Bai ging gii tich 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THƠNG VẬN TẢI BỘ MƠN TỐN GIẢI TÍCH NGUYỄN VĂN KIÊN BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH I Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Giới hạn liên tục hàm biến 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn hàm biến 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Vô bé 1.2.4 Vô lớn 12 Tính liên tục hàm biến 13 1.3.1 Định nghĩa 13 1.3.2 Tính chất hàm liên tục 13 1.3.3 Phân loại điểm gián đoạn 15 1.3 Đạo hàm vi phân hàm biến 2.1 2.2 2.3 2.4 17 Đạo hàm vi phân cấp 17 2.1.1 Đạo hàm cấp 17 2.1.2 Vi phân cấp 20 Đạo hàm vi phân cấp cao 22 2.2.1 Đạo hàm cấp cao 22 2.2.2 Vi phân cấp cao 24 2.2.3 Hàm cho theo tham biến 24 Các định lý hàm khả vi 25 2.3.1 Định lý Fermat 25 2.3.2 Định lý Rolle 26 2.3.3 Định lý Lagrange 26 2.3.4 Định lý Cauchy 27 Công thức Taylor 27 MỤC LỤC 2.5 Nguyễn Văn Kiên 2.4.1 Công thức Taylor 27 2.4.2 Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc 28 Ứng dụng đạo hàm để tính giới hạn 29 2.5.1 Quy tắc L’Hospital 29 2.5.2 Một số dạng giới hạn cách tính 30 Tích phân hàm biến 3.1 3.2 3.3 3.4 33 Tích phân bất định 33 3.1.1 Nguyên hàm 33 3.1.2 Bảng nguyên hàm 34 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân khơng xác định 35 3.1.4 Tích phân số lớp hàm 38 Tích phân xác định 43 3.2.1 Định nghĩa 43 3.2.2 Công thức Newton-Leibniz 44 3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 46 Ứng dụng tích phân 48 3.3.1 Ứng dụng tính diện tích 48 3.3.2 Ứng dụng tính độ dài đường cong 49 3.3.3 Ứng dụng tính thể tích vật thể trịn xoay 51 Tích phân suy rộng 51 3.4.1 Tích phân suy rộng loại 51 3.4.2 Tích phân suy rộng loại 57 3.4.3 Tích phân suy rộng chứa loại loại 61 Lý thuyết chuỗi 4.1 4.2 4.3 63 Khái niệm chuỗi số 63 4.1.1 Định nghĩa 63 4.1.2 Điều kiện cần chuỗi số hội tụ 65 4.1.3 Các tính chất chuỗi số hội tụ 66 Chuỗi số dương 66 4.2.1 Khái niệm 66 4.2.2 Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương 67 Chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất ký 71 MỤC LỤC 4.4 4.5 4.6 Nguyễn Văn Kiên 4.3.1 Chuỗi đan dấu 71 4.3.2 Chuỗi có dấu 72 Chuỗi hàm 74 4.4.1 Chuỗi hàm miền hội tụ chuỗi hàm 74 4.4.2 Chuỗi lũy thừa 75 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 80 4.5.1 Điều kiện để hàm khai triển thành chuỗi Lũy thừa 80 4.5.2 Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc 82 Chuỗi Fourier 85 4.6.1 Chuỗi Fourier hàm tuần hoàn 85 4.6.2 Khai triển Fourier hàm số cách thác triển chẵn, lẻ 88 Tài liệu tham khảo 90 Chương Giới hạn liên tục hàm biến 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn hàm biến 1.2.