Tính kết cấu khung phẳng vμ nền lμm việc đồng thời với mô hình nền phi tuyến vật liệu bằng phương pháp phần tử hữu hạn vũ văn thành - Bộ môn Sức bền VL - ĐH GTVT Trần ngọc linh - Bộ mô
Trang 1Tính kết cấu khung phẳng vμ nền lμm việc
đồng thời với mô hình nền phi tuyến vật liệu
bằng phương pháp phần tử hữu hạn
vũ văn thành - Bộ môn Sức bền VL - ĐH GTVT
Trần ngọc linh - Bộ môn TĐH Thiết kế CĐ - ĐH GTVT
Trần trung dũng - Bộ môn Địa kỹ thuật - ĐH GTVT
Tóm tắt: Trong tính toán thiết kế kết cấu nhμ cao tầng, hiện nay các đơn vị thiết kế thường
tính toán kế cấu phần trên tách biệt với kết cấu móng Như vậy, chưa phản ánh đúng sơ đồ lμm việc thực tế của công trình Nguyên nhân lμ do môi trường nền vốn rất phức tạp, hơn nữa các chương trình tính toán kết cấu hiện đang được nhiều đơn vị sử dụng như SAP2000, STADD, không giải quyết mô hình lμm việc của đất nền Bμi báo nμy nghiên cứu về mô hình tính toán kết cấu khung phẳng vμ nền lμm việc đồng thời với mô hình đất nền phi tuyến từ đó áp dụng lý thuyết để viết chương trình tính bằng phương pháp phần tử hữu hạn cho các dạng kết cấu nμy, phân tích kết quả tính vμ đưa ra những khuyến nghị cho các đơn vị thiết kế
Summary: In the design of height building, designers often calculate the frame and the
foundation struture separately This does’n reflect the true working model of the structure This article introduces an approach of calculating model of this problem using a nonlinear model of material The authors introduce also a computer program to test and estimate the theory
I Đặt vấn đề
Kết cấu khung được sử dụng phổ biến trong các công trình xây dựng Đặc biệt trong công trình xây dựng dân dụng ở nước ta hiện nay, kết cấu được sử dụng chủ yếu là kết cấu khung bê tông cốt thép đặt trên móng băng, bè hoặc móng cọc
Trước đây, trên thế giới nói chung và ở nước ta nói riêng, khi mà MTĐT chưa phát triển phổ biến thì trong việc tính toán kết cấu người ta thường đưa vào rộng rãi các giả thiết nhằm đơn giản hoá cho việc tính toán Ví dụ, giả thiết về liên kết của kết cấu khung BTCT với móng là ngàm cứng (thực tế có thể là liên kết đàn hồi), các giả thiết về mô hình nền (nền là môi trường
đàn hồi tuyến tính, phản lực thẳng đứng của nền lên dầm tỷ lệ bậc nhất với độ lún của nền, ) Khi tính toán kết cấu khung và móng người ta thường bỏ qua các trình tự đặt tải thực tế nhằm mục đích đơn giản hoá (giảm khối lượng) tính toán Việc tính toán kết cấu như trên tất nhiên đã không phản ánh sát tình hình làm việc thực tế của kết cấu loại này Hiện nay, với sự phát triển của phương pháp và công cụ tính toán, người ta cố gắng và có điều kiện hạn chế các giả thiết trong tính toán kết cấu để tìm lời giải chính xác hơn Trong bài viết này, các tác giả sẽ trình bày một phương pháp tính toán kết cấu trên nền với mô hình nền phi tuyến vật liệu Nội dung chủ yếu bao gồm:
• Các mô hình nền và khả năng ứng dụng nó để lập chương trình tính
• Phương pháp phần tử hữu hạn để tính khung và nền làm việc đồng thời
• Phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán về phi tuyến vật liệu và xây dựng chương trình tính cho bài toán này
Trang 2• Cuối cùng là tính toán các ví dụ cụ thể, đánh giá kết quả và rút ra một số các kết luận
q(x)
II Mô hình nền phi tuyến vật liệu
Trước đây do công cụ tính toán chưa phát triển
nên việc tính toán nền móng gặp rất nhiều khó khăn,
