Ôn tập kiến thức Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 1 - Trần Đình Cư

Cuốn sách Bài giảng Toán học 11 từ cơ bản đến nâng cao được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư có nội dung trình bày bài giảng môn Toán 11 từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Toán 11. Phần 1 cuốn sách giúp các bạn củng cố lý thuyết và làm quen với các dạng bài tập về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung phần 1 cuốn sách tại đây.

LỚP TOÁN THẦY CƯ- XÃ TẮC- TP HUẾ Trung tâm ứng dụng CN dạy học MTC SĐT: 0834 332 133 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực sin x sin :    x  y  sin x gọi hàm số sin, kí hiệu y  sin x Tập xác định hàm số sin  2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với số thực x với số thực cos x cos :    x  y  cos x gọi hàm số sin, kí hiệu y  cos x Tập xác định hàm số cô sin  3) Hàm số tang Hàm số tang hàm số xác định công thức y  y  tan x    2 sin x cos x cos x  , kí hiệu     Tập xác định hàm số y  tan x D   \   k , k   4) Hàm số côtang Hàm số côtang hàm số xác định công thức y  cos x sin x sin x  0, kí hiệu y  cot x Tập xác định hàm số y  cot x D   \ k , k   II – TÍNH TUẦN HỒN VÀ CHU KÌ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa Hàm số y  f  x  có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn, tồn số T  cho với x  D ta có: ● x T  D x T  D Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM ● f x T   f  x  Số dương T nhỏ thỏa mãn tính chất gọi chu kì hàm số tuần hồn Người ta chứng minh hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì T  2 ; hàm số y  cos x tuần hồn với chu kì T  2 ; hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kì T   ; hàm số y  cot x tuần hồn với chu kì T   2) Chú ý ● Hàm số y  sin ax  b  tuần hồn với chu kì T0  2 a ● Hàm số y  cos ax  b  tuần hồn với chu kì T0  2 a ● Hàm số y  tan ax  b  tuần hồn với chu kì T0   a ● Hàm số y  cot ax  b  tuần hồn với chu kì T0   a ● Hàm số y  f  x  tuần hồn với chu kì T1 hàm số y  f  x  tuần hồn với chu kì T2 hàm số y  f  x   f  x  tuần hồn với chu kì T0 bội chung nhỏ T1 T2 Lưu ý số thực không xác đinh bội chung nn, nên T0  mT1  nT2 với m,n số tự nhiên nguyên tố ) III – SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số y  sin x ● Tập xác định D   , có nghĩa xác định với x  ; ● Tập giá trị T  1;1 , có nghĩa 1  sin x  1; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2, có nghĩa sin  x  k 2   sin x với k  ;     ● Hàm số đồng biến khoảng   k 2;  k 2  nghịch biến khoảng     k 2; 3  k 2  , k  ;   2  2  ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 2) Hàm số y  cos x ● Tập xác định D   , có nghĩa xác định với x   ● Tập giá trị T  1;1 , có nghĩa 1  cos x  1; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì 2, có nghĩa cos  x  k 2   cos x với k  ; ● Hàm số đồng biến khoảng   k 2; k 2  nghịch biến khoảng  k  ;   k   , k  ; ● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng 3) Hàm số y  tan x   2      ● Tập xác định D   \   k , k  ; ● Tập giá trị T  ; ● Là hàm số tuần hồn với chu kì , có nghĩa tan  x  k    tan x với k  ;     ● Hàm số đồng biến khoảng   k ;  k  , k  ;   ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y 3     O   x 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 4) Hàm số y  cot x ● Tập xác định D   \ k , k   ; ● Tập giá trị T  ; ● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa tan  x  k    tan x với k  ; ● Hàm số đồng biến khoảng k ;   k  , k  ; ● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y 2  3    O   3 2 x B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tìm tập xác đinh hàm số Phương pháp Để tìm tập xác định hàm số ta cần lưu ý điểm sau  y  u  x  có nghĩa u  x  xác định u ( x)   y  y  Hàm số y  s inx, y  cosx xác định  tập giá trị là: u ( x) có nghĩa u  x  , v  x  xác định v( x)  v( x) u ( x) có nghĩa u  x  , v  x  xác định v( x)  v( x) 1  sin x  ;   cos x  Như vậy, y  s in  u  x   , y  cos u  x   xác định u  x  xác định   y  tan u  x  có nghĩa u  x  xác định u  x    y  cot u  x  có nghĩa u  x  xác định u  x   k , k    k , k   Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Các ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:  5x  a) y  sin   ;  x 1  d) y  b) y  cos  x ;  sin x Giải  5x  a) Hàm số y  sin   xác định  x    x  1  x 1  Vậy D   \ 1 b) Hàm số y  cos x  xác định   x   x   2  x  Vậy D   x   | 2  x  2 c) Ta có: 1  s inx    s inx  Do đó, hàm só ln ln xác định hay D   Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau:     a) y  tan  x   ; b) y  cot  x   ; 6 3   c) y  sin x ; cos( x   ) d) y  tan x  Giải   2   a) Hàm số y  tan  x   xác định  x    k  x   k , k   6   2  Vậy D   \   k , k          b) Hàm số y  cot  x   xác định  x   k  x    k , k   3 3     Vậy D   \   k , k      c) Hàm số y   3 sin x xác định  cos  x      x     k  x   k , k   2 cos( x   ) Vậy y  g ( x) d) Hàm số y   xác định tan x   x   k , k   tan x  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM a) y  cos x  ; cos x b) y  3cos x sin 3x cos x Giải a) Hàm số y  cos x   xác định  cosx   x   k , k   cos x   Vậy D   \   k , k    2  b) Hàm số y  3cos x xác định  sin x cos 3x k sin x cos 3x   sin x   x  k  x  , k    k  Vậy D   \  , k      Ví dụ Tìm m để hàm số sau xác định  : y  2m  3cos x Giải Hàm số cho xác định R 2m  3cos x   cosx  Bất đẳng thức với x  2m 2m m 3 Bài tập trắc nghiệm Câu Tìm tập xác định D hàm số y  2021 sin x A D   B D   \ 0 C D   \ k , k     D D   \   k , k      Lời giải Chọn C Hàm số xác định sin x   x  k , k   Vật tập xác định D   \ k , k   Câu Tìm tập xác định D hàm số y   sin x cos x  Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lịng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM A D     B D   \   k , k    2  C D   \ k , k   D D   \ k 2 , k   Lời giải Chọn D Hàm số xác định cos x    cos x   x  k 2 , k   Vậy tập xác định D   \ k 2 , k   Câu Tìm tập xác định D hàm số y       cos x   sin  x    2     A D   \ k , k       B D   \ k , k        C D   \ 1  k  , k   D D   \ 1  k  , k   Lời giải Chọn C     Hàm số xác định  sin  x     x   k   x   k , k    2   2      Vậy tập xác định D   \   k , k   Câu Tìm tập xác định D hàm số y  2021 sin x  cos x          B D   \   k , k   A D     4        4  C D   \   k , k       D D   \   k , k   Lời giải Chọn D  Hàm số xác định  sin x  cos x   tan x   x   k , k     4      Vậy tập xác định D   \   k , k     Câu Tìm tập xác định D hàm số y  cot 2 x    sin x  4 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM     A D   \   k , k   B D       4   8        C D   \   k , k   D D   Lời giải Chọn C     k Hàm số xác định sin 2 x     x   k   x   , k    