PHẦN 1 đại số TUYẾN TÍNH

Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƢƠNG MA TRẬN 1.1 MA TRẬN ĐỊNH NGHĨA [ ], hàm số Ma trận mảng hình chữ nhật số [ trịn ( ) ] xếp theo hàng cột dấu ngoặc vuông [ ] dấu ngoặc ] Ma trận có hàng, cột [ Ma trận [ ] có hàng, cột Phần tử Các số 0,1,2,3,4,5 hàm số gọi phần tử Phần tử chúng bên ma trận , số hàng ma trận [ Chẳng hạn, phần tử Do , ma trận nói , số cột biểu thị cho vị trí ] phần tử thuộc hàng cột Người ta biểu diễn ma trận chữ in hoa tổng quát dấu ngoặc vng [ ] Ví dụ, [ ] Tổng quát, ma trận có [ hàng ] [ cột biểu diễn sau gọi kích thước ma trận phần tử thuộc hàng thứ ( phần tử ] ( ) ) cột thứ ( Nếu (1) ma trận vng kích thước vng cấp ) Với ma trận vng, đường chéo chứa phần tử ) (hay ma trận Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi Ma trận dùng để biểu diễn cho hệ thống tuyến tính Ví dụ Xét mạch điện tuyến tính hình Dùng định luật Kirchhoff để thiết lập hệ phương trình tuyến tính mơ tả mạch điện Định luật kirchhoff 1: nút mạch điện, tổng đại số dịng điện nút (hoặc tổng dịng điện vào nút tổng dòng điện khỏi nút đó) Định luật kirchhoff 2: vịng kín mạch điện, tổng đại số điện áp phần tử Chú ý: Tổng đại số dòng điện điện áp xét dấu của dòng điện điện áp tương ứng Định luật kirchhoff nút a viết sau: ( ) Định luật Kirchhoff cho vòng gồm phần tử , viết sau: ( ) Định luật Kirchhoff cho vòng gồm phần tử viết sau: Hình Hệ phương trình tuyến tính (1), (2), (3) theo biến số { Phương trình ( ) thiếu biến ta viết thêm ma trận kích thước tuyến tính [ Ví dụ ] { nên ta viết thêm ( ) Tương tự, phương trình ( ) chứa hệ số vế bên trái hệ phương trình gọi ma trận hệ số Một cửa hàng bán quần, áo, váy có số liệu bán hàng tuần biểu theo ma trận sau Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Thứ Biên soạn: Trần Đức Lợi [ VÉC TƠ chủ nhật ] Ma trận có hàng cột thường gọi véc tơ Người ta ký hiệu véc tơ chữ thường Véc tơ [ ] [ ] gọi véc tơ hàng véc tơ ] [ [ ] gọi véc tơ cột CÁC PHÉP TOÁN VỚI MA TRẬN  Phép toán Điều kiện: Hai ma trận gọi chúng có kích thước phần tử có vị trí tương ứng hai ma trận phải Cho [ ] [ ] ( ) Ví dụ Cho ma trận [ ] ma trận kích thước [ thước ] ma trận có kích thước nên ma trận [  ] Tìm phần tử biết Theo (2) { Phép toán cộng (trừ) Điều kiện: Hai ma trận cộng (hoặc trừ) với chúng có kích ] Cho ma trận [ Nếu Ví dụ Theo (3) [ [ [ ] [ ] ] ] [ [ ( ) ] Tìm ma trận ( ) ] [ ] Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử [  ] Theo (4)  ( [ Nhân số với ma trận Một số nhân với ma trận Ví dụ ] Tìm [ Cho ma trận [ ( Các tính chất phép cộng ( ( ) Trong { ( ( ( ( ) ) ) ) ( Biên soạn: Trần Đức Lợi [ ] [ ] [ ] ( ) ] [ ) ( ( ( ) ] viết ] ) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ) ma trận không gồm tất phần tử có giá trị 1.2 PHÉP NHÂN MA TRẬN Định nghĩa [ Tích ma trận [ ] ] xác định số cột ma trận thước ma trận [ với ma trận ] ma trận số hàng ma trận Kích xác định sau [ ] [ ] [ ] Phần tử xác định tổng tích phần tử hàng ma trận với phần tử nằm cột ma trận Tương tự cho phần tử khác ma trận Cơng thức tổng qt xác định phần tử Ví dụ ∑ ( ) Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử [ Cho ma trận Theo ] Biên soạn: Trần Đức Lợi ] [ ∑ ( ) ( ) ( Ví dụ [ ] véc tơ [ ] [ Ví dụ Cho véc tơ (6) ) ] [ Cho ma trận Tìm ma trận [ ] [ [ ] Các tính chất phép nhân ma trận Tìm ma trận ] Tìm véc tơ ] [ ] Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử ( ( ( ) ) { ( Phần tử ma trận ) ( ) ( ) ) Biên soạn: Trần Đức Lợi ( ( véc tơ hàng thứ ma trận Như [ Do ] [ [ ] viết theo véc tơ cột thứ ma trận ] ] [ Hay [ ] ) ) ( ) ][ [ ) [ với cơng thức sau ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ] [ ] ( ( ) ) (10) cơng thức sử dụng để tính tốn nhân ma trận tin học gọi trình xử lý song song phép nhân ma trận Ví dụ Tính [ ] ][ Người ta tính cột [ Rồi viết ma trận theo (10) ][ ] [ [ [ ][ ] ][ ] theo cột [ [ [ ] ] ] [ ] ] Phép nhân ma trận phép biến đổi tuyến tính Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi Xét hệ phương trình tuyến tính ( { ) Hệ phương trình tuyến tính tương ứng với hệ tọa độ phẳng mặt Theo phép nhân ma trận viết sau [ ] [ ][ ] ( gọi ma trận biến đổi Ma trận ) Giả sử ta có quan hệ Hay [ ] Thế (12) vào (10) { [ Hay ][ ] ( [ ( ) ) ) ( ( ) ) ( ( [ ] { ) ( ( ][ ) ) ] [ ( { ( ( ][ ) ) ( ] ) ) Thế (13) vào (11) [ So sánh (14) (16) ta có [ ] (15) (17) chứng tỏ phép nhân ma trận ] ][ [ ][ ( ] ( ) ) với công thức (6) Ví dụ 10 Giả sử điểm véc tơ [ ] ( ) nằm mặt phẳng [ ] Ma trận biến đổi [ ] Tọa độ điểm biểu diễn ( ) Giáo Trình Toán Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi Theo (11) [ ] Nghĩa điểm ( ( ) mặt phẳng ][ ] [ [ ] biến đổi thành điểm ) mặt phẳng Vì thế, người ta gọi phép nhân ma trận phép biến đổi tuyến tính hay phép ánh xạ tuyến tính 1.3 MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT Ma trận chuyển vị [ Cho ma trận hàng thứ ] Ma trận chuyển vị ma trận chuyển vị cột thứ [ ma trận ] nghĩa Ví dụ 11 [ ] [ Các tính chất ma trận chuyển vị (AT)T = A (A + B)T = AT + BT (cA)T = cAT (AB)T = BTAT Ma trận đối xứng Nếu (hay phần tử ma trận ] ) ma trận gọi ma trận đối xứng Nghĩa đối xứng qua đường chéo Ma trận đối xứng lệch Nếu lệch (hay ) ma trận gọi ma trận đối xứng Ví dụ 12 [ ] ma trận đối xứng [ Ma trận tam giác trên, ma trận tam giác dƣới ] ma trận đối xứng lệch Ví dụ 13 [ ] ma trận tam giác có với (các phần tử nằm đường chéo có số hàng lớn số cột ) Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi ] ma trận tam giác có [ với (các phần tử nằm đường chéo có số hàng nhỏ số cột ) Ma trận chéo, ma trận đơn vị [ ] ma trận chéo có với với [ ] ma trận chéo có với với 1.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NHÂN MA TRẬN Ví dụ 14 Một cơng ty sản xuất hai mẫu máy tính PC1086 PC1186 Ma trận hiển thị chi phí cho máy tính (tính ngàn đô la) ma trận cho biết số liệu sản xuất cho năm 2010 (tính theo bội số 10.000 đơn vị.) Tìm ma trận cho cổ đơng thấy chi phí q (tính triệu la) cho nguyên liệu thô, nhân công thứ linh tinh khác [ Ví dụ 15 ] [ [ ] ] Giả sử chương trình theo dõi cân nặng, người cân nặng 84 kg đốt cháy 350 cal/giờ (4,8 km/giờ), 500 cal/giờ xe đạp (21 km/giờ) 950 cal/giờ chạy (8,6 km/giờ) Kế hoạch tập thể dục theo ngày với số hiển thị ma trận [ ] Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi Tìm ma trận biểu thị lượng đốt cháy người tuần [ ][ ] ] [ 1.5 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ PHÉP LOẠI TRỪ GAUSS Hệ phƣơng trình tuyến tính Xét hệ thống tuyến tính biểu diễn hệ phương trình tuyến tính biến ( { Nghiệm ( phương trình Nếu ) ) tập hợp giá trị thỏa mãn tất (18) gọi hệ phương trình tuyến tính Nếu (18) gọi hệ phương trình tuyến tính khơng Xét hệ phương trình tuyến tính khơng gồm phương trình Điểm có tọa độ ( đường thẳng trình: - { ) gọi nghiệm hệ phương trình thuộc đường thẳng Vì hệ phương Có nghiệm đường thẳng đường thẳng (Hình 7a) Có vơ số nghiệm đường thẳng đường thẳng (Hình 7b) Khơng có nghiệm đường thẳng với đường thẳng (Hình 7c) cắt trùng với song song 10 Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Hình 7a Biên soạn: Trần Đức Lợi Hình 7b Hình 7c Theo phép