Luận án tiến sĩ HUS một số lớp nghiệm tường minh của phương trình truyền sóng phi tuyến 62 46 01 05

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Hà Tiến Ngoạn PGS TS Hoàng Quốc Toàn HÀ NỘI - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 LỚP NGHIỆM N -SOLITON KHƠNG TÁN XẠ CỦA HAI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHƠNG GIAN 17 1.1 Phương trình Korteweg-de Vries 18 1.1.1 Lớp nghiệm gợi ý từ lý thuyết tán xạ 18 1.1.2 Quy luật tiến hóa đa thức tán xạ Mj (x, t) 27 1.1.3 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ phương trình Korteweg-de Vries nửa trục 37 1.1.4 Các ví dụ nghiệm N -soliton khơng tán xạ phương trình Korteweg-de Vries nửa trục 40 1.2 Phương trỡnh Schrăodinger phi tuyn 46 1.2.1 Lớp nghiệm gợi ý từ lý thuyết tán xạ 47 1.2.2 Biểu diễn hàm F (x, t) G(x, t) 58 1.2.3 Quy luật tiến hóa đa thức tán xạ pj (x, t) 64 1.2.4 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn trờn na trc 71 1.2.5 Các ví dụ nghiệm N -soliton khụng tỏn x ca phng trỡnh Schrăodinger phi tuyến nửa trục 76 NGHIỆM WRONSKIAN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP MKDV-SG TRÊN CẢ TRỤC KHƠNG GIAN 81 iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2.1 2.2 Dạng song tuyến tính phương trình hỗn hợp nghiệm Wronskian 2.1.1 Dạng song tuyến tính phương trình hỗn hợp 2.1.2 Nghiệm Wronskian với hệ phương trình điều kiện suy rộng 2.1.3 Hệ phương trình điều kiện tắc Các lớp nghiệm tường minh phương trình mKdV-sG 2.2.1 Ma trận Γm ma trận đường chéo thực 2.2.2 Ma trận Γm khối Jordan thực cấp m 2.2.3 Ma trận Γm khối Jordan dạng thực cấp hai 2.2.4 Ma trận Γ xây dựng từ khối Jordan dạng thực cấp hai 2.2.5 Ma trận Γm khối Jordan dạng thực cấp 2n 82 83 86 96 98 99 105 112 117 123 Kết luận kiến nghị 132 Kết luận 132 Kiến nghị nghiên cứu 133 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến Luận án 134 Tài liệu tham khảo 135 v LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bảng ký hiệu Đơn vị ảo i2 = −1 Phần ảo số phức ρ Liên hợp số phức a Tập hợp số thực Tập hợp số phức Tổng tất phần tử đường chéo ma trận vuông A det A Định thức ma trận A W (φ) Định thức Wronskian theo biến x (cấp N ) có cột φ = (φ1 , φ2 , , φN )T L(t) Toỏn t Schrăodinger ph thuc tham s vo biến t D(t) Toán tử Dirac phụ thuộc tham số vào biến t S(t) Tập liệu tán xạ toỏn t Schrăodinger L(t) hoc d liu tỏn x tốn tử Dirac D(t) ACloc [0, ∞) Khơng gian hàm số liên tục tuyệt đối địa phương nửa khoảng [0, ∞) ACloc ([0, ∞), C ) Không gian hàm véc tơ hai chiều liên tục tuyệt đối địa phương nửa khoảng [0, ∞) L (0, ∞) Khơng gian hàm khả tích bậc hai (0, ∞) 2 L ((0, ∞), C ) Không gian hàm véc tơ hai chiều khả tích bậc hai (0, ∞) sign σ Dấu phép σ i Im ρ a ¯ R C tr A Res ρ=ρj X1 Thặng dư điểm ρj m Tập hợp (ε1 , ε2 , , εm ) εj = ±1, εj = j=1 m X2 Tập hợp (ε1 , ε2 , , εm ) εj = ±1, εj = −1 j=1 vi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Trong phương trình đạo hàm riêng mơ tả q trình truyền sóng có nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên phương trình soliton Về nguồn gốc vật lý, phương trình dẫn từ loạt toán thuộc nhiều lĩnh vực học chất lỏng, quang học phi tuyến, vật lý plasma lý thuyết dây ([3, 20, 39]) Mỗi phương trình thuộc nhóm thừa nhận lớp nghiệm đặc biệt xác định tường minh nghiệm mơ tả lan truyền, tương tác phi tuyến sóng đơn có tốc độ, biên độ không đổi Tốc độ biên độ chúng bảo toàn sau xảy tương tác Với đặc tính vật lý sóng gọi soliton Thuật ngữ soliton sử dụng lần V E Zabusky M D Kruskal năm 1965 công trình nghiên cứu hai ơng tốn Fermi-Pasta-Ulam phương trình Korteweg-de Vries Vật lý plasma ([42]) Trước đó, sóng soliton quan sát lần thực tế J S Russell vào năm 1834 dạng sóng nước xuất lan truyền kênh nước nông Edingburgh, Scotland (xem [3, 46]) Trong phương trình soliton mơ tả q trình lan truyền sóng chiều khơng gian chiều thời