TOAN CAO CP a1

BÀI GI NG TOÁN CAO CẤP (A1) Biên soạn: TS VŨ GIA TÊ Ths ĐỖ PHI NGA Chương 1: Giới hạn dãy số CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1 S TH C 1.1.1 Các tính chất tập s thực A Sự cần thiết mở rộng tập s hữu tỉ Q Do nhu cầu đòi hỏi sống,tập số tự nhiên N={0,1,2, }, sở phép đếm mở rộng sang tập số nguyên Z={0, ± 1, ± 2, } Sau đó, Z khơng có phần tử mà tích với 1, nên nguời ta xây dựng tập số hữu tỉ Q, tập gồm số biểu diễn tỉ số hai số nguyên, tức số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn Nếu dừng lại tập Q tốn học gặp phải nhiều điều hạn chế, đặc biệt gặp khó khăn việc giải thích tượng sống Chẳng hạn việc tính đường chéo hình vng có kích thước đơn vị Đường chéo mô tả số hữu tỉ Thật m = ∈ Q SCLN(m, n)=1 m2=2n2 ⇒ m=2p 4p2=2n2 ⇒ n=2q Điều vơ n lí lúc m, n có ước chung Chứng tỏ ∉ Q Những số xuất dùng thường xuyên giải tích e, π số hữu tỉ B S vô tỉ Một số biểu diễn dạng thập phân vơ hạn khơng tuần hồn,hay khơng thể biểu diễn dạng tỉ số hai số nguyên gọi số vô tỉ C S thực Tất số hữu tỉ số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực Kí hiệu tập số thực R Vậy tập số vô tỉ R\Q Người ta xây dựng tập số thực R nhờ vào hệ suy diễn hay nói cách khác nhờ vào hệ tiên đề.Chúng ta khơng trình bày mà coi tập hợp số thực R quen thuộc kiểm tra lại thoả mãn tiên đề Chúng ta coi tính chất tập hợp R Tính chất 1: Tập R truờng giao hoán với hai phép cộng nhân: (R, + , ) ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R ∀a, b, c ∈ R, ( a + b) + c = a + (b + c ), ( a.b)c = a (bc ) ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba R có phần tử trung hoà phép cộng phép nhân ∀a ∈ R , a + = + a = a Chương 1: Giới hạn dãy số a.1 = 1.a = a Phân phối phép cộng ∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac (b + c ) a = ba + ca Tồn phần tử đối phép cộng ∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = Tồn phần tủ nghịch đảo phép nhân ∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = Tính chất 2: Tập R xếp thứ tự tồn phần đóng kín số thực dương ∀a, b ∈ R, a < b a = b a > b ∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+ Tính chất 3: Tập R đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập X không rỗng R bị chặn R có cận thuộc R tập không rỗng X R bị chặn R có cận thuộc R Cho X ⊂ R a ∈ R Gọi a cận X R x ≤ a, ∀x ∈ X Gọi a cận X R x ≥ a, ∀x ∈ X Gọi X bị chặn R(bị chặn dưới) tồn cận (cận dưới) X R Gọi số nhỏ cận X R cận X R, kí hiệu số M* hay SupX (đọc Suprémum X) Gọi số lớn cận X R cận X R, kí hiệu số m* hay InfX (đọc Infimum X) Nếu M* ∈ X nói M* phần tử lớn X, kí