ham so luong giac va phuong trinh luong giac le minh tam 7591

LÊ MINH TÂM CHƯƠNG 01 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I ÔN TẬP 1.1 Các hệ thức 1.2 Cung liên kết 1.3 Công thức cộng 1.4 Công thức nhân hạ bậc 1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích 1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng 1.7 Bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt II HÀM SỐ y = sinx VÀ HÀM SỐ y = cosx III HÀM SỐ y = tanx Và HÀM SỐ y = cotx IV BÀI TẬP 10 Dạng 01 TẬP XÁC ĐỊNH 10 Dạng 02 TÍNH CHẴN LẺ 13 Dạng 03 CHU KỲ HÀM SỐ 15 Dạng 04 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 17 §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 21 I PHƯƠNG TRÌNH SinX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CosX = a 21 II PHƯƠNG TRÌNH TanX = a VÀ PHƯƠNG TRÌNH CotX = a 23 III BÀI TẬP 26 §3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO HÀM LƯỢNG GIÁC 32 I DẠNG CƠ BẢN 32 II BÀI TẬP 33 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI HÀM SIN - COS 43 I DẠNG CƠ BẢN 43 II BÀI TẬP 44 §4 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 54 I DẠNG CƠ BẢN 54 II BÀI TẬP 55 LÊ MINH TÂM Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §5 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 62 I DẠNG CƠ BẢN 62 II BÀI TẬP 62 §6 CÁC LOẠI PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 68 I BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 68 1.1 Ví dụ minh họa 68 1.2 Bài tập rèn luyện 68 II BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH 70 2.1 Ví dụ minh họa 70 2.2 Bài tập rèn luyện 70 III TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP 73 3.1 Ví dụ minh họa 73 3.2 Bài tập rèn luyện 74 IV PHƯƠNG TRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN 75 4.1 Ví dụ minh họa 76 4.2 Bài tập rèn luyện 77 §7 TỔNG ÔN CHƯƠNG .91 Dạng 01 TẬP XÁC ĐỊNH 91 Dạng 02 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 93 Dạng 03 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 96 Dạng 04 TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 113 Trang LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I ÔN TẬP 1.1 Các hệ thức tan cot  sin2  cos2 1  tan  cos2  cot  sin 1.2 Cung liên kết Cung đối cos     cos sin      sin tan      tan cot      cot Cung bù sin   cos   tan   cot     sin    cos    tan    cot Cung phụ  sin   2  cos   2    cos     sin    tan     cot 2    cot     tan 2  1.3 Công thức cộng sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a tan  a  b   tan a  tan b  tan a.tan b Cung sin   cos   tan   cot      sin    cos   tan   cot cos  a  b   cos a cos b tan  a  b   Cung  sin   2  cos   2    cos      sin    tan      cot 2    cot      tan 2  sin a sin b tan a  tan b  tan a.tan b    tan x    tan x Hệ quả: tan   x   tan   x   4   tan x 4   tan x 1.4 Công thức nhân hạ bậc Nhân đôi Hạ bậc  cos sin  sin  sin cos 2  cos cos  cos  sin cos2  2  cos 1   sin tan  cos tan  tan   cos  tan LÊ MINH TÂM Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC cot  cot 1.5 Cơng thức biến đổi tổng thành tích ab ab cos a  cos b  cos cos 2 ab ab sin a  sin b  sin