TIỂU LUẬN môn học tối ưu hóa và QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH bài 1 lập mô hình toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP HCM TIỂU LUẬN MƠN HỌC TỐI ƯU HĨA VÀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chun ngành: CƠNG NGHỆ THƠNG TIN Giảng viên môn học : TS Hồ Đắc Nghĩa Sinh viên thực : Lê Quang Thế Vinh MSHV: 2141860036 21SCT21 TP Hồ Chí Minh, 2022 Lớp: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ TP HCM TIỂU LUẬN MƠN HỌC TỐI ƯU HĨA VÀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chun ngành: CƠNG NGHỆ THƠNG TIN Giảng viên môn học : TS Hồ Đắc Nghĩa Sinh viên thực : Lê Quang Thế Vinh MSHV: 2141860036 21SCT21 TP Hồ Chí Minh, 2022 Lớp: MÃ ĐỀ: 09 Bài 1: Lập mơ hình tốn học Có ba xí nghiệp may: I, II, III sản xuất áo vest quần tây Tùy thuộc vào lực quản lý Ban giám đốc, trình độ tay nghề đội ngũ công nhân, mức trang bị kỹ thuật, … khác hiệu đồng vốn xí nghiệp khác Giả sử đầu tư 1.000 USD vào xí nghiệp I cuối kỳ cho 35 áo vest 45 quần tây; vào xí nghiệp II cuối kỳ cho 40 áo vest 42 quần tây, cịn vào xí nghiệp III cuối kỳ cho 43 áo vest 30 quần tây Số lượng vải (mét) số công cần thiết để sản xuất áo vest quần tây (còn gọi suất tiêu hao nguyên liệu lao động) ba xí nghiệp cho bảng số liệu sau đây: Áo vest Quần tây Biết tổng số vải cơng số lao động huy động cho ba xí nghiệp 10.000 mét 52.000 công Theo hợp đồng kinh doanh cuối kỳ phải có tối thiểu 1.500 quần áo Do đặc điểm hàng hóa lẻ bộ, có quần dễ bán thị trường Hãy lập mơ hình kế hoạch đầu tư vào xí nghiệp vốn nhằm đảm bảo hoàn thành kế hoạch sản phẩm, khơng gặp khó khăn q trình tiêu thụ, không bị động sản xuất tổng số vốn đầu tư nhỏ BÀI GIẢI Gọi x1, x2, x3 số vốn (nghìn USD) cần phải đầu tư vào xí nghiệp I, II, III Điều kiện: x1, x2, x3 ≥ Tổng số mét vải cần để may áo vest quần tây xí nghiệp là: o Áo vest: 3.5 x 35x1 + 4.0 x 40x2 + 3.8 x 43x3 = 122.5x1 + 160x2 + 163.4x3 (met) o Quần tây: 2.8 x 45x1 + 2.6 x 42x2 + 2.5 x 30x2 = 126x1 + 109.2x2 + 75x3 (met)  Tổng số mét vải: 122.5x1 + 160x2 + 163.4x3 + 126x1 + 109.2x2 + 75x3 = 248.5x1 + 269.2x2 + 238.4x3 (met) Tổng số công cần để may áo vest quần tây là: o Áo vest: 20 x 35x1 + 16 x 40x2 + 18 x 43x3 = 700x1 + 640x2 + 774x3 (giờ) o Quần tây: 10 x 45x1 + 12 x 42x2 + 15 x 30x1 = 450x1 + 504x2 + 450x3 (giờ) Tổng số công: 700x1 + 640x2 + 774x3 + 450x1 + 504x2 + 450x3 = 1150x1 + 1144x2 + 1224x3 (giờ) Để không bị động sản xuất, ta