4   8       Vậy tập xác định D   \   k , k   x  Câu Tìm tập xác định D hàm số y  tan    2 4  3   k 2, k      2    B D   \   k 2, k     2   3    k , k      2    D D   \   k , k   A D   \    2  C D   \          Lời giải Chọn A x  x   3 Hàm số xác định  cos2         k   x   k 2, k   2 4 2  3   k 2, k    2      Vậy tập xác định D   \  Câu Tìm tập xác định D hàm số y    2  tan x   sin x       2      A D   \   k 2, k   B D   \   k , k   C D   \   k , k   D D   Lời giải Chọn B Hàm số xác định  sin x  tan x xác định  sin x     cos x   x   k , k     cos x      2      Vậy tập xác định D   \   k , k   Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page Câu LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Tìm tập xác định D hàm số y  sin x  B D  2;  A D   C D  0;2  D D   Lời giải Chọn A Ta có 1  sin x   1  sin x   3, x   Do ln tồn bậc hai sin x  với x   Vậy tập xác định D   Câu Tìm tập xác định D hàm số y  sin x  B  \ k , k   A D   C D  1;1 D D   Lời giải Chọn D Ta có 1  sin x   3  sin x   1, x   Do khơng tồn bậc hai sin x  Vậy tập xác định D   Câu 10 Tìm tập xác định D hàm số y  1  sin x   2      B D   \   k , k   A D   \ k , k     2      C D   \   k 2, k   D D   Lời giải Chọn C Hàm số xác định  sin x   sin x  *  Mà 1  sin x  nên *  sin x   x   k 2, k     2      Vậy tập xác định D   \   k 2, k   Câu 11 Tìm tập xác định D hàm số y   sin x   sin x A D     C D    k 2; B D    5  k 2  , k     5  13  k ;  k 2  , k     D D   Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Chọn B n  3n  1n cos 3n       lim  3n  1 cos 3n  lim       n 1 n 1 n   Ta có :  lim 3n     3n  1n cos 3n  n 1    lim    n n    1 cos 3n 1 cos 3n n 1  0     lim 0  n 1 n 1 n 1  Câu 12: Kết giới hạn lim 2.3n  n  là: A B D  C Lời giải Chọn D Ta có lim 2.3n  n   lim 3n  1 n  2.    3n n Vì        n  lim       lim 3n       n n n n 0 n      lim n  0  ,     n n   n n 1 n 1 Cn       lim   n           n  1  lim          lim 2.3n  n    Dạng Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vô hạn có cơng bội q   Tổng số hạng cấp số nhân lùi vô hạn (un) S  u1  u2   un   u1 1 q  Mọi số thập phân biểu diễn dạng luỹ thừa 10 X  N,a1a2 a3 an  N  a1  a2 10 102  a3 103   an 10n  Các ví dụ rèn luyện kĩ 1  1  2 Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn 1,  , ,  , ,    n 1 , Hướng dẫn giải Theo đề cho ta có: u1  1, q   Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 301 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM S u1 1 q  1 1 2  Ví dụ 2: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a  0,212121 (chu kỳ 21) Tìm a dạng phân số Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận Ta có: a  0,212121  0,21  0, 0021  0,000021    1  21     10 10  10  Tổng S  S 10  10  10  tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có u1  10 ,q 102 u1 1  10  Do A  21  1 q 99 99 33 1 102 Cách 3: Giải nhanh máy tính Nhập vào hình 0,  21 ấn phím  ta kết Ví dụ 3: Tổng Sn   0,9   0,9    0,9     0,9  n 1 33  có kết bao nhiêu? Hướng dẫn giải S   0,9   0,9    0,9     0,9  n 1  Đây tổng cấp số nhân lùi vơ hạng có u1  1, q  0,9 S u1 1 q   10  0,9 Ví dụ 4: Cho S   q  q  q3  , q  T   Q  Q  Q3  , Q  E   qQ  q Q2  q3Q3  Biểu thị biểu thức E theo S, T Hướng dẫn giải  S   q  q  q3  , q  tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, có u1  1, q  q Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 302 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Khi đó: S  u1 1 q S 1 q 1 q S (1) T 1 Q 1 Q T (2)   Tương tự: T   E   q.Q  q Q  q3 Q3  tổng cấp số nhân lùi vô hạng công bội qQ (vì qQ  , u1  1) E u1 (3)  qQ Thay (1), (2) vào (3): E  u1 ST E T 1 S 1 S  T 1 1 T S Ví dụ 5: Tìm số hạng U1 cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  4; q  Hướng dẫn giải Ta có: S  u1  q  1   1 q u1  u1  1 Ví dụ 6: Tìm công bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  6; U1  3 Hướng dẫn giải Ta có: S  u1 3 q  1  6  q  1 q 1 q Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn , tổng ba số hạng cấp số nhân Số hạng đầu u1 cấp số nhân là: A u1  C u1  B u1  D u1  Lời giải Chọn A Gọi q công bội cấp số nhân, ta có :  u1    q   2 u1  1  q      1 q     3      q 1 q       S3  u1   u1  1      1 q      Câu 2: Tính tổng S         A S  27 B S  14  n 3 C S  16 D S  15 Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lịng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 303 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Chọn A Ta có         1  1 1   27   S         n3    1       n1          3 3        CSN lvh: u1 1, q    Câu 3:  Tính tổng S  1       A S       2n C S  2 B S  2 D S  Lời giải Chọn C Ta có          1 1     2 S  1       n         8    1   CSN lvh: u1 1, q  Câu 4: Tính tổng S       A S  2n  3n C S  B S  D S  Lời giải Chọn A Ta có 2 2n  2 S       n                    3   n CSN lvh: u1 1, q  Câu 5: Tổng cấp số nhân vô hạn A 1 1 ,  , , , , 18 2.3n 1 n 1 B C 1  bằng: 3 D Lời giải Chon D Ta có : 1 1 S     18 2.3n1 n 1 Câu 6: 1 1        n 1   1     1     1     n1         3         CSN lvh:u1 1, q    1 1 1 Tính tổng S            n  n   2 3   2  A B C D Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 304 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải Chọn D Ta có  1  1  1 1 S            n  n              1    1   1 1        n         n      1    2      1 1 2      1  CSN lvh : u  q  CSN lvh : u  q  1     Câu 7: Giá trị giới hạn lim  a  a   a n  a  1, b  1 bằng:  b  b   b n A B 1 b 1 a C 1 a 1 b D Khơng tồn Lời giải Chọn B Ta có  a  a   a n tổng n  số hạng cấp số nhân với số hạng đầu công bội a , nên  a  a   a n  Tương tự:  b  b   b n  1.1  a n 1  11  b n 1  1 b 1 a    a n 1 1 a  b n 1 1 b  a n 1  a  a   a  b  a n 1  b  lim na1  lim  Do lim n  b  b   b 1 b  a  b n 1  a 1 b Câu 8: n  a  1, b  1 Rút gọn S   cos2 x  cos4 x  cos6 x   cos2 n x  với cos x  1 A S  sin x B S  cos2 x C S  sin x D S  cos x Lời giải Chọn C Ta có S  1  cos x  cos x  cos x    cos n x     CSN lvh: u1 1, q  cos x Câu 9: 1  1 cos x sin x Rút gọn S   sin x  sin x  sin x    1n sin n x   với sin x  1 A S  sin x B S  cos2 x C S   sin x D S  tan2 x Lời giải Chọn C Ta có n S  1 sin x  sin x  sin x    1 sin n x      sin x CSN lvh: u1 1, q  sin x Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 305 Câu LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM  10: Thu gọn S  1 tan   tan   tan   với    A S   tan  cos    sin     4 B S  C S  tan   tan  D S  tan  Lời giải Chọn B   Ta có tan   0;1 với   0;  ,  4 S  1  tan   tan   tan    CSN lvh: u1 1, q  tan  cos     tan  sin   cos  cos    sin     4 Câu 11: Cho m, n số thực thuộc 1;1 biểu thức: M   m  m2  m3  N   n  n2  n3  A   mn  m2 n  m3 n3  Khẳng