BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp PHẦN 1 đại số TUYẾN TÍNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG CƠ SỞ II BỘ MÔN CƠ SỞ - CƠ BẢN TỔ TOÁN TIN BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP PHẦN 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH MỞ ĐẦU 0.1 Tập hợp * Khái niệm Tập hợp hiểu tổng quát nhóm đối tượng có chung đặc trưng Người ta thường dùng chữ in hoa A, B, C,… để ký hiệu tập hợp Nếu x phần tử A kí hiệu x  A Ngược lại kí hiệu x  A ( x khơng thuộc A) Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Kí hiệu:  * Cách biểu diễn tập hợp Có ba cách biểu diễn tập hợp: - Liệt kê: Liệt kê tất phần tử dấu { } Ví dụ 0.1 Cho tập hợp A gồm phần tử 0,1, 2, a, b A  {0,1, 2, a, b} - Theo tính chất đặc trưng: B  {x | x có tính chất đặc trưng Q}  0} đọc “B tập hợp số x cho x   ” Ví dụ 0.2 B  {x  - Giản đồ Ven Ví dụ 0.3 Cho a, b,  A ; c, 3  A , ta biểu diễn giản đồ Ven sau -3 b a c * Tập hợp con, tập hợp - Tập hợp con: A tập hợp B phần tử A phần tử B Kí hiệu: A  B ( A chứa B ) A  B  " x, x  A  x  B" Nhận xét: ta có   A A  A với tập hợp A - Tập hợp nhau: A  B  A  B B  A  " x, x  A  x  B" * Các phép toán tập hợp - Phép giao: A  B  {x, x  A x  B} - Phép hợp: A  B  {x, x  A hay x  B} - Phép hiệu: A  B  {x, x  A x  B} - Phần bù: Cho A  E , phần bù A E tập hợp có tính chất A  AC  CE A  E \ A  {x , x  E x  A} - Hiệu đối xứng: Cho A, B hai tập hợp Hiệu đối xứng A B, kí hiệu AB tập hợp xác định sau AB  ( A \ B)  ( B \ A) - Tích Descartes: Cho A, B hai t ập hợp Tích Descartes A B, kí hiệuA B tập hợp xác định sau A  B   a, b | a  A, b  B Ví dụ 0.4 Cho A  1,2,3 , B  0,1 Khi A  B 1,0 , 1,1 , 2,0 , 2,1 , 3,0 , 3,1 0.2 Ánh xạ * Định nghĩa Cho hai tập hợp X , Y   , phép liên kết f tương ứng phần tử x  X với phần tử y  Y gọi ánh xạ từ X vào Y X  Y f: Kí hiệu: x x) X gọi tập hợp nguồn (miền xác định) Y gọi tập hợp đích (miền giá trị) Ví dụ 0.5 f : x ánh xạ * Ảnh tạo ảnh Cho ánh xạ f : X  Y tập hợp C  X , D  Y - Ảnh tập C qua ánh xạ f , kí hiệu f (C) tập hợp tất ảnh phần tử x C f (C)  { f ( x)  Y | x  C} Đặc biệt, f ( X ) tập ảnh ánh xạ f - Tạo ảnh D qua ánh xạ f , kí hiệu f 1 ( D) tập tất phần tử x  X có ảnh thuộc D f  (D)  {x X | f ( x) D} * Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cho ánh xạ f : X  Y - Ánh xạ f gọi đơn ánh x1, x2  X f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 Ví dụ 0.6 Cho ánh xạ f : xác định f ( x)  x3 1 Nếu f ( x1)  f ( x2 ) hay x13 1  x23  , ta suy x13  x23 x1  x2 Vậy f đơn ánh - Ánh xạ f gọi toàn ánh với phần tử y  Y tồn phần tử x  X cho f ( x)  y xác định f ( x)  x3 1 Ví dụ 0.7 Cho ánh xạ f : Lấy y  y, x  , phương trình y  x3  ln có nghiệm x  y  Nghĩa y  cho f ( x)  f ( y 1)  ( y 1)   y Do f toàn ánh - Ánh xạ f gọi song ánh f vừa tồn ánh vừa đơn ánh Ví dụ 0.8 Cho ánh xạ f : xác định f ( x)  x3 1 vừa toàn ánh vừa đơn ánh Do f song ánh * Ánh xạ ngược Cho ánh xạ f : X  Y song ánh Khi đó, phần tử x có ảnh xác định f ( x)  Y Ngược lại, phần tử y  Y có nghịch ảnh x  X Khi đó, ta gọi ánh xạ biến y  Y thành x  X cho f ( x)  y gọi ánh xạ ngược song ánh f , kí hiệu f 1 Vậy f  ánh xạ từ Y vào X, song ánh * Tích hai ánh xạ Cho ba tập hợp X , Y , Z hai ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z Ánh xạ từ X vào Z xác định x  X  z  g  f ( x)  Z gọi tích (hợp) ánh xạ f g , kí hiệu go f Ví dụ 0.9 Cho f : , f ( x)  cos x g :  go f ( x)  g  f ( x)  ecosx ;  fo g  ( x)  f  g( x)  sin ex 0.3 Trường số thực , g( x)  ex Khi đó, ta có * Khái niệm số thực Tập hợp số hữu tỉ bao gồm s ố thập phân hữu hạn số thập phân vô hạn tuần hồn Ngồi số hữu tỉ, ta cịn gặp số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn cịn gọi số vô tỉ Tập hợp số hữu tỉ vô tỉ gọi tập hợp số thực, kí hiệu * Các phép tốn tính chất Trong tập số thực có phép tốn s ố học: cộng, trừ, nhân chia có số tính chất sau: Với a, b, c Giao hoán: a b  b  a; ab  ba Kết hợp: ( a b)  c  a ( b c); ( ab) c  a( bc) Phân phối: a( b  c)  ab  ac Quan hệ thứ tự: a  b a nhỏ b Tính trù mật : a, b  a  b tồn q  cho a  q  b x x  Giá trị tuyệt đối x   x x  * Tiên đề cận - Tập A  gọi bị chặn (chặn dưới) tồn số M (m) cho a  M (a  m) với a  A - Tập A  số m, M  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Nghĩa tồn cho A  [m; M ] Hay tập A bị chặn tồn số   cho a   với a  A - Số M gọi cận A Số bé tất cận A gọi cận A, kí hiệu sup A Đặc biệt, sup A  A sup A phần tử lớn A , kí hiệu max A - Số m gọi cận A Số lớn tất cận A gọi cận A, kí hiệu inf A Đặc biệt, inf A  A inf A phần tử nhỏ A , kí hiệu A Tiên đề cận đúng: Mọi tập hợp A  thuộc thuộc Suy tập hợp A  không rỗng, bị chặn có cận khơng rỗng, bị chặn có cận 0.4 Trường số phức * Khái niệm số phức Số phức số có dạng z  a  bi Trong a , b số thực; i kí hiệu thoả i  1 mà ta gọi đơn vị ảo Hơn nữa, a gọi phần thực z , kí hiệu Re z ; b gọi phần ảo z , kí hiệu Imz Mơđun số phức z , kí hiệu z xác định z  a  b Hai số phức z  a  bi, w  c  di ( a, b, c, d  gọi a  c, b  d Tập hợp số phức kí hiệu * Các phép tốn trường số phức Cho hai số phức z  a  bi, w  c  di ( a, b, c, d  - Phép cộng trừ: z  w  (a  c)  ( b  d )i z  w  (a  c)  ( b  d )i - Phép nhân: z w  ( a  bi)( c  di)  ( ac  bd)  ( ad  bc) i - Phép chia: z a  bi (a  bi)(c  di) ac  bd bc  ad     i w c  di c2 d c  d c2  d * Dạng lượng giác số phức Cho số phức z  a  bi ( a, b  với môđun r  z Argument z , kí hiệu Arg z tập hợp góc  thoả   a cos  r (*)  b sin    r Nếu  nghiệm (*) Arg z    k 2 , k  Argument z, kí hiệu arg z Argument z thoả  arg z  2 Nếu z  a  bi   a b  z  a2  b2  i  r (cos  i sin )(**) 2 2  a b   a b Trong r  z ,   Arg z Ví dụ 0.10 Cho số phức z   3i Tìm môđun, Arg z, arg z dạng lượng giác z   cos  2 Ta có z   (  3)   (*) sin     Một nghiệm (*)     suy Arg z     k 2 , k  arg z  5        Dạng lượng giác: z   cos   k 2   i sin    k 2   , k       * Công