cần phải có: o 248.5x1 + 269.2x2 + 238.4x3 ≤ 10000 o 1150x1 + 1144x2 + 1224x3 ≤ 52000 45x1 + 42x2 + 30x3 ≥ 35x1 + 40x2 + 43x3 (Quần dễ bán thị trường) o o 35x1 + 40x2 + 43x3 ≥ 1500 (Theo hợp đồng kinh doanh, cẩn phải có tối thiểu 1500 quần áo) Tổng số vốn cần đầu từ để xí nghiệp sản xuất áo vest quần tây là: o x1 + x2 + x3 (Nghìn USD) Để tổng số vốn đầu tư đạt nhỏ nhất: o x1 + x2 + x3 => Vậy mơ hình toán học toán là: (2) f(x) = x1 + x2 + x3 => (3) 248.5x1 + 269.2x2 + 238.4x3 ≤ 10000 1150x1 + 1144x2 + 1224x3 ≤ 52000 35x1 + 40x2 + 43x3 ≥ 1500 10x1 + 2x2 – 13x3 ≥ (4) x1, x2, x3 ≥ Bài 2/ Giải toán quy hoạch tuyến tính sau phương pháp hình học: ( ) = 20x1 + 40x2 → 6x1 + x2 ≥ 18 x1 + 4x2 ≥ 12 2x1 + x2 ≥ 10 ≥0; =1,2 BÀI GIẢI Biểu diễn tập phương án X toán là: + ≥ qua (2, 6) (3, 0) x1 + 4x2 ≥ 12 qua (0, 3) (4, 2) 2x1 + x2 ≥ 10 qua (3, 4) (5, 0) Tập phương án X toán đa giác mở ABCD (Phần màu phần bị bỏ đi) Ta có: (d): 20x1 + 40x2 = 160 (Lấy M (4, 2) ∈ X M (2, 3) ∈ X) ⃗ ⃗⃗= = (−2, 4) (−3, 2) Tìm Min: dịch chuyển d ngược hướng ⃗⃗⃗ ⃗⃗ Ta có: fmin = f(x0) = f(4, 2) = 160 o Bài 3/ Giải tốn quy hoạch tuyến tính sau phương pháp đơn hình: ( ) = 3x1 + 2x2 + 5x3 − 2x4 → x1 + 7x3 − 3x4 = x2 − 2x3 + x4 = 3x3 − x4 + x5 = 16 ≥ 0; Hệ số 5 -2 Do Δj ≤ ∀ j Nên toán dừng có phương án tối ưu x0 = (0 fmin = f(x0) = Bài 4/ Giải tốn quy hoạch tuyến tính sau phương pháp đơn hình mở rộng: ( ) = 6x1 − 3x2 + 3x3 → max 10x1 + 8x2 − 2x3 ≤ 20 6x1 + 2x2 + 2x3 ≥ 2x1−2x2 + 2x3 = ≥0; =1,2,3 BÀI GIẢI Thêm vào ẩn phụ x4, x5 ẩn giả x6, x7 Ta có tốn dạng chuẩn sau: ( ) = 6x1 − 3x2 + 3x3 − M − M → max 10x1 + 8x2 − 2x3 + = 20 6x1 + 2x2 + 2x3 − + = 2x1−2x2 + 2x3 + = ≥0; =1,2,3,4,5,6,7 Bài 5/ Kiểm tra tính tối ưu phương án = ( , , , , , ) toán: ( ) = x1 + 3x2 + 2x3 → 4x1 − 5x2 + 7x3 + x4 = −2x1 + 4x2 − 2x3 + x5 = −2 x1 − 3x2 + 2x3 + x6 = ≥0; =1,2,3,4,5,6 BÀI GIẢI Vì ràng buộc thứ chưa thỏa dạng tắc, nên ta có: ( ) = x1 + 3x2 + 2x3 → 4x1 − 5x2 + 7x3 + x4 = 2x1 − 4x2 + 2x3 − x5 = x1 − 3x2 + 2x3 + x6 = ≥0; =1,2,3,4,5,6 Thêm vào ẩn giả x7 Ta có tốn dạng chuẩn sau: ( ) = x1 + 3x2 + 2x3 + M → 4x1 − 5x2 + 7x3 + x4 = 2x1 − 4x2 + 2x3 − x5 + = x1 − 3x2 + 2x3 + x6 = ≥0; =1,2,3,4,5,6,7 Hệ số +M 0 Do bảng đơn hình cuối có ∆ ≤ ∀ , nên tốn mở rộng có phương án tối ưu x0 = (1, 0, 0, 4, 0, 1, 0) fmin = f(x0) = Vì ẩn giả nhận giá trị = 0, nên tốn gốc có phương án tối ưu x0 = (1, 0, 0, 4, 0, 1) fmin = f(x0) = 12 Vì phương án tối ưu vừa tìm