Bai toan 1 ph ng phap

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Tại điểm đồ thị Tại điểm có hồnh độ đồ thị Tại điểm có tung độ đồ thị Tại giao điểm đồ thị với trục tung Tại giao điểm đồ thị với trục hoành *Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến(PTTT) : Của : : Viết phải tìm ; hệ số góc tiếp tuyến Giải câu sau Câu 1: - Tính Rồi tính – Viết PTTT: Câu 2: - Tính Rồi tính – Tính tung độ ,(bằng cách) thay vào biểu thức hàm số để tính – Viết PTTT: Câu 3: - Tính hồnh độ cách giải pt - Tính Rồi tính - Sau tìm viết PTTT điểm tìm Câu 4: – Tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục : Cho tính ; – Tính Rồi tính ; – Viết PTTT:: Câu 5: – Tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục : Cho tính ; – Tính Rồi tính giá trị vừa tìm được; – Viết PTTT:: Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số : a) biết tiếp tuyến song song với đuờng thẳng b) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Phương pháp:  Tính  Giải phương trình  Tính  Thay vào phương trình Chú ý:   Tiếp tuyến song song với đường thẳng Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có hệ số góc có hệ số góc Bài tập vận dụng: Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng Bài 2: Cho hàm số Tìm để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ vng góc với đường thẳng Bài 3: Cho Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến vng góc với Bài 4: Cho a) Viết phương trình tiếp tuyến cới biết tiếp tuyến song song với $y=6x-4$ b) Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến vng góc với c) Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến tạo với góc Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước đến đồ thị Phương pháp : Sử dụng điều kiện tiếp xúc Hai đường thẳng tiếp xúc tai điểm hồnh độ ngiệm hệ Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến qua Hướng dẫn giải:  Gọi phương trình tiếp tuyến qua đến có hệ số góc  Phương trình hồnh độ giao điểm chung  Giải hệ tìm Vậy có hai tiếp tuyến với  qua ? có dạng: : Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = f(x) + Tập xác định hàm số + Sự biến thiên: - Chiều biến thiên Tính đạo hàm cấp tìm nghiệm đạo hàm (nếu có) Kết luận tính đơn điệu hàm số - Cực trị hàm số - Giới hạn hàm số đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số + Lập bảng biến thiên + Vẽ đồ thị A KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN - Cần ghi nhớ cấu trúc lời giải ba dạng hàm số sau: Y=ax3+bx2+cx+d (a #0) Y=ax4+bx2+c(a#0) Y=( ax + b)/ (cx + d) (c#0; ad-bc #0) - Lưu ý vẽ đồ thị: không vẽ đồ thị mặt phẳng tọa độ, nét vẽ đồ thị phải trơn, mảnh, rõ, khơng có chỗ gấp khúc đột ngột, thể "sự uốn" đồ thị điểm uốn Đánh dấu tọa độ giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ, điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn có Sau tơi đề cập ví dụ dạng, dạng khác, bạn tự sưu tầm A.1 Bài toán cần lưu tâm 1: Đồ thị hàm số mang dấu giá trị tuyệt đối + Phương pháp: Bước 1: Xét dấu biểu thức bên dấu giá trị tuyệt đối Bước 2: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối, phân tích hàm số cho thành phần không chưa dấu giá trị tuyệt đối Bước 3: Vẽ đồ thị phần ghép lại (vẽ chung trục tọa độ) Bước 2: từ đồ thị y =f(x) ta suy đồ thị y= /f(x)/ sau: Giữ nguyên phần đồ thị y= f(x) nằm phía trục Ox Lây đối xứng qua Ox phần đồ thị y= f(x) nằm phía Ox Bỏ phần đồ thị y= f(x) ta đồ thị hàm số y=/f(x)/ A.2 Bài toán cần lưu tâm 2: Sự tương giao hai đồ thị f(x) g(x) Phương pháp: Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số cho f(x)=g(x) Khảo sát nghiệm số phương trình trên, số nghiệm số giao điểm hai đồ thị Các dạng khác bao gồm: - Tiếp tuyến với đường cong - Tiếp tuyến song song