thức Moivre Giả sử z  r(cos  isin ), w r '(cos ' isin ) Khi ta có zn  rn (cos n  i sin n ) z w  r.r ' cos(   ')  isin(   ') 2020 Ví dụ 0.11 Tính (1  3i)        Ta có  i  cos    k2   isin    k2  , k       Suy   2020   2020   k 2   i sin    k 2  , k  (1  3)2020  22020  cos   3       1 3  22020   i   22019  i22019   * Khai số phức Cho z số phức Số phức w gọi bậc n z wn  z Khai bậc n z tức tìm tất bậc n z Cho z  r cos(   k 2 )   i sin(  k 2 )  Giả sử w  s  cos  i sin  bậc n z Khi wn  z  s n  cos n  i sin n   r  cos(  k 2 ) i sin(  k 2 ) s  n r s n  r     k2  n    k 2    n n  Vậy tập bậc n z n    k2    k2  i sin z  w k  n r  cos n n      ,k  0,1, ,n  1 (*)   Căn bậc n z n số phức khác tính cơng thức (*) Ví dụ 0.12 Tìm tất bậc n Ta có 1  0.i 1(cos k 2  i sin  ), k  n Căn bậc n k2 k2    i sin   k  cos , k  0,1, ,n  1 n n   * Giải phương trình Phương trình bậc 2: ax2  bx  c  ln có hai nghiệm Phương trình bậc n t ập số phức ln có n nghiệm Ví dụ 0.13 Giải phương trình x  x   Ta có   12  12 i2 4  3i  2  i 4  i  2  i x2  x1  CHƯƠNG 1: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 1.1 Khái niệm ma trận 1.1.1 Ma trận Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Một ma trận có m dịng n cột gọi ma trận cấp m  n Ma trận cấp m  n có dạng tổng quát sau  a11 a12 a a22 A   21    am am aij  a13 a23 am ; j  1, n) Số aij nằm dòng i cột j ma trận A gọi phần tử ma trận A Phần tử nằm dòng i cột j kí hiệu ( A)ij Để viết ngắn gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A  (aij )mn kí hiệu M m n  Tập hợp ma trận cấp m  n với aij  Ví dụ 1.1  1 A   ma trận cấp  3, có a13  1; a22  4   3 B    ma trận cấp  , có b12  2, b21  4, b32    5    1.1.2 Các dạng ma trận * Ma trận không Cho ma tr ận A cấp m  n A gọi ậ tất phần tử ma trận 0,  A ij  0, i, j Kí hiệu 0mn * Ma trận dịng, ma trận cột - Ma trận cấp m 1 gọi ma trận cột (ma trận có cột) - Ma trận cấp 1 n gọi ma trận dòng (ma trận có dịng) Ví dụ 1.2 C   4 5 ma trận dòng 2 D    ma trận cột  1   * Ma trận chuyển vị Ma trận chuyển vị A ma tr ận thu cách đổi dòng thành cột tương ứng ma trận A Ma trận chuyển vị A kí hiệu AT Nếu A ma trận cấp m  n AT ma trận cấp n  m Ví dụ 1.3  1  5   T A   A 3     5 7     Chú ý: AT T  A * Ma trận vng Ma trận có số dịng s ố cột n gọi ma trận vng cấp n Kí hiệu A   a ij  n n   hay a ij n Tập hợp tất ma tr ận vuông cấp n kí hiệu Mn  Các phần tử có dạng aii gọi phần tử chéo ma trận Đường thẳng chứa phần tử chéo gọi đường chéo A  1 Ví dụ 1.4 A    ma trận vuông cấp Các phần tử 3, 1, phần tử 1    chéo A * Ma trận tam giác Cho A ma trận vuông cấp n - Ma trận A ma trận tam giác tất phần tử nằm bên đường chéo 0, tức aij  0, i  j ; i  1, ,n; j  1, ,n - Ma trận A ma trận tam giác tất phần tử nằm bên đường chéo 0, tức aij  0, i  j; i  1, ,n; j  1, ,n Ví dụ 1.5 10  0    0  4 4 8 0 1 d3 d3  d1   0 0  0  0  4   dd23 dd23  dd11     0  6 6 0  4 4 8 0  4 0 1  0  d2  d2   6 6    0 1  