CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
3.4.1. Hạng của hệ véctơ
*Hệcon độc lập tuy n tính tế ối đại
Cho hệvéctơ 1, ,2 V. H con cệ ủa hệ véctơ là hệ véctơ gồm một số (hoặc t t cấ ả) các véctơ của h . Hệ ệ con i1, i2, c a h ủ ệ được g i là h con ọ ệ độc lập tuyến tính tối đại nếu thoã hai điều kiện sau
(i) Hệ 1, i2, độc lập tuy n tính. ế
(ii) Mọi véctơ của hệ đều bi u th tuyể ị ến tính được qua hệ con 1, 2,
Nhận xét: Một hệ véctơ có thể có nhi u hề ệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đại khác nhau
nhưng số véctơ của các hệcon độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Sốđó ta gọi là hạng của hệ , kí hi u ệ rank .
*Cách tìm h cệ on độ ậc l p tuy n tính tế ối đại, hạng của một hệvéctơ trong
Trong cho một hệ véctơ 1, ,2 . Để tìm hệcon độc lập tuyến tính tối
đạ ủi c a hệ ta làm như sau
Bước 1: L p ma tr n A vậ ậ ới các dòng là các véctơ i.
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về ạ d ng ma tr n b c thang. ậ ậ
Bước 3: Khi đó hạng của hệ chính b ng h ng c a ma tr n A và hằ ạ ủ ậ ệ con độ ậc l p tuyến tính tối đại của gồm các véctơ ứng v i các dòng khác không cớ ủa ma trận A.
Ví d 3.7.ụ Trong cho các véctơ 1(1,1,1,0);2(1,1, 1,1); 3(3,4,0,2) và
4 (3,4,0,2)
. Tìm h ng và ch ra m t hạ ỉ ộ ệ con độc l p tuy n tính tậ ế ối đại c a h ủ ệ
1, , ,2 3 4.
47
- Ta cũng có thể ậ l p ma tr n B, v i các c t cậ ớ ộ ủa B là các véc tơ i. Khi đó T
B A . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa B về ạ d ng ma tr n bậ ậc thang. Khi đó
rank rank B . Hệ con độ ậc l p tuy n tính tế ối đại bao gồm các véctơ i ứng v i các ớ
cột chứa phần t ử đánh dấu c a ma trủ ận b c thang. ậ
- Trong không gian véctơ V cho hệ 1, ,2 . N u h ế ệ độc l p tuy n ậ ế
tính thì ran m và hệcon độ ậc l p tuy n tính cế ủa tối đạ ủi c a cũng chính là hệ
. Ngượ ạ ếc l i n u phụ thuộc tuy n tính thì ế ran m và hệcon độ ậc l p tuy n tính tế ối
đạ ủi c a có ít hơn m phầ ửn t .