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định tập D = (a, x0 ) ∪ (x0 , b) Định nghĩa Hàm số y = f (x) gọi có giới hạn A x → x0 với ǫ > bé tùy ý tồn số δ = δ(ǫ) > cho với x thỏa mãn < |x − x0 | < δ |f (x) − A| < ǫ Khi ta viết lim f (x) = A x→x0 Ví dụ Chứng minh giới hạn sau: lim (3x − 1) = x→2 3x − = x→2 x + lim Giải Cho ǫ > bé tùy ý Xét |f (x) − 5| = |3x − − 5| = 3|x − 2| < ǫ ⇔ |x − 2| < Chọn δ = ǫ với x thỏa mãn |x − 2| < δ |3x − − 5| < ǫ ǫ 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Như lim (3x − 1) = x→2 Cho ǫ > bé tùy ý Xét 3x − 4x − x − 2| |x − 2| − |= | |= | | M |f (x) − A| < ǫ Khi ta viết lim f (x) = A x→+∞ Định nghĩa Hàm số y = f (x) gọi có giới hạn A x → −∞ với ǫ > bé tùy ý tồn số M = M (ǫ) < cho với x thỏa mãn x < M |f (x) − A| < ǫ Khi ta viết lim f (x) = A x→−∞ 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Ví dụ Chứng minh 3x − =3 x→+∞ x + 1 lim lim x→+∞ Giải 3x + = 2x − Cho ǫ > bé tùy ý Xét |f (x) − 3| = | 4 3x − − 3| = | |=| | < ǫ ⇔ x > − 1, ∀x > x+1 x+1 x+1 ǫ Chọn M = max{ − 1, 0} với x > M ǫ | 3x − − 3| < ǫ x+1 Vậy lim x→+∞ 3x − =3 x+1 Cho ǫ > bé tùy ý Xét 3x + 5 |f (x) − | = | − |=| | < | | < ǫ ⇔ x > , ∀x > 2 2x − 4x − 3x 3ǫ Chọn M = max{ , 2} với x > M 3ǫ | Vậy 3x + − | (lớn tùy ý), tồn số δ = δ(M ) cho với x thỏa mãn < |x − x0 | < δ f (x) > M Ta viết lim f (x) = +∞ x→x0 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên Giới hạn phía Cho hàm số f (x) xác định tập D = (a, x0 ) Định nghĩa Hàm số f (x) gọi có giới hạn trái A x → x0 với ǫ > bé tùy ý tồn số δ = δ(ǫ) > cho với x thỏa mãn < x0 − x < δ |f (x) − A| < ǫ Khi ta viết lim f (x) = A, (hoặc lim f (x), f (x0 − 0)) x→x0 −0 x→x− Cho hàm số f (x) xác định tập D = (x0 , b) Định nghĩa Hàm số f (x) gọi có giới hạn phải A x → x0 với ǫ > bé tùy ý tồn số δ = δ(ǫ) > cho với x thỏa mãn < x − x0 < δ |f (x) − A| < ǫ Khi ta viết lim f (x) = A, (hoặc lim f (x), f (x0 + 0)) x→x0 +0 x→x+ Trong trường hợp x0 = ta ký hiệu giới hạn trái giới hạn phải tương ứng lim f (x); lim f (x) x→−0 x→+0 Ví dụ Tính giới hạn phía hàm số sau x → f (x) = 2x + −x x > x ≤ Giải Ta có lim f (x) = lim+ (2x + 1) = x→1+ x→1 lim f (x) = lim− (−x) = −1 x→1− x→1 Ta chứng minh hàm f (x) có giới hạn x → x0 giới hạn trái giới hạn phải điểm tồn 1.2.2 Tính chất Định lí Giả sử tồn giới hạn lim f (x) = A, lim g(x) = B Khi x→x0 • lim [kf (x)] = kA , k=const x→x0 • lim [f (x) + g(x)] = A + B x→x0 x→x0 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên • lim [f (x)g(x)] = AB x→x0 f (x) x→x0 g(x) • lim = A , B B=0 Định lí Giả sử tồn giới hạn lim f (x) = A, lim g(x) = B Nếu tồn x→x0 x→x0 số δ > cho f (x) ≤ g(x) với x thỏa mãn < |x − x0 | < δ A ≤ B Định lí Giả sử tồn giới hạn lim g(x) = lim h(x) = A số δ > x→x0 x→x0 cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) với x thỏa mãn < |x − x0 | < δ lim f (x) = A x→x0 Ví dụ Chứng minh giới hạn sau tính chất kẹp lim x sin x→0 Giải: Ta có =0 x ≤1 x ⇒ −|x| ≤ x sin ≤ |x| x −1 ≤ sin mà lim |x| = x→0 Vậy lim x sin x→0 1.2.3 =0 x Vô bé Định nghĩa f (x) gọi VCB x → x0 lim f (x) = x→x0 Ví dụ f (x) = x2 VCB x → f (x) = sin(x − 1) VCB x → Các tính chất vô bé Giả sử f (x) g(x) vô bé x → x0 Khi • f (x) + g(x), f (x)g(x) vô bé x → x0 • kf (x), k số, vơ bé x → x0 • f (x)h(x), với h(x) bị chặn lân cận x0 , vô bé x → x0 1.