0 0  0  d1  d1 Ta hệ phương trình  x1   a  x1  x  x     x2  a  a    x2  x3  x  a  Vậy véctơ riêng ứng với giá trị riêng   là:   a,  a, a  với a khác không Một sở không gian riêng E  3  u3   1, 1,1 Do A chéo hố số véctơ riêng độc lập tuyến tính Lập ma trận T ma trận mà cột véctơ u1, u2 , u3  1 3 1 T   1     T ma trận làm chéo hố A Dạng chéo A  0 T 1AT   0  0 3 5.3 Dạng toàn phương 5.3.1 Các khái niệm * Ma trận đối xứng Cho A ma trận vuông cấp n  a11 a A   21    an1 a12 a22 an Ma trận A gọi ma tr ận đối xứng phần tử vị trí đối xứng qua đường chéo nhau, tức aij  a ji với i, j 1,2, , n 70 * Dạng toàn phương Một dạng toàn phương ánh xạ q : xác định n q (x )   aij xi x j i, j 1 x   x1 , x2 , , xn   , aij số thoả j a với i, j  1,2, , n Do aij  a ji nên dạng tồn phương cịn viết sau n q (x )   aii xi2  2 aij xi x j i 1  a11 a 21 Ma trận vuông A      an1 a12 a22 i j gọi ma trận dạng tồn phương q Vì an aij  a ji nên A ma trận đối xứng  x1  x  Nếu ta kí hiệu  x     ta viết dạng toàn phương dạng ma trận      xn  sau: q (x )   x  A x  T Ví dụ 5.6 Cho dạng tồn phương q( x)  x12  x22  x32  x1x2  3x2 x3  x1 x3 Tìm ma trận A q( x) Các hệ số x12 , x22 , x32 phần tử nằm đường chéo A Các hệ số tích xi x j  i  j gấp đơi giá trị aij A Do  a21 2 a13   a13   a31 a23   a23   a32 a12  1  a12   Vậy 71  2  A    3     3  2  1   * Dạng tắc dạng tồn phương Dạng tắc dạng toàn phương dạng toàn phương chứa bình phương biến q (x )  a1x12  a2 x22   a nx 2n 5.3.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc * Phương pháp Lagrange n Cho dạng toàn phương q (x )   aij xi x j Nếu a11  , ta viết i, j 1 q (x )  a11x12  2a12 x1 x2   2a1n x1 xn    a a  a11  x1  12 x2   1n x n   g1 a11 a11   ' Đặt x1  x1  a12 a x2   1n xn , ta có q( x)  a11 x1'2  g1 g1 dạng tồn a11 a11 phương không chứa x1 Nếu a11  a12  đặt x1  x1'  x'2 x2  x1'  x2' Khi a12 x1x2  a12 x1'2  a12 x'22 Theo trường hợp a11  , ta có q( x)  b1 x1'2  g1 với g1 dạng toàn phương khơng chứa x1 Tiếp tục q trình trên, ta đưa q( x) dạng q (x )  a1x12  a2x22   a mx2m Ví dụ Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc q x  x12  x22  x23  x1 x2  x1 x3  x2 x3 Ta có 72 q   x12  x1x2  x1 x3   x22  x32  x2 x3   x12  x1  x2  x3   x22  x32  x2 x3 2 2   x1  x1  x2  x3    x2  x3    x2  x3  x2 x3  2 x2  x3      x1  x2  x3   x22  x32  x2 x3   x1  x2  x3    x22  x2 x3   x32   x1  x2  x3    x22  x2 x3  x32   x32   x1  x2  x3    x2  x3   x3 2 Đặt  y1  x1  x2  3x3  x1  y1  y2  y3    x  y  2y  y  x  2x y  x x  y 3   Ta có dạng tắc q  y12  y22  y32 Ví dụ Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc q  x   2x1x2  x1 x3  x2 x3 Đổi biến, đặt  x1  y1  y   x2  y1  y2 x  y  Khi q  2 y1  y  y1  y    y1  y  y   y  y  y  y12  y 22  y1y  y 2y Biến đổi q   2y12  4y1 y3   2y22  8y2 y3   y12  y1y   y 22  y y   y12  y1y  y 32   y 22  y 2y  y 32   y1  y    y 22  y y   y 32   y1  y    y 22  y y  y 32   y 32   y1  y    y  y   y 32 