người ta thường đưa vào rất nhiều các giả thiết nhằm
đơn giản hoá việc tính toán Một trong những giả thiết
ảnh hưởng nhiều đến kết quả tính toán nền và móng
nhiều nhất là giả thiết về mô hình nền
Với các mô hình đã trình bày ở trên, các hệ
số hoặc các đặc trưng cơ học của nền luôn là hằng
số trong quá trình biến dạng Với quan điểm này thì
quan hệ giữa tải trọng và biến dạng là bậc nhất (tuyến tính) Ví dụ, mô hình nền của Winkler phản lực của nền lên đáy móng và độ lún của nền được xác định theo phương trình q(x) = c.v(x)
có đồ thị được biểu diễn theo hình (1) Hệ số nền c chính là hệ số góc của đường quan hệ giữa q(x) và v(x)
v(x)
Hình 1
q(x) = f(v)
Hinh 2
Chúng ta đều biết đất là môi trường rất không đồng nhất và không đàn hồi hoàn toàn (có biết dạng dư) Mối quan hệ giữa tải trọng và biến dạng của nền là phi tuyến Ví dụ, với sơ đồ chịu lực của một dầm như trên hình (2), hàm số quan hệ giữa phản lực của nền lên dầm q(x) và
độ lún v(x) của nền là một hàm phi tuyến f(v), xem đồ thị biểu diễn trên hình (3) Do hàm f(v) thường là hàm khá phức tạp và khó xác định và nếu có xác định được thì cũng khó sử dụng trong tính toán, nên để có thể sử dụng được trong kỹ thuật, người ta thường thay đường cong f(v) thành đường gẫy khúc như hình (4) hoặc (5) Đồ thị trên hình (6) là đồ thị của mô hình nền tuyến tính đã được sử dụng nhiều Rõ ràng, so sánh với đường chuẩn theo lý thuyết (đường nét đứt) thì mô hình nền tuyến tính là ít chính xác nhất Mức độ chính xác của mô hình nền giảm dần từ hình (4) đến (6)
Mối quan hệ giữa các phản lực (yếu tố lực) với biến dạng hoặc chuyển vị của các mô hình nền khác cũng tương tự như mối quan hệ giữa q(x) và v(x) vừa trình bày
Khối lượng của bài toán tính kết cấu theo mô hình phi tuyến hình học hay phi tuyến vật liệu
là rất lớn, khi không có công cụ tính toán mạnh thì không thể thực hiện được Nhưng với sự phát triển của MTĐT và phương pháp tính thì việc giải bài toán phi tuyến nói chung và bài toán phi tuyến vật liệu nói riêng là có thể thực hiện được
Trang 3v(x) q(x)
Hình 3
f(v)
v(x) q(x)
Hình 4
v(x) q(x)
Hình 5
v(x) q(x)
Hình 6
III Mô hình các phần tử hữu hạn vμ ma trận độ cứng của nó
Trong bài toán này, chúng tôi sử dụng phương pháp hệ số nền, do đó có 3 loại phần tử hữu hạn được sử dụng đó là: phần tử thanh thẳng có 2 điểm nút, phần tử dầm trên nền đàn hồi phi tuyến và phần tử cọc trong nền đàn hồi phi tuyến
3.1 Phần tử hữu hạn thanh thẳng có 2 điểm nút
Thanh có hai nút 1 và 2, có độ cứng chống uốn EJ và độ cứng chống kéo EF (hình 7) Véc tơ chuyển vị nút và véc tơ lực nút có dạng:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
ϕ
ϕ
= δ
2 2 2 1 1 1
e
v u
v u
{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
2 2 2 1 1 1
e
M Q N M Q N
F
N1
y
z
Q1
M1
1
M2
N2
Q2 x a
Hình 7.
2
Trang 4
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ư
ư
ư
ư
ư
ư
ư
ư
=
a
EJ 4 a
EJ 6 0 a
EJ 2 a
EJ 6 0
a
EJ 6 a
EJ 12 0 a
EJ 6 a
EJ 12 0
0 0
a
EF 0 0
a EF
a
EJ 2 a
EJ 6 0 a
EJ 4 a
EJ 6 0
a
EJ 6 a
EJ 12 0 a
EJ 6 a
EJ 12 0
0 0
a
EF 0 0 a EF
K
2 2
2 2
3
2 2
2 3
2 3
3.2 Phần tử hữu hạn dầm trên nền đàn hồi phi tuyến
Cường độ phản lực qx của nền tại mỗi điểm được xác định theo công thức:
qx = c.vx, (2) trong đó: vx là độ lún của nền trong phạm vi gia tải; c là hệ số nền đàn hồi phi tuyến, giá trị của
nó tuỳ thuộc vào giá trị của độ lún vx và có thứ nguyên là [lực]/[chiều dài]3
