Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ X, Hà Nội, 8-9/12/2017 Tập Cơ học Thủy khí ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAYLOR – GALERKIN GIẢI BÀI TỐN DỊNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU KHƠNG ỔN ĐỊNH CĨ SỰ XÁO TRỘN Ở ĐÁY LỊNG DẪN Huỳnh Phúc Hậu1,*, Nguyễn Thế Hùng2 Trường Cao đẳng Giao Thông Vận Tải trung ương V, 28-Đường Ngơ Xn Thu-Hòa Hiệp Bắc-Liên Chiểu -Thành phố Đà Nẵng Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng, 54-Đường Nguyễn Lương Bằng -Thành phố Đà Nẵng 1,* *Email: hauhp@caodanggtvt2.edu.vn Tóm tắt: Trong báo phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin áp dụng để rời rạc hóa tốn dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn, với độ xác bậc ba theo thời gian khơng gian Q trình giải theo Taylor-Galerkin, việc rời rạc theo thời gian thực trước nhờ khai triển Taylor sau đến rời rạc không gian theo Galerkin Trong rời rạc thời gian, báo thực việc khai triển véc tơ ẩn số chiều sâu lưu lượng dòng chảy (h,Q)n+1 chuỗi Taylor theo thời đoạn Tquanh mốc thời gian t=tn; đến bậc ba; tiếp theo, phương trình mơ tả đạo hàm thời gian vào chuỗi Taylor khai triển Trong rời rạc không gian, sử dụng hàm nội suy tích phân trọng số bậc hai Kết tính tốn so sánh với số liệu đo đạc, cho thấy có phù hợp tốt Từ khóa: Taylor-Galerkin, phương pháp phần tử hữu hạn, dòng chảy chiều, xáo trộn đáy lòng dẫn Mở đầu Trước đây, hệ phương trình mơ tả dòng chảy chiều xây dựng dựa giả thuyết đơn giản hóa dòng chảy có vận tốc chuyển động theo chiều dọc trục sơng; thường gọi hệ phương trình Saint-Venant Để đưa thêm nhiều thơng tin vào hệ phương trình mơ tả, tác giả xây dựng mơ hình tốn suy rộng dòng chảy chiều ảnh hưởng trường trọng lực, có kể đến xáo trộn đáy lòng dẫn Hệ phương trình thu có áp suất phi thủy tĩnh, đặc trưng thủy động lực học vận tốc, mực nước khác với hệ phương trình Saint - Venant chiều thông thường [10] Trong báo này, hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng dòng chảy chiều có kể đến xáo trộn đáy lòng dẫn giải số phương pháp phần tử hữu hạn Taylor– Galerkin lập trình Matlab Phƣơng trình dòng chảy chiều có kể đến xáo trộn đáy lòng dẫn (1) (2) Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor -Galerkin 133 giải tốn dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn (3) (4) Trong vec-tơ ẩn p=(h,Q) h: chiều sâu dòng chảy; Q: lưu lượng dòng chảy; q: lưu lượng bổ sung dọc sơng (m2/s); A: diện tích mặt cắt ướt: T b0: bề rộng đáy; m: tổng hệ số mái dốc; R: bán kính thủy lực; w*: vận tốc chiều đứng đáy lòng dẫn; gia tốc a: g: gia tốc trọng trường; i: độ dốc đáy lòng dẫn; n: hệ số nhám lòng dẫn (5) Rời rạc theo thời gian Thực khai triển véc tơ ẩn t= ; đến bậc ba, nhận được: chuỗi Taylor theo t lân cận bên phải điểm thời gian Trong đó: trọng số ẩn, đạo hàm bậc theo thời gian p đánh giá t= tương tự vậy, đạo hàm bậc hai: (6) Và (7) Như vậy: (8) Bây ta thay (7) (8) vào phương trình (6): (9) Rời rạc theo không gian Gọi chiều dài phần tử chiều bậc 2L, có nút 1,2,3 Chọn gốc tọa độ địa phương nút đầu 1, hướng x dương từ nút đầu đến nút cuối Chọn hàm nội suy bậc 2, ta có: Huỳnh Phúc Hậu1,*, Nguyễn Thế Hùng2 134 Viết đạo hàm f S theo hình thức tựa tuyến tính Áp dụng tích phân trọng số cho phương trình (9) trên, áp dụng tích phân phần cho đạo hàm bậc ta được: θ2∆t2ψi′,DpDp∂p∂xn−13−θ2∆t2ψi,BpDp∂p∂xn−13−θ2∆t2ψi,DpSpn02L+13−θ2∆t2ψi′,DpSpn +13−θ2∆t2ψi,BpSpn−θ2+16∆t2ψi,Dprrn+102L (10) Trong đó: i,j,k số nút không gian; trọng số ẩn Tuyến tính hóa: Phương trình (10) giải để tìm pn+1; pn+1có hai thành phần vơ hướng Nếu