gian có bốn đại diện tiêu biểu sau đây: Phương trình Korteweg-de Vries phương trình đạo hàm riêng phi tuyến ut + 6uux + uxxx = 0, (1) u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 ẩn hàm phải tìm, ut , ux ký hiệu đạo hàm riêng u Biến x biến không gian, biến t biến thời gian Phương trình Korteweg-de Vries dẫn năm 1895 từ nghiên cứu D J Korteweg học trị ơng G de Vries q trình lan truyền sóng nước nơng kênh hẹp có đáy phẳng; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phng trỡnh Schră odinger phi tuyn l phương trình iut = uxx + 2|u|2 u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 (2) Phương trình Schrăodinger phi tuyn c dn t bi toỏn truyn sóng quang học; Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng phương trình ut + 6u2 ux + uxxx = 0, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 (3) Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (modified Korteweg-de Vries equation - viết tắt: mKdV) dẫn R G Miura báo mở đầu cho chuỗi nghiên cứu phương trình Korteweg-de Vries mở rộng ([32]) Trên thực tế phương trình (3) có quan hệ chặt chẽ với phương trình (1) Thật v(x, t) nghiệm (3) u(x, t) = v(x, t) ± vx (x, t) nghiệm (1) ([3, 32]); Phương trình sine-Gordon phương trình uxt = sin u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 (4) Phương trình sine-Gordon xuất sớm từ đầu kỷ 19 ban đầu đưa nghiên cứu mặt giả cầu hình học vi phân (xem [38]) Trong Vật lý người ta dẫn phương trình soliton mơ tả q trình truyền sóng hai ba chiều không gian (xem [4, 20]) Tuy nhiên khuôn khổ kết nghiên cứu Luận án khơng đề cập đến phương trình TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU Có nhiều phương pháp tốn học sử dụng để nghiên cứu phương trình soliton Hai phương pháp số có liên quan mật thiết sử dụng Luận án phương pháp toán tán xạ ngược kỹ thuật Wronskian Phương pháp toán tán xạ ngược phương pháp giải tốn Cauchy tồn trục khơng gian (x ∈ (−∞, ∞)) phương trình soliton lớp hàm giảm nhanh Phương pháp hình thành từ chuỗi báo với khởi đầu kết phương trình truyền sóng nước nơng Korteweg-de Vries (1) (xem [1, 2, 5, 10, 11, 21, 43, 44, 45]) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong phương pháp liên kết ẩn hàm u(x, t) phương trình soliton (1) (2) với vị tương ứng toán tử tuyn tớnh Schrăodinger v toỏn t Dirac, m l cỏc tốn tử vi phân theo biến x, t đóng vai trị tham số Từ sử dụng kết biết toán tán xạ toán tử xây dựng lời giải toán Cauchy Lời giải tốn Cauchy phương trình Korteweg-de Vries cụ th nh sau Chỳng ta xột toỏn t Schrăodinger d2 L(t)y = y + u(x, t)y, dx (5) với biến thời gian t coi tham số tự Theo kết toán tán xạ thuận, từ vị u(x, t) hàm giảm nhanh, nhận giá trị thực, xác định tập hợp có dạng S(t) = r(t, k), k ∈ R; iκ1 , iκ2 , , iκN ; C1 (t), C2 (t), , CN (t) (7) với κj > 0, Cj (t) > với j = 1, 2, , N Tập S(t) gọi tập liệu tán xạ toán tử L(t) Toán tử L(t) có giá trị riêng đơn −κ21 , −κ22 , , −κ2N (Chúng ta xét toán lớp đẳng phổ, tức trường hợp giá trị riêng tốn tử khơng phụ thuộc vào biến t) Các giá trị Cj (t) giá trị liên quan tới chuẩn hàm riêng tương ứng với giá trị riêng −κ2j , j = 1, 2, , N Thành phần lại tập liệu tán xạ hàm r(t, k) gọi hệ số phản xạ tốn tử Có thể tham khảo mơ tả chi tiết tập liệu tán xạ S(t) tài liệu [3, 5, 7, 13, 39, 46] Đảo lại, từ tập hợp S(t) có cấu trúc (7), toán tán xạ ngược đưa sơ đồ để xây dựng hàm số u(x, t) cho hàm u(x, t) nhận c vo toỏn t Schrăodinger (5) thỡ d liu tỏn xạ tốn tử lại S(t) (xem [3, 5, 7, 46]) Khâu then chốt toán ngược việc giải phương trình tích phân kỳ dị có tên phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko Sự tồn nghiệm tính nghiệm phương trình khẳng định không gian hàm sử dụng toán tán xạ Tuy nhiên việc tính tường minh nghiệm phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko thực vài tình Trong số tình có trường hợp đặc biệt tập S(t) chứa