Như đã nói ở trên, để có thể sử dụng được mô hình nền phi tuyến, người ta thường thay
đường cong quan hệ giữa tải trọng, phản lực và chuyển vị thành đường gãy khúc có nhiều đoạn tuyến tính Với phương pháp này, ta chỉ cần xác định ma trận độ cứng của phần tử hữu hạn
đang làm việc trong một giai đoạn tuyến tính nào đó mà việc này ta dễ dàng thực hiện được bằng nhiều cách, hệ số c sẽ được xác định tuỳ thuộc vào trạng thái làm việc của phần tử đó Một phần tử hữu hạn đang làm việc trong giai đoạn tuyến tính có hệ nền c, bằng phương pháp cực tiểu thế năng ta xác định được ma trận độ cứng của phần tử này như sau:
[ ] [ ] [ ]n
e d e
- Ma trận độ cứng phần tử dầm [ ]d
e
K tính theo (1):
- Ma trận độ cứng của phần tử nền:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
5 8 0 7 4 0
8 1 0 6 3 0
0 0 0 0 0 0
7 6 0 5 2 0
4 3 0 2 1 0
0 0 0 0 0 0
Kne
Trang 5Chú thích các ký hiệu
210
11
2
; cab 25
13
420
13 4
; cab 70
9
420
12 6
; b ca 105
1
210
11 8
; b ca 140
1
3.3 Phần tử hữu hạn cọc trong nền đàn hồi phi tuyến
Khi cọc chịu tải trọng ngang, cọc bị uốn cong đi và có chuyển vị ngang Do đó sẽ phát sinh
phản lực có chiều ngược với chiều chuyển vị từ nền vào cọc Trong trường hợp này, ta vẫn sử
dụng mô hình nền có nhiều đoạn tuyến tính như mô hình của dầm trên nền đàn hồi phi tuyến ở
trên
Khi cọc phải chịu tải trọng dọc trục, cọc sẽ có chuyển vị theo phựơng dọc trục, giữa nền và
cọc sẽ phát sinh lực ma sát dọc trục Theo mô hình của Smith phản lực này quan hệ với chuyển
vị dọc trục theo công thức sau:
p(x) = cou.u(x), [2] (4) trong đó: p(x) là phản lực phân bố dọc trục do chuyển vị u(x) gây ra; cou = S.cu, với S là chu vi
của cọc, cu là hệ số quan hệ giữa phản lực phân bố dọc trục p(x) với chuyển vị dọc trục u(x),
cu cũng là hệ số của nền đàn hồi phi tuyến
Phản lực đầu cọc sẽ được xử lý bằng điều kiện biên, thay nền bằng một lò xo đàn hồi phí
tuyến
Cũng giống như phần tử dầm trên nền đàn hồi, ta xác định được ma trận độ cứng của phần
tử cọc trong nền như sau: [ ] [ ] [ ]n
e c e
K = + , trong đó,
- Ma trận độ cứng phần tử dầm [ ]c
e
K tính theo (1)
- Ma trận độ cứng của phần tử nền
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
5 8 0 7 4 0
8 1 0 6 3 0
0 0 k 0 0 k
7 6 0 5 2 0
4 3 0 2 1 0
0 0 k 0 0 k
K
4 , 4 1
, 4
4 , 1 1
, 1
n e
Các ký hiệu từ 1 đến 8 được xác định theo (3), các ký hiệu còn lại có giá trị như sau:
Trang 6S c K K
; 3
S c K
1 , 4 4 , 1 a u 4 , 4 1 ,
IV Tính kết cấu lμm việc đồng thời với nền với mô hình nền phi tuyến
Để giải bài toán phi tuyến này, ta có quy ước sau:
- Trong một giai đoạn làm việc, hệ số nền trong mỗi phần tử hữu hạn thanh làm việc đồng thời với nền chỉ có một giá trị Giá trị hệ số nền này được xác định từ chuyển vị lớn nhất của phần tử
- Chỉ có một hệ số về tải trọng, nói cách khác các tải trọng chỉ biến đổi theo một thông số
- Phương pháp giải bài toán này là đưa bài toán phi tuyến về thành tổ hợp các bài toán tuyến tính và dùng phương pháp tính lặp để giải Các bước tính toán cơ bản gồm:
Mặt đất
Cọc trước khi
chịu tải trọng q c1vx
P
Q
M
=
Phản lực của đất
Cọc bị biến dạng
ưới tác dụng
của tải trọng
d
y
x
P
Q
M
y
x
Mặt đất
Phản lực đầu cọc
x
cu c
Lực ma sát của nền
Hình 8
v(x) q(x)
Hình 10
q(x)=c11v(x) q(x)=c12v(x) q(x)=c13v(x)
q(x)=const
u(x) p(x)
Hình 9
p(x)=cu1v(x)
p(x)=cu2v(x) p(x)=cu3v(x)
p(x)=const
Trang 7- Bước 1: Tính toán kết cấu với tải trọng tính toán và hệ số nền của các phần tử được lấy