cos 2 sin  a  b  tan a  tan b  cos a.cos b sin  a  b  cot a  cot b  sin a.sin b cot   cot  cos  cos ab ab sin 2 ab ab sin a  sin b  cos sin 2 sin  a  b  tan a  tan b  cos a.cos b sin  b  a  cot a  cot b  sin a.sin b cos a  cos b  2 sin Đặc biệt         sin x  cos x  sin  x    cos  x   sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4 4 4     1.6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b  cos  a  b   cos  a  b  sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  1.7 Bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt Đơn vị 30o 45o 60o 90o 120o 150o 180o 360o 0o 135o độ Đơn vị radian 6 1 3 0 sin 2 2 2 cos 2 tan 3 KXĐ cot KXĐ 3 0   2  1 3 0 KXĐ KXĐ  1  3 1   II Hàm Số y = sinx Và Hàm Số y = cosx Hàm số y  sin x Định nghĩa: Trang Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo x rađian gọi hàm số sin , kí hiệu y  sin x Hàm số y  cos x Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cos góc lượng giác có số đo x rađian gọi hàm số cos , kí hiệu y  cos x LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tập xác định: Tập giá trị: Tính chất hàm Chu kỳ Đơn điệu D D  1;1  1;1 Là hàm số lẻ Là hàm số chẵn Chu kì Chu kì Hàm số + Đồng biến khoảng      k2 ;  k2    + Nghịch biến khoảng    k2    k2 ; 2  Hàm số + Đồng biến khoảng    k2 ; k2  + Nghịch biến khoảng  k2 ;  k2  Đồ thị sin x  1  x   Giá trị đặc biệt sin x   x  k sin x   x  LÊ MINH TÂM  k2  k2 cos x  1  x   k2 cos x   x  k cos x   x  k2 Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Chú ý: +) Hàm số y  sin u  x   , y  cos u  x   xác định  u  x  có nghĩa +) 1  sin x,cos x  ;  sin x ,cos x  ;  sin x , cos x  Ví dụ 01 Tìm tập xác định hàm số sau: a y  sin 4x b y  sin 3x  x2  Lời giải c y  cos x  a y  sin 4x Hàm số xác định với số thực x nên hàm số có tập xác định D  3x  b y  sin x 1 Hàm số xác định x2 1   x  1 Tập xác định D  \1 c y  cos x  Hàm số xác định x    x  2 Tập xác định D  2;   Ví dụ 02 Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a y  3cos x  sin x b y   sin 2 x  cos 3x Lời giải a y  3cos x  sin x Hàm số có tập xác định D  Lấy x ta có x  y  x   cos  x   sin2  x   cos x  sin2 x  y  x  Do hàm số hàm chẵn  sin 2 x b y   cos 3x Hàm số xác định cos 3x  1  3x   k  x  Tập xác định D   k2 \  3  k2 k     k    Ta thấy x  D  cos 3x  1 mà cos  3x   cos 3x  cos  3x   1  x  D Khi y   x    sin  2x   cos  3x    sin 2x  y  x  cos 3x Do hàm số hàm chẵn Ví dụ 03 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: Trang LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC a y   sin 5x b y  sin x  cos x    c y  sin x , x    ;   4 Lời giải a y   sin 5x Hàm số có tập xác định D  Ta có 1  sin x   3  3 sin x   3    sin x     y  Do đó: max y   sin x  1  x   y   sin x   x   k2  k2 k   k     b y  sin 2x  cos 2x    sin 2x  cos 2x       Đặt sin  ; cos     0;  ta có y   cos sin 2x  sin cos 2x    sin  2x  Ta có: 1  sin  2x   1   sin  2x   Do đó: max y   đạt sin  2x  y   đạt sin  2x   1     sin  2x   1  1  1   1   c y  sin x , x    ;   4 Hàm số y  sin x đồng biến khoảng   ;  nên       2 y Với x    ;   sin     sin x  sin     2  4  4 4 Do max y  2 đạt x  ; y  đạt x   2 4 III Hàm Số y = tanx Và Hàm Số y = cotx Định nghĩa: Tập xác định: Tập giá trị: Hàm số y  tan x Hàm số y  cot x Hàm số tang hàm số xác định sin x công thức y   cos x  0 , ký hiệu cos x y  tan x Hàm số côtang hàm số xác định cos x công thức y   sin x  0 , ký sin x hiệu y  cot x D   \  k , k   2   1;1 LÊ MINH TÂM D \k , k    1;1 Trang HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Tính chất hàm Chu kỳ Đơn điệu Là hàm số lẻ Chu kì Là hàm số lẻ Chu kì Hàm số đồng biến khoảng Hàm số nghịch biến khoảng   k ;  k  k   k ; 2  Đồ thị  Chú ý: - Hàm số y  tan u  x   xác định cosu  x   - Hàm số y  cot u  x   xác định sin u  x   Ví dụ 04 Tìm tập xác định hàm số sau:   a y  tan  x   4    b y  cot  x   3  Lời giải Trang LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   a y  tan  x   4    Hàm số xác định cos  x     x    k  x   k 4 4    Do hàm số có tập xác định D  \   k  k    4  k     b y  cot  x   3    Hàm số xác định sin  x     x   k  x   k 3 3    Do hàm số có tập xác định D  \   k  k    3  k   IV BÀI TẬP Dạng 01 TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp giải: f  x  xác định  f  x   ; xác định  f  x   f  x   y  cos  f  x   xác định  f  x  xác định y  tan  f  x   xác định  f  x    k  k   y  cot  f  x   xác định  f  x   k  k   y  sin f  x  xác định  f  x  xác định Bài 01 Tìm tập xác định hàm số sau: 1 y  cos x  3 y  y   sin x  cos x sin x  y   cos x cos x Lời giải y  cos x  3  x    k2 , k    Tập xác định hàm số là D  \   k , k     Điều kiện: cos x  y   sin x Điều kiện:  sin x   sin x  1 x  LÊ MINH TÂM  Trang 10 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  cos x  cos 3x  sin 6x sin 3x    x   k cos x   cos x  cos 3x  cos 3x  cos x      k  x   k cos 9x   18 i cos 22x  cos18x  cos14x  cos10x   cos 22x  cos10x   cos18x  cos14x     cos16x cos 6x  cos16x cos 2x   cos16x  cos 6x  cos 2x   cos16x    cos 2x  cos 2x  cos 2x   k   x  32  16 16 x   k cos 16x     k   x   k  2x   k cos x    k sin 3x  sin 5x  sin x.cos 2x   sin 3x  sin 5x  sin 3x  sinx   k sin 3x   x   sin 3x  sin 3x cos x    k  cos 2x   VN    Bài 07 Giải phương trình sau:  d sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x f sin4 x  cos4 x  cos 4x h sin6 x  cos6 x  a sin2 x  sin2 2x  sin2 3x b sin x  sin 2x  sin 3x  c 3cos2 2x  sin2 x  cos2 x  e cos4 x   cos 4x g sin4 x  cos4 x  cos x Lời giải a sin2 x  sin2 2x  sin2 3x  cos2x  cos4x  cos6x    2    cos 2x+cos 4x  +cos 6x   1 cos 6x  2cos 3x.cos x   2cos2 3x  2cos3x.cos x   2cos 3x  cos 3x  cos x   LÊ MINH TÂM Trang 110 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   x   k x   k  cos 3x     xl   k , l, m   cos 3x  cos x  xm   xm 2  b sin x  sin 2x  sin 3x   cos2x  cos4x  cos6x     2 2    cos 2x+cos 4x+cos 6x     cos2x+cos6x+cos4x   cos4x.cos2x  cos4x    x   k  cos4x  x   k      x  l cos2x  -1  2x   l    k, l   c 3cos2 2x  sin2 x  cos2 x    cos2 x   cos2 x  cos 2 x   0  2    cos2 2x  4cos2x    1   x   arccos  k cos x    k, l      cos x  1  x   l  2 2 d sin 3x  cos 4x  sin 5x  cos 6x  cos6x  cos8x  cos10x  cos12x     2 2  cos6x  cos8x  cos10x  cos12x  cos10x  cos6x    cos12x  