hệ số phản xạ r(t, k) = với LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com k ∈ R (ứng với giá trị t) Thế vị u(x, t) tính theo tốn tán xạ ngược trường hợp gọi vị không phản xạ Th v khụng phn x ca toỏn t Schrăodinger (5) có biểu diễn sau (xem [11] [3, 46]): ∂2 u(x, t) = 2 ln det(I + A(x, t)), ∂x (8) I ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vuông cấp N có phần tử Cj (t)Cn (t)e−(κj +κn )x Ajn = (9) κj + κn Đến đây, vào (5), hàm u(x, t) nói mà nghiệm phương trình Korteweg-de Vries (1) người ta nhận quy luật tiến hóa theo biến thời gian t tập liệu tán xạ S(t) Từ đó, lời giải tốn Cauchy lớp vị khơng phản xạ xây dựng theo quy trình gồm ba bước sau: Bước 1, tính tốn tập liệu tán xạ ứng với t = từ giá trị ban đầu u(x, 0) mà thuộc lớp vị không phản xạ Kết ta nhận tập hợp S(0) = r(0, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ1 , iκ2 , , iκN ; C1 (0), C2 (0), , CN (0) (10) Bước 2, xây dựng phương trình tiến hóa để tính tốn liệu tán xạ S(t) Nếu u(x, t) xác định (8) nghiệm phương trình Korteweg-de Vries (1) người ta chứng minh rằng: liệu tán xạ S(t) có quy luật tiến hóa sau S(t) = r(t, k) ≡ 0, k ∈ R; iκ1 , iκ2 , , iκN ; 3 C1 (0)e−4κ1 t , C2 (0)e−4κ2 t , , CN (0)e−4κN t , (11) đó, C1 (0), C2 (0), , CN (0) số thực dương Bước 3, phục hồi lại hàm u(x, t) công thức (8) từ liệu tán xạ S(t) (11) Hàm u(x, t) nhận nghiệm tốn Cauchy phương trình Korteweg-de Vries (1) Lớp nghiệm mô tả lan truyền tương tác N sóng nước đơn độc gọi nghiệm N solion khơng phản xạ phương trình (1) Chúng ta có nhận xét lớp nghiệm nhận giá trị thực Sơ đồ giải toán Cauchy cho phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn (2) l hon ton tng tự LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chúng ta xét toán tử Dirac D(t) = −i −1 d −iu(x, t) + , dx −i¯ u(x, t) (12) với vị u(x, t) hàm số nhận giá trị phức thuộc lớp hàm giảm nhanh, biến thời gian t coi tham số tự Đối với toán tử Dirac vị giảm nhanh, kết tốn tán xạ thuận tập liệu tán xạ S(t) = {b(t, k), b(t, k), k ∈ R; λj , λj , Cj (t), Cj (t), j = 1, 2, , N }, (13) đại lượng λj , j = 1, 2, , N nằm nửa mặt phẳng mặt phẳng phức (Im λj > 0) chúng tạo thành phổ rời rạc toán tử D(t) ([46]) Các đại lượng Cj (t), j = 1, 2, , N đại lượng liên quan đến chuẩn hàm riêng ứng với phổ rời rạc Đặc tính tập liệu tán xạ S(t) (13) mô tả chi tiết tài liệu [3, 7, 46] Từ tập hợp S(t) có cấu trúc (13), toán tán xạ ngược đưa sơ đồ xây dựng hàm số u(x, t) cho hàm u(x, t) vào (12) tập liệu tán xạ tốn tử D(t) lại S(t) Khi b(t, k) = với k ∈ R (ứng với giá trị t), tốn tán xạ ngược giải tường minh vị u(x, t) nhận trường hợp gọi vị không phản xạ Hơn nữa, vị không phản xạ tốn tử Dirac có biểu diễn u(x, t) = ∂2 ln det(I + A(x, t)A(x, t)), ∂x2 (14) I ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vng cấp N có phần tử Cn (t)e−2iλn x (15) Ajn = λj − λn Bài toán Cauchy phương trình (2) giải theo sơ đồ hồn tồn giống phương trình Korteweg-de Vries (1) Kết tính tốn tiến hóa liệu tán xạ vị không phản xạ u(x, t) mà nghiệm phương trình (2) là: S(t) ={b(t, k) ≡ 0, b(t, k) ≡ 0, k ∈ R; λj , λj , 2 Cj (0)e4iλj t , Cj (0)e−4iλj t , j = 1, 2, , N }, (16) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com βξ βη ˜j1 + φ φ˜j2 , 2 2 4(ξ + η ) 4(ξ + η ) βη βξ ˜j1 + = −4αφ˜j2xxx − φ φ˜j2 , 2 2 4(ξ + η ) 4(ξ + η ) φ˜j1t = −4αφ˜j1xxx + (2.2.54c) φ˜j2t (2.2.54d) j = 1, 2, , n Hệ (2.2.54a) − (2.2.54d) hệ phương trình giải Định lý 2.2.4 Sử dụng kết Định lý 2.2.4, số j nhận nghiệm tổng quát hệ (2.2.54a) − (2.2.54d) mà biểu diễn hai công thức (2.2.53b), (2.2.53c) Bây mô tả nghiệm Wronskian ứng với ma trận Γ chứa cặp giá trị riêng phức liên hợp với bội n > Xét định thức Wronskian f2n = W (φ11 , φ12 , , φn1 , φn2 ), (2.2.55) với (φ11 , φ12 , , φn1 , φn2 ) cho theo đẳng thức (2.2.53a)−(2.2.53c) Định lý 2.2.7 Như f2n nghiệm hệ phương trình song tuyến tính (2.1.5a), (2.1.5b) tương ứng với f¯2n (x, t) u(x, t) = 2i ln f2n (x, t) nghiệm phương trình mKdV-sG (2.1.1) Ta mô tả u(x, t) biểu diễn thuận tiện Chúng ta đặt g = eξx−Λt θ = ηx − Ωt với Λ, Ω định nghĩa (2.2.29a), (2.2.29b) Khi nghiệm φj1 , φj2 hệ (2.2.54a)−(2.2.54d) viết lại dạng φj1 = g Pj1 cos θ − Pj2 sin θ + ig −1 Pj3 cos θ + Pj4 sin θ , (2.2.56a) φj2 = g Pj1 sin θ + Pj2 cos θ + ig −1 − Pj3 sin θ + Pj4 cos θ , (2.2.56b) Pjl ≡ Pjl (x, t, ξ, η), j = 1, 2, , n; l = 1, 2, 3, hàm phụ xác định theo công thức (2.2.53a) − (2.2.53c) Chúng ta cần mô tả rõ hàm phụ Pj1 , , Pj4 , j = 1, 2, , n công thức (2.2.56a), (2.2.56b) Vì ta (2.2.56a), (2.2.56b) vào vế trái (2.2.53a), đồng thời (2.2.53b), (2.2.53c) vào vế phải (2.2.53a) Cân hệ số hàm g hai vế đẳng thức thu được, với số j = 1, 2, n có hệ phương trình đại số tuyến tính 125 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com sau hàm Pj1 , Pj2   g Pj1 cos θ − Pj2 sin θ =     j   ∂ j−l ∂ j−l   Cl1 = (g cos θ) − Cl2 (g sin θ) ,   (j − l)! ∂ξ j−l (j − l − 1)! ∂ξ j−l l=1  g Pj1 sin θ + Pj2 cos θ =     j   ∂ j−l ∂ j−l   Cl1 = (g sin θ) + Cl2 (g cos θ)   (j − l)! ∂ξ j−l (j − l)! ∂ξ j−l l=1 Từ hệ phương trình ta tính hàm Pj1 Pj2 theo công thức Cramer Tương tự cân hệ số g −1 đẳng thức với số j = 1, 2, n ta nhận hệ phương trình đại số tuyến tính Pj3 Pj4   g −1 Pj3 cos θ + Pj4 sin θ =     j   1 ∂ j−l −1 ∂ j−l −1   Cl3 (g cos θ) + Cl4 (g sin θ) ,  = (j − l)! ∂ξ j−l (j − l)! ∂ξ j−l l=1 −1  g − Pj3 sin θ + Pj4 cos θ =     j   1 ∂ j−l −1 ∂ j−l −1   − Cl3 (g sin θ) + Cl4 (g cos θ)  = (j − l)! ∂ξ j−l (j − l)! ∂ξ j−l l=1 Từ ta tính hàm Pj3 Pj4 Có thể thấy với số j = 1, 2, , n hàm Pj1 , , Pj4 đa thức biến x, t, ξ η Tiếp theo cần đưa biểu diễn thích hợp cho đạo hàm hàm φj1 , φj2 có mặt định thức f2n Cụ thể ta xây dựng biểu (k) (k) diễn đạo hàm φj1 and φj2 φj1 , φj2 dạng (k) φj1 = g Qj1 (k) cos θ − Qj2 (k) sin θ + ig −1 Qj3 (k) cos θ + Qj4 (k) sin θ , (2.2.57a) (k) φj2 = g Qj1 (k) sin θ + Qj2 (k) cos θ + ig −1 − Qj3 (k) sin θ + Qj4 (k) cos θ (2.2.57b) Từ (2.2.56a) − (2.2.57b) ta thấy Qjl (k) ≡ Qjl (x, t, k) đa thức 126 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com xác định hệ thức quy nạp Qj1 (k) = ξQj1 (k − 1) − ηQj2 (k − 1) + Qj1x (k − 1), Qj2 (k) = ηQj1 (k − 1) + ξQj2 (k − 1) + Qj2x (k − 1), Qj3 (k) = −ξQj3 (k − 1) + ηQj4 (k − 1) + Qj3x (k − 1), Qj4 (k) = −ηQj3 (k − 1) − ξQj4 (k − 1) + Qj4x (k − 1), Qjl (0) = Qjl (x, t, 0) = Pjl (x, t), Chúng ta viết lại biểu diễn (2.2.57a), (2.2.57b) dạng sau + εj1 (k) φj1 = Qj1 (k) cos θ − Qj2 (k) sin θ ε =±1 j1 + i Qj3 (k) cos θ + Qj4 (k) sin θ (k) φj2 = − εj1 εj1 g , Qj1 (k) sin θ + Qj2 (k) cos θ εj2 =±1 + i − Qj3 (k) sin θ + Qj4 (k) cos θ + εj2 − εj2 εj2 g Ký hiệu D(ε11 , ε12 , , εn1 , εn2 ) định thức có kích thước 2n × 2n với phần tử hàng thứ (2j − 1) (2j) tương ứng + εj1 − εj1 , + i Qj3 (k) cos θ + Qj4 (k) sin θ k=0,1,2, ,2n−1 + εj2 Qj1 (k) sin θ + Qj2 (k) cos θ − εj2 + i − Qj3 (k) sin θ + Qj4 (k) cos θ k=0,1,2, ,2n−1 Qj1 (k) cos θ − Qj2 (k) sin θ (2.2.60a) (2.2.60b) Tương tự với tiểu mục trước ta nhận kết sau Mệnh đề 2.2.5 Cho số thực Cj1 , Cj2 , Cj3 , Cj4 , j = 1, 2, , n tùy ý Đặt g = eξx−Λt θ = ηx − Ωt với Λ, Ω định nghĩa (2.2.29a), (2.2.29b) Ký hiệu D(ε11 , ε12 , , εn1 , εn2 ) định thức xác định theo (2.2.60a), (2.2.60b) Khi hàm số f (x, t) xác định công thức n g εj1 +εj2 D(ε11 , ε12 , , εn1 , εn2 ) f (x, t) = (ε11 ,ε12 , ,εn1 ,εn2 ) εjl =±1 (2.2.61) j=1 127 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nghiệm hệ phương trình song tuyến tính (2.1.5a), (2.1.5b) Chú ý với l = 2, tất phần tử hàng thứ (2n + l−2) định thức D(ε11 , ε12 , , εn1 , εn2 ) thực εjl = ảo εjl = −1 Hệ giá trị định thức D(ε11 , ε12 , , εn1 , εn2 ) n (εj1 εj2 ) = trái lại giá trị ảo Ta cần sử dụng thực j=1 tập X1 , X2 định nghĩa (2.2.9a), (2.2.9b) Từ tập X1 , X2 ta định nghĩa hàm số n g