + Xét t i x = lim f x x lim x Nh ng lim f x x Ví d 17: Tìm a x2 2 x x lim x lim x x x 3, f (2) sin x x aeax x 0, x x hàm s liên t c R ph i liên t c t i lim f x lim x x hàm s sau liên t c R + Hàm s liên t c v i m i x x 0 x f Nên f không liên t c t i f (x) +T i x x sin x x , lim f x x lim ae ax x x2 a f (0) Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i hàm s liên t c t i x = f (0 ) Ví d 18: Hàm s f(x) khơng xác t ct ix=0 v i: f (0 ) a nh t i x = 0, xác f (x) Gi i: f (0) hàm s liên t c t i x = f (0) 2x a nh f(0) hàm s f(x) liên x lim f ( x ) x lim(1 x ) x x e2 i m gián o n c a hàm s nh ngh a: Hàm s f(x) c g i gián o n t i x = a n u t i x = a hàm s không liên t c N u t n t i f (a ), f (a ) f (a ) f (a ) x = a c g i i m gián o n lo i N u f (a ) f (a ) x = a c g i i m gián o n kh c i m gián o n khác (không ph i lo i 1) g i gián o n lo i Ví d 19: Tìm phân lo i i m gián o n c a hàm s sau: x a f ( x ) b f ( x ) x x e1 x Gi i: a Xét t i x = lim f x x lim f x x nên x = gián o n lo i b ( T i x = lim f x x lim f x nên x = gián o n lo i ( T i x = lim f x x x lim f x x nên x = gián o n lo i Ví d 20: Kh o sát s liên t c c a hàm s tính ch t i m gián o n x cos x f (x) x x ( S: x = - i m gián o n lo i 1) Bài t p v nhà: Trang 87 ( Bài – 19), trang 91 ( 18 – 62), 25 trang 251, Trang 278 ( Bài 33 - 43) Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i Bài s o hàm c a hàm s m t bi n 2.1 nh ngh a v o hàm nh ngh a o hàm Cho hàm s y f ( x ) , o hàm f '( x ) c a hàm s f ( x ) m t hàm m i có giá tr t i i mx c xác nh b*i gi i h n sau (khi gi i h n t n t i): f ( x "x ) f ( x ) f '( x ) lim "x "x + N u gi i h n t n t i v i x = a, hàm s y = f(x) c g i kh vi t i a + Hàm kh vi hàm s kh vi t i m i i m t p xác nh c a y = f(x) y Q f(x0 +∆x) - f(x 0) P ∆x x0 x0 + ∆x x + Chú ý : d c c a ti p n c a ng cong y = f(x) t i P + f’(x) + Có nhi u cách ký hi$u khác c a o hàm hàm s y f ( x ) : dy df ( x ) d f '( x ) , y’ , , , f ( x ) dx dx dx dy c g i su t bi n ,i c a y theo x + N u y f ( x ) dx + N u ta mu n vi t giá tr s c a o hàm t i m t i m c th x = 3, ta vi t : dy dx + "x x ho c x x0 nên f '( x ) dy dx lim "x , ho c f’(3) x f (x "x ) f ( x ) "x f ( x ) f ( x0 ) x0 x x0 lim x Quy t c tìm o hàm t i m t i m theo nh ngh a: + B c Tìm s gia f(x + ∆x) - f(x) ti n hành rút g n f ( x "x ) f ( x0 ) + B c Thi t l p t- s : "x + B c Tính gi i h n c a t- s ∆x→0 N u gi i h n ó t n t i ó o hàm c a hàm s t i i m c n tìm : Bài gi ng Tốn Ths Lê Th Minh H i (b) Chu i chu i an d u v i an = ln n n + Xét hàm s f ( x) = + : ln x x có o hàm f / ( x) = − ln x x2 o hàm âm v i x > e, v y f(x) gi m x > e, v y an : an+1 v i n + M t khác lim an = lim n→∞ n →∞ ln n =0 n + Theo tiêu chu/n Leibniz chu i ã cho h i t Ví d 22 Xét s h i t c a chu i sau ∞ sin n =1 +n π n Gi i: KL: Theo tiêu chu/n Leibnitz chu i ã cho h i t 3) Chu;i có d u b t k@ D ng: an ó an có d u b t k" ∞ Khi ó chu i an chu i d ơng n =1 ∞ + N u chu i an h i t chu i n =1 + ∞ N u chu i ∞ an h i t (h i t tuy$t i) n =1 an phân k" ta ch a có k t lu n i v i chu i n =1 + N u chu i ∞ an n =1 ∞ an phân k" n =1 ∞ n =1 an h i t ta nói chu i ∞ an bán h i n =1 t Ví d 23: Chu i ∞ sin n : chu i có d u b t k", chu i h i t tuy$t n =1 n i Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i Ví d 24: Xác nh tính ch t h i t tuy$t c a chu i sau: ∞ (−1) n +1 n =1 i, h i t có i u ki$n hay phân k" 2n n! Gi i: + an = 2n a 2n +1 n ! , có n +1 = n = → < nên chu i h i t tuy$t n! an ( n + 1)! n + i Bài t p v nhà: Các Tr 388; 409, 418, 423, 430, 434, 439 c m c: 13.3, 13.4, 14.8, 14.9, 14.10, 14.11,chu/n b cho Bài s 9: Chu;i hàm Bài gi ng Toán Ths Lê Th Minh H i Bài s CHU