N số nút, số ẩn hệ thống tuyến tính 2N Nói chung, ma trận khơng đối xứng với block 2x2 Phƣơng trình ma trận phần tử: (11) Trong đó: (12) Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor -Galerkin 135 giải toán dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn độ sâu nước, lưu lượng dòng chảy nút i bước thời gian n+1 [K] ma trận phần tử kích thước 6x6 (13) Phƣơng trình ma trận tổng thể: (14) Trong đó: ma trận kích thước (2*(2e+1), 2*(2e+1)); Với e số lượng phần tử Lập trình Matlab: Chương trình tính thơng số dòng chảy có xáo trộn đáy bao gồm mơ đun: Chương trình "MAIN" để đọc số liệu đầu vào, gọi mô đun khác, chuyển đổi số thời gian tính Chương trình "MTPT" để tính ma trận phần tử Chương trình "MTTT" để tính ma trận tổng thể từ ma trận phần tử, sau gán điều kiện biên Chương trình "SOLVE" để tính vectơ ẩn số ghi vào file đầu Hình 1: Sơ đồ khối chương trình tính thơng số dòng chảy có xáo trộn đáy Chuẩn bị điều kiện ban đầu điều kiện biên: Chương trình tính với số liệu đoạn sông dài 60m hạ lưu đập dâng Đô Lương-Nghệ An, tiết diện chữ nhật Hệ số nhám 0.02 Độ dốc đáy 6% Đoạn sông chia thành phần tử chiều bậc 2, phần tử có nút, có tổng cộng nút Khoảng cách nút liên tiếp 10m Bảng Các thông số mặt cắt ngang Nút Bề rộng đáy(m) Mái dốc m1 Mái dốc m2 Dốc đáy Hệ số nhám 414.0328 0 0.06 0.02 Nút Chiều sâu h(m) Lƣu lƣợng Q (m3/s) 377.8224 0 0.06 0.02 428.927 0 0.06 0.02 404.4132 0 0.06 0.02 441.5123 0 0.06 0.02 Bảng Điều kiện ban đầu 391.7058 0 0.06 0.02 388.4918 0 0.06 0.02 6.65181 7.11091 7.53550 7.99597 8.42489 9.90056 11.56936 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31 Huỳnh Phúc Hậu1,*, Nguyễn Thế Hùng2 136 Nút Vận tốc đứng Ws(m/s) 0.01 0 0 Bảng Điều kiện biên chiều sâu h lưu lượng Q thượng lưu hạ lưu: h thƣợng lƣu Q thƣợng lƣu Chỉ số thời gian thời gian t (s) h hạ lƣu (m) (m) (m/s) 10800 7.375601 3803.67 12.31968 21600 7.899276 4316.20 12.87548 32400 8.376047 4808.45 13.37017 43200 8.840432 5311.17 13.84244 54000 9.298677 5829.57 14.29986 64800 9.729318 6336.79 14.72244 75600 10.20975 6925.40 15.1861 86400 10.36651 7122.62 15.33568 97200 10.27777 7010.66 15.2511 108000 10.13588 6833.34 15.11532 10 118800 9.948333 6602.15 14.9348 11 129600 9.750154 6361.82 14.74272 12 140400 9.411715 5960.84 14.41144 13 151200 9.067995 5565.85 14.07062 14 162000 8.764997 5227.96 13.76633 15 172800 8.470015 4908.33 13.46647 16 183600 8.281785 4709.20 13.27318 17 Kết thảo luận Thời điểm\nút 10 11 12 13 14 7.376 7.899 8.376 8.840 9.299 9.729 10.210 10.367 10.278 10.136 9.948 9.750 9.412 9.068 Bảng Kết chiều sâu h(m) 8.187 9.011 9.848 8.799 9.663 10.499 9.285 10.151 10.984 9.749 10.616 11.451 10.206 11.073 11.907 10.635 11.499 12.332 11.111 11.972 12.802 11.265 12.125 12.954 11.177 12.037 12.867 11.037 11.898 12.729 10.851 11.714 12.546 10.655 11.519 12.352 10.318 11.184 12.018 9.976 10.842 11.677 10.696 11.311 11.795 12.264 12.720 13.144 13.612 13.762 13.676 13.539 13.357 13.164 12.831 12.490 11.544 12.102 12.589 13.060 13.516 13.940 14.405 14.555 14.470 14.333 14.152 13.959 13.627 13.287 12.320 12.875 13.370 13.842 14.300 14.722 15.186 15.336 15.251 15.115 14.935 14.743 14.411 14.071 Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor -Galerkin 137 giải toán dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn Thời điểm\nút 15 16 17 8.765 8.470 8.282 9.674 9.379 9.190 10.540 10.244 10.054 11.374 11.078 10.887 12.187 11.890 11.698 12.983 12.684 12.492 Bảng Kết lưu lượng Q (m3/s) Thời điểm \nút 3803.670 3370.593 2932.016 2463.901 1990.204 1539.674 4316.200 4032.982 3795.657 3569.894 3372.228 3198.259 4808.450 4326.660 3893.493 3471.145 3074.591 2697.941 5311.170 4890.101 4524.055 4173.451 3852.206 3553.997 5829.570 5323.715 4871.446 4433.598 4024.697 3638.518 6336.790 5829.901 5378.794 4944.102 4540.171 4160.582 6925.400 6379.445 5887.872 5411.901 4966.354 4544.962 7122.620 6539.666 6014.816 5508.599 5035.468 4588.719 7010.660 6416.132 5883.413 5372.081 4895.982 4447.965 6833.340 6245.984 5721.900 5220.130 4754.163 4316.662 10 6602.150 6021.120 5504.269 5010.238 4552.257 4122.870 11 6361.820 5793.744 5290.439 4810.213 4366.065 3950.460 12 5960.840 5399.239 4904.345 4433.717 3999.891 3595.076 13 5565.850 5031.710 4565.038 4122.835 3717.245 3340.369 14 5227.960 4715.968 4270.602 3848.737 3462.443 3103.900 15 4908.330 4417.642 3992.982 3591.122 3224.058 2884.034 16 4709.200 4242.842 3840.533 3459.378 3111.550 2789.531 17 Hình cho thấy kết tính bám sát giá trị thực đo chứng tỏ kết tính chương trình tính có độ tin cậy cao 13.766 13.466 13.273 1137.950 3041.747 2336.321 3273.619 3270.041 3800.130 4142.667 4163.006 4022.362 3901.820 3716.180 3557.436 3213.134 2985.982 2766.946 2564.934 2487.369 xác, 14 12 10 h tính(m) h đo(m) 2 nút Hình 2: So sánh kết tính giá trị thực đo chiều sâu thời điểm 9/27/2007 4:18:17 Huỳnh Phúc Hậu1,*, Nguyễn Thế Hùng2 138 4000 3500 3000 2500 2000 Q tính(m3/s) 1500 Q đo(m3/s) 1000 500 nút Hình 3: So sánh kết tính giá trị thực đo lưu lượng thời điểm 9/27/2007 4:18:17 10 Kết luận: Bài báo giải toán dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn phương pháp phần tử hữu hạn Taylor –Galerkin với độ xác bậc theo thời gian, hàm nội suy chọn bậc hai Lời giải nhận lập trình Matlab Kết giải số phù hợp tốt với số liệu đo đạc, đặc biệt đường mặt nước, cho thấy thuật tốn chương trình tính có độ tin cậy cao Tài liệu tham khảo [1] D Ambrosi and L Quartapelley A Taylor Galerkin Method for Simulating Nonlinear Dispersive Water Waves Journal of computational physics, 146, (1998) [2] Environmental Modeling Research Laboratory of Brigham Young University, Surface water modeling system, Brigham young university, (2002) [3] Hung The Nguyen Mathematical model of the two dimensional vertical flow Journal of Vietnam National Science & Technology, 7+8, Hanoi (1990) [4] [5] [6] [7] Hung The Nguyen, The FEM influid dynamics,Hanoi construction press (2004) M Hanif Chaudhry, Open Chanel Flow, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey (1993) Rainer Ansorge, Mathematical models of fluiddynamics, Wiley-VCH GmbH &Co KgaA (2003) S.Vedula, P.P and Mujumdar, Water Resources Systems : Modelling Techniques and Analysis, TataMcGraw Hill (2005) [8] Ven-te-chow, David R Maidment, Larry W.Mays, Applied Hydrology, McGraw-Hill, Inc (1998) [9] Weiming Wu, Computational River Dynamics, Taylor and Francis e-Library (2007) [10].Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng, Mơ hình tốn dòng chảy hở chiều suy rộng, tuyển tập cơng trình hội nghị học thủy khí2015, Hà Nội (2016) .. .Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor -Galerkin 133 giải tốn dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn (3) (4) Trong vec-tơ ẩn p=(h,Q) h: chiều sâu dòng chảy; Q:... block 2x2 Phƣơng trình ma trận phần tử: (11) Trong đó: (12) Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor -Galerkin 135 giải tốn dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn độ sâu... luận: Bài báo giải tốn dòng chảy hở chiều khơng ổn định có xáo trộn đáy lòng dẫn phương pháp phần tử hữu hạn Taylor Galerkin với độ xác bậc theo thời gian, hàm nội suy chọn bậc hai Lời giải nhận