cos8x   2 sin 8x.sin 2x  sin10x.sin 2x  sin 2x  sin10x  sin 8x   sin 2x   sin10x  sin  8x    xk2  2x  k     10x  8x  l   x  l  k , l, m    10x   8x  km x   m 2  e cos x   cos 4x Ta có cos4 x   cos 4x Trang 111  x  k   k,l  x  l   LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   cos x   8    cos x     cos 2x   x  k k   f sin4 x  cos4 x  cos 4x Ta có sin4 x  cos4 x  cos 4x   sin2 x cos2 x  cos2 2x  1  cos2 2x  sin 2x  2  cos 2x   vô nghiệm g sin x  cos4 x  cos x Ta có sin4 x  cos4 x  cos x  sin2 x  cos2 x  cos x   2cos2 x  cos x cos x  1  x   k 2  cos x  cos x      k   x    k2 cos x    h sin6 x  cos6 x  Ta có sin6 x  cos6 x   sin x  cos2 x  sin x cos2 x sin x  cos x    sin 2x  2  sin 2x   cos 4x    1  1 1  cos x    x   arccos     k  x   arccos     k  3  3   LÊ MINH TÂM   k   Trang 112 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 04 TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài tập Giải phương trình sau: cos 2x  1  cos x  cos x  sin x  1  sin x   cos3 x sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x  sin 4x  cos2 x 1 cos10x  cos 8x  cos 6x 1   sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  1  tan x 1  sin 2x    tan x 1  sin x  cos x   sin x  cos x 2  sin x  1 cos x  sin x   sin 2x  cos x 10 cos4 11 sin 2x  cos 2x    sin 2x  sin 4x  x x  sin  sin 2x 4 12 sin 2x  sin 7x 1  sin x 13 sin x cos 2x  sin 2x cos x  sin 4x cos x 14   sin x  cos x  15  sin x  1  cos 2 x  sin x  sin x cos x 16 cos x  sin x cos x    cos x  cos x  sin x 17 cos2 x  tan2 x  cos x  tan x   18 sin3 x  cos3 x  sin x  cos x 22 sin3 x  sin2 x  sin 2x  cos x  19 cos4 x  cos 4x   20 sin 2x  sin 4x   21 cos3 x  sin x  cos x  sin x     23 sin x  tan 2 x  cos x   25 tan x  2 sin x  27 sin x cos x cos 2x  sin 8x   29 tan x  cot x  sin x  cos x cos 2x  1  cos x  cos x  sin x  cos2 x  cos x  1  1  sin x  sin x  cos x 26 tan x  tan 2x  sin 3x.cos x     28 sin  x    cos  x     sin x     24 sin x  cos x   tan x  cot x  30 sin 2x Lời giải  cos2 x  sin2 x  1  cos x  cos x  sin x    cos x  sin x   cos x  cos x  sin x     sin x  cos x  1 cos x  sin x       x   k2 sin  x    sin x  cos x   4     x   k2    cos x  sin x   sin   x   x   k     Trang 113 LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC   Vậy phương trình có tập nghiệm S    k ;  k ;  k  2  1  sin x   cos3 x   1  sin x   cos x  sin x   1  sin x  1  sin x  cos x 1  sin x     x    k2 sin x  1    1  sin x  cos x  sin x cos x  1  sin x  cos x  sin x cos x  1   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , t  4    t   sin x cos x  sin x cos x   1 t2 t  1 TM  1 t2   t  2t     Khi 1   t  t   l  x  k2     Với t  1  sin  x    1  sin  x      x   k2 4         k2  Vậy phương trình có tập nghiệm S    k ; k ;   sin x  sin 2x  sin 3x  sin 4x   sin 2x cos x  sin 3x cos x   cos x  sin 2x  sin 3x     x   k x   k  cos x   k2    2x  3x  k  x   sin 2x   sin 3x  2x   3x  k x    k2       k2 ;   k2  Vậy phương trình có tập nghiệm S    k ; 2  cos10x  cos 8x  cos 6x 1    cos10x  cos 6x    cos 8x   2 sin 8x sin 2x  sin2 4x   4 sin 4x cos 4x sin 2x  sin2 4x   sin 4x  sin 4x  cos 4x sin 2x    