εj1 +εj2 D(ε11 , ε12 , , εn1 , εn2 ) , (2.2.62a) F (x, t) = (ε11 ,ε12 , ,εn1 ,εn2 )∈X1 j=1 n g εj1 +εj2 D(ε11 , ε12 , , εn1 , εn2 ) G(x, t) = (−i) (ε11 ,ε12 , ,εn1 ,εn2 )∈X2 j=1 (2.2.62b) Khi F (x, t) G(x, t) tương ứng phần thực phần ảo hàm f2n (x, t) (2.2.61) Từ tính tốn ta có định lý Định lý 2.2.8 Cho số thực Cj1 , Cj2 , Cj3 , Cj4 , j = 1, 2, , n tùy ý Đặt g = eξx−Λt θ = ηx − Ωt với Λ, Ω định nghĩa (2.2.29a), (2.2.29b) Gọi F (x, t) G(x, t) hàm số định nghĩa theo g θ (2.2.62a), (2.2.62b) Khi hàm F (x, t), G(x, t) phụ thuộc vào hai tham số α, β khẳng định 1) - 3) Định lý 2.2.1 Chú ý n = từ Định lý 2.2.8 lại nhận nghiệm (2.2.38) Tiếp theo có hệ Hệ 2.2.4 Cho các số thực C1 , C2 , C3 , C4 tùy ý hai hàm số φ1 , φ2 xác định (2.2.30a), (2.2.30b) Ta định nghĩa định thức Wronskian (kiểu) kép φ1 φ1x φ1x2 φ1x3 φ2 φ2x φ2x2 φ2x3 φ1ξ φ1xξ φ1x2 ξ φ1x3 ξ φ2xξ φ2x2 ξ φ2x3 ξ f (x, t) = φ2ξ φ1ξ n−1 φ1xξ n−1 φ1x2 ξ n−1 φ1x3 ξ n−1 φ2ξ n−1 φ2xξ n−1 φ2x2 ξ n−1 φ2x3 ξ n−1 φ1x2n−2 φ1x2n−1 φ2x2n−2 φ2x2n−1 φ1x2n−2 ξ φ1x2n−1 ξ φ2x2n−2 ξ φ2x2n−1 ξ , φ1x2n−2 ξ n−1 φ1x2n−1 ξ n−1 φ2x2n−2 ξ n−1 φ2x2n−1 ξ n−1 (2.2.63) 128 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com φ1xj ξ l , φ2xj ξ l đạo hàm riêng φ1 , φ2 Vậy định thức Wronskian kép (2.2.63) nghiệm hệ phương trình song tuyến tính (2.1.5a), (2.1.5b) Chứng minh Tương tự hệ 2.2.1 Chúng ta đưa kết tính tốn cụ thể với định thức Wronskian kép (2.2.63) trường hợp n = Trong trường hợp định thức Wronskian (2.2.63) φ1 φ f4 (x, t) = φ1ξ φ2ξ φ1x φ2x φ1xξ φ2xξ φ1x2 φ2x2 φ1x2 ξ φ2x2 ξ φ1x3 φ2x3 φ1x3 ξ φ2x3 ξ (2.2.64) Tương tự tiểu mục trước chúng tơi thay việc tính F (x, t), G(x, t) cách sử dụng biểu diễn Laplace cho f4 (x, t) Khi định thức cấp bốn tính 12 định thức cấp hai ta cần sử dụng hệ thức β t φ11 4(ξ + η )2 βξη + 24αξη − t φ12 , 2(ξ + η )2 βξη t φ11 = − 24αξη − 2(ξ + η )2 β + x − (ξ − η ) 12α + t φ12 4(ξ + η )2 φ11ξ = x − (ξ − η ) 12α + φ12ξ (2.2.65a) (2.2.65b) Ở ta thu công thức mô tả kết nhận (Chúng ta bỏ qua việc mơ tả chi tiết q trình tính tốn theo hướng dài phức tạp): f4 (x, t) = 8ξ η (ξ + η )R − 12ξ η + 4η (e1 + e2 )2 − − 8ξ η (ξ + η )R + 12ξ η (e1 − e2 )2 + 32ξ η (ξ + η )R − 48ξ η e23 + 32ξ η (ξ + η )R + 48ξ η − 16ξ e24 + i 32ξ η (−ξh1 + ηh2 )(e1 + e2 )e3 − 32ξ η (ηh1 + ξh2 )(e1 − e2 )e4 − 32ξη(ξ + η )(e1 + e2 )e4 , (2.2.66) 129 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ta sử dụng hàm phụ 2 2 e1 =(C11 + C12 )g , e2 = (C13 + C14 )g −2 , e3 =(C11 C13 + C12 C14 ) cos(2θ) − (C12 C13 − C11 C14 ) sin(2θ), e4 =(C12 C13 − C11 C14 ) cos(2θ) + (C11 C13 + C12 C14 ) sin(2θ), β h1 = x − (ξ − η ) 12α + t, 4(ξ + η )2 βξη t, R = h21 + h22 h2 = − 24αξη − 2 2(ξ + η ) Từ f4 (x, t) nhận ta thu công thức tường minh lớp nghiệm phương trình mKdV-sG (2.1.1) Việc thay α = 1, β = α = 0, β = cho lớp nghiệm tương ứng phương trình mKdV (2.1.2) phương trình sine-Gordon (2.1.3) Chú ý Trong trường hợp này, dạng (2.2.51) ma trận Γm hệ (2.2.1a), (2.2.1b) xây dựng dạng   U O O O O  Σ U O O O     Γm =  O Σ U O O     . O O O Σ U 2n×2n m = 2n, U = ξ −η , η = 0, Σ = η ξ −1 −1 O ma trận khơng kích thước × 130 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khi ta sử dụng biến đổi φ11 = φ˜11 , φ12 = φ˜12 , ∂ φ21 = φ˜21 + φ˜11 , ∂η ∂ φ22 = φ˜22 + φ˜12 , ∂η φn1 φn2 ∂ ˜ ∂ n−1 ˜ ˜ = φn1 + φn−1,1 + · · · + φ11 , ∂η (n − 1)! ∂η n−1 ∂ n−1 ˜ ∂ φ12 , = φ˜n2 + φ˜n−1,2 + · · · + ∂η (n − 1)! ∂η n−1 lại lần ta thu hệ (2.2.54a) − (2.2.54d) xác định nghiệm Wronskian tương tự thực KẾT LUẬN CHƯƠNG II Các đóng góp Luận án chương II gồm có điểm sau Nghiên cứu phương trình hỗn hợp mKdV-sG mà phương trình chứa phương trình KdV biến dạng sine-Gordon trường hợp đặc biệt; Đã đưa phương trình hỗn hợp mKdV-sG hệ phương trình đạo hàm riêng song tuyến tính q xác định Đã mở rộng đáng kể hệ phương trình điều kiện vectơ cột thứ định thức Wronskian mà nghiệm hệ phương trình