2 73 Đặt  z1  y1  y  y1  z1  z2  z3  x1  z1  z  z3      x2  z1  z2  y2  y3   y2  z2  z3 z  y y  z x  z 3    Ta dạng tắc q  2z12  2z 22  6z 32 * Phương pháp Jacobi Phương pháp áp dụng cho dạng tồn phương có ma trận  a11 a A   21    an1 a12 a22 an a11 a1k a11 a12  0, , Dk   với thoả điều kiện: D1  a11  0, D2  a 21 a 22 a k1 a kk k  1, 2, , n  Khi đổi biến theo công thức  x1  y1  y2b21   ynbn1  x  y  y b   y b  2 32 n n2    xn  yn Với b ji  ( 1)i  j D j1, i ( j  i), D j 1,i định thức ma trận có phần tử D j 1 nằm giao dòng 1, 2, , j  cột 1, 2, , i 1, i 1, , j (bỏ cột i) ma trận A Khi q  D1 y12  D2 D y   n y 2n D1 Dn1 Ví dụ 5.7 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc q( x)  x12  x22  x32  3x1 x2  4x1 x3 74  2  Ma trận q là: A   2 2    2   0  1   2 Ta có D1  2; D2  3 2   ; D    17 4 Tính b ji : b21   1  b31   1 3   D1 2 D1,1 31 b32    1 3 2 D2,1  8 D2  2 D2,2   12 D2  Đổi biến x y y y   14    x2  y2 12 y3 x  y   Ta  1  17      4   2  q  y1  y2  y3  y12  y22 17 y32  75 * Phương pháp Gauss Giả sử A ma trận q sở, theo ngơn ngữ ma trận để đưa q dạng tắc cần tìm ma trận D cho DT AD ma trận chéo Cách tìm ma trận D Bước 1: Viết ma trận  A | I n  Bước 2: Thực phép biến đổi sơ cấp dòng, đồng thời lặp lại phép biến đổi sơ cấp cột  A | I n  đưa A dạng chéo Khi ma trận bên phải DT Ví dụ 5.8 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc q( x)  x12  5x22  8x32  x1 x2  6x1 x3 8x2 x3 Tìm ma trận D T Ta có  0    A I 3   0  0 1 Thực phép biến đổi sơ cấp dòng, đồng thời lập lại biến đổi kiểu cột  A I3   0 d  d  d  0   d23 d32 d11    A I3       2 2   0  0 2 1 3   0 0  0 0 c  c  2c1   d 3 d  d   c c 3 c1   2  0       2 1 3 1  0 5 7  1 0 0    c c 2 c2    0  0   1 Khối bên trái có dạng chéo,  0 1   DT  2  D  0     7  0 2 7  1   , DT AD  0 1  0 76 0  5  Đặt  x1  y1  y2  y3   x2  y2  y3 x  y  3 Khi q  y12  y22  y32 77 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Trong xác ánh xạ sau đây, ánh xạ ánh xạ tuyến tính , x3    x1  x2 , x2  x3, x3  x1  a f : b f : c f : , x3    x1  x2  x3 , x2  x3 ,  x1  x2  x3  2 , x3    x1x2, x1  x2  x3, x3  x1  x2 , x3   x1  x2  x3 , x1  x2  x3  d f : e f : , x3    x1  x2, x1  x2  x3,2 x1  x2, x2  x3  Bài Cho ánh xạ tuyến tính f: , x3 , x4    x1  x2 , x2  x3 , x3  x4  Tìm ma trận f cặp sở  B ,  B sau  B  u1 1, 1,0,0 , u2  0,1, 1,0 , u3  0,0,1, 1 , u4  0, 0,0,1   B   v1  1,1,1 , v2  1,1,0 , v3   1,0,0  xác định Bài Cho phép biến đổi tuyến tính f : f  x1, x2 , x3    x1 3 x2  x3 , x1  x2  x3 , 3 x1  x2  a Tìm ma trận f sở tắc b Tìm ma trận f sở V   1,1,1 , 1,1,0 , 1,0,1 Bài Cho V  v1, v2 , v3  sở Tìm ma trận phép biến đổi tuyến tính f sở V a f  v1   v2 ; f  v2   v3  2v1 ; f  v3   b f  v1   v3  v1  v2 ; f  v2   2v2 ; f v3  v2   2v3  5v1 Bài Phép biến đổi tuyến tính f sở  B   u1  8, 6,7 , u2  16,7, 13 , u3  9, 3,7  có ma trận  18 15  A  1 22 15     25 22 78 Tìm ma trận f sở  B'    v1  1, 2,1 , v2   3, 1, 