vng góc với đường thẳng cho trước - Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A(x;y) cho trước - Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị - Tìm điểm đặc biệt đồ thị hàm số - Các toán đối xứng - Các toán liên quan đếm cực trị hàm bậc 3… B.LƯỢNG GIÁC B.1 Kiến thức bản: - Bắt buộc phải sử dụng thành tạo đường tròn lượng giác, ghi nhớ để chuyển đổi giá trị lượng giác đặc biệt, học hiểu nhớ tất hàm số lượng giác góc liên quan đặc biệt - Ghi nhớ hệ thức sách giáo khoa B.2 Phương trình lượng giác: phương pháp Bước 1: Tìm điều kiện ẩn số để hai vế phương trình có nghĩa Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình biết cách giải phương trình đặt ẩn phụ Bước 3: Giải phương trình chọn nghiệm phù hợp Bước 4: kết luận Lưu ý : dạng phương trình có chứa tham số sử dụng phương pháp sau: - Chọn ẩn phụ tìm điều kiện cho ẩn phụ - Chuyển phương trình phương trình đại số - Lập luận để chuyển toán toán theo ẩn phụ - Sử dụng phương pháp giải tích đại số để tìm tham số theo u cầu bái tốn C GIẢI TÍCH TỔ HỢP Cần đọc kĩ sách giáo khoa làm tập sách giáo khoa, sách tập để có nhìn chun đề Sau tìm thêm tập sách chun đề, mạng để nâng cao tư duy.Phải nhơ kiến thức giai thừa,qui tắc cộng,qui tắc nhân,hoán vị,nhị thức Niu tơn Lưu ý: Các toán giải tích tổ hợp thường tập hành động lập số từ số cho, xếp số người hay đồ vật vào vị trí định, lập nhóm người hay đồ vật thỏa mãn số điều kiện cho - Nếu hành động gồm nhiều giai đoạn cần tìm số cách chọn cho giai đoạn áp dung qui tắc nhân - Nếu toán thay đổi kết ta thay đổi vị trí phần tử chắn liên quan đến hoán vị chỉnh hợp, - Đối với toán mà kết giữ nguyên ta thay đổi vị trí phần tử chắn tốn tổ hợp D TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG Trong phần này, bạn cần ý đến cơng cụ sau: - Phương pháp tính tích phân dựa vào định nghĩa tính chất - Phương pháp tính tích phân đổi biến số - Phương pháp vi phân - Phương pháp tích phân phần áp dụng biểu thức cần tính xuất loại hàm số khác thể loại, ví dụ hàm lượng giác, hàm đại số, hàm số mũ,… - Chú ý đến tính chẵn,lẻ hàm số tính tích phân - Cách cuối cần lưu ý việc đặt biến số t= a+b –x a,b cận E ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Ghi nhớ tính đơn điệu hàm số, điều kiện cần đủ tính đơn điệu, phương pháp xét chiều biến thiên hàm số Qua phải biết ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình Ghi nhớ định lý Fermat tìm điều cần đủ cực trị, biết làm toán giá trị lớn nhỏ hàm số Lưu ý : phương pháp tìm GTLN GTNN hàm số: - Sử dụng bất đẳng thức - Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình hệ phương trình - Sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên hàm số D suy kết I. Các bước cơ bản giải tốn Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: – Tìm tập xác định – Nêu tính chất đặc biệt của hàm số (nếu có) như: hàm số chẵn,  hàm số lẻ, hàm số tuần hồn – Xét sự biến thiên của hàm số: + Tìm giới hạn tại vơ cực và giới hạn vơ cực (nếu có) của hàm số + Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có) + Lập bảng biến thiên: Gồm:  tìm đạo hàm, xét dấu, …… – Vẽ đồ thị: + Vẽ hệ trục toạ độ Đề các vng góc + Xác định các điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn, giao điểm với Ox,  Oy + Vẽ các đường tiệm cận, trục đối xứng (nếu có) + Dựa vào bảng biến thiên và các điểm, đường đã xác định để vẽ  đồ thị —> Nhận xét về đồ thị II. Các dạng hàm số thường gặp: 1. Hàm số  (a≠0) *) Tập xác định: R *) Đồ thị hàm số (P) có đỉnh  , trục đối  xứng  *) Ngồi ra ta cịn gặp các hàm số khác đưa về dạng hàm số bậc 2 2. Hàm số  (a≠0) *) Tập xác định: R *)  – Nếu   thì hàm số (C) có 1 cực đại và 1 cực tiểu – Nếu   thì hàm số (C) khơng có cực trị *)  => Đồ thị hàm số có điển uốn I với   Đây là  tâm đối xứng của đồ thị *) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị 3. Hàm bậc 4 trùng phương có dạng:  (a≠0) *) Tập xác định: R – Hàm số chẵn nên (C) nhận Oy làm trục đối xứng *)  – Nếu a,b>0 thì hàm số có một cực trị tại x=0 và khơng có điểm  uốn – Nếu ab 0, giải phương trình ↔ Dạng 4: Đốn nghiệm chứng minh nghiệm Phương trình Logarit Dạng 3: Đặt ẩn phụ Đặt t = logax sau giải phương trình đại số theo t Dạng 4: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm B ĐỀ THI Bài 1: Đại học khối D năm 2011 Giải phương trình: Giải: Dạng I: Tính xác suất biến cố theo định nghĩa cổ điển Cách giải: Để tính xác suất P(A) biến cố A ta thực bước + Xác định khơng gian mẫu Ω, tính số phần tử n(Ω) Ω + Xác định tập mô tả biến cố A, tính số phần tử n(A) tập hợp A P(A)=n(A)n(Ω) Thí dụ Một tổ học sinh gồm em, có nữ chia thành nhóm Tính xác suất để nhóm có nữ Lời giải Gọi A biến cố : “ nhóm học sinh nhóm có nữ” + Để tìm n(Ω) ta thực + Tính P(A) theo cơng thức Chọn ngẫu nhiên em đưa vào nhóm thứ nhất, số khả C39 Chọn số em lại đưa vào nhóm thứ hai, số khả C36 Chọn em đưa vào nhóm thứ 3, số khả C33=1 Vậy n(Ω)=C39.C36.1=1680 Vì phân ngẫu nhiên nên biến số sơ cấp không gian biến cố sơ cấp có khả xuất Để tìm n(A) ta thực Phân nữ vào nhóm nên có 3! Cách khác Phân nam vào nhóm theo cách trên, ta có C26.C24.1 cách khác Suy n(A)=3!.C39.C36.1=540 + Do P(A)=n(A)n(Ω)=5401680=2784 DẠNG II Tính xác suất quy tắc cộng Cách giải Sử dụng kỹ thuật đếm công thức sau để tính xác suất biến cố đối, biến cố hợp, P(A¯¯¯¯)=1−P(A);P(A∪B)=P(A)+P(B), A∩B=∅ Thí dụ 2: Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để a) b) Lấy viên bi màu Lấy viên bi khác màu c) Lấy viên bi xanh Lời giải: a) gọi A biến cố “ Lấy viên bi xanh”, B biến cố “ lấy viên bi đỏ” H biến cố “ lấy viên bi màu” Ta có H=A∪B, A B xung khắc nên P(H)=P(A)+P(B) Ta có P(A)=C38C312=1455;P(B)=C34C312=155 Từ P(H)=1455+155=311 b) Biến cố “ lấy viên bi khác màu” biến cố H¯¯¯¯¯, Vậy P(H¯¯¯¯¯)=1−P(H)=1−311=811 c) Gọi C biến cố lấy viên bi xanh viên bi đỏ” , K biến cố “ lấy viên bi xanh” Ta có K=A∪C , A C xung khắc, nên P(K)=P(A)+P(C) Ta có P(C)=C28.C14C312=2855 Suy P(K)=1455+2855=4255 DẠNG III Tính xác suất quy tắc nhân Cách giải Để tính xác suất biến cố giao hai biến cố độc lập A B ta dùng công thức P(AB)=P(A)P(B) Thí dụ Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ thất chứa cầu trắng, cầu đỏ 15 cầu xanh Hộp thứ hai chứa 10 cầu trắng, cầu đỏ cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để hai cầu lấy có màu giống Lời giải : Gọi A biến cố "Quả cầu lấy từ hộp thứ màu trắng", B biến cố "Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu trắng" Ta có P(A)=325,P(B)=1025 Vậy xác suất để hai cầu lấy màu trắng P(AB)=P(A)P(B)=325.1025=30625( A,B độc lập) Tương tự, xác suất để hai cầu lấy màu xanh 1525.925=135625, xác suất để lấy hai cầu màu đỏ 625.725=42625 Theo quy tắc cộng, xác suất để lấy hai cầu màu 30625+135625+42625=207625 Dạng IV Lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Cách giải : Để lập bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X ta thực bước : + Xác định tập giá trị {x1,x2,⋯,xn} X + Tính xác suất pi=P(X=xi), {X=xi} biến cố "X nhận giá trị xi" + Trình bày bảng phân bố xác suất theo dạng sau Ví dụ Một lơ hàng gồm 10 sản phẩm có sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên lúc sản phẩn để kiểm tra Gọi X số sản phẩm xấu gặp phải kiểm tra Lập bảng phân bố xác suất X Lời giải : Dễ thấy X nhận giá trị thuộc tập {0,1,2,3} Ta có : P(X=0)=C47C410=35210 P(X=1)=C13.C37C410=105210 P(X=2)=C23.C27C410=63210 P(X=3)=C33.C17C410=7210 Vậy bảng phân bố xác suất X Dạng V Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc Cách giải : Để tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên rời rạc X ta dùng công thức : E(X)=∑i=1nxipi;V(X)=∑i=1n(xi−μ)2pi V(X)=∑i=1nx2ipi−μ2;σ(X)=V(X)−−−−−√, pi=P(X=xi),∀i=1,n¯¯¯¯¯¯¯¯;μ=E(X) Ví dụ Một hộp đựng 10 thẻ, có bốn thẻ ghi số 1, ba thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3và thẻ ghi số Chọn ngẫu nhiên hai thẻ cộng hai số hai thẻ với Gọi X số thu a) Lập bảng phân bố xác suất X b) Tính kì vọng, phương sai độ lệch chuẩn X Lời giải : a) Gọi Aij biến cố "Chọn thẻ ghi số i thẻ ghi số j." Dễ thấy X nhận giá trị thuộc tập {2,3,4,5,6,7} Ta có : P(X=2)=P(A11)=C24C210=645 P(X=3)=P(A12)=C14.C13C210=1245 P(X=4)=P(A13)+P(A22)=C14.C12C210+C23C210=1145 P(X=5)=P(A14)+P(A23)=C14.C11C210+C13.C12C210=1045 P(X=6)=P(A33)+P(A24)=C22C210+C13.C11C210=445 P(X=7)=P(A34)=C12.C11C210=245 Vậy bảng phân bố xác suất X b) Ta có : E(X)=2.645+3.1245+4.1145+5.1045+6.445+7.245=4 V(X)=22.645+32.1245+42.1145+52.1045+62.445+72.245−42≈1,78 σ(X)=V(X)−−−−−√=1,78−−−−√≈1,33 HỐN VỊ Số hoán vị n phần tử: Pn = n! Số tập hợp tập hợp n phân tử 2n B ĐỀ THI BÀI 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008 GIẢI: BÀI 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k thuộc {1, 2, , n} cho số tập gồm k phần tử A lớn GIẢI: Số tập k phần tử tập hợp A Ckn Vậy số tập hợp gồm k phần tử A lớn k = BÀI 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 (n số nguyên dương, Akn số chỉnh hợp chập k n phần tử Ckn số tổ hợp chập k n phần tử) GIẢI: BÀI 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn đẳng thức 2Pn + 6A2n - PnA2n = 12 (Pn số hoán vị n phần tử Akn số chỉnh hợp chập k n phần tử) GIẢI: VẤN ĐỀ 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC XUẤT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Bắt buộc phải nhớ) I PHÉP ĐẾM NGUYÊN TẮC ĐẾM Có biến cố A B A có m cách xảy B có n cách xảy biến cố A B xảy có m x n cách Biến cố A B xảy có m + n cách Chú ý: Nguyên tắc áp dụng cho nhiều biến cố CHÚ Ý: - Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có hốn vị chỉnh hợp - Nếu thay đổi vị trí mà biến cố khơng đổi ta có tổ hợp II XÁC XUẤT B ĐỀ THI BÀI 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 BÀI 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ? GIẢI: BÀI 3: Trong môn học thầy giáo có câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng 2.? GIẢI: BÀI 4: Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn.? GIẢI: VẤN ĐỀ 3: NHỊ THỨC NEWTON A PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Bắt buộc phải nhớ) Chú ý: Dựa vào bảng Pascal ta viết khai triển Newton B ĐỀ THI BÀI 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 BÀI 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 BÀI 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 BÀI 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 BÀI 5: Hình học không gian: Một số phương pháp xác định chiều cao khối chóp Hình học khơng gian tốn khơng khó đề thi Đại học mơn Tốn ln làm cho nhiều em bối rối Một toán hay hỏi phần tính thể tích khối chóp Khi gặp tính thể tích, phương pháp hay sử dụng tính thể tích trực tiếp cách xác định đường cao Sau a xin giới thiệu số phương pháp xác định đường cao khối chóp: Loại 1: Khối chóp có cạnh vng góc với đáy cạnh chiều cao Loại 2: Khối chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao đường kẻ vng góc từ đỉnh xuống giao tuyến Loại 3: Khối chóp có mặt kề vng góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy Một số trường hợp đặc biệt khác: Hình chóp S.ABCD có mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC Hình chóp S.ABCD có SB = SC SB, SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S thuộc đường trung trực BC I.