định đúng? A A  MN M  N 1 B A  MN M  N 1 C A  1   M N MN D A  1   M N MN Lời giải Chọn A Ta có A   m   M    m M    ,   1  N  n  1 1 n N    1 mn MN     1 M  N 1 1 1 1   M  N  Câu 12: Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,5111 biểu diễn phân số tối giản a b Tính tổng T  a  b A 17 B 68 C 133 D 137 Lời giải Chọn B Ta có 0,5111  0,5  102  103    10n   Dãy số 102 ;103 ; ;10n ; cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu u1  102 , công bội q  101 nên S  Vậy 0,5111  0,5  S  u1 102    q 101 90 a  23 46 23      T  a  b  68 b  45 90 45 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 306 Câu LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM a 13: Số thập phân vơ hạn tuần hồn A  0,353535 biểu diễn phân số tối giản Tính b T  ab A 3456 B 3465 C 3645 D 3546 Lời giải Chọn B Ta có 35 35 35 35 a  35 10 A  0,353535  0,35  0, 0035         T  3465 99 b  99 10 10 1 10 Câu 14: Số thập phân vơ hạn tuần hồn B  5,231231 biểu diễn phân số tối giản a Tính b T  a  b A 1409 B 1490 C 1049 D 1940 Lời giải Chọn A Ta có B  5, 231231   0, 231  0, 000231  231 a  1742 231 231 231 1742 10        5      T  1409 b  333 10 10 999 333 1 10 Câu 15: Số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,17232323 biểu diễn phân số tối giản a Khẳng b định đúng? A a  b  215 B a  b  214 C a  b  213 D a  b  212 Lời giải Chọn D Ta có  1  0,17232323  0,17  23    10 10 10  17 17 23 1706 853 10000   23     100 100 100.99 9900 4950 1 100 a  853 12     T  4097  213 b  4950 Dạng 6: Phương pháp sai phân quy nạp tính giới hạn Phương pháp 1) Dạng tồng phân số Ví Dụ: A  1   , n  2, n  N 2.3 3.4 n( n  1) Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 307 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM 1 (1)   k (k  1) k k  Để tính A ta thay k từ 2, 3, , n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng Ta phân tích : 2) Dạng tích phân số: 2  32   , n  2, n  N 22 k 1 k 1 k Ta phân tích:  : (2) k2 k k 1 Để tính B ta thay k từ 2, 3, , n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng Ví dụ: B  3) Dang đa thức: a) Mỗi đơn thức dạng tích: Ví Dụ: C  1.2.3  2.3.4 99.100.101 Ta tách: 4k(k  1)(k  2) :  k(k  1)(k  2)[(k  3)  (k  1)] , k  1, k  N  (  (k  1)k(k  1)(k  2)  k(k  1)(k  2)(k  3)) : (3) Để tính C ta thay k từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính dễ dàng Ví dụ: D  3.5.7  5.7.9    (2n  1)(2n  3)(2n  5), n  1, n  N Ta tách: (2k  1)(2k  3)(2k  5)  (2k  1)(2k  3)(2k  5)[(2k  7)  (2k  1)] :  ((2k  1)(2k  3)(2k  5)(2k  7)  (2k  1)(2k  1)(2k  3) (2k  5)) : (4) Đề tính D ta thay k từ : 1, 2, 3, , n vào biều thức (4) ta tính dễ dàng ) Đơn thức dạng lũy thừa Ví Dụ: Tính E  13  23  n3 , n  N n  Ta dùng hẳng đẳng thức : ( x  1)3  x  x  x  x  23  13  3.12  3.1  x  33  23  3  22    … x  n (n  1)3  n3   n   n  Cộng vế theo vế   (n  1)3  13  12  2    n  3(1     n)  n n  3n  3n  3E  3n (n  1) n   n( n  1)  2n  3n  n 3E  n  3n  3n    n  2   n( n  1)(2n  1) E Ngồi ta dự đốn số hạng tổng qt, kết hợp quy nạp để khẳng đinh Có thể ùng vịng lặp MTCT để giải toán Các ví dụ rèn luyện kĩ Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 308 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Ví dụ 1: Cho un  1 Tính lim un    1.2 2.3 n  n  1 Hướng dẫn giải Ta ln có:  un  1 áp dụng vào un :   k  k  1 k k  1 1     1.2 2.3 3.4 