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN Nguyễn Văn Kiên So sánh vô bé Gỉa sử f (x) g(x) VCB x → x0 Xét giới hạn lim x→x0 f (x) =k g(x) • Nếu k = ta nói f (x) VCB bậc cao g(x) x → x0 ký hiệu f (x) = o(g(x)), x → x0 • Nếu k = ta nói f (x) g(x) VCB tương đương, ký hiệu f (x) ∼ g(x), x → x0 • Nếu k = 0, ta nói f (x) g(x) VCB bậc, ký hiệu f (x) = O(g(x)), x → x0 • Nếu giới hạn không tồn f (x) g(x) VCB không so sánh Các VCB tương đương x → sin x ∼ x tan x ∼ x arcsin x ∼ x arctan x ∼ x ex − ∼ x ln(x + 1) ∼ x (1 + mx)α − ∼ mαx − cos x ∼ x2 Một cách tổng quát sin u(x) ∼ u(x) u(x) → x → x0 tương tự với biểu thức cịn lại cơng thức √ √ √ Ví dụ sin x ∼ x x → x → x → ln(1 + sin x2 ) ∼ sin x x → sin x2 → x → arctan(x − 2)2 ∼ (x − 2)2 x → (x − 2)2 → x → 4.4 CHUỖI HÀM Nguyễn Văn Kiên Định lí 34 Nếu chuỗi lũy thừa đối x cho |x| < |x0 | ∞ an xn hội tụ x0 = chuỗi hội tụ tuyệt n=0 Hệ Nếu chuỗi phân kỳ x0 phân kỳ x mà |x| > |x0 | Ta có số nhận xét: Nhận xét • Tồn số R ≥ cho chuỗi hội tụ khoảng (−R, R) (nếu R = chuỗi hội tụ điểm 0) phân kỳ khoảng (−∞, R) ∪ (R, +∞), ±R chuỗi hội tụ phân kỳ Số R gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa • Bán kính hội tụ chuỗi ∞ an x bán kính hội tụ chuỗi n n=0 ∞ n=0 |an xn | Do miền hội tụ hai hai chuỗi khác ±R, từ ta có cách tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa ∞ an xn sau: n=0 Cách Tìm bán kính hội tụ R sau xét ±R Cách Xét chuỗi trị tuyệt đối chuỗi dương ∞ n=0 |an xn | áp dụng quy tắc xét hội tụ Quy tắc tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa an+1 = ρ (hoặc lim n→∞ n→∞ an lũy thừa tính theo cơng thức Định lí 35 Giả sử lim n |an |) bán kính hội tụ chuỗi 1  < ρ < +∞  ρ R = +∞ ρ =    ρ = +∞ Ví dụ 74 Tìm bán kính hội tụ chuỗi: ∞ n=1 ∞ n=0 xn n2 xn n! 76 4.4 CHUỖI HÀM ∞ Nguyễn Văn Kiên n n xn n=1 Giải Ta có (n + 1)2 =1 n→∞ n2 Vậy bán kính hội tụ chuỗi R = ρ = lim Ta có ρ = lim n→∞ n! = lim =0 n→∞ (n + 1)! (n + 1) Như bán kính hội tụ chuỗi R = +∞ Ta có ρ = lim n→∞ √ n nn = lim n = +∞ n→∞ Bán kính hội tụ chuỗi R = hay chuỗi hội tụ x=0 Ví dụ 75 Tìm miền hội tụ chuỗi ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 ∞ n=1 (x − 1)n 2n (n + 1) n(x + 2)n n+1 2n − n (x − 2)2n n(ln x)n Giải Xét chuỗi ∞ n=1 (x − 1)n 2n (n + 1) Dùng tiêu chuẩn Đalămbe ta có lim n→∞ |x − 1| (x − 1)n+1 2n (n + 1) = n+1 n (n + 2) (x − 1) Để chuỗi hội tụ |x − 1| < ⇔ −2 < x − < ⇔ −1 < x < 77 4.4 CHUỖI HÀM Nguyễn Văn Kiên + Tại x = −1 chuỗi trở thành ∞ n=1 (−1)n n+1 chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Lepnit + Tại x = chuỗi trở thành ∞ n=1 chuỗi phân kỳ n+1 1 ∼ , n→∞ n+2 n Kết luận: Miền hội tụ chuỗi [−1, 3) Xét chuỗi ∞ n=1 n(x + 2)n Sử dụng tiêu chuẩn Đalămbe ta có n(x + 2)n lim = n→∞ (n + 1)(x + 