dạng song tuyến tính tương ứng; Đã đưa hệ phương trình điều kiện dạng tắc Jordan thực Nghiệm tổng quát hệ phương trình điều kiện ứng với trường hợp khối Jordan thực khác mô tả đầy đủ chúng tạo thành không gian tuyến tính hữu hạn chiều R; Xây dựng lớp nghiệm Wronskian chứa nhiều tham số thực cho phương trình truyền sóng hỗn hợp mKdV-sG trục 131 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận kiến nghị Kết luận Các kết qủa Luận án • Mơ tả điều kiện cần điều kiện đủ cho quy luật tiến hóa theo biến thời gian t liệu tán xạ ứng với lớp vị khơng tán xạ u(x, t) tốn tử Schrăodinger (tng ng, toỏn t Dirac) trờn na trc khụng gian x > vị u(x, t) đồng thời nghiệm phương trình Korteweg-de Vries (tng ng, phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn) Xõy dng lớp nghiệm N -soliton không tán xạ tường minh chứa nhiều tham số phức nửa trục biến khơng gian phương trình Korteweg-de Vries v phng trỡnh Schrăodinger phi tuyn ã Nghiờn cu phng trình hỗn hợp mKdV-sG mà phương trình chứa phương trình KdV biến dạng sine-Gordon trường hợp đặc biệt Đã đưa phương trình hỗn hợp mKdV-sG hệ phương trình đạo hàm riêng song tuyến tính xác định Đã mở rộng đáng kể hệ phương trình điều kiện vectơ cột thứ định thức Wronskian mà nghiệm hệ phương trình dạng song tuyến tính tương ứng Hệ phương trình điều kiện sau đưa dạng tắc Jordan thực Nghiệm tổng quát hệ phương trình điều kiện ứng với trường hợp khối Jordan thực khác mô tả đầy đủ chúng tạo thành khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều R Trên sở xây dựng lớp nghiệm Wronskian chứa nhiều tham số thực cho phương trình truyền sóng hỗn hợp mKdV-sG trục 132 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kiến nghị nghiên cứu Hướng phát triển nội dung nghiên cứu Luận án sau: Giải toán biên-giá trị ban đầu nửa trục không gian cho phương trình soliton lớp hàm giảm nhanh tiếp tục nghiên cứu việc áp dụng phương pháp toán tán xạ ngược cho toán Tiếp tục nghiên cứu sử dụng kỹ thuật Wronskian cho phương trình phi tuyến khác Tìm hiểu thêm phương pháp tốn học khác sử dụng cho phương trình soliton phát triển kết đạt Tác giả hy vọng tiếp tục nhận kết nghiên cứu thời gian tới 133 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến Luận án [1] P L Vu and N H Hoang (2000), "On the Degree of Nomalization Polynomials of the Scattering Data for Constructing Solutions of the Korteweg-de Vries Equation", Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24(4), pp 631-641 [2] P L Vu and N H Hoang (2002), "Constructing Soliton Solutions of the Nonlinear Schrăodinger Equation by Inverse Scattering and Hirota s Direct Methods", Vietnam Journal of Mathematics 30(2), pp 149-165 [3] H T Ngoan and N H Hoang (2010), "The Wronskian solutions of the sine-Gordon equation", Algebraic Structures in Partial Differential Equations Related to Complex and Clifford Analysis, Ho Chi Minh City University of Education Press, pp 171-208 [4] H.T Ngoan and N H Hoang (2011), "The Wronskian solutions of the modified Korteweg-de Vries equation", Acta Mathematica Vietnamica 36(3), pp 555-583 [5] H T Ngoan and N H Hoang (2011), "The Wronskian solutions of a nonlinear evolution equation", Preprint of Institute of Mathematics, Hanoi, (11-05), pp 1-26 134 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] Ablowitz M J., Kaup D J., Newell A C., Segur H (1973), " Method for Solving the Sine-Gordon Equation", Physical Review Letters, 30, pp 1262-1264 [2] Ablowitz M J., Kaup D J., Newell A C., Segur H (1973), "NonlinearEvolution Equations of Physical Significance", Physical Review Letters, 31, pp 125-127 [3] Ablowitz M J., Segur H (1981), Solitons and the Inverse Scattering Transform, Studies in Applied Mathematics, Philadelphia [4] Ablowitz M J., Clarkson P A (1991), Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge University Press, Cambridge [5] Deift P., Trubowitz E (1979), "Inverse scattering on the line", Comm Pure Appl.Math., 32, pp 121–251 [6] Deng S F., Chen D Y., Zhang D J (2003), "The Multisoliton Solutions of the KP Equation with Self-consistent sources", J Phys Soc Jpn 72, pp 2184-2192 [7] Faddeev L D., Takhtajan L A (2007), Hamiltonian Methods in the theory of solitons, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [8] Freeman N C., Nimmo J J C (1983), "Soliton solitons of the KdV and KP equations: the Wronskian technique", Proc R Soc Lond., A 389, pp 319-329 [9] Fokas A S (2008), A Unified Approach to Boundary Value Problems, Studies in Applied Mathematics, Philadelphia 135 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [10] Gardner C S., Greene J M., Kruskal M D., Miura R M (1967), "Method for solving the Korteweg-de Vries equation", Phys Rev Lett., 19, pp 1905-1907 [11] Gardner C S., Greene J M., Kruskal M D., Miura R M (1974), "Korteweg-de Vries Equation and Generalizations VI Methods for Exact Solution", Comm on Pure and App Math., 27, pp 97-133 [12] Gesztesy F., Holden H (2003), Soliton equations and their Algebrogeometric solutions - Volume I, Cambridge Univ Press, Cambridge [13] Gerdjikov V S., Vilasi G., Yanovski A B (2008), Intagrable Hamiltonian Hierarchies - Spectral and Geometric Methods, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [14] Habibullin I T (1999), "KdV equation on a half-line with zero boundary conditions" Theor Math Phys., 119(3), pp 397-404 [15] Habibullin I T., Vil’danov A N (2002), "The KdV equation on a half-line", preprint (online: solv-int/9910002) [16] Habibullin I T (2002), "Innitial boundary value problem for the KdV equation on a half-line with homogeneous boundary conditions", Theor Math Phys., 130(1), pp 31-53 [17] Habibullin I T (2002), "Integrable innitial boundary problems", Math Phys Anal Geom., 9(2), pp 261-267 [18] Hirota R (1971), "Exact solution of the Korteweg-deVries equation for multiple collisions of solitons", Phys Rev Lett., 27, pp 1192-1194 [19] Hirota R (2004), Direct method in soliton theory (In English), (Edited and Translated by A Nagai, J Nimmo and C Gilson, Cambridge Univ Press, Cambridge [20] Konopelchenko B G (1992), Introduction to multidimensional integrable equations: The inverse spectral transform in + dimensions, Plenum Press, New York [21] Lax P D (1968), "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves", Comm Pure Appl Math., 21, pp 467–490 136 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [22] Levitan B (1987), Inverse Sturm-Liouville problems, VNU Press, Utrecht [23] Li C X., Ma W X., Liu X J., Zeng Y B (2007), "Wronskian solutions of the Boussinesq equation - solitons, negatons, positons and complexitons", Inverse problems, 23, pp 279-296 [24] Lyantse V È (1967), "An analog of the inverse problem of scattering theory for a nonselfadjoint operator", Mat Sbornik, 72(4), pp 485-503 [25] Ma W X (2004), "Wronskians, generalized Wronskians and solutions to the Korteweg-de Vries equation", Chao, Soliton and Fractals, 19, pp 163-170 [26] Ma W X (2005), "Complexiton solutions of integrable equations", Nonlinear Analysis, 63, pp e2461-e2471 [27] Ma W X., You Y C (2005), "Solving the Korteweg-de Vries equation by its bilinear form: Wronskian solutions", Tran Amer Math Soc., 357, pp 1753-1778 [28] Ma W X (2008), "An application of the Casoratian technique to the 2D Toda lattice equation", Modern Physics Letters B, 25, pp 18151825 [29] Ma W X (2009), " Wronskian solution to integrable equations", Discrete and continuous Dynamical systems, Supplement, pp 506-515 [30] Marchenko V A (1972), Spectral Theory of the Sturm-Liouville operators (in Russian), Naukova, Dumka, Kiev [31] Marchenko V.A (1977), Sturm-Liouville operators and their applications, Nauka, Moscow [32] Miura R M (1968), "Korteweg-deVries Equation and Generalizations I A remarkable Explicit Nonlinear Transformation", J Math Phys., 9, pp 1202-1204 [33] Nimmo J J C., Freeman N C (1984), "The use of Backlund transformations in obtaining N -soliton solutions in Wronskian form", J Phys A: Math Gen., 17, pp 1415-1424 137 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [34] Nimmo J J C (1983), "A method of obtaining the N- soliton solution of the Boussinesq equation in terms of Wronskian”, Phys Lett., 95, pp 4-6 [35] Nimmo J.J.C (1983), "A bilinear Backlund transformation for the nonlinear Schrăodinger equation", Phys Lett., 99, pp 279-280 [36] Ning T K., Zhang D J., Chen D Y., Deng S F (2005), "Exact solutions and conservation laws for a nonisospectral sine-Gordon equation", Chaos, Solitons and Fractals, 25, pp 611-620 [37] Nizhnik L P., Vu P L (1974), "Inverse scattering problem on a semiaxis with nonselfadjoint potential matrix" Ukr mat Zhurnal, 26(4), pp 469-486 [38] Rogers C., Schief W K (2002), Backlund and Darboux Transformations, Cambridge Univ Press, Cambridge [39] Tabor M (1988), "Chaos and integrability in nonlinear dynamics: an introduction", John Wiley & Sons, New York [40] Vu P L (1994), "Cauchy for a system of nonlinear equations and for the nonlinear Schrăodinger equation", J Inverse Scattering, 10, pp 415-429 [41] Vu P L (1997), "Explicit Complex-Valued Solutions of the KortewegdeVries Equation on the Half-Line and on the Whole-Line", Acta Applicandae Mathematicae, 49, pp 107-149 [42] Zabusky N J., Kruskal M D (1965), "Interactions of “solitons” in a collisionless plasma and the recurrence of initial states", Physical Review Letters, 15, pp 240 – 243 [43] Zakharov V E., Shabat A B (1971), "Exact theory of twodimensional self-focusing and one-dimensional modulation of waves in nonlinear media", Zhurn Eksp Teor Fiz., 61, pp 118-134 (English transl., (1972), Sov Phys JETP, 34, pp 62-69) [44] Zakharov V E., Shabat A B (1974), "A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem I", Funk Anal Pril., 8(3), pp 43-53 (English transl., (1975) Func Anal Appl., 8, pp 226-235) 138 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com [45] Zakharov V E., Shabat A B (1979), "A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem II", Funk Anal Pril., 13(3), pp 13-22 (English transl., (1980), Func Anal Appl., 13, pp 166-174) [46] Zakharov V E., Manakov S V., Novikov S P., Pitaievski I P (1980), Theory of Solitons The Inverse Scattering Method (in Russian) Nauka, Moscow (English transl., (1984), Plenum, New York) [47] Zhang D J (2002), "The N -soliton solutions for the Modified KdV Equation with Self-Consistent" J Phys Soc Jpn., 71, pp 2649-2656 [48] Zhang D J., Chen D Y (2002), "The N -soliton solutions of the sineGordon equation with self-consistent sources", Physica A, 321, pp 467-481 [49] Zhang D J (2003), "The N -soliton solutions of some soliton equations with self-consistent sources", Chaos, Solitons and Fractals, 18, pp 3143 [50] Zhang D J (2006), "Notes on solutions in Wronskian form to soliton equation: KdV-type", preprint (online: arXiv:nlin SI/0603008) [51] Zhang Y., Deng S.F., Zhang D J., Chen D Y (2004), "The N -soliton for the non-isospectral mKdV equation", Physica A, 339, pp 228-236 139 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG PHI TUYẾN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... sở kết quy luật tiến hóa liệu tán xạ, lớp nghiệm u(x, t) tường minh khơng tán xạ phương trình (2) mô tả Định lý 1.2.5 Mục tiêu thứ hai Luận án tìm nghiệm tường minh cho phương trình mKdV-sG (27)... luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Trong phương trình đạo hàm riêng mơ tả q trình truyền sóng có nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên phương trình soliton Về nguồn gốc vật lý, phương trình dẫn từ loạt tốn