n  n  1 1   1  1  1                   1 2 3 n n  n 1          Do đó: lim un  lim    Ví dụ 2: Cho un     n  1 1 1     Tính lim un 3.5 5.7 7.9  2n  1 2n  1 Hướng dẫn giải Ta ln có: un  1 1      2k  1 2k  1  2k  2k   1 1     3.5 5.7 7.9  2n  1 2n  1 11 1 11 1 11 1 1 1                   23 5 25 7 2 9  2n  2n   11       2n   11 23 Do lim un  lim   Ví dụ 3: lim   2n       n 2n2 bao nhiêu? Hướng dẫn giải Vì     n  n  n  1 nên: lim  Ví dụ 4: Tính giới hạn: lim 1       n 2n  lim n  n  1 4n             2    n   Hướng dẫn giải  Ta có:      1   22  32  n2  1        22  32   n  22 32 n2   1   1   1   1  n  1 n  1  n  22.32 n 2n Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 309 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM  Vậy lim        1         2    n2   U1   Ví dụ 5: Tìm giới hạn dãy:  Un  ; n  * U n 1   Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận Ta chứng minh dãy  U n  bị chặn:  Un  Dãy  U n  dãy giảm Thật ta xét U k 1  U k  Un   U k  2Uk  Uk   Uk  (đúng) Vậy dãy  U n  có giới hạn Đặt lim Un  a  Un   a 1  a   hay a    Ta có: lim  U n 1   lim  Cách 2: Giải nhanh máy tính Khai báo:  X {biến đếm};  A {giá trị u1 } Ghi vào hình: X  X  1: A  A 1 Ấn CALC lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy giảm bị chặn Vậy lim Un  U   Ví dụ 6: Tìm giới hạn dãy:  *  U n 1   U n ; n   Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận Ta chứng minh dãy bị chặn:  U1  (đúng)  Giả sử U k  2, k   Un  (bằng phương pháp quy nạp) Ta có: U k 1   U k     k  1 Vậy U k  n  * Tương tự: U n  n  * Ta chứng minh dãy  U n  dãy tăng (bằng phương pháp quy nạp) + U1  2; U2    U1  U2 + Giả sử Uk 1  Uk k  Ta xét U k  U k 1; k  *  U k   U m  U 2k   U k  U 2k  U k   Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 310 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM  U k  2, k  * )  1  U k  (luôn Vậy dãy  U n  tăng; bị chặn nên có giới hạn, gọi a  lim Un  lim Un1 Ta có: lim U n   LimUn  a   a  a2   a a  (nhaän)  a2  a     a  1 (loaïi) Cách 2: Giải nhanh máy tính  A {giá trị u1 } Khai báo:  X {biến đếm}; Ghi vào hình: X  X  1: A   A Ấn CALC lặp lại phím  , quan sát ta thấy dãy tăng bị chặn Vậy lim Un  U1   Ví dụ 7: Tìm giới hạn dãy:  1  * U n 1   U n  U  ; n   n    A B 1 C D Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: Un  0, n  * 1 2 Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: U n 1   U n  Un  *   3, n    Vậy  U n  dãy bị chặn 1 2 Vì U n   U 2n   U n1   U n   Un  1 U2n     U   n Un      U  U n   U n , n  * n Dãy cho giảm Vậy dãy có giới hạn Đặt lim Un1  lim Un  a 1  Ta có: lim U n  lim   U n    Un      1 3  a   a    a2   a  2 a Bài tập trắc nghệm Câu 1: Tính giới hạn: lim A B      2n  1 3n2  C D Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 311 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Lời giải ĐÁP ÁN B Ta có:      2n  1   n  1 Vậy: lim      2n  1 3n   n  1  lim 3n   n n2  lim  lim  3n2  3 n n2  2n  1  1      n  n  1  1.2 2.3 Câu 2: Tính giới hạn: lim  A C B D Khơng có giới hạn Lời giải ĐÁP ÁN B   1 1  1       lim         n n 1 n  n  1  1.2 2.3  2 Ta có: lim     lim     n  1    1     n  2n  1 2n  1   1.3 3.5 Câu 3: Tính giới hạn: lim  A B C D Lời giải ĐÁP ÁN C   1     n  2n  1 2n  1   1.3 3.5 Ta có: lim   1  1  1   lim          lim    2n  2n    3  2n     1     n  n    1.3 2.4 