trùng với phương án mà đề đưa ra: x0 = (1, 0, 0, 4, 0, 1) phương án tối ưu 10 Bài 6/ Giải toán quy hoạch tuyến tính sau phương pháp đơn hình đối ngẫu: ()= + → x1 + x2 ≥ 17 3x1 + 2x2 ≥ 42 x1 + 2x2 ≥ 20 x1 + 4x2 ≥ 24 ≥0; =1,2 BÀI GIẢI - Lập (D): g(y) = 17 + 42 + 20 + 24 →  1+3 2+ 3+ 4≤30  - 1+2 2+2 3+4 4≤ 40  1,2,3,4≥0 Thêm vào ẩn phụ x5, x6 Ta có toán dạng chuẩn sau: g(y) = 17 + 42 + 20 + 24 →  1+3 2+ 3+ 4+ 5=30   1+2 2+2 3+4 4+ 6=40 ≥0, =1,2,3,4,5,6 11 Hệ số 0 42 42 24 17 24 17 20 - Vì ∆ ≥ ∀ , nên toán đối ngẫu mở rộng dừng có phương án tối ưu y0 = (20, 0, 10, 0, 0, 0) gmax = g(y0) = 540 - Vì tốn mở rộng có phương án tối ưu, nên toán đối ngẫu gốc có phương án tối ưu y0 = (20, 0, 10, 0) gmax = g(y0) = 540 - Lập cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (D): x1 + x2 ≥ 17 ≥ 3x1 + 2x2 ≥ 42 ≥ x1 + 2x2 ≥ 20 ≥ x1 + 4x2 ≥ 24 ≥ 12 1≥0 1+3 2+ 3+ 4≤30 2≥0 1+2 2+2 3+4 4≤ - 40 Ta thay y0 = (20, 0, 10, 0) vào cặp ràng buộc đối ngẫu, ta có: x1 + x2 ≥ 17 20 ≥ 3x1 + 2x2 ≥ 42 ≥ (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) x1 + 2x2 ≥ 20 10 ≥ x1 + 4x2 ≥ 24 ≥ (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) ≥ 30 ≤ 30 (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) 2≥ - 40 ≤ 40 (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) Ta có hệ phương trình sau đây: x1 + x2 = 17 x1 + 2x2 = 20  - x1 = 14, x2 = Kiểm tra cho thấy tốn gốc có phương án tối ưu: x0 = (14, 3) fmin = 540 13 Bài 7/ Cho toán với tham số t: ( ) = x1 − x2 + 2x3 − 2x4 + x5 + x6 → −x1 + x2 − x3 − x4 − x5 − 3x6 = 2x1 + x3 − 2x4 − x6 = 15 x1 + 2x4 + 2x5 + 2x6 =6 ≥0; =1,2,3,4,5,6 a) Giải biện luận toán cho thuật tốn đơn hình b) Trong trường hợp tốn cho có phương án tối ưu, tìm tập phương án tối ưu tốn đối ngẫu BÀI GIẢI a) Thêm vào ẩn giả x7, x8, ta có tốn dạng chuẩn sau: - ( )= 1− 2+2 3−2 4+ 5+ 6+ 7+ 8→ − 1+ 2− 3− 4− 5−3 6=5 2x1 + x3 − 2x4 − x6 + = 15 x1 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + = 14 Hệ số -1 +M +M -1 +M -1 Nếu − − ≤ t ≥ −2 ∆6 ≤ ∆ ≤ 0; ∀  Bài tốn mở rộng có phương án tối ưu x0 = (6, 14, 3, 0, 0, 0, 0, 0) fmax = f(x0) = -2 - Vì bảng đơn hình cuối có ẩn giả 7, = nên tốn gốc có phương án tối ưu x0 = (6, 14, 3, 0, 0, 0) fmax = f(x0) = -2 Nếu − − > t < −2 ∆6 > Tiếp tục giải tốn phương pháp đơn hình 15 Hệ số x2 x3 x1 -1 x2 x3 t x6 o 1/2∗ −1≤0 ≤2 o −1≤0 t≤1 o −2 + ≤ t ≤ Với t < −2 ∆ ≤ ∀  Bài tốn mở rộng có phương án tối ưu x0 = (0, 32, 18, 0, 0, 3, 0, 0) fmin = f(x0) = 3t+4  