2)n+1 |x + 2| Với chuỗi hội tụ < ⇔ < |x + 2| ⇔ x < −3 x > −1 |x + 2| + Tại x = −3 chuỗi trở thành ∞ n=1 = n(−1)n ∞ n=1 (−1)n n Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Lebnit + Tại x = −1 chuỗi trở thành ∞ n=1 n Chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ chuỗi (−∞, −3] ∪ (−1, +∞) Xét chuỗi ∞ n=1 n+1 2n − 78 n (x − 2)2n 4.4 CHUỖI HÀM Nguyễn Văn Kiên Ta có lim n+1 2n − n n→∞ Với n (x − 2)2 n+1 (x − 2)2 = 2n − (x − 2)2n = lim n→∞ √ √ (x − 2)2 có tổng hàm f (x) n=0 f (x) = ∞ n=0 an xn , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R) Khi theo tính chất chuỗi lũy thừa ta suy f (x) hàm khả vi cấp f (x0 ) = a0 f ′ (x) = ∞ n=1 f ′′ (x) = ∞ n=2 nan xn−1 ⇒ f ′ (x0 ) = a1 n(n − 1)an xn−2 ⇒ f ′′ (x0 ) = 2!a2 80 4.5 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN Nguyễn Văn Kiên Tiếp tục trình ta nhận f (n) (x0 ) = n!an Và từ ta f (x) = ∞ n=0 f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! (4.4) Bài toán ngược lại cho hàm f (x) xác định U , liệu có chuỗi lũy thừa với tâm x0 ∈ U mà tổng hàm f (x) Nếu có chuỗi lũy thừa ∞ f (n) (x0 ) phải chuỗi (x − x0 )n Ta có định nghĩa n! n=0 Định nghĩa 25 Giả sử f (x) hàm khả vi cấp lân cận điểm x0 chuỗi ∞ n=0 f ′ (x0 ) f (n) (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )n = f (x0 ) + (x − x0 ) + + (x − x0 )n + n! 1! n! gọi chuỗi Taylor hàm số f (x) điểm x0 Nếu x0 = 0, chuỗi ∞ n=0 f (n) (0) n f ′ (0) f (n) (0) n x = f (0) + x + + x + n! 1! n! gọi chuỗi Maclaurin hàm f (x) Định nghĩa 26 Ta nói hàm f (x) khai triển thành chuỗi Taylor x0 khoảng hội tụ chuỗi Taylor f (x) có tổng f (x) f (x) = ∞ n=0 f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! Vấn đề đặt với điều kiện hàm f (x) khai triển thành chuỗi Taylor Không phải hàm khả vi vơ hạn khai triển thành chuỗi Taylor Như biết, f (x) khả vi đến cấp n + lân cận điểm x0 ta có cơng thức: f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + + (x − x0 )n + Rn (x) 1! n! Trong Rn (x) = f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 , c nằm x x0 (n + 1)! Như vậy, f khả vi vơ hạn khai triển theo cơng thức Taylor cấp Ta có định lý 81 4.5 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN Nguyễn Văn Kiên Định lí 36 Giả sử f (x) hàm có đạo hàm cấp lân cận U (x0 ) điểm x0 Khi điều kiện cần đủ để hàm f (x) khai triển thành chuỗi Taylor x0 lim Rn (x) = 0, ∀x ∈ U (x0 ) n→∞ Trong nhiều trường hợp để kiểm tra điều kiện lim Rn (x) = khó khăn Do n→∞ ta thường áp dụng điều kiện đủ sau Định lí 37 Nếu lân cận U (x0 ) điểm x0 hàm số có đạo hàm cấp tồn số M > cho |f (n) (x)| < M với ∀x ∈ U (x0 ), ∀n > hàm f khai triển thành chuỗi Taylor x0 4.5.2 Khai triển Maclaurin số hàm quen thuộc • f (x) = ex Ta có |f (n) (x)| = |ex | < er , ∀x ∈ (−r, r) , r tùy ý Như ex khai triển thành chuỗi lũy thừa (−r, r) Do r tùy ý nên ex khai triển thành chuỗi lũy thừa toàn R ex = + x + xn x2 x3 + + + + 2! 3! n! −∞