nhân ma trận, ta biểu diễn (18) phương trình ma trận ] [ [ ] [ Nếu ta thêm cột bên phải (18) vào ma trận hệ số [ ] ta ma trận phụ trợ ] Ma trận phụ trợ biểu diễn đầy đủ hệ thống tuyến tính chứa tất hệ số hệ thống tuyến tính Mỗi hàng ma trận phụ trợ tương ứng với hệ số phương trình hệ phương trình tuyến tính Chẳng hạn như, hàng thứ ma trận phụ trợ tương ứng với hệ số phương trình thứ Phép loại trừ Gauss Xét hệ phương trình tuyến tính Ma trận hệ số { ma trận tam giác [ ] 11 Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi Nên hệ phương trình tuyến tính gọi hệ tuyến tính dạng tam giác Với hệ tuyến tính dạng tam giác, người ta dễ dàng tìm nghiệm hệ phương trình, Thế vào phương trình ta ( Điều cho người ta ý tưởng thay hệ thống tuyến tính dạng tổng qt ) dạng tam giác Ví dụ 16 Hình Theo định luật Kirchhoff ta có hệ phương trình tuyến tính khơng { Ta biến đổi hệ thống ( Bước 1: Để hệ số { Bước 3: Hệ ( ) ) dạng tam giác theo thứ tự bước sau phương trình thứ 0, ta thay phương trình có hệ phương trình Bước 2: Tương tự, để hệ số phương trình { ( ( ) ( ) phương trình thứ 0, ta thay có hệ phương trình ) hệ tam giác có nghiệm xác định 12 Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử { Các hệ ( )( )( { ) ( Dễ thấy, thỏa mãn phương trình hệ ( Biên soạn: Trần Đức Lợi nghiệm hệ ( ) ( ) Thật ( ) ( ) chúng ) ) gọi hệ phương trình tương đương Như nói trên, phần tử hàng ma trận phụ trợ ̃ tương ứng với hệ số phương trình hệ phương trình tuyến tính Vì vậy, ta thực bước 1, 2, hàng ma trận ̃ , cụ thể sau ̃ 1    2 10  ⇔  0   Ma trận ( ( Hàng thứ ) { ( ) 1    0 10 10  ⇔   0   ( ) ) giúp ta xác định nghiệm hệ ( ) 1    0 10 10    0 ,6 14  ( ) Hàng thứ Hàng thứ Việc thay hàng ma trận phụ trợ ̃ gọi phép loại trừ Gauss Một số tính chất phép loại trừ gauss giải hệ phƣơng trình tuyến tính 13 Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử - Biên soạn: Trần Đức Lợi Đổi vị trí hàng ma trận phụ trợ ̃ tương ứng với đổi vị trí phương trình hệ phương trình tuyến tính Nhân số cho hàng cộng với hàng khác tương ứng với nhân số cho phương trình cộng với phương trình khác Nhân số cho hàng tương ứng với nhân số cho phương trình Phép loại trừ Gauss áp dụng cho hàng ma trận áp dụng cho cột Khi thực phép loại trừ Gauss, ta nhận ma trận phụ trợ tương đương tương ứng với hệ phương trình tương đương Cụ thể hệ ( ) tương ứng ma trận phụ trợ ( ), hệ ( ) tương ứng với ma trận phụ trợ ( ) hệ ( ) tương ứng với ma trận phụ trợ ( ) 14 Giáo Trình Tốn Ứng Dụng Cho Kỹ Sư Điện – Điện Tử Biên soạn: Trần Đức Lợi BÀI TẬP KIỂM TRA 1 Cho mạch điện tuyến tính hình a Hãy viết hệ phương trình tuyến tính mơ tả mạch điện theo dòng điện dùng định luật kirchhoff 1, b Viết ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính c Thực biến đổi Gauss để giải hệ phương trình Hình 2 Cho ma trận A, B, C D ], [ [ ], [ [ Tìm: ] ], [ ] a b c d 2A + 4B; 4B + 2A; 0A + B; 0,4B – 4,2A; 2(5D + 4C); D + C + E; F cho D+E+F=0 15 ... công ty sản xuất hai mẫu máy tính PC1086 PC 118 6 Ma trận hiển thị chi phí cho máy tính (tính ngàn la) ma trận cho biết số liệu sản xuất cho năm 2 010 (tính theo bội số 10 .000 đơn vị.) Tìm ma trận... quan hệ Hay [ ] Thế (12 ) vào (10 ) { [ Hay ][ ] ( [ ( ) ) ) ( ( ) ) ( ( [ ] { ) ( ( ][ ) ) ] [ ( { ( ( ][ ) ) ( ] ) ) Thế (13 ) vào (11 ) [ So sánh (14 ) (16 ) ta có [ ] (15 ) (17 ) chứng tỏ phép nhân... hệ thống tuyến tính Ví dụ Xét mạch điện tuyến tính hình Dùng định luật Kirchhoff để thiết lập hệ phương trình tuyến tính mơ tả mạch điện Định luật kirchhoff 1: nút mạch điện, tổng đại số dòng