Bài tốn gốc có phương án tối ưu x0 = (0, 32, 18, 0, 0, 3) fmin = f(x0) = 3t+4 - Kết luận: Nếu ≥ −2 phương án tối ưu toán gốc là: x0 = (6, 14, 3, 0, 0, 0) fmin = f(x0) = -2 Nếu < −2 phương án tối ưu toán gốc là: x0 = (0, 32, 18, 0, 0, 3) fmin = f(x0) = 3t+4 bả -1 Ta xét:  Ẩn 16 Lập (D): g(y) = + 15 + → b) − 1+2 2+ 3≤1 1≤ −1 − 1+ 2≤2 − 1−2 2+23≤−2→ 1+2 2−23≥2 −1+23≤1 −31−2+23≤ - Lập cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (D): − 1+2 2+ 3≤1 1≥0 1≤−1 2≥0 − 1+ 2≤2 3≥0 − 1−2 2+23≤−2 4≥0 − 1+2 3≤1 5≥0 - −3 1− 2+2 3≤ 6≥0 Ta thay x0 = (6, 14, 3, 0, 0, 0) vào cặp ràng buộc đối ngẫu, ta có: − 1+2 2+ 3≤1 6≥0 1≤−1 14≥0 − 1+ 2≤2 3≥0 − −2 + ≤ −2 ≥ (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) − + ≤ ≥ (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) −3 − + ≤ ≥ (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) - Ta có hệ phương trình sau đây: − 1+2 2+ 3=1 1= −1 −1+ 2=2  y1 = -1, y2 = 1, y3 = -2 17 - Kiểm tra cho thấy tốn đối ngẫu có phương án tối ưu với x0 = (6, 14, 3, 0, 0, 0): y0 = (-1, 1, -2) gmax = -2 - Ta thay x0 = (0, 32, 18, 0, 0, 3) vào cặp ràng buộc đối ngẫu, ta có: − + 2 + ≤ ≥ (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) 1≤−1 32≥0 − 1+ 2≤2 18≥0 − −2 + ≤ − ≥ (bỏ khơng thỏa bất đẳng thức thật sự) − + ≤ ≥ (bỏ không thỏa bất đẳng thức thật sự) −3 1− 2+2 3≤ 3≥0 - 1= Ta có hệ phương trình sau đây: −1 −1+ 2=2 −31−2+23= y1 = -1, y2 = 1, y3 = (t-2)/2 - Kiểm tra cho thấy tốn đối ngẫu có phương án tối ưu với x0 = (0, 32, 18, 0, 0, 3): y0 = ( -1, 1, (t-2)/2) gmax = 10 + 3*(t-2) - Kết luận: Với phương án tối ưu x0 = (6, 14, 3, 0, 0, 0), tốn đối ngẫu có phương án tối ưu y0 = (-1, 1, -2) với gmax = -2 Với phương án tối ưu x0 = (0, 32, 18, 0, 0, 3), toán đối ngẫu có phương án tối ưu y0 = ( -1, 1, (t-2)/2) với gmax = 10 + 3*(t-2) 18 ... b) − 1+ 2 2+ 3? ?1 1≤ ? ?1 − 1+ 2≤2 − 1? ??2 2+23≤−2→ 1+ 2 2−23≥2 ? ?1+ 23? ?1 − 31? ??2+23≤ - Lập cặp ràng buộc đối ngẫu (P) (D): − 1+ 2 2+ 3? ?1 1≥0 1? ??? ?1 2≥0 − 1+ 2≤2 3≥0 − 1? ??2 2+23≤−2 4≥0 − 1+ 2 3? ?1 5≥0 - −3 1? ?? 2+2... (4) x1, x2, x3 ≥ Bài 2/ Giải toán quy hoạch tuyến tính sau phương pháp hình học: ( ) = 20x1 + 40x2 → 6x1 + x2 ≥ 18 x1 + 4x2 ≥ 12 2x1 + x2 ≥ 10 ≥0; =1, 2 BÀI GIẢI Biểu diễn tập phương án X toán. .. tối ưu x0 = (1, 0, 0, 4, 0, 1) fmin = f(x0) = 12 Vì phương án tối ưu vừa tìm trùng với phương án mà đề đưa ra: x0 = (1, 0, 0, 4, 0, 1) phương án tối ưu 10 Bài 6/ Giải toán quy hoạch tuyến tính