Luận án Tiến sĩ Một số phương pháp giải bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại và bài toán chấp nhận tách nhiều tập

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❣✐↔✐ ữợ ởt số ợ ỡ ✵✳ ▼ët ✈➜♥ ✤➲ ♥↔② s✐♥❤ tø ✤➙② ❧➔ ❧✐➺✉ ❝â t❤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ sỹ tử t ữủ ợ ❦✐➺♥ rk ❞➛♥ tỵ✐ ✵✱ ❤♦➦❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ❝❤♦ ❞➣② t❤❛♠ sè ❝õ❛ t♦→♥ tû ✽✺ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞➣② {xk } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t x∗ ❝õ❛ ▼❙❙❋P ✭✶✳✷✼✮✳ ❚❛ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣ lim sup⟨x∗ , x∗ − xk ⟩ = lim ⟨x∗ , x∗ − xkl ⟩ = ⟨x∗ , x∗ − x˜⟩ ≤ 0, l→∞ k→∞ ✭✹✳✷✹✮ tø ✤â x∗ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ▼❙❙❋P ✭✹✳✺✮✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ ❞ị♥❣ ✭✹✳✶✸✮ ✈ỵ✐ p t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ x∗ ✱ ✭✹✳✷✹✮ ✈➔ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✵ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ∥xk −x∗ ∥ → ❦❤✐ k → ∞✳ rữớ ủ ỗ t {xkl } ❝õ❛ {xk } s❛♦ ❝❤♦ ∥xkl − p∥ < ∥xkl +1 − p∥ ✈ỵ✐ ♠å✐ l ∈ N+ ✳ ❉♦ ✤â✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✶✶✱ tø ❞➣② {xk } ❧➔ tỗ t ổ {mk } N+ s❛♦ ❝❤♦ mk → ∞ ✈➔ ∥xmk − p∥ ≤ ∥xmk +1 − p∥ ✈➔ ∥xk − p∥ ≤ ∥xmk +1 − p∥ ✭✹✳✷✺✮ ✈ỵ✐ ♠é✐ k ∈ N+ õ tỗ t limk xmk p ❞♦ ✤â ❝ơ♥❣ ❧➟♣ ❧✉➟♥ ❣✐è♥❣ ♥❤÷ tr➯♥✱ t❛ ♥❤➟♥ ữủ tự ợ k t t❤➳ ❜ð✐ mk ✈➔ ♠å✐ ✤✐➸♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ②➳✉ x ˜ ❝õ❛ {xmk } t❤✉ë❝ Γ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ lim sup⟨x∗ , x∗ − xmk +1 ⟩ = ⟨x∗ , x∗ − x˜⟩ ≤ ✭✹✳✷✻✮ k→∞ ❚ø ✭✹✳✶✸✮ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ♥❤➜t tr♦♥❣ ✭✹✳✷✺✮ ✈ỵ✐ p t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ x∗ s✉② r❛ ∥xmk − x∗ ∥2 ≤ ⟨x∗ , x∗ − xmk +1 ⟩, ✭✹✳✷✼✮ ✈ỵ✐ ♠é✐ k ∈ N+ ✳ ❇ð✐ ✭✹✳✷✻✮ ✈➔ ✭✹✳✷✼✮✱ lim sup ∥xmk − x∗ ∥2 = ✭✹✳✷✽✮ k→∞ ❇➙② ❣✐í✱ tø ✭✹✳✷✵✮ ✈ỵ✐ k t❤❛② t❤➳ ❜ð✐ mk ✈➔ ✭✹✳✷✽✮✱ t❛ ❝â lim ∥xmk +1 − x∗ ∥ ≤ lim ∥xmk +1 − xmk ∥ + lim ∥xmk − x∗ ∥ = 0, k→∞ k→∞ k→∞ ✤✐➲✉ ✤â ❝ò♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ❤❛✐ tr♦♥❣ ✭✹✳✷✺✮ ❦➨♦ t❤❡♦ lim ∥xk − x = k ỵ ữủ ự ứ t q ỵ ợ trữớ ❤ñ♣ ✤➠❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ❝❤➾ sè J1 ✈➔ I2 ú tổ t ữủ ỵ s ỵ H1, H2 A ữ tr ỵ {Ci}Ni=1 {Qj }jN + tữỡ ự t ỗ õ tr H1 ✈➔ H2 ✳ ●✐↔ sû Γ ̸= Ø✱ ❞➣② ❧➦♣ xk ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ x1 ∈ H1 , xk+1 = U Tγk ,αk xk , ✭✹✳✷✾✮ ∀k ≥ 1, N i=1 βi PCi ✱ Tγk ,αk = I−γk (A∗ (I−Vk )A+αk I)✱ Vk = η˜1k kj=1 ηj PQj ✱ ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤❛♠ sè βi ✱ ηj ✱ αk ✈➔ γk t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C11), (C12), (C13) ð ✤â U = ✈➔ (C10 ) βi > ✈ỵ✐ ≤ i ≤ N s❛♦ ❝❤♦ ′ N βi = 1✳ i=1 ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② xk ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✹✳✺✮✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▲➜② Ci = CN ✈ỵ✐ ♠å✐ i > N t q tr ỵ ỵ H1, H2 A ữ tr ỵ {Ci}iN + {Qj }M j=1 tữỡ ự t ỗ õ tr H1 ✈➔ H2 ✳ ●✐↔ sû Γ ̸= Ø✱ ❞➣② ❧➦♣ xk ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ x1 ∈ H1 , xk+1 = Uk (I − γk (A∗ (I − V )A + αk I))xk , ð ✤â Uk = β˜k k βi PCi ✱ V = M ∀k ≥ 1, ✭✹✳✸✵✮ ηj PQj ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤❛♠ sè βi ✱ ηj ✱ αk ✈➔ γk t❤ä❛ i=1 i=1 ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C10), (C12), (C13) ✈➔ (C11′ ) ηj > ✈ỵ✐ ≤ j ≤ M s❛♦ ❝❤♦ M ηj = 1✳ j=1 ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② xk ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✹✳✺✮✳ ỵ H1, H2 A ữ tr ỵ {Ci}Mi=1 {Qj }Nj=1 tữỡ ự t ỗ õ tr H1 H2 ✳ ●✐↔ sû Γ ̸= Ø✱ ❞➣② ❧➦♣ xk ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿ x1 ∈ H1 , xk+1 = U (I − γk (A∗ (I − V )A + αk I))xk , ð ✤â U = N i=1 βi PCi ✱ M V = ∀k ≥ 1, ✭✹✳✸✶✮ ηj PQj ✈ỵ✐ ❝→❝ t❤❛♠ sè βi ✱ ηj ✱ αk ✈➔ γk t❤ä❛ i=1 ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (C10′ ), (C11′ ), (C12), (C13)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② xk ✭✹✳✺✮✳ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✽✼ ✹✳✸✳ ❱➼ ❞ư sè ♠✐♥❤ ❤å❛ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t ▼❙❙❋P ✭✹✳✺✮ ✈ỵ✐ C := ❛♥❞ Ci Q := i∈J1 Qj j∈J2 ð ✤â ✭✹✳✸✷✮ Ci = {x ∈ En : ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi }, ✈ỵ✐ ail , bi ∈ (−∞; +∞)✱ ≤ l ≤ n ✈➔ i ∈ N+ ✱ m (yl − ajl )2 ≤ Rj }, Rj > 0, m Qj = {y ∈ E : ✭✹✳✸✸✮ l=1 ✈ỵ✐ ajl ∈ (−∞; +∞)✱ ≤ l ≤ m✱ j ∈ N+ ✱ ✈➔ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï m × n✳ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ư t❤ù ♥❤➜t✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ m = n = 2, A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ✤ì♥ ✈à✱ ai1 = 1/i, ai2 = −1✱ bi = 0✱ ∀i ≥ 1✱ Rj = ✈➔ aj = (1/j, 0)✱ ∀j ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â✱ x∗ = (0; 0) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ✭✹✳✸✷✮✲✭✹✳✸✸✮✳ ❚ø A = I ✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✹✳✻✮✲ ✭✹✳✼✮ ❝â ❞↕♥❣ ✭✹✳✸✹✮ xk+1 = Uk ((1 − γk (1 + αk ))xk + k Vk xk ) ũ ữỡ ợ i = ηi = 1/(i(i + 1))✱ αk = 1/k ✱ γk = 1/(1 + 0.05 + (1/k) ✈➔ ✤✐➸♠ ❜➢t ✤➛✉ x1 = (−3.0; 3.0)✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ❜↔♥❣ ❦➳t q✉↔ sè s❛✉✳ ❇↔♥❣ ✹✳✶✳ ❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❦❤✐ ❞ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✹✳✸✹✮✳ k ✶ xk+1 xk+1 xk+1 k xk+1 ✵✳✵✷✹✸✾✵✷✹✸✾ ✵✳✸✻✺✽✺✸✻✺✽✺ ✶✵✵ ✵✳✵✵✶✷✸✾✵✺✵✺ ✵✳✵✵✽✸✾✹✺✷✺✶ ✶✵ ✵✳✵✶✵✷✺✺✸✷✼✹ ✵✳✵✻✾✹✼✾✹✾✻✽ ✺✵✵ ✵✳✵✵✵✷✻✾✺✸✹✼ ✵✳✵✵✶✽✷✻✵✽✽✽ ✷✵ ✵✳✵✵✺✺✸✹✹✾✽✷ ✵✳✵✸✼✹✾✻✵✸✼✻ ✶✵✵✵ ✵✳✵✵✵✶✸✾✹✶✾✷ ✵✳✵✵✵✾✹✹✺✻✵✻ ✸✵ ✵✳✵✵✸✽✶✽✵✹✷✽ ✵✳✵✷✺✽✻✼✶✶✶✷ ✷✵✵✵ ✵✳✵✵✵✵✼✷✵✽✷✹ ✵✳✵✵✵✹✽✽✸✺✺✽ ✹✵ ✵✳✵✵✷✾✷✹✾✽✻✷ ✵✳✵✶✾✽✶✻✻✽✷✼ ✸✵✵✵ ✵✳✵✵✵✵✹✽✾✾✾✹ ✵✳✵✵✵✵✸✸✶✾✻✾ ❚r♦♥❣ ✈➼ ❞ö t❤ù ❤❛✐✱ ✈ỵ✐ Ci , βi , ηj , Rj , γk , αk ✈➔ ✤✐➸♠ ❜➢t ✤➛✉ x1 ❣✐è♥❣ ♥❤÷ ✈➼ ❞ư tr➯♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ①➨t t➟♣ ♠ỵ✐ Qj = {y ∈ E3 : ∥y − aj ∥ ≤ 1} ð ✤â aj = (1/(j + 1); 1/(j + 1); 1/(j + 1)) ✈➔ A ❧➔ ♠❛ tr➟♥ ❝ï × ✈ỵ✐ ai1 = 1✱ i = 1, 2, 3✱ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝á♥ ❧↕✐ ❜➡♥❣ ✵✳ ❑❤✐ ✤â✱ x∗ = (0; 0) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝â ❝❤✉➞♥ ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❞ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✹✳✻✮✲✭✹✳✼✮ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❜↔♥❣ sè s❛✉✳ ✽✽ ❇↔♥❣ ✹✳✷✳ ❑➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ❦❤✐ ❞ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✭✹✳✻✮✲✭✹✳✼✮ xk+1 k ✶ xk+1 k xk+1 xk+1 ✵✳✻✵✶✾✸✽✽✷✼✹ ✶✳✺✸✻✺✽✸✸✻✺✾ ✶✵✵ ✵✳✵✶✹✷✵✹✼✹✶✺ ✵✳✵✸✻✸✵✵✾✽✺✷ ✶✵ ✵✳✶✶✼✻✾✾✹✾✽✶ ✵✳✸✵✵✹✺✹✻✻✶✵ ✺✵✵ ✵✳✵✵✸✵✾✸✹✷✻✽ ✵✳✵✵✼✽✾✻✻✼✸✹ ✷✵ ✵✳✵✻✸✺✶✽✾✺✶✻ ✵✳✶✻✷✶✹✻✺✷✾✵ ✶✵✵✵ ✵✳✵✵✶✻✵✵✶✵✷✹ ✵✳✵✵✹✵✽✹✻✷✹✹ ✸✵ ✵✳✵✹✸✽✶✾✸✹✹✸ ✵✳✶✶✶✽✺✽✽✶✸✾ ✷✵✵✵ ✵✳✵✵✵✽✷✼✷✽✸✹ ✵✳✵✵✷✶✶✶✽✷✽✹ ✹✵ ✵✳✵✸✺✻✾✽✶✶✹✵ ✵✳✵✽✺✻✾✹✺✺✻✻ ✸✵✵✵ ✵✳✵✵✵✺✻✷✸✻✶✺ ✵✳✵✵✶✹✸✺✺✺✺✸ ◗✉❛ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ sè t❤✉ ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❇↔♥❣ ✹✳✶ ✈➔ ❇↔♥❣ ✹✳✷ ❝❤♦ t❤➜② ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ú tổ s ữợ t ữủ ①➜♣ ①➾ ❦❤→ ❣➛♥ ♥❣❤✐➺♠ ✤ó♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✹✳✺✮✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ t➼♥❤ t♦→♥ ✤÷đ❝ ❝❤↕② tr➯♥ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ❋r❡❡ P❛s❝❛❧ ■❉❊ ✈ỵ✐ ♠→② t➼♥❤ ■♥t❡❧✭❘✮ ❈♦r❡✭❚▼✮ ✐✺✲✺✷✵✵❯ ❈P❯ ❅ ✷✳✷✵●❍③✱ ✷✳✷✵●❍③✱ ✹✳✵✵●❇ 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t❤ü❝ ữỡ 2ck tử tợ ởt ❝õ❛