Câu 4: Tính giới hạn: lim  A B C D Lời giải ĐÁP ÁN A Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 312 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Ta có: 1    1.3 2.4 n  n  2 1 1 1 1 1               2 n 1 n 1 n n   1 1   1     2 n 1 n     1     n  n     1.3 2.4 Vậy lim    1     n  n  3  1.4 2.5 Câu 5: Tính giới hạn: lim  A 11 18 B C D Lời giải ĐÁP ÁN A Ta có: 1    1.4 2.5 n  n  3 11 1 1 1 1 1 1 1                     31 n  n n  n 1 n 1 n  n n   vậy: 1 1 1   1       3 n 1 n  n     11 1 lim      n  n    18  1.4 2.5 Câu 6: Cho dãy  un  với un      n n2  Mệnh đề sau mệnh đề đúng? A lim un  B lim un  C lim un  D lim un không tồn Lời giải ĐÁP ÁN B  Dãy số 1, 2, 3, …, n cấp số cộng có số hạng đầu u1  số hạng cuối un  n , công sai d  Khi Sn      n   Viết lại: un  n  u1  n   n  n  1 n  n  1   n2  Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 313 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM  1 n2    n  lim un  lim  lim  lim   n2  n2    n   n  n  1     U1   Câu 7: Tìm giới hạn dãy:   U   U n ; n  *  n 1 2 A C B D Khơng có giới hạn Lời giải ĐÁP ÁN B Ta có: U1  ; U2  ; U3  57 ; 64 Ta chứng minh: Un  n  * (bằng phương pháp quy nạp) Vậy dãy bị chặn Ta chứng minh  U n  dãy tăng Thật vậy: Ta có: U n1  Un   U2n  Un  U 2n  2U n     U n  1  n  * , Un  Vậy dãy có giới hạn Đặt a  lim Un  lim Un1 1 Ta có: lim Un 1  lim   2  U 2n  a2 a   2a   a2  2   a2  2a    a  U1   Câu 8: Tìm giới hạn dãy:   U 2n U  ; n  *  n 1 2U n  A C B D Khơng có giới hạn Lời giải ĐÁP ÁN B Ta có: U n1  1  U  (theo bất đẳng thức Cô-si với U n  ) Vậy  U n  dãy bị chặn Un n Dấu “=” không xảy ra, nên Un  2, n  * Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 314 LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 133 WEB: TOANTHAYCU.COM Lại có:  U2n  U n 1 Un   U 2n 2U 2n  U 2n Vì Un   U2n  2  1 1       U n 1  U n , n  * 2 Un 2 Vậy dãy giảm, Un có giới hạn Đặt lim Un1  lim Un  a  a   Ta có: lim U n 1  lim  U 2n 2U n a  a2  2a2   a2 2a  a2   a  (vì a  ) U   Câu 9: Tìm giới hạn dãy:  *  U n 1  2.U n ; n   B  A C 1 D Khơng có giới hạn Lời giải ĐÁP ÁN A Ta có: U1  2; U2  2 ;…  Ta chứng minh U n  ; n  * (bằng phương pháp quy nạp) n  1, U1   Giả sử Uk  2, k  Ta có: U k 1  2U k  2.2   Vậy Un  2, n  Lại có: U n  0, n  *  Lại có: U n 1 Un  2U n Un  2    dãy tăng Un Vậy dãy cho có giới hạn Đặt lim U n 1  lim U n  a  a   Ta có: lim U n 1  lim 2U n  a  2a  a2  2a  a  Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn file word Bài giảng Tốn 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lịng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để hỗ trợ tối đa “Tránh mua trang cá nhân khác” Phụ huynh học sinh có nhu cầu tham gia lớp tốn chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lịng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 315 ... Thầy C? ?- Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 13 3 Page 11 LỚP TOÁN THẦY C? ?- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 13 3... Thầy C? ?- Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 13 3 Page 10 LỚP TOÁN THẦY C? ?- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 13 3... Thầy C? ?- Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 13 3 Page 12 LỚP TOÁN THẦY C? ?- TP HUẾ CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI SĐT: 0834 332 13 3