Đường thẳng và mặt phẳng  1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1) Phương pháp : ­ Tìm điểm chung của 2 mặt phẳng ­ Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng Chú ý : Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng địng  phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó . Giao điểm , nếu có của hai đường  thẳng này chính là điểm chung của hai mặt phẳng  2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp : Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường  thẳng c cắt A tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và (P)  Chú ý : Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao  tuyến của (P) và (Q)  3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng , chứng minh 3 đường thẳng đồng quy  Phương pháp : ­ Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung  của hai mặt phẳng phân biệt.Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó  ­ Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai  đường nàylà điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba  4. Tìm tập hợp giao điểm của hai đường thẳng di động Phương pháp : M là giao điểm của hai đường thẳng di động d và d' . Tìm tập hợp các điểm M * Phần thuận : Tìm hai mặt phẳng cố định lần lượt chứa d và d'. M di đọng trên giao  tuyến cố định của hai mặt phẳng đó  * Giới hạn (nếu có) * Phần đảo Chú ý : nếu d di động nhưng ln qua điểm cố định A và cắt đường thẳng cố định a  khơng qua A thì d ln nằm trong mặt phẳng cố định (A,a) 5. Thiết diện Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của (P) với các mặt hình chóp  Phương pháp : Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước  sau : ­ Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình  chóp (Có thể là mặt trung gian) ­ Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm  chung mới của (P) với các mặt khác . Từ đó xác định được các giao tuyến mới với  các mặt này  ­ Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện  II.Đường thẳng //  1. Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp : Có thể dùng một trong các cách sau : ­ Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng  minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo  của định lý Ta­lét  ) ­ Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3  ­ Áp dụng định lý về giao tuyến  2 . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 1) Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước  Phương pháp : * Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng * Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao  tuyến song song với một đường thẳng đã có) Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy  Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuyến : Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử  dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết diện của hình chóp  3 . Tính góc giữa hai đường thẳng a,b chéo nhau Phương pháp : Tính góc : Lấy điểm O nào đó  Qua O dựng a' // a và b' // b Góc nhọn hoặc góc vng tạo bởi a',b' gọi là góc giữa a và b  Tính góc : Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vng hoặc dùng định lý  hàm số cơsin trong tam giác thường  III.Đường thẳng // với mặt phẳng  1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Phương pháp : Ta chứng minh d khơng nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong  (P)  Ghi chú : Nếu a khơng có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và  lấy a là giao tuyến của (P) và (Q)  2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng(Cách 2 / dạng 2) Thiết diện song song với một đườc thẳng cho trước Phương pháp : Nhắc lại một hệ quả : Nếu đường thẳng d song song với một mặt phẳng (P) thì bất  kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa d mà cắt (P) thì sẽ cắt (P) theo giao tuyến song song với d  Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với một hoặc  hai đường thẳng cho trước theo phương pháp đã biết  IV.Mặt phẳng // 1. Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia  Chú ý :Sử dụng tính chất ta có cách thứ 2 để chưngs minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)  2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2 / dạng 3) Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho tr ước  Phương pháp : ­ Tìm phương của giao tuyến của hai mặt phẳng bằng định lý về giao tuyến :"Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song  với nhau "  ­ Ta thường sử dụng định lý này để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một  mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước theo phương pháp đã biết  ­ Chú ý : Nhớ tính chất V.Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau Phương pháp : * Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ­ Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P) ­ Chứng minh a song song với đường thẳng b vng góc với (P)  * Chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau  ­ Chứng minh hai đường thẳng này vng góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia  ­ Nêú hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vng góc đã học trong hình học phẳng  2. Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vng góc với một đường thẳng cho trước  Cho khối đa diện (S) , ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng (P) , (P) qua điểm M  cho trước và vng góc với một đường thẳng d cho trước  ­ Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vng góc với d thì : (P) // a (hay chứa a) (P) // b (hay chứa b) Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên  ­ Dựng mặt phẳng (P) như sau : Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vng góc với d , trong đó có ít nhất một  đường thẳng qua M  mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P)  Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học . VI.Đường vng góc và  đường xiên 1. Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vng góc với mặt phẳng (P)  cho trước  Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp : Thực hiện các bước sau : *Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d  (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng ) *Xác định đường thẳng * Dựng AH vng góc với c tại H ­ Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vng góc với (P)  ­ Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P) Chú ý : ­ Trước khi chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵn trên hình vẽ chưa ­ Nếu đã có sẵn đường thẳng m vng góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m thì ­ Nếu AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)) ­ Nếu AB cắt (P) tại I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 2. Ứng dụng của trục đường trịn Định nghĩa : Đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn tại tâm của  đường trịn đó  Ta có thể dùngn tính chất của trục đường trịn để chứng minh đường thẳng vng  góc với mặt phẳng và tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng  ­ Nếu O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách đều 3  điểm A,B,C thì đường thẳng MO là trục của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC; khi  đó MO vng góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) ­ Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba điểm khơng thẳng hàng thì  đường thẳng MN là trục đường trịn qua ba điểm A,B,C; khi đó MN vng góc với  mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương trịn qua ba điểm A,B,C  3. Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động Ta thường gặp bài tốn : Tìm tập hợp hình chiếu vng góc M của điểm cố định A  trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và ln đi qua điểm cố định  O  Phương pháp : ­ Dựng , theo định lý ba đường vng góc ta có ­ Trong mặt phẳng (P), nên M thuộc đường trịn đường kính OH chứa trong (P)  4. Tìm tập hợp hình chiếu vng góc của một điểm cố định trên mặt phẳng di động  Ta thường gặp bài tốn : Tìm tập hợp hình chiếu vng góc H của một điểm cố dịnh  A trên mặt phẳng (P) di động ln chứa một đường thẳng d cố định  Phương pháp : ­ Tìm mặt phẳng (Q) qua A vng góc với d ­ Tìm ­ Chiếu vng góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P)  Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), nên H thuộc đường trịn  đương kính AE  5. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng Cách xác định góc giữa a và (P)  Phương pháp : ­ Tìm giao điểm O của a với (P) ­ Chọn điểm và dựng khi đó VII. Mặt phẳng vng góc 1. Nhị diện góc giữa hai mặt phẳng Khi giải các bài tốn liên quan đến số đo nhị diện hay góc giữa hai mặt phẳng thì ta  thường xác định góc phẳng của nhị diện. Nếu góc này chưa có sẵn trên hình ta có  thể dựng nó theo phương pháp dưới đây  Phương pháp : ­ Tìm cạnh c của nhị diện (giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai mặt của nhị diện ) ­ Dựng một đoạn thẳng AB có hai đầu mút ở trên hai mặt của nhị diện và vng góc  với một mặt của nhị diện  ­ Chiếu vng góc A ( hay B ) trên c thành H  ta được là góc phẳng của nhị diện  Chú ý : ­ Nếu đã có một đường thẳng d cắt hai mặt của nhị diện tại A, B và vng góc với  cạnh c của nhị diện thì ta có thể dựng góc phẳng của nhị diện đó như sau ; Chiếu  vng góc A ( hay B hay một điểm trên AB ) trên c thành H . Khi đó là góc phẳng của nhị diện  ­ Nếu hai đường thẳng a , b lần lượt vng góc với hai mặt phẳng (P), (Q) thì  ­ Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB có chung  đáy AB thì ( I là trung điểm của AB ) là góc phẳng của nhị diện đó  2. Mặt phân giác của nhị diện , cách xác định mặt phân giác  Phương pháp : C1 : ­ Tìm một góc phẳng của nhị diện  ­ Mặt phân giác của nhị diện là mặt qua cạnh c của nhị diện và phân giác Ot của góc  phẳng xOy  C2 : ­ Tìm một điểm A cách đều hai mặt của nhị diện  ­ Mặt phân giác của nhị diện trên là mặt qua A và cạnh c của nhị diện  3. Mặt phẳng vng góc Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng  * Chứng minh hai mặt phẳng vng góc  Phương pháp : ­ Cách 1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vng góc với mặt  phẳng kia  ­ Cách 2 : chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 90  * Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ­ Cách 1 : Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P)  ­ Cách 2 : Chứng minh a song song với đường thẳng b vng góc với (P)  ­ Cách 3 : Chứng minh a là trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC với A, B, C  thuộc (P)  ­ Cách 4 : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vng góc với (P) và a vng góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vng góc với (P) "  ­ Cách 5 : Sử dụng định lý : " Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vng góc với (P) thì a vng góc với (P) "  4. Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vng góc với một mặtphẳng .  Thiết diện  Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a khơng vng góc với (P) . Xác định mặt  phẳng (Q) chứa a và vng góc với (P)  Phương pháp : ­ Từ một điểm trên a dựng b vng góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b)  Chú ý : Nếu có đường thẳng thì (Q) // d hay (Q) chứa d