2 , v3   2,1, 2  Bài Tìm giá trị riêng, véctơ riêng ma trận   4  0 1  1 2     A  1 ; B  0 ; C  1        0  0   2  Bài Chéo hoá ma trận A (nếu tồn tại) tìm ma trận T làm chéo hoá ma trận A, đồng thời xác định ma trận D  T  AT  2 a A   2    2   1 2  b A   3     3    1 d A   1    1 1  1 0 e A   0  1  1 2 c A  1     2 2 0 0 0 0  0 0  0 1 1  1 f A   0  0  1  Bài Cho A  1 1 Tìm An , n     1  Bài Tìm ma trận dạng toàn phương q 2 a q  x1  x2  11x3  8x1x2  8x1 x3 b q  x12  x32  x1x2  5x2 x3 c q  2x1x2  x3x1 Bài 10 Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc a q  x12  2x22  x32  x1x2  8x1 x3 b q  x12  2x22  3x42  x1x2  x2 x3  x3 x4 c q  x12  3x22  4x32  x1x2  x1x3  3x2 x3 d q  6x12  5x22  x32  x1x2  x1x3 e q  2x1x  2x2x3  x3x1 f q  x12  x22  3x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 Bài 11 Cho  un  ,   ,  wn  dãy số thực xác định bởi: 79 1  3  5   2   u n  2u n  v n  wn  u0      v0  22  v n1  u n  v n  w n   w  22     wn 1   un   2wn  Tính un , , wn 4 2 Bài 12 Cho A   4  1 0 0 0 Tính det  f  A với f  x  x2011  x2012 1    2 80 47 (iii) Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n véctơ bổ sung thành một sở Đặc biệt, 1  (a11, a12 , 2  ( a21, a22 , … , hệ véctơ n  (an 1,an , sở độc lập tuyến tính, nói cách khác a11 a12 a21 a22 an1 an 0 Ví dụ 3.10 Chứng minh hệ véc tớ u  (1,2,3),u  (2,0,4),u  (1,6,7) sở * Toạ độ véctơ Cho V không gian véctơ n chiều với     1 , 2 , sở V Khi véctơ x V viết dạng x  a11  a22  a1, a2 , Ta gọi số toạ độ véctơ x sở  Kí hiệu a1 a  Ta kí hiệu  x  /      Khi sở   rõ ta viết  x thay cho      an  x /   Ví dụ 3.11 Trong cho hệ véctơ      u1  (1,1,0), u2  (0,1,1), u3  (1,0,1) a Chứng tỏ   sở không gian b Tìm toạ độ véctơ e1  (1,0,0), e2  (0,1,0), e3  (0,0,1) u  (4,3,5) sở    * Ma trận sở, công thức đổi toạ độ 48 Trong không gian véctơ V cho hai sở     1 ,2 ,     1 , 2 , Ta có 1  a111  a12  2  a211  a222  …  n  an1  an2  Khi ma trận  a 11 a 21 a a 22 12 T      a 1n a 2n gọi ma trạn đổi sở từ  sang  Công thức đổi toạ độ Trong không gian véctơ V cho hai sở     1 ,2 ,     1 , 2 , Lấy véctơ x thuộc V giả sử toạ độ x hai sở  , ,,    x1 x2 xn  x , , ,      y1 y2  yn  x Khi ta có  x /   T x  /    Chú ý: T  T1 Ví dụ 3.12 Trong cho hai sở:      1  (1, 1,1), 2  (2,3,1), 3  (1,2,1) sở tắc (C3) a Tìm ma trận đổi sở từ (C3) sang    49 ... A 11  ( ? ?1) 1? ?1 1 1  1, A12  ( ? ?1) 1? ??  ? ?1, , A13  ( ? ?1) 1? ?? 3 A 21  ( ? ?1) 2? ?1 1 1  4, A 22  ( ? ?1) 2  2, A23  ( ? ?1) 2  0, 3 A 31  ( ? ?1) 3 1  1, A32  ( ? ?1)  1 3  ? ?1, A33  ( ? ?1)  ? ?1. ..  0 ? ?1 ? ?1  0 ? ?1 ? ?1? ??   Tìm r  A , r A ? ?1 ? ?1 1  ? ?1 ? ?1 1 2  0 1  d2  d1 ? ?1 3 dd23  ? ?11   d3  d1    A  2  0 ? ?1 ? ?11        1 ? ?1  0 ? ?1 ? ?11  ? ?1  1   ... Khi  a 21 a 22  14  a 11 det A  a 11 a12  a11a22  a12 a 21 a 21 a22 * Định thức cấp  a 11 a12 a13  Cho ma trận vuông cấp 3, A   a 21 a 22 a 23  Khi a   31 a32 a33  a 11 a12 a13 det