hiệu M*=SupX=MaxX Nếu m* ∈ X nói m* phần tử nhỏ X, kí hiệu m*=InfX= MinX Gọi X bị chặn R X bị chặn bị chặn R Chú ý: Tập R\Q không ổn định phép cộng phép nhân, chẳng hạn Chương 1: Giới hạn dãy số ± ∈ R \ Q + (− ) ∉ R \ Q 2 ∉ R \ Q ∀x ∈ R \ Q, ∀y ∈ Q, x + y ∈ R \ Q xy ∈ R \ Q ∈R\Q x Nếu M cận tập X SupX ≤ M m cận tập X InfM ≥ m Nếu M*=SupX ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ M * − ε < α Nếu m*=InfX ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ m * + ε > α Ví dụ 1: Chứng minh ( + + ) ∈ R \ Q Giải: Giả sử q= + + ∈ Q ⇒ ( + ) = ( q − ) hay q + = 2( q + 1) , dễ dàng chứng minh ∉ Q (tưong tự chứng minh q2+1=0 Điều mâu thuẫn Vậy q ∉ Q ∉ Q ) Theo ý suy q+1=0 Ví dụ 2: Tìm cận cận R chúng tồn tập { ⎧ (−1) n ⎫ X =⎨ n + , n ∈ N * ⎬ = un , n ∈ N * n ⎩2 ⎭ } Giải: ∀p ∈ N * có u2 p = 1 + ⇒ < u2 p ≤ u2 = 2p 2p 1 1 1 ⇒− ≤− ≤ u p +1 ≤ p +1 ≤ u p +1 = p +1 − p +1 p +1 2 u1 = − suy ∀n ∈ N * có − = u1 ≤ u n ≤ u = InfX=minX= − , SupX=maxX= Ví dụ 3: Cho A, B hai tập không rỗng R bị chặn a Chứng minh Sup ( A ∪ B )=Max(Sup(A), Sup(B)) b Gọi A+B= {x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A × B, x = a + b} , chứng minh Chương 1: Giới hạn dãy số Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B) Giải: a Kí hiệu α = SupA, β = SupB , γ = Max (α , β ) Vậy tập hợp cận A ∪ B X= {x, x ≥ α x ≥ β } hay X= {x, x ≥ γ } Vậy γ = Sup ( A ∪ B ) b ∀a ∈ A, a ≤ SupA ∀b ∈ B, b ≤ SupB ⇒ ∀a + b ∈ A + B, a + b ≤ SupA + SupB ⇒ M * = Sup( A + B) ∀ε > ∃a ∈ A, a > SupA − ∃b ∈ B, b > SupB − ε ε 2 ⇒ ∃a + b ∈ A + B, a + b > SupA + SupB − ε ⇒ ∃M * = SupA + SupB = Sup( A + B) 1.1.2 Tập s thực mở rộng Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu − ∞ + ∞ Tập số thực mở rộng kí hiệu R R = R ∪ {− ∞,+∞}, phép toán + , quan hệ thứ tự định nghĩa sau: ∀x ∈ R x + ( +∞ ) = ( +∞) + x = +∞ x + ( −∞ ) = ( −∞) + x = −∞ ( +∞) + (+∞ ) = +∞ ( −∞) + (−∞ ) = −∞ ∀x ∈ R+* , R+* = {x ∈ R, x > 0} x( +∞) = (+∞ ) x = +∞ x( −∞) = (−∞ ) x = −∞ ∀x ∈ R−* , R−* = {x ∈ R, x < 0} x(+∞ ) = (+∞ ) x = −∞ x(−∞ ) = (−∞ ) x = +∞ ∀x ∈ R (+∞ )(+∞) = (−∞ )(−∞) = +∞ (+∞ )(−∞) = (−∞ )(+∞) = −∞ Chương 1: Giới hạn dãy số − ∞ < x < +∞ − ∞ ≤ −∞ + ∞ ≤ +∞ 1.1.3 Các khoảng s thực Cho a, b ∈ R a ≤ b Trong R có chín loại khoảng sau đây: [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} gọi đoạn hay khoảng đóng bị chặn [a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b} gọi khoảng nửa đóng nửa mở (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} [a,+∞ ) = {x ∈ R; a ≤ x} (− ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a} (a, b ) = {x ∈ R; a < x < b} gọi khoảng mở (a,+∞ ) = {x ∈ R; a < x} (− ∞, a ) = {x ∈ R; x < a} Các số thực a,b gọi mút khoảng 1.1.4 Giá trị tuyệt đ i s thực A Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số thực x, kí hiệu x số thực không âm xác định sau ⎧ ⎪x ⎪ x =⎨ ⎪− x ⎪⎩ B Tính chất ∀x ∈ R, x ≥ x ≤ x = Max( x,− x) x = ⇔ x = ∀x, y ∈ R, ∀n ∈ N , * xy = x y ∀x1 , x , x3 , K , x n ∈ R, ∏ xi = ∏ xi ∀x ∈ R, x n = x n n i =1 i =1 n Chương 1: Giới hạn dãy số ∀x ∈ R * , 1 = x x ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y ∀n ∈ N * , ∀x1 , x ,K, x n ∈ R, ∀x, y ∈ R, Max( x, y ) = Min( x, y ) = ∀x, y ∈ R, ∑ xi ≤ ∑ xi n n i =1 i =1 (x + y + x − y ) (x + y − x − y ) x − y ≤ x− y 1.1.5 Khoảng cách thông thường R A Định nghĩa: Khoảng cách R ánh xạ d : R× R → R ( x, y ) a x− y Đó hình ảnh trực quan khoảng cách điểm x y đường thẳng trục số thực R d ( x, y ) = ⇔ x = y B Tính chất ∀x, y ∈ R, d ( x, y ) = d ( y , x ) ∀x, y, z ∈ R, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) ∀x, y, z ∈ R, d ( x, y ) − d ( x, z ) ≤ d ( y, z ) Chương 1: Giới hạn dãy số 1.2 S PH C Chúng ta biết trường số thực R khơng thể phân tích thành thừa số tam thức bậc hai ax + bx + c Δ = b − 4ac < Tuy nhiên tiện lợi thừa số hoá tam thức thành dạng a(x − α )( x − β ) α , β ∉ R Nhằm mục đích thêm vào R phần tử mới, kí hiệu i (gọi đơn vị ảo) kết hợp với cặp số thực ( x, y ) ∈ R để tạo số phức 1.2.1 Định nghĩa dạng s phức A Định nghĩa: Cho ( x, y ) ∈ R , số biểu diễn dạng z=x+iy, i = −1 gọi số phức Tập số phức kí hiệu C Gọi x phần thực z, kí hiệu Rez =x y phần ảo z, kí hiệu Imz =y Gọi mơđun z,kí hiệu z xác định số thực không âm z = x2 + y2 = r ≥ Gọi Acgumen z , kí hiệu Argz xác định số thực ⎧ Argz= θ ∈ R; ⎨θ ∈ R; cos θ ⎩ = x y ⎫⎪ sin θ = ⎬ , với z ≠ z ⎪⎭ z Như Acgumen z sai khác k 2π , k ∈ Z Arg0 không xác định Vậy số phức z có dạng viết: z = r (cos θ + i sin θ ) gọi dạng lượng giác số phức z z =x+iy gọi dạng tắc hay dạng đại số số phức z B Biểu diễn hình học s phức y M(z) y r θ x x Chương 1: Giới hạn dãy số Xét mặt phẳng 0xy với hệ toạ độ trực chuẩn Ánh xạ ϕ : C → xy đặt số phức z=x+iy ứng với điểm M có toạ độ (x,y) mặt phẳng 0xy.Vậy ϕ song ánh.Gọi mặt phẳng 0xy mặt phẳng phức ∀z ∈ C , ϕ ( z ) gọi ảnh z 0xy ∀M ∈ xy, ϕ −1 (M ) gọi toạ vị M, số phức z ∈ C Ngoài OM gọi véctơ biểu diễn số phức z Như OM = z → ⎛→ → ⎞ ⎜ Ox, OM ⎟ =Argz ⎝ ⎠ Trên mặt phẳng phức 0xy nhận thấy: Trục 0x biểu diễn số thực z = x ∈ R , trục gọi trục thực,còn trục 0y biểu diễn số phức z = iy, y ∈ R gọi số ảo tuý,người ta gọi trục 0y trục ảo 1.2.2 Các phép toán tập C A Phép so sánh ( ) ∀ x, y , x ' , y ' ∈ R , ⎧⎪ x = x x + iy = x ' + iy ' ⇔ ⎨ ⎪⎩ y = y ' ' B Phép lấy liên hợp Cho z = x + iy ∈ C , liên hợp z, kí hiệu z cho z = x − iy C Phép lấy s phức đ i Cho z=x+iy ∈ C, số phức đối z, kí hiệu –z (đọc trừ z ) xác định: -z = -x-iy D Phép cộng Cho z = x+iy, z’= x’+iy’,tổng z z’, kí hiệu z+z’ xác định sau: z+z’=(x+x’)+i(y+y’) E Phép nhân Cho z=x+iy z’=x’+iy’, tích z z’, kí hiệu z.z’ xác định sau: z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y) F Phép trừ phép chia Là phép tính ngược phép cộng phép nhân z − z ' = z + (− z ' ) z = z" ⇔ z = z '.z" z' 10 Chương 1: Giới hạn dãy số Từ phép toán trên, nhận tính chất đây: ∀z ∈ C , z = z ∀( z , z ') ∈ C , z + z' = z + z' ∀(z , z ') ∈ C , z z ' = z z ' ∑ zi = ∑ zi , ∀n ∈ N * , ∀z1 , z ,K, z n ∈ C , ∀z ∈ C , ∀z '∈ C * , C * = C \ {0} n n i =1 i =1 n n i =1 i =1 ∏ zi = ∏ zi ⎛z⎞ z ⎜ ⎟= ⎝ z' ⎠ z' ∀z ∈ C , z = z ⇔ z∈R z = − z ⇔ z ∈ iR , iR = {iy , y ∈ R} ∀z ∈ C z z = z Cho z = r (cosθ + i sin θ ), G Phép luỹ thừa, công thức Moavrờ ( Moivre) ∀k ∈ Z Gọi z k luỹ thừa bậc k z Bằng qui nạp, dễ chứng minh z k = r k (cos kθ + i sin kθ ) (1.1) Gọi (1.1) công thức Moivre H Phép khai bậc n z ∈ C * Cho n ∈ N * , z = r (cosθ + i sin θ ) Gọi ς ∈ C * bậc n z, kí hiệu sau: ςn = z n z ,xác định ⎧ρ n = r θ + kπ với Nếu gọi ρ = ς Φ = Arg ς ⎨ ρ = r n Φ= n Φ = + n θ k π ⎩ k = 0,1,2, , n − Vậy số z có n bậc n, số phức có dạng: ⎛ ⎝ ς = r n ⎜ cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ ⎞ n ⎟ ⎠ k = 0,1,2, , n − (1.2) 11 Chương 5: Lý thuyết chuỗi a0 = πx πx 1 f ( x)dx , an = ∫ f ( x) cos n dx , bn = ∫ f ( x) sin n dx , n = 1,2, ∫ l −l l −l l l −l l l l l (5.50) Nếu f (x ) tuần hoàn với chu kỳ T = 2l mơ tả biểu thức giải tích (α ,α + 2l ) khơng nên sử dụng cơng thức (5.50) để tính hệ số Fourier mà dựa vào tính chất hàm tuần hồn (Xem ví dụ 1d mục 4.2.2) nhận công thức sau: a0 = l ∫ α α + 2l f ( x)dx , an = l ∫ α α + 2l f ( x) cos n πx l Nếu f (x ) hàm số chẵn f ( x ) cos n khai triển có dạng dx , bn = πx l l ∫ α α + 2l f ( x) sin n πx l dx hàm số chẵn f ( x) sin n (5.51) πx πx , ak = ∫ f ( x) cos k dx , k = 0,1,2, f ( x) = ∑ ak cos k l l l k =0 ∞ πx hàm số lẻ l l (5.52) Tương tự f (x ) hàm số lẻ f ( x) = ∑ bk sin k ∞ k =1 πx l , bk = πx f ( x) sin k dx ∫ l l l (5.53) Tương tự phần khai triển thành chuỗi luỹ thừa, nhờ vào khai triển thành chuỗi Fourier tính tổng số chuỗi đặc biệt Ví dụ 1: Cho hàm số f (x ) tuần hoàn với chu kỳ có dạng f ( x) = − x , x ∈ (0,2) Hãy khai triển hàm số thành chuỗi Fourier (−1) m tính tổng S = ∑ m = 2m + ∞ Giải: Đồ thị hàm số mơ tả hình 5.1 Hàm số thoả mãn điều kiện định lí Dirichlet có điểm gián đoạn loại