sin 4x sin 2x  cos 2x  cos 4x   LÊ MINH TÂM Trang 114 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  k x   4x  k  sin x   x  k 2x  k    sin x     4x  2x  k  xk cos x  cos x    x  2 x  k  k x   k k  Vậy phương trình có tập nghiệm S   ;    sin 4x  cos2 x 1  sin 2x cos 2x  cos 2x  cos 2x  sin 2x  1    k  2x   k x     cos 2x      2x   k   x   k   sin 2x  12    5  2x  x  k  k2 12     k ; k ; k  Vậy phương trình có tập nghiệm S    12  12   sin x  cos x  sin 2x  cos 2x      sin x  cos x   1  sin x cos x   cos x  sin x    sin x  cos x    sin x  cos x    cos x  sin x  cos x  sin x     sin x  cos x 1  sin x  cos x  cos x  sin x     sin x  cos x 1  cos x   sin x  cos x   1  cos x       x  k  sin  x     x    k 4      k    x    k2 x    k2 cos x   3    Vậy phương trình có nghiệm x    k ; x    k2  k  1  tan x 1  sin 2x    tan x Tập xác định D     \  k , k   2  Ta có 1  tan x 1  sin 2x    tan x Trang 115 LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  cos x  sin x  cos x  sin x 2   sin x  cos x  sin x cos x  cos x cos x       cos x  sin x  sin x  cos x   cos x  sin x     cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x   cos x  sin x  cos 2x  1  sin x  cos x   cos x        x  k x k  sin  x        4 4    cos 2x   x  k  2x  k Vậy phương trình có nghiệm x   k   k   k ;x  k 1  sin x  cos x   sin x  cos x     sin x  sin x cos x   sin x  cos x  cos x  sin x cos x  sin2 x cos x   sin x  cos x  sin x cos x  sin x  1  sin x    sin x  1 sin 2x  1  sin x     sin x     x    k2 x    k2   sin x  1     2x   k   x   k   sin 2x  12    5  2x  x  k  k2 12   Vậy phương trình có nghiệm x    sin x  1 cos x  sin x   sin 2x  cos x k    k2 ; x  12 k ;x  k 12 k     sin x  1 cos x  sin x   sin x cos x  cos x   sin x  1 cos x  sin x   cos x  sin x  1   sin x  1 cos x  sin x    x   k2   sin x   sin x      x   k2    cos x sin x     sin x       4  x    k  LÊ MINH TÂM k   Trang 116 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Vậy phương trình có nghiệm x  10 cos4  k2 ; x   k2 ; x    k k   x x  sin x  sin 2x 4  x x  x x   cos  sin  cos  sin   sin 2x 4  4    x  cos  cos   2x  2   k4 x  5x x      2x  k    k2    k   x    k4  x    2x  k  3x   k   2 3  k4 k4 Vậy phương trình có nghiệm x   ;x    k  5 3 11 sin 2x  cos 2x    sin 2x  sin 4x    sin 2x  cos2 x  sin 2x 1  cos 2x   cos x  sin x  cos x   2 cos x sin x 1  cos 2x  cos x   sin x  cos x  sin x 1  cos 2x  cos x   sin x  cos x  sin x  2 sin x cos 2x cos x   sin x  cos x  sin x   sin 3x  sin x    x   k x   k cos x         3x  x   k  x k     sin  x    sin 3x  4    k 3x   x   k x   16   12 sin 2x  sin 7x 1  sin x  sin 7x  sin x   sin2 2x  sin 7x  sin x  cos 4x  cos 4x sin 3x  cos 4x  k x    cos 4x  k2   cos 4x  sin 3x  1    x   k    sin 3x  18   x   k2 18  k   13 sin x cos 2x  sin 2x cos x  sin 4x cos x Trang 117 LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  sin x cos 2x  cos x  sin 4x  sin 2x   sin x cos 2x  cos x cos 3x sin x sin x   cos 2x  cos 3x cos x 14 x  k sin x  sin x  k     k  k x   cos 2x  cos 4x  cos 2x cos x  cos x  x  2   sin x  cos x  (ÐK : x   k ) cos x  tan x   cos2 x x  