tương ứng với đoạn tuyến tính đầu tiên
- Bước 2: Kiểm tra chuyển vị lớn nhất của tất
cả các phần tử và so sánh với chuyển vị lớn nhất
có thể có của giai đoạn tuyến tính hiện tại đang
tính Tính tỷ số giữa giữa chuyển vị lớn nhất
của giai đoạn tuyến tính đang tính với chuyển vị
lớn nhất của phần tử (hình 11) Nếu tỷ số
này lớn hơn 1 thì phần tử đó vẫn làm việc trong
giai đoạn tuyến tính thứ i, ngược lại tỷ số đó mà
nhỏ hơn 1 thì phần tử đó đã làm việc sang giai
đoạn kế tiếp
max i
v
max
e
v
- Bước 3: So sánh tất cả các tỷ số tính được
ở bước 2, chọn ra tỷ số nhỏ nhất và tỷ số này
cũng chính là tỷ số giữa số gia tải trọng so với tải
trọng còn lại Tải trọng của bước tính kế tiếp bằng tải trọng của bước này trừ đi số gia của tải trọng vừa tính được Ghi lại kết quả (nội lực của các phần tử, chuyển vị nút) của bước tính này với tải trọng bằng số gia vừa tính được
v(x) q(x)
Hình 11
V1max
V2max
V3max
- Bước 4: Tiếp tục tính bước kế tiếp với tải trọng còn lại, những phần tử có chuyển vị lớn
nhất do bước tải trọng vừa tính gây ra lớn hơn chuyển vị thì lấy hệ số nền của giai đoạn kế tiếp để tính Nếu giai đoạn kế tiếp này là giai đoạn chảy dẻo thì lấy hệ số nền bằng 0 Việc tính toán kết thúc khi tải trọng còn lại sau các bước tính bằng 0 hoặc không có tỷ số nào ở bước hai nhỏ hơn 1
max i
v
- Bước 5: Cộng các giá trị nội lực phần tử và chuyển vị nút kết cấu của các bước gia tải
Tổng nội lực phần tử và chuyển vị nút thu được chính là kết quả tính toán kết cấu
Chú ý: nếu tất cả các phần tử hữu hạn móng mà đều làm việc ở giai đoạn chảy dẻo thì nền không đủ khả năng chịu lực Chương trình dừng tính khi kết cấu biến hình
Để khắc phục vấn đề chuyển vị của các điểm trong kết cấu chênh nhau nhiều, chương trình sẽ tự chia các phần tử kết cấu móng ra thành nhiều phần tử nhỏ
V Ví dụ tính toán, phân tích kết quả vμ khuyến nghị
5.1 Ví dụ: Tính toán kết cấu nhà 12 tầng
Tính theo các sơ đồ tuyến tính và phi tuyến vật liệu
5.2 Một số nhận xét khi so sánh các kết quả tính theo mô hình nền một đoạn tuyến
và nhiều đoạn tuyến tính (phi tuyến)
Trong các ví dụ trên thì:
• Kết quả nội lực và chuyển vị của kết cấu tính theo hai kiểu sơ đồ tính có sự chênh lệch nhau
Trang 8• Chuyển vị của kết cấu theo sơ đồ nền phi tuyến tăng với giá trị từ 1ữ2% Điều này đúng vì thực chất ta đã tính nền làm việc theo sơ đồ đàn dẻo Chuyển vị tăng đều trên các cấu kiện của kết cấu
• Giá trị nội lực của kết cấu tính được theo sơ đồ nền phi tuyến có phần tử tăng và có phần
tử giảm so với sơ đồ nền tuyến tính từ 2 ữ10%, phụ thuộc vào ảnh hưởng chuyển vị của nền
Khuyến nghị
Nên tính toán hệ khung cùng làm việc với nền và sử dụng mô hình nền phi tuyến mới phản
ánh được mối tương tác giữa kết cấu và môi trường
Do khuôn khổ của bài báo nên trong bài báo mới chỉ giải quyết được hệ khung phẳng Sau này có thể đi sâu hơn giải bài toán hệ khung không gian cùng làm việc với nền phi tuyến
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Xuân Lựu Phương pháp phần tử hữu hạn, Giáo trình cao học trường đại học Giao thông Vận
tải Hà Nội
[2] Vũ Đình Lai Sức bền vật liệu Giáo trình đại học trường Đại học GTVT
[3] Vũ Văn Thμnh Tính mạng dầm trên nền đàn hồi hai hệ số bằng phương pháp phần tử hữu hạn Luận
văn thạc sĩ kỹ thuật
[4] Trần Ngọc Linh, Tính toán móng cọc bằng phương pháp phần tử hữu hạn Đề tài nghiên cứu khoa học
sinh viên năm 2000 Ă