x = 2k , k ∈ Z Chúng ta tính hệ số Fourier hàm số a0 = ∫ (2 − x)dx = ( x − 2) 2 =2 y 214 Chương 5: Lý thuyết chuỗi -4 -2 x H.5.1 ak = ∫ (2 − x) cos kπxdx = =− kπ 2 2− x sin kπx 02 + sin kπxdx kπ kπ ∫0 cos kπx 02 = , k = 1,2, bk = ∫ (2 − x) sin kπxdx = x−2 cos kπx 02 − cos kπxdx kπ kπ ∫0 2 − 2 sin kπx 02 = , k = 1,2, kπ k π kπ ∞ sin kπx Vậy − x = + ∑ , ∀x ≠ 2k , k ∈ Z π k =1 k = 1− x = Thay x = ∑ π kπx k =1 k ∞ π vào công thức có =∑ (−1) k =S k = 2k + ∞ kỳ 2π f ( x) = x với x ∈ [− π ,π ] Ví dụ 2: Hãy khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f (x ) tuần hồn với chu Từ tính tổng S = ∑ (2m + 1) ∞ m=0 Giải: Đồ thị hàm số cho hình 5.2 y π 215 Chương 5: Lý thuyết chuỗi − 3π −π − 2π π 2π 3π H.5.2 Hàm số cho chẵn, liên tục ∀x thoả mãn định lí Dirichlet a0 = an = π π ∫ xdx = π π ∫ x cos nxdx = π π ⎞ 2⎛x ⎜ sin nx π0 − ∫ sin nxdx ⎟ ⎜ ⎟ π ⎝n n0 ⎠ , n = 2m ⎧0 2 ⎪ n π = cos nx = ((−1) − 1) = ⎨ πn πn ⎪− π (2m + 1) , n = (2m + 1) ⎩ m = , , , ∞ π cos(2m + 1) x , ∀x x = − ∑ Vậy π m = (2m + 1) Thay x = vào công thức nhận ∞ π2 1 1 =∑ = + + + + m = (2m + 1) Ví dụ 3: Cho hàm số f (x ) tuần hoàn với chu kỳ π , biết f ( x) = cos x , x ∈ (0,π ) Hãy khai triển Fourier hàm số cho Giải: Đồ thị hàm số cho hình 5.3 Hàm số lẻ thoả mãn định lí Dirichlet có điểm gián đoạn x = kπ , k ∈ Z bn = = = π π π ∫ cos x.sin 2nxdx = π ∫ [sin(2n + 1) x + sin(2n − 1) x]dx 2 0 2⎡ ⎤ cos( 2n − 1) x ⎥ cos( 2n + 1) x + ⎢ π ⎣ 2n + 2n − ⎦ 2⎛ 1 ⎞ n + ⎜ ⎟= π ⎝ 2n + 2n − ⎠ π 4n − y 216 π x Chương 5: Lý thuyết chuỗi − 2π − 3π −π − π π π 3π 2π x -1 Vậy cos x = H.5.3 ∑ π ∞ , x ∈ (0,π ) n sin 2nx n =1 n − 5.4.3 Khai triển thành chu i Fourier hàm s Xét hàm số f (x ) đơn điệu khúc bị chặn (a, b) , a < b Bây biểu diễn hàm số dạng chuỗi lượng giác (a, b) Có nhiều cách biểu diễn, nhiên thường dùng phương pháp sau đây: A Thác triển tuần hoàn Lập hàm số f (x ) tuần hồn với chu kì T = b − a F ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b) Xem hình 5.4 y f (x ) a −T a b b +T x H.5.4 Rõ ràng f (x ) khai triển thành chuỗi Fourier , F ( x) = f ( x) , ∀x ∈ (a, b) Vậy điểm liên tục f (x ) (a, b) ta có: f ( x) = a0 ∞ kπx kπx + ∑ ak cos + bk sin l k =1 l (5.54) 217 Chương 5: Lý thuyết chuỗi Trong l = b−a , a0 = ∫ f ( x)dx la b ak = kπx kπx 1 dx , k = 1,2, (5.55) f ( x) cos dx , bk = ∫ f ( x) sin ∫ l la l la b b B Thác triển chẵn, thác triển lẻ Ngoài phương pháp thác triển tuần hoàn, hàm số f (x ) cho khoảng (0, a ) , a > , người ta có dùng phương pháp thác triển lẻ chẵn hàm số cho, cụ thể sau: Lập hàm số Fl (x) tuần hồn với chu kì T = 2a ⎧− f ( − x ) , − a < x < Fl ( x) = ⎨ , 0< x