k  tan x  2   tan x   tan x   tan x  tan x     x   k  tan x  3     k   (tmđk)  15  sin x  1  cos 2 x  sin x  sin x cos x    sin x  1   cos  x  sin x   sin x cos x 1  sin x    sin x  1  cos 2 x  sin x  sin x cos x cos x 2 sin x  1    cos 2x  sin x  sin x cos 2x 1  sin x  sin x  1  2   cos x  sin x  sin x  sin x 1  sin x  sin x  1     sin x  sin x  sin x  sin x  sin x  sin x  1  8 sin x  sin x  sin x  sin x    x    k2 sin x  1  sin x  1     x   k2  sin x   sin x  1 sin x  1    x   k2     16 cos x  sin x cos x        k    cos x  sin x Cách 1: Đặt t  cos x  sin x  t  cos2 x  sin2 x  sin x cos x  cos2 x   sin x cos x t  Phương trình trở thành: t  3t   t  LÊ MINH TÂM Trang 118 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Với t   cos x  sin x   tan x   x  Với t   cos x  sin x  x  k2    cos  x     cos   ,k  x    k2 6     k ,k  Vậy nghiệm phương trình là: x   k , x  k2 , x    k2 , k  3 Cách 2: cos x  sin x cos x   3( cos x  sin x)  cos 2x  sin 2x    cos x  sin x       cos  x     cos  x   3 6   Đặt t  x  , ta  cos t  cos 2t   cos t  cos t  cos t    cos t   Ta nghiệm cách 17 cos2 x  tan2 x  cos x  tan x   Điều kiện: x   k ,k Ta có cos2 x  tan2 x  cos x  tan x     cos x      3.tan x    2 cos x    x    k    x    k2 ,  k  tan x   x    k    Kết hợp điều kiện ta nghiệm phương trình x    k2 , k  18 sin3 x  cos3 x  sin x  cos x  sin3 x  sin x  cos3 x  cos x   sin x sin x   cos x  cos x       cos3 x  cos x sin x  cos x   cos x cos x  sin x cos x    cos x  1   cos x  sin x cos x     Ta có 1  x   k ,k  2  sin 2x  cos 2x  (Vơ nghiệm   1 Trang 119  32 ) LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 (Hoặc ta có cos2 x   1,  sin x cos x   sin 2x      Vơ nghiệm) 2 Vậy nghiệm phương trình cho x   k ,k 19 cos4 x  cos 4x  1  cos 2x  8  cos 2x   cos 2x    2x    k2  x    k , k  3 Vậy nghiệm phương trình x    k ,k   cos 4x  sin2 4x     cos x  cos x   20 sin 2x  sin 4x     k cos 4x  x    cos x  cos x     k   cos 4x   k  x    k k Vậy nghiệm phương trình là: x   ,x    ,k 21 cos3 x  sin x  cos x  sin x    sin3 x  sin x  cos x  cos3 x  Nếu cos x   x   k  sin x  1 khơng nghiệm phương trình Nếu cos x  , chia vế phương trình cho cos3 x ta được: sin3 x sin x cos x cos3 x    0 cos3 x cos3 x cos3 x cos x tan x  tan3 x   40 cos x cos2 x  tan3 x  tan2 x  tan x     tan x  1 tan x      x   k   tan x    x   k k     tan x    x    k  22 sin x  sin x  sin 2x  cos x   sin3 x  sin2 x  sin x cos x  cos x   sin2 x  sin x  1  cos x  sin x  1  LÊ MINH TÂM Trang 120 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC    sin x  1  4 cos    sin x  1 sin x  cos x    x  cos x   sin x  1   x    k2  cos x     x    k2 cos x   loaïi      k    23 sin x  tan 2 x  cos x   k k   Ta có sin x  tan 2 x  cos x   Điều kiện: 2x   k  x      cos 2x.sin 2x  cos x  cos 2x sin 2x sin 2x  cos 2x   cos 2x   0 cos 2x cos 2x  sin2 2x  cos2 2x  sin2 2x  cos2 2x  tan2 2x    tan 2x    x   k  k   thoả mãn điều kiện Vậy nghiệm phương tình là: x   24 cos2 x  cos x  1 sin x  cos x  k ,k    1  sin x  Điều kiện: sin x  cos x   tan x  1  x   cos2 x  cos x  1 k k    1  sin x  sin x  cos x  1  sin x 1  sin x  cos x  1  1  sin x  sin x  cos x  Ta có  1  sin x  sin x  cos x   1  sin x 1  sin x  cos x  1   1  sin x 1  sin x.cos x  sin x  cos x   sin x  1 (1)  1  sin x.cos x  sin x  cos x  ( 2) Giải (1) : sin x  1  x    k2 , k  Giải ( 2) :  sin x.cos x  sin x  cos x    Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , t    ;    4  t2 1  sin x.cos x  t2 1  t   t  2t    t  1 Ta phương trình:  Trang 121 LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC     Với t  1  sin  x    1  sin  x     4 4     x     k2 x    k2 , k      x    k2  x   k  4 Kết hợp điều kiện ta nghiệm phương trình là: x   k2 ; x    k2 , k  25 tan x  2 sin x   k k   Ta có tan x  2 sin x  sin x   2 sin x   sin x  2 sin x.cos x  cos x  cos x   sin x  cos x   2 sin x.cos x  Điều kiện: x    Đặt t  sin x  cos x  sin  x   , t    ;    4  1 t2  sin x.cos x      2;  t  1 t2     2t  t     Ta phương trình: t  2 t      ;         2  sin  x     sin  x     sin Với t  4 4     x    k2  x  12  k   ,k   x    k2  x  13  k   12     Với t    sin  x      sin  x    1 4 4      k2  x    k2 ,  k   4 Kết hợp điều kiện ta nghiệm phương trình là: 13 x  k2 ; x   k2 , x    k2 ,  k   12 12 26 tan x  tan 2x  sin 3x.cos x   x   k ,k Điều kiện:  x   k  Ta có: tan x  tan 2x  sin 3x.cos x  x LÊ MINH TÂM Trang 122 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x sin 2x   sin 3x.cos x cos x cos 2x  sin 3x  sin 3x.cos x.cos x.cos 2x  sin 3x 1  cos x.cos x.cos 2x    sin 3x   1  cos 2x  cos 2x    k x  k  3x  k x k   ,k   cos x   x   cos x  cos x   xk  cos x  2 loaïi      k Kiểm tra điều kiện suy nghiệm phương trình x  ,k 27 sin x cos x cos 2x  sin 8x Ta có sin x cos x cos 2x  sin 8x  sin 2x.cos 2x  sin 8x  sin 4x  sin 8x   k k x  x  sin 4x    k     sin 4x  cos x     4x   k  x   ,k cos 4x    24    k   4x    k x    24        28 sin  x    cos  x     sin x           Ta có: sin  x    cos  x     sin x      cos 2x  sin x  1 sin x x  k sin x    sin x  sin x      ,k x   k2 sin x     29 tan x  cot x  sin x  cos x Điều kiện: x   k ,k  Ta có tan x  cot x  sin x  cos x   sin x cos x 3  sin x  cos x cos x sin x     sin x  cos x  sin x cos x sin x  cos x      sin x  cos x sin x  cos x  sin 2x  Trang 123 LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  x    k  tan x    sin x  cos x       x    k2 , k    sin x  cos x  sin 2x sin  x    sin 2x     x   k2  30 sin x  cos x   tan x  cot x  sin 2x k Điều kiện: x  ,k sin x  cos x   tan x  cot x  Ta có sin 2x 4  sin x  cos x  sin x  cos2 x    sin x  cos2 x  sin x.cos2 x   sin2 x.cos2 x   sin 2x  (loại) Vậy phương trình cho vô nghiệm HẾT LÊ MINH TÂM Trang 124 ...   k k    Phương pháp chứng minh x  T  D Tập xác định hàm số D , x  D   x  T  D 1 Chứng minh: f  x  T   f  x  , x  D Trang 15 LÊ MINH TÂM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC x  T... PHƯƠNG PHÁP 73 3.1 Ví dụ minh họa 73 3.2 Bài tập rèn luyện 74 IV PHƯƠNG TRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN 75 4.1 Ví dụ minh họa 76 4.2... THÀNH TỔNG 68 1.1 Ví dụ minh họa 68 1.2 Bài tập rèn luyện